小升初奥数培优30：环形跑道行程问题（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册人教版

小升初奥数培优30：环形跑道行程问题 学习目标 1. 分清环形跑道行程问题的两种基本模型：背向（相向）而行的相遇模型与同向而行的追及模型，理解闭合跑道与直线行程的区别。 2. 掌握环形跑道的核心数量关系：背向相遇时两人合走一圈，同向追及时快者多走一圈，并能推广到第 n 次相遇、第 n 次追及。 3. 会由“相遇时间”“追及时间”反求跑道周长、速度和、速度差，进而求出两人的速度。 4. 能处理起点不同的环形跑道问题，先算初始距离，再回到“一圈”规律。 5. 养成先画示意图、再判断方向、最后定位第几次相遇的解题习惯，提高行程过程的表达能力。 知识精讲 （一）背向而行（相向、反向）——相遇模型 1. 两人从环形跑道上的同一点同时出发，朝相反方向跑，途中会不断迎面相遇。由于跑道是闭合的，两人每相遇一次，就把整条跑道“合起来走完一遍”。 2. 核心关系：相遇时两人的路程之和等于跑道周长的整数倍。 (1) 第 1 次相遇：路程和 = 1 圈周长 (2) 第 2 次相遇：路程和 = 2 圈周长 (3) 第 n 次相遇：路程和 = n 圈周长 3. 基本公式：速度和 = 一圈周长 ÷ 第一次相遇时间；第 n 次相遇时间 = n × 一圈周长 ÷ 速度和。 4. 规律提醒：速度不变时，相邻两次相遇的时间间隔完全相同，都等于“一圈周长 ÷ 速度和”。 （二）同向而行——追及模型 1. 两人从同一点同时同向出发，速度快的会逐渐领先，并在绕行一圈后从背后追上速度慢的。每追上一次，快者就比慢者多跑整整一圈。 2. 核心关系：追及时两人的路程之差等于跑道周长的整数倍。 (1) 第 1 次追上：路程差 = 1 圈周长 (2) 第 2 次追上：路程差 = 2 圈周长 (3) 第 n 次追上：路程差 = n 圈周长 3. 基本公式：速度差 = 一圈周长 ÷ 第一次追及时间；第 n 次追及时间 = n × 一圈周长 ÷ 速度差。 4. 规律提醒：相邻两次追及的时间间隔也完全相同，都等于“一圈周长 ÷ 速度差”。 （三）两类模型对照 对比项 背向而行（相遇） 同向而行（追及） 核心关系 路程和 = 圈数 × 周长 路程差 = 圈数 × 周长 第一次 两人合走 1 圈 快者比慢者多走 1 圈 第 n 次 两人合走 n 圈 快者比慢者多走 n 圈 关键数据 速度和 速度差 基本公式 相遇时间 = 周长 ÷ 速度和 追及时间 = 周长 ÷ 速度差 时间间隔 每次间隔相同，等于一圈的时间 每次间隔相同，等于一圈的时间 （四）易错点提醒 1. 起点不同不能直接套“一圈”。两人出发点相距一段距离时，第一次相遇的路程和、第一次追及的路程差是“初始距离”，不是一圈；从第二次开始才恢复“整圈”规律。 2. 同向出发要看清谁在前。甲在后追乙，初始路程差就是两人相距的距离；若甲在前、乙在后，追及要跑的初始路程差应是“周长 − 相距距离”。 3. 单位先统一。速度用“米/分”、时间问“秒”，或速度用“米/秒”、跑道给“千米”，都必须先换算再计算，否则结果整体偏离。 4. 求次数用取整。问“一段时间内相遇（追上）几次”，要用总时间 ÷ 单次间隔后取整数部分，不能四舍五入。 5. 相遇点位置要按路程定位。问“第 n 次相遇在哪里”，先算快者（或某一人）走过的总路程，再用它除以周长取余数，余数就是距出发点的弧长。 （五）解题五步法 1. 画图。画一个圆圈，标出周长，标出两人的出发点与跑动方向。 2. 判方向。背向而行用速度和，同向而行用速度差。 3. 定次数。看清是第 1 次还是第 n 次，写出对应的路程和或路程差。 4. 套公式。由“周长、速度和（差）、时间”三者中已知的两个求第三个。 5. 回头看。检查单位是否统一、答案是否合理（时间不能为负、速度不能超过常理、次数是否符合题意）。 例题讲解 【典型例题1】基础·背向相遇 题目：一个环形跑道周长 400 米，甲、乙两人同时从同一点出发，背向而行。甲每分钟跑 110 米，乙每分钟跑 90 米。 （1）出发后多久两人第一次相遇？ （2）出发后多久两人第二次相遇？ 【详解】 背向而行，两人每相遇一次合走一圈，相遇两次合走两圈。 速度和：110+90=200（米/分）。 （1）第一次相遇，路程和 = 400 米，时间 = 400÷200=2（分）。 （2）第二次相遇，路程和 = 400×2=800 米，时间 = 800÷200=4（分）。 【答案】 （1）2 分钟；（2）4 分钟。 【跟踪训练1】 题目：环形跑道一圈长 360 米，小明和小红同时从同一点背向出发，小明速度 55 米/分，小红速度 65 米/分。 （1）多久第一次相遇？ （2）出发 12 分钟一共相遇几次？ 【详解】 速度和：55+65=120（米/分）。 （1）第一次相遇时间 = 360÷120=3（分），即每 3 分钟相遇一次。 （2）12÷3=4，12 分钟内正好相遇 4 次（第 4 次在出发后第 12 分钟）。 【答案】 （1）3 分钟；（2）4 次。 【典型例题2】基础·同向追及 题目：环形跑道周长 400 米，甲、乙两人同时从同一点同向出发，甲每分钟跑 240 米，乙每分钟跑 200 米。 （1）多久甲第一次追上乙？ （2）多久甲第三次追上乙？ 【详解】 同向追及，甲每追上乙一次，就比乙多跑一圈。 速度差：240−200=40（米/分）。 （1）第一次追上，路程差 = 400 米，时间 = 400÷40=10（分）。 （2）第三次追上，路程差 = 400×3=1200 米，时间 = 1200÷40=30（分）。 验算：30 分钟甲跑 240×30=7200 米，乙跑 200×30=6000 米，相差 1200 米，正好 3 圈。 【答案】 （1）10 分钟；（2）30 分钟。 【跟踪训练2】 题目：环形跑道周长 300 米，小刚和小强同时同地同向跑步，小刚速度 140 米/分，小强速度 110 米/分。 （1）小刚第一次追上小强需要几分钟？ （2）出发 15 分钟，小刚追上小强几次？ 【详解】 速度差：140−110=30（米/分）。 （1）第一次追及时间 = 300÷30=10（分）。 （2）每 10 分钟追上 1 次，15÷10=1 余 5，只能追上 1 次，第二次要到第 20 分钟。 【答案】 （1）10 分钟；（2）1 次。 【典型例题3】综合·由相遇与追及反求速度 题目：周长 400 米的环形跑道，甲、乙两人同时同地出发。如果背向而行，2 分钟相遇；如果同向而行，20 分钟甲追上乙。求甲、乙两人的速度（甲的速度大于乙）。 【详解】 同一个周长，两种跑法给出两个条件： 背向 2 分钟相遇，速度和 = 400÷2=200（米/分）。 同向 20 分钟追上，速度差 = 400÷20=20（米/分）。 已知两数的和与差，用和差公式： 甲（较快者）=（200+20）÷2=110（米/分）； 乙（较慢者）=（200−20）÷2=90（米/分）。 验算：110+90=200，110−90=20，两个条件都满足。 【答案】 甲的速度是 110 米/分，乙的速度是 90 米/分。 【跟踪训练3】 题目：环形跑道一圈 360 米，甲、乙同时同地出发。背向而跑，3 分钟相遇；同向而跑，18 分钟甲追上乙。甲比乙快，求甲、乙的速度。 【详解】 速度和 = 360÷3=120（米/分）。 速度差 = 360÷18=20（米/分）。 甲的速度 =（120+20）÷2=70（米/分）。 乙的速度 =（120−20）÷2=50（米/分）。 验算：70+50=120，70−50=20，符合题意。 【答案】 甲的速度是 70 米/分，乙的速度是 50 米/分。 【典型例题4】进阶·起点不同的追及 题目：环形跑道周长 400 米，甲、乙两人相距 100 米，同时同向出发，甲在后、乙在前。甲的速度是 6 米/秒，乙的速度是 4 米/秒。多久甲第一次追上乙？ 【详解】 起点不同，第一次追及的路程差不是一圈，而是两人出发时的初始距离 100 米。 速度差：6−4=2（米/秒）。 追及时间：100÷2=50（秒）。 补充：若甲在前、乙在后，甲要追上乙必须先多绕一圈，初始路程差就是 400−100=300 米，追及时间为 300÷2=150 秒。可见“谁在前”直接决定第一次追及的路程差。 【答案】 50 秒。 【跟踪训练4】 题目：环形跑道周长 300 米，甲、乙两人相距 60 米，同时同向出发，甲在后、乙在前。甲的速度是 7 米/秒，乙的速度是 4 米/秒。多久甲第一次追上乙？ 【详解】 甲在后追乙，初始路程差就是两人相距的 60 米。 速度差：7−4=3（米/秒）。 追及时间：60÷3=20（秒）。 此时甲跑了 7×20=140 米，乙跑了 4×20=80 米，两人都在跑道上的同一位置，追赶成立。 【答案】 20 秒。 【典型例题5】难题·多次相遇求路程 题目：环形跑道周长 400 米，甲、乙两人同时同地背向匀速而跑，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。问出发后第 5 次相遇时，甲一共跑了多少米？ 【详解】 速度和：6+4=10（米/秒）。 第一次相遇时间 = 400÷10=40（秒），此后每 40 秒相遇一次。 第 5 次相遇所用时间 = 40×5=200（秒）。 甲跑的路程 = 6×200=1200（米）。 检验：200 秒内两人共跑 10×200=2000 米，正好 5 圈，说明确实相遇 5 次。 【答案】 1200 米。 【跟踪训练5】 题目：环形跑道周长 360 米，甲、乙两人同时同地背向出发，甲的速度是 8 米/秒，乙的速度是 4 米/秒。求第 4 次相遇时乙跑的总路程。 【详解】 速度和：8+4=12（米/秒）。 第一次相遇时间 = 360÷12=30（秒），每 30 秒相遇一次。 第 4 次相遇所用时间 = 30×4=120（秒）。 乙跑的路程 = 4×120=480（米）。 检验：120 秒内两人共跑 12×120=1440 米，正好 4 圈，相遇 4 次。 【答案】 480 米。 奥数练习 1.环形跑道周长 400 米，甲、乙两人同时从同一点出发背向而跑，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。 （1）两人第 6 次相遇是在出发后多少秒？ （2）第 6 次相遇的地点距出发点多少米（沿甲跑的方向量）？ 【详解】 背向而行，每相遇一次两人合跑一圈，速度和 = 6+4=10（米/秒）。 （1）第 6 次相遇时两人合跑 6 圈，即 400×6=2400 米，用时 2400÷10=240（秒）。 （2）240 秒内甲跑 6×240=1440 米，1440=400×3+240，即 3 整圈又 240 米，所以相遇点在出发后沿甲方向 240 米处。 验算：乙跑 4×240=960 米=2 圈又 160 米，沿乙方向 160 米处即沿甲方向 400−160=240 米处，两人位置相同。 【答案】 （1）240 秒；（2）距出发点 240 米。 2.环形跑道周长 400 米，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 3 米，两人同时从同一点背向出发。出发后多少秒两人第一次恰好相隔半圈（即分别位于跑道直径的两端）？ 【详解】 背向而跑时，两人之间被“拉开的距离”按速度和增长：每过 1 秒，两人合计跑 5+3=8 米，这段距离就是他们沿跑道相隔的弧长。 相隔半圈即相隔 200 米，所需时间 = 200÷8=25（秒）。 检验：25 秒时甲跑 125 米，位置在出发点后 125 米；乙跑 75 米，沿乙方向 75 米处换算成沿甲方向是 400−75=325 米。两点以 125 米和 325 米划分，正好各占半圈，符合要求。 再检验是否早于此：两人第一次相遇要合跑一圈，用 400÷8=50 秒；25 秒时尚未相遇，正是中途相隔最远的位置，符合“第一次”。 【答案】 25 秒。 3.环形跑道周长 400 米，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 3 米，同时从同一点背向出发。第 1 次相遇点与第 5 次相遇点之间，沿跑道的较短弧长是多少米？ 【详解】 速度和 = 8 米/秒，每次相遇用时 400÷8=50（秒）。 第 1 次相遇：50 秒时甲跑 250 米，位置在出发点后 250 米处。 第 5 次相遇：50×5=250 秒时甲跑 5×250=1250 米=3 圈又 50 米，位置在出发点后 50 米处。 两点相隔 |250−50|=200 米，较短弧长也是 200 米，正好是半圈。 【答案】 200 米。 4.环形跑道周长 400 米，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 3 米，同时从同一点背向出发。第几次相遇时，两人恰好相遇在出发点？ 【详解】 方法一（逐次列举）：速度和 10 米/秒，每次相遇用时 40 秒，甲每次跑 7×40=280 米。逐次位置依次为 280、160、40、320、200、80、360、240、120、0（米，超过 400 米即减一圈），第 10 次回到出发点。 方法二（方程法）：设第 n 次相遇，则时间 t=40n，甲跑 280n 米。要落在出发点，280n 须是 400 的整数倍，即 7n÷10 为整数，最小 n=10。 此时 t=400 秒，甲跑 2800 米=7 整圈。 验算：400 秒内乙跑 1200 米=3 整圈，也在出发点，两人确实在此相遇。 【答案】 第 10 次。 5.环形跑道周长 400 米，甲、乙两人同时从同一点背向出发，乙比甲快。已知第 1 次相遇点距出发点 150 米（沿甲跑的方向量），第 3 次相遇点距出发点 50 米（同样沿甲跑的方向量）。求甲、乙两人的速度比。 【详解】 设每次相遇时甲跑的路程占两人合跑路程的比值为 r，则 r=甲速÷（甲速+乙速）。 第 1 次相遇两人合跑 1 圈，甲跑 400r 米，故 400r=150，得 r=。 所以 甲速∶乙速 = 3∶（8−3）=3∶5。 检验第 3 次：第 3 次相遇甲共跑 3×150=450 米，去掉 1 整圈剩 50 米，与题设“第 3 次相遇点距出发点 50 米”一致，比例正确。 【答案】 甲速∶乙速=3∶5（甲 3 份，乙 5 份）。 6.甲、乙两人在环形跑道上同时从同一点背向出发，甲每分钟跑 90 米，乙每分钟跑 60 米，12 分钟后两人第 3 次相遇。这条环形跑道的周长是多少米？ 【详解】 背向而行，每相遇一次两人合跑 1 圈，第 3 次相遇时合跑 3 圈。 12 分钟内两人合跑（90+60）×12=1800（米）。 所以跑道周长 = 1800÷3=600（米）。 验算：周长 600 米时每次相遇用 600÷150=4（分钟），12 分钟正好相遇 3 次。 【答案】 600 米。 7.环形跑道周长 600 米，甲、乙两人分别从跑道直径的两端同时相向出发，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。两人第 3 次相遇是在出发后多少秒？ 【详解】 起点不同，第一次相遇两人只需合跑半圈 300 米，用时 300÷10=30（秒）。 从第 1 次相遇到第 2 次相遇，两人要再合跑 1 整圈 600 米，用时 600÷10=60（秒），此后每次相遇的间隔都是 60 秒。 第 3 次相遇 = 30+60×2=150（秒）。 验算：150 秒内两人合跑 10×150=1500 米，等于半圈加 2 整圈，与“相遇 3 次”相符。 【答案】 150 秒。 8.环形跑道周长 600 米，甲、乙两人同时从同一点同向出发，甲每分钟跑 140 米，乙每分钟跑 80 米。甲第 4 次追上乙用了多少分钟？此时相遇点距出发点多少米（沿跑动方向量）？ 【详解】 速度差 = 140−80=60（米/分），甲每追上一次就比乙多跑 1 圈。 第 4 次追上时，甲比乙多跑 600×4=2400 米，用时 2400÷60=40（分钟）。 40 分钟内甲跑 140×40=5600 米，5600=600×9+200，即 9 整圈又 200 米，所以相遇点在出发点后 200 米处。 验算：乙跑 80×40=3200 米=5 圈又 200 米，位置相同。 【答案】 40 分钟；距出发点 200 米。 9.环形跑道周长 400 米，甲在乙后面 120 米，两人同时同向出发，甲每秒跑 7.5 米，乙每秒跑 5 米。甲第 4 次追上乙需要多少秒？ 【详解】 起点不同，第一次追上只需补上初始距离 120 米，不必跑满一圈。 速度差 = 7.5−5=2.5（米/秒）。 第 1 次追上用 120÷2.5=48（秒）。 从第 1 次到第 2 次，甲还要多跑 1 整圈 400 米，即 400÷2.5=160（秒），此后每次间隔都是 160 秒。 第 4 次追上 = 48+160×3=528（秒）。 验算：528 秒内甲跑 7.5×528=3960 米，乙跑 5×528=2640 米，相差 1320 米=120+400×3，正好是初始距离加 3 圈。 【答案】 528 秒。 10.环形跑道周长 400 米，甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 190 米，两人同时从同一点同向出发。出发后 60 分钟内，甲一共追上乙多少次？ 【详解】 速度差 = 250−190=60（米/分），每追上一次甲要多跑 1 圈 400 米。 每次追及用时 400÷60=20/3（分钟），即 6 分 40 秒。 60÷(20/3)=9，说明 60 分钟内共追上 9 次，第 9 次恰好落在第 60 分钟。 验算：60 分钟内甲比乙多跑 60×60=3600 米=9 圈，正好 9 次；第 10 次要到第 66 分 40 秒。 【答案】 9 次。 11.环形跑道周长 400 米，甲、乙两人同时从同一点同向出发，甲的速度是乙的 1.25 倍。当甲第 4 次追上乙时，甲比乙多跑了 1600 米。这时乙一共跑了多少米？ 【详解】 甲速是乙速的 1.25 倍，甲比乙多出的部分相当于乙速的 0.25 倍。 路程与速度成正比，同一时间内甲比乙多跑的路程，也相当于乙路程的 0.25 倍。 已知多跑 1600 米，所以乙路程 = 1600÷0.25=6400（米）。 甲路程 = 6400×1.25=8000（米）。 检验：8000−6400=1600 米，正好 4 圈（400×4），与“第 4 次追上”一致。 【答案】 乙跑了 6400 米（甲跑了 8000 米）。 12.环形跑道周长 600 米，甲在乙前面 100 米（沿跑动方向），两人同时同向出发，甲每分钟跑 200 米，乙每分钟跑 250 米。乙第 2 次追上甲是在出发后多少分钟？ 【详解】 甲在前、乙在后，乙第一次追上只需追近 100 米，不必多绕一圈，这是本题的第一个易错点。 速度差 = 250−200=50（米/分），第 1 次追上用 100÷50=2（分钟）。 第 1 次追上后两人重合，第 2 次追上乙必须再多绕 1 整圈 600 米，用时 600÷50=12（分钟）。 第 2 次追上 = 2+12=14（分钟）。 验算：14 分钟乙跑 3500 米、甲跑 2800 米，乙多跑 700 米，其中 100 米补齐起步差距、600 米为一整圈，符合两次追上。 【答案】 14 分钟。 13.甲、乙两人在环形跑道上同向而跑，甲每 12 分钟追上乙一次。若甲的速度提高三分之一，则每 6 分钟就能追上乙一次。已知甲原来的速度是每分钟 180 米，求跑道的周长和乙的速度。 【详解】 设甲、乙速度差为 d 米/分，则周长 = 12d。 甲提速三分之一，速度变为 180+60=240（米/分）。 乙速 = 甲原速 − d = 180−d，故提速后的速度差 = 240−(180−d)=60+d。 提速后每 6 分钟追上一次，即周长 = 6×(60+d)。 周长不变，故 12d=6(60+d)，解得 6d=360，d=60。 所以周长 = 12×60=720（米），乙速 = 180−60=120（米/分）。 验算：原间隔 720÷60=12（分钟）；提速后差为 120，720÷120=6（分钟），两个条件都满足。 【答案】 跑道周长 720 米；乙每分钟跑 120 米。 14.甲、乙两人同时从同一点同向出发，甲跑一圈用 2 分钟，乙跑一圈用 3 分钟。当乙第 6 次被甲追上时，甲一共跑了多少圈？用了多少分钟？ 【详解】 用“每分钟跑几圈”比较快慢：甲每分钟 圈，乙每分钟 圈。 每分钟甲比乙多跑 − = （圈）。 甲每追上一次要多跑 1 圈，所以每次追及用时 1÷=6（分钟）。 第 6 次追上共用 6×6=36（分钟），此时甲跑 36÷2=18（圈）。 验算：乙 36 分钟跑 36÷3=12（圈），甲比乙多 6 圈，正好对应 6 次追上。 【答案】 用了 36 分钟，甲跑了 18 圈。 15.环形跑道周长 400 米，甲、乙、丙三人同时从同一点同向出发，速度分别为每分钟 240 米、210 米、180 米。三人第一次在同一地点相遇是在出发后多久？此时三人在什么位置？ 【详解】 三人要同处一点，需两两之间的路程差同时都是整圈。 甲、乙速度差 30 米/分，甲比乙多跑 1 圈需 400÷30= 分钟（13 分 20 秒）。 甲、丙速度差 60 米/分，甲比丙多跑 1 圈需 400÷60= 分钟（6 分 40 秒）。 乙、丙速度差 30 米/分，同样需 分钟。 取这几个时间的最小公倍数： 恰好是 的 2 倍，故第一个同时满足的时刻是 分钟，即 13 分 20 秒。 验算： 分钟内甲跑 240×=3200 米=8 圈，乙跑 2800 米=7 圈，丙跑 2400 米=6 圈，三人都回到出发点。 【答案】 出发后 13 分 20 秒；三人在出发点重合（甲 8 圈、乙 7 圈、丙 6 圈）。 16.环形跑道周长 500 米，甲、乙两人同时从同一点出发。若背向而行，5 分钟后相遇；若同向而行，25 分钟后甲追上乙。求甲、乙两人的速度（甲较快）。 【详解】 背向 5 分钟相遇，两人合跑 1 圈：速度和 = 500÷5=100（米/分）。 同向 25 分钟追上，甲比乙多跑 1 圈：速度差 = 500÷25=20（米/分）。 用和差公式：甲 =（100+20）÷2=60（米/分），乙 =（100−20）÷2=40（米/分）。 验算：60+40=100，60−40=20，两条件同时成立。 【答案】 甲每分钟 60 米，乙每分钟 40 米。 17.环形跑道周长 400 米，甲每分钟跑 250 米，但每跑 2 分钟就要休息 1 分钟；乙每分钟跑 150 米，中途不休息。两人同时从同一点同向出发，甲第一次追上乙（即套乙一圈）是在出发后多少分钟？ 【详解】 把“跑 2 分钟、休 1 分钟”看作一个 3 分钟的循环。每个循环甲跑 500 米、乙跑 450 米，甲净领先 50 米。 循环内部：跑动的 2 分钟里，甲每分钟追近 250−150=100 米，共追近 200 米；休息的 1 分钟里甲不动，被乙追回 150 米。 所以在每个循环的第 2 分钟末，领先量最大。第 k 个循环第 2 分钟末（即 t=3k−1 分钟）时，领先量为 50(k−1)+200 米。 要求领先满 1 圈 400 米：50(k−1)+200≥400，得 k−1≥4，最小 k=5。 此时 t=3×5−1=14（分钟）。 验算：14 分钟内甲只在 10 个有效分钟内跑动，路程 250×10=2500 米；乙跑 150×14=2100 米；相差 400 米，正好 1 圈。 【答案】 14 分钟。 18.环形跑道周长 600 米，甲、乙两人从同一点出发。同向而行，每 15 分钟甲追上乙一次；背向而行，每 6 分钟两人相遇一次。求甲、乙两人的速度（甲较快）。 【详解】 同向每 15 分钟追上一次：速度差 = 600÷15=40（米/分）。 背向每 6 分钟相遇一次：速度和 = 600÷6=100（米/分）。 甲 =（100+40）÷2=70（米/分），乙 =（100−40）÷2=30（米/分）。 验算：70−30=40，600÷40=15（分钟）；70+30=100，600÷100=6（分钟），完全符合。 【答案】 甲每分钟 70 米，乙每分钟 30 米。 19.环形跑道周长 800 米，甲每分钟跑 400 米，乙每分钟跑 240 米，两人同时从同一点同向出发。甲第一次追上乙后立即掉头反向而跑，速度不变；乙继续按原方向跑。从出发算起，两人再次相遇是在多少分钟后？ 【详解】 第一阶段：甲追上乙。速度差 400−240=160（米/分），追 1 圈需 800÷160=5（分钟）。 5 分钟时两人在同一地点，甲掉头，此后两人变成背向（相向）而行。 第二阶段：两人从同一点反向出发，再次相遇需合跑 1 圈，速度和 400+240=640（米/分），用时 800÷640=1.25（分钟），即 1 分 15 秒。 总时间 = 5+1.25=6.25（分钟），即 6 分 15 秒。 验算：6.25 分钟乙共跑 240×6.25=1500 米；甲前 5 分钟跑 2000 米，后 1.25 分钟反向跑 500 米，位置相当于 2000−500=1500 米，两人位置相同。 【答案】 6 分 15 秒（6.25 分钟）。 20.环形跑道周长 400 米，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 3 米，两人同时从同一点背向出发。第 4 次相遇后，甲立即掉头与乙同向而跑，并把速度提高到每秒 7 米，乙保持原速度和原方向。从出发算起，甲第一次追上乙是在多少秒后？ 【详解】 第一阶段：背向相遇。速度和 8 米/秒，每次相遇用 400÷8=50（秒），第 4 次相遇在 50×4=200（秒）。 200 秒时两人同处一点。验算：甲跑 1000 米=2 圈又 200 米；乙跑 600 米=1 圈又 200 米，沿乙方向 200 米处即沿甲方向 400−200=200 米处，两人位置相同。 第二阶段：甲掉头后与乙同向，两人同点同向，甲速 7、乙速 3，速度差 4 米/秒。 甲要追上乙需多跑 1 整圈 400 米，用时 400÷4=100（秒）。 总时间 = 200+100=300（秒）。 验算：300 秒内乙跑 900 米；甲前 200 秒跑 1000 米，后 100 秒反向跑 700 米，位置相当于 1000−700=300 米；乙位置 900 米=2 圈又 100 米，沿乙方向 100 米处即沿甲方向 300 米处，两人重合。 【答案】 300 秒（5 分钟）。 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优30：环形跑道行程问题 学习目标 1. 分清环形跑道行程问题的两种基本模型：背向（相向）而行的相遇模型与同向而行的追及模型，理解闭合跑道与直线行程的区别。 2. 掌握环形跑道的核心数量关系：背向相遇时两人合走一圈，同向追及时快者多走一圈，并能推广到第 n 次相遇、第 n 次追及。 3. 会由“相遇时间”“追及时间”反求跑道周长、速度和、速度差，进而求出两人的速度。 4. 能处理起点不同的环形跑道问题，先算初始距离，再回到“一圈”规律。 5. 养成先画示意图、再判断方向、最后定位第几次相遇的解题习惯，提高行程过程的表达能力。 知识精讲 （一）背向而行（相向、反向）——相遇模型 1. 两人从环形跑道上的同一点同时出发，朝相反方向跑，途中会不断迎面相遇。由于跑道是闭合的，两人每相遇一次，就把整条跑道“合起来走完一遍”。 2. 核心关系：相遇时两人的路程之和等于跑道周长的整数倍。 (1) 第 1 次相遇：路程和 = 1 圈周长 (2) 第 2 次相遇：路程和 = 2 圈周长 (3) 第 n 次相遇：路程和 = n 圈周长 3. 基本公式：速度和 = 一圈周长 ÷ 第一次相遇时间；第 n 次相遇时间 = n × 一圈周长 ÷ 速度和。 4. 规律提醒：速度不变时，相邻两次相遇的时间间隔完全相同，都等于“一圈周长 ÷ 速度和”。 （二）同向而行——追及模型 1. 两人从同一点同时同向出发，速度快的会逐渐领先，并在绕行一圈后从背后追上速度慢的。每追上一次，快者就比慢者多跑整整一圈。 2. 核心关系：追及时两人的路程之差等于跑道周长的整数倍。 (1) 第 1 次追上：路程差 = 1 圈周长 (2) 第 2 次追上：路程差 = 2 圈周长 (3) 第 n 次追上：路程差 = n 圈周长 3. 基本公式：速度差 = 一圈周长 ÷ 第一次追及时间；第 n 次追及时间 = n × 一圈周长 ÷ 速度差。 4. 规律提醒：相邻两次追及的时间间隔也完全相同，都等于“一圈周长 ÷ 速度差”。 （三）两类模型对照 对比项 背向而行（相遇） 同向而行（追及） 核心关系 路程和 = 圈数 × 周长 路程差 = 圈数 × 周长 第一次 两人合走 1 圈 快者比慢者多走 1 圈 第 n 次 两人合走 n 圈 快者比慢者多走 n 圈 关键数据 速度和 速度差 基本公式 相遇时间 = 周长 ÷ 速度和 追及时间 = 周长 ÷ 速度差 时间间隔 每次间隔相同，等于一圈的时间 每次间隔相同，等于一圈的时间 （四）易错点提醒 1. 起点不同不能直接套“一圈”。两人出发点相距一段距离时，第一次相遇的路程和、第一次追及的路程差是“初始距离”，不是一圈；从第二次开始才恢复“整圈”规律。 2. 同向出发要看清谁在前。甲在后追乙，初始路程差就是两人相距的距离；若甲在前、乙在后，追及要跑的初始路程差应是“周长 − 相距距离”。 3. 单位先统一。速度用“米/分”、时间问“秒”，或速度用“米/秒”、跑道给“千米”，都必须先换算再计算，否则结果整体偏离。 4. 求次数用取整。问“一段时间内相遇（追上）几次”，要用总时间 ÷ 单次间隔后取整数部分，不能四舍五入。 5. 相遇点位置要按路程定位。问“第 n 次相遇在哪里”，先算快者（或某一人）走过的总路程，再用它除以周长取余数，余数就是距出发点的弧长。 （五）解题五步法 1. 画图。画一个圆圈，标出周长，标出两人的出发点与跑动方向。 2. 判方向。背向而行用速度和，同向而行用速度差。 3. 定次数。看清是第 1 次还是第 n 次，写出对应的路程和或路程差。 4. 套公式。由“周长、速度和（差）、时间”三者中已知的两个求第三个。 5. 回头看。检查单位是否统一、答案是否合理（时间不能为负、速度不能超过常理、次数是否符合题意）。 例题讲解 【典型例题1】基础·背向相遇 题目：一个环形跑道周长 400 米，甲、乙两人同时从同一点出发，背向而行。甲每分钟跑 110 米，乙每分钟跑 90 米。 （1）出发后多久两人第一次相遇？ （2）出发后多久两人第二次相遇？ 【跟踪训练1】 题目：环形跑道一圈长 360 米，小明和小红同时从同一点背向出发，小明速度 55 米/分，小红速度 65 米/分。 （1）多久第一次相遇？ （2）出发 12 分钟一共相遇几次？ 【典型例题2】基础·同向追及 题目：环形跑道周长 400 米，甲、乙两人同时从同一点同向出发，甲每分钟跑 240 米，乙每分钟跑 200 米。 （1）多久甲第一次追上乙？ （2）多久甲第三次追上乙？ 【跟踪训练2】 题目：环形跑道周长 300 米，小刚和小强同时同地同向跑步，小刚速度 140 米/分，小强速度 110 米/分。 （1）小刚第一次追上小强需要几分钟？ （2）出发 15 分钟，小刚追上小强几次？ 【典型例题3】综合·由相遇与追及反求速度 题目：周长 400 米的环形跑道，甲、乙两人同时同地出发。如果背向而行，2 分钟相遇；如果同向而行，20 分钟甲追上乙。求甲、乙两人的速度（甲的速度大于乙）。 【跟踪训练3】 题目：环形跑道一圈 360 米，甲、乙同时同地出发。背向而跑，3 分钟相遇；同向而跑，18 分钟甲追上乙。甲比乙快，求甲、乙的速度。 【典型例题4】进阶·起点不同的追及 题目：环形跑道周长 400 米，甲、乙两人相距 100 米，同时同向出发，甲在后、乙在前。甲的速度是 6 米/秒，乙的速度是 4 米/秒。多久甲第一次追上乙？ 【跟踪训练4】 题目：环形跑道周长 300 米，甲、乙两人相距 60 米，同时同向出发，甲在后、乙在前。甲的速度是 7 米/秒，乙的速度是 4 米/秒。多久甲第一次追上乙？ 【典型例题5】难题·多次相遇求路程 题目：环形跑道周长 400 米，甲、乙两人同时同地背向匀速而跑，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。问出发后第 5 次相遇时，甲一共跑了多少米？ 【跟踪训练5】 题目：环形跑道周长 360 米，甲、乙两人同时同地背向出发，甲的速度是 8 米/秒，乙的速度是 4 米/秒。求第 4 次相遇时乙跑的总路程。 奥数练习 1.环形跑道周长 400 米，甲、乙两人同时从同一点出发背向而跑，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。 （1）两人第 6 次相遇是在出发后多少秒？ （2）第 6 次相遇的地点距出发点多少米（沿甲跑的方向量）？ 2.环形跑道周长 400 米，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 3 米，两人同时从同一点背向出发。出发后多少秒两人第一次恰好相隔半圈（即分别位于跑道直径的两端）？ 3.环形跑道周长 400 米，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 3 米，同时从同一点背向出发。第 1 次相遇点与第 5 次相遇点之间，沿跑道的较短弧长是多少米？ 4.环形跑道周长 400 米，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 3 米，同时从同一点背向出发。第几次相遇时，两人恰好相遇在出发点？ 5.环形跑道周长 400 米，甲、乙两人同时从同一点背向出发，乙比甲快。已知第 1 次相遇点距出发点 150 米（沿甲跑的方向量），第 3 次相遇点距出发点 50 米（同样沿甲跑的方向量）。求甲、乙两人的速度比。 6.甲、乙两人在环形跑道上同时从同一点背向出发，甲每分钟跑 90 米，乙每分钟跑 60 米，12 分钟后两人第 3 次相遇。这条环形跑道的周长是多少米？ 7.环形跑道周长 600 米，甲、乙两人分别从跑道直径的两端同时相向出发，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。两人第 3 次相遇是在出发后多少秒？ 8.环形跑道周长 600 米，甲、乙两人同时从同一点同向出发，甲每分钟跑 140 米，乙每分钟跑 80 米。甲第 4 次追上乙用了多少分钟？此时相遇点距出发点多少米（沿跑动方向量）？ 9.环形跑道周长 400 米，甲在乙后面 120 米，两人同时同向出发，甲每秒跑 7.5 米，乙每秒跑 5 米。甲第 4 次追上乙需要多少秒？ 10.环形跑道周长 400 米，甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 190 米，两人同时从同一点同向出发。出发后 60 分钟内，甲一共追上乙多少次？ 11.环形跑道周长 400 米，甲、乙两人同时从同一点同向出发，甲的速度是乙的 1.25 倍。当甲第 4 次追上乙时，甲比乙多跑了 1600 米。这时乙一共跑了多少米？ 12.环形跑道周长 600 米，甲在乙前面 100 米（沿跑动方向），两人同时同向出发，甲每分钟跑 200 米，乙每分钟跑 250 米。乙第 2 次追上甲是在出发后多少分钟？ 13.甲、乙两人在环形跑道上同向而跑，甲每 12 分钟追上乙一次。若甲的速度提高三分之一，则每 6 分钟就能追上乙一次。已知甲原来的速度是每分钟 180 米，求跑道的周长和乙的速度。 14.甲、乙两人同时从同一点同向出发，甲跑一圈用 2 分钟，乙跑一圈用 3 分钟。当乙第 6 次被甲追上时，甲一共跑了多少圈？用了多少分钟？ 15.环形跑道周长 400 米，甲、乙、丙三人同时从同一点同向出发，速度分别为每分钟 240 米、210 米、180 米。三人第一次在同一地点相遇是在出发后多久？此时三人在什么位置？ 16.环形跑道周长 500 米，甲、乙两人同时从同一点出发。若背向而行，5 分钟后相遇；若同向而行，25 分钟后甲追上乙。求甲、乙两人的速度（甲较快）。 17.环形跑道周长 400 米，甲每分钟跑 250 米，但每跑 2 分钟就要休息 1 分钟；乙每分钟跑 150 米，中途不休息。两人同时从同一点同向出发，甲第一次追上乙（即套乙一圈）是在出发后多少分钟？ 18.环形跑道周长 600 米，甲、乙两人从同一点出发。同向而行，每 15 分钟甲追上乙一次；背向而行，每 6 分钟两人相遇一次。求甲、乙两人的速度（甲较快）。 19.环形跑道周长 800 米，甲每分钟跑 400 米，乙每分钟跑 240 米，两人同时从同一点同向出发。甲第一次追上乙后立即掉头反向而跑，速度不变；乙继续按原方向跑。从出发算起，两人再次相遇是在多少分钟后？ 20.环形跑道周长 400 米，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 3 米，两人同时从同一点背向出发。第 4 次相遇后，甲立即掉头与乙同向而跑，并把速度提高到每秒 7 米，乙保持原速度和原方向。从出发算起，甲第一次追上乙是在多少秒后？ 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $