小升初奥数培优23：工程问题（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优23：工程问题 学习目标 1. 理解工程问题的基本数量关系，掌握把工作总量看作单位"1"的解题思路，认识工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。 2. 熟练解决单人工程、两人合作、多人合作、中途休息、轮流工作、交替完工等经典工程题型。 3. 学会根据题意转化条件，利用假设法、对比法、分时间段分析等方法处理复杂工程问题。 4. 区分工程问题与普通应用题，找准工作效率，规避合作、休息类题型常见易错点，提升奥数综合解题能力。 知识精讲 1. 基本概念 (1) 工程问题研究工作总量、工作效率、工作时间三者关系。小升初奥数里，在没有给出具体工作量时，我们一般把工作总量设为单位"1"。 (2) 工作效率：单位时间内完成的工作量。如果一项工程甲单独 10 天做完，那么甲每天完成全部工程的 ，甲的工作效率就是 。 2. 三大核心公式 (1) 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 (2) 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 (3) 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作时：合作效率 = 各个单独效率之和；合作时间 = 工作总量 ÷ 合作效率。 3. 常见题型分类与解题要点 （1）基础合作型 已知各自单独完工时间，求合作完工时间。直接求出各自效率相加，总量 ÷ 效率和 = 合作时间。 （2）已知合作时间，求另一人单独时间 先求合作效率，减去已知人的效率，得到另一人效率，再求单独时间。 （3）中途休息型（高频考点） 两种思路： 1　 分段算：分别计算每个人实际工作天数，工作量相加等于单位"1"。 2　 假设不休息：先算出假设全部时间都工作的总工作量，多出的工作量就是休息时间本该完成的量，反推休息天数。 易错：休息的时候效率为 0，不能继续算工作量。 （4）交替轮流工作型（奥数难点） 甲乙轮流做，不是同时合作！步骤： 1　 先算一个循环周期（甲 1 天 + 乙 1 天）完成多少工作量； 2　 用总量除以一个周期工作量，算出完整周期个数以及剩余工作量； 3　 剩余工作量按照轮流顺序，从头依次安排人做，算出剩下部分需要的时间； 4　 总时间 = 完整周期时间 + 剩余部分时间。 易错点：剩余工作量不一定刚好由第一个人做完，要判断够不够一个人一天的工作量。 （5）效率变化、多人合作、工作量分配型 多个人一起干活，效率相加；如果先后开工，分开计算每个人的工作时长，工作量累加等于 1。 4. 常用解题技巧 (1) 设总量为单位"1"（主流方法）； (2) 设总量为单独完工时间的最小公倍数，把效率变成整数计算（适合计算弱的同学，避开分数）； (3) 列表分段，把时间、人、工作量写清楚； (4) 对比条件，找工作量差和时间差，求效率差。 5. 易错提醒 (1) ✅ 合作：同一时间一起做，效率相加； (2) ✅ 轮流：先后做，不同时做，不能直接效率相加； (3) ✅ 工作时间 ≠ 总经过天数，休息时间要扣除； (4) ✅ 效率是每天 / 每小时完成的量，不要和总时间混淆。 例题讲解 【典型例题 1】（基础合作型） 一项工程，甲队单独做 12 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作，多少天可以完成这项工程？ 【详解】 把工作总量看作单位"1"。 甲的工作效率： 乙的工作效率： 甲乙合作效率： 合作时间：（天） 【答案】 天 【跟踪训练 1】 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 10 天完成。两人合作，几天完成？ 【详解】 总量看作单位"1"。 甲效率： 乙效率： 效率和： 合作时间：（天） 【答案】 天 【典型例题 2】（已知合作时间，求单独时间） 一项工程，甲乙合作 6 天可以完成。如果甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要多少天完成？ 【详解】 总量看作单位"1"。 甲乙合作效率： 甲效率： 乙效率： 乙单独时间：（天） 【答案】 15 天 【跟踪训练 2】 甲乙合作 8 天完成一项工程，甲单独做要 12 天完成，乙单独做多少天完成？ 【详解】 合作效率： 甲效率： 乙效率： 乙单独时间：（天） 【答案】 24 天 【典型例题 3】（中途休息型） 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。两人合作，中途甲休息了 5 天，乙没有休息，从开工到完工一共用了多少天？ 【详解】 方法：设一共用了 天。 乙全程工作，乙工作 天；甲休息 5 天，甲工作 天。 甲效率 ，乙效率 。 列方程： 两边同乘 60： 【答案】 15 天 【跟踪训练 3】 一项工程，甲单独做 15 天完成，乙单独做 20 天完成。两人合作，乙中途休息 4 天，甲一直工作，完成这项工程一共要多少天？ 【详解】 设一共 天，甲工作 天，乙工作 天。 两边同乘 60： 【答案】 天 【典型例题 4】（交替轮流工作，奥数重点） 一项工程，甲单独做要 12 天完成，乙单独做要 18 天完成。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流各做 1 天，多少天可以完成这项工程？ 【详解】 甲效率：，乙效率：。 一个周期（甲 1 天 + 乙 1 天，共 2 天）完成工作量： 先看能做几个完整周期：，也就是 7 个完整周期。 7 个周期用时： 天； 7 个周期完成工作量：。 剩余工作量：。 接下来轮到甲做，甲一天效率 。 ，甲做完剩下需要时间：（天）。 总时间：（天）。 【答案】 天 【跟踪训练 4】 一项工程，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成。按甲、乙轮流各一天的顺序工作，多少天完工？ 【详解】 甲效率 ，乙效率 。 一个周期 2 天完成：。 ，即 4 个完整周期。 4 周期用时： 天，完成：。 剩余：。 下一个轮到甲，甲一天做 ，。 甲做完 1 天之后剩下：。 剩下由乙做： 天。 总时间：（天）。 【答案】 天 【典型例题 5】（多人合作） 有一项工程，甲单独 10 天完成，乙单独 12 天完成，丙单独 15 天完成。三人合作，多少天可以完成这项工程？ 【详解】 甲效率 ，乙效率 ，丙效率 。 效率和：。 合作时间：（天）。 【答案】 4 天 【跟踪训练 5】 甲单独做 12 天，乙单独做 15 天，丙单独做 20 天。三人合作，几天完工？ 【详解】 效率：、、。 效率和：。 时间：（天）。 【答案】 5 天 奥数练习 第1题 一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成。现由甲先做若干天，再由乙接着做，共用15天完成。问甲、乙各做了多少天？ 【详解】 设甲做了 天，则乙做了 天。 甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 。 列方程： 两边同乘36： ，解得 。 乙做了 天。 【答案】 甲做6天，乙做9天 第2题 甲、乙、丙三人合作一项工程，10天可以完成。若甲单独做需30天，乙单独做需40天。先由甲、乙合作6天，剩下的由丙单独完成，丙还需要多少天？ 【详解】 三人合作效率为 ，甲 ，乙 。 丙的效率： 甲、乙合作6天完成： 剩余工作量： 丙还需要：（天） 【答案】 天（即15.6天） 第3题 做一批零件，甲、乙两人合作需8天完成。若乙先做4天，剩下的由甲单独做，还需10天完成。问甲单独完成这批零件需要多少天？ 【详解】 设甲的效率为 ，乙的效率为 ，则 。 乙做4天、甲做10天恰好完成：。 由 代入： ，即 ，得 。 甲单独完成需要：（天） 【答案】 12天 第4题 一项工程，甲单独做需15天，乙单独做需20天。先由甲单独做若干天，然后乙加入与甲一起做，结果共用12天完成。问乙加入了多少天？ 【详解】 甲效率 ，乙效率 ，合作效率为 。 设甲先独做 天，则甲、乙合作了 天。 两边同乘60： ，解得 。 甲、乙合作了 天，即乙加入了4天。 【答案】 4天 第5题 一个水池，单开甲管注满需8小时，单开乙管注满需10小时，单开丙管排空需20小时。先同时打开甲、乙两管3小时，然后关掉甲管、打开丙管，问还需多少小时才能注满水池？ 【详解】 甲效率 ，乙 ，丙排空效率 。 甲、乙3小时注水： 剩余： 乙、丙同开净效率： 还需时间：（小时） 【答案】 小时（即6.5小时） 第6题 一项工程，甲单独做需6天完成，乙单独做需10天完成，丙单独做需12天完成。现由甲、乙、丙三人轮流做，每人各做一天，按甲、乙、丙的顺序循环进行。问完成这项工程共需多少天？ 【详解】 甲效率 ，乙 ，丙 。 一个周期（3天）完成： ，取2个完整周期。 2个周期6天完成 ，剩余 。 第7天甲做： 第8天乙做： 第9天丙做：（天） 总时间：（天） 【答案】 天（即8.4天） 第7题 甲、乙、丙三人合作一项工程，6天可以完成。若甲单独做需12天，乙单独做需18天。先由甲、乙、丙合作4天，然后丙离开，由甲、乙继续完成。问还需要多少天？ 【详解】 三人合作效率 ，甲 ，乙 。 丙的效率： 甲、乙合作效率： 合作4天完成 ，剩余 。 甲、乙还需：（天） 【答案】 天（即2.4天） 第8题 甲、乙两人合作一项工程，12天可以完成。若甲先做8天，再由乙做18天，也能正好完成。问甲、乙单独完成各需多少天？ 【详解】 设甲效率 ，乙效率 ，则 。 甲8天、乙18天正好完成：。 由 代入： ，即 ，得 。 甲单独20天，乙单独30天。 【答案】 甲20天，乙30天 第9题 一项工程，甲单独做需15天完成，乙单独做需25天完成。若两人合作，乙在中途休息了几天，结果从开工到完工共用了10天。问乙休息了多少天？ 【详解】 甲效率 ，乙效率 。总用时10天，甲全程工作。 甲完成：，剩余 由乙完成。 乙实际工作：（天） 乙休息：（天） 【答案】 天 第10题 一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需15天。若按甲做1天、乙做1天、甲做1天……的顺序轮流（甲先做），问完成这项工程共需多少天？ 【详解】 甲效率 ，乙 。一个周期2天完成 。 ，取6个完整周期。 6个周期12天完成 ，剩余 。 第13天甲做： 乙还需：（天） 总时间：（天） 【答案】 天（即13.25天） 第11题 甲、乙合作一项工程需8天完成。若甲每天比乙每天多完成全部工程的1/24，问甲、乙单独完成各需多少天？ 【详解】 设甲效率 ，乙效率 ，则 ，且 。 两式相加：，得 。 甲单独12天，乙单独24天。 【答案】 甲12天，乙24天 第12题 甲、乙、丙三人合作一项工程，12天完成。若甲、乙合作需18天，乙、丙合作需20天。问丙单独做需多少天？ 【详解】 三人合作效率 ，甲、乙合作效率 。 丙的效率： 丙单独完成需要：（天） 【答案】 36天 第13题 一个水池，单开甲管注满需10小时，单开乙管注满需15小时，单开丙管排空需30小时。三管同时打开2小时后，关掉丙管，问还需多少小时才能注满水池？ 【详解】 甲 ，乙 ，丙排空 。 三管齐开净效率： 2小时注水 ，剩余 。 关丙后甲、乙净效率： 还需：（小时） 【答案】 小时（即4.4小时） 第14题 一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需12天。若按乙做1天、甲做1天、乙做1天……的顺序轮流（乙先做），问完成这项工程共需多少天？ 【详解】 甲效率 ，乙 。一个周期（乙+甲）2天完成 。 ，取5个完整周期。 5个周期10天完成 ，剩余 。 第11天轮到乙，乙1天完成 ，恰好完成。 总时间：（天） 【答案】 11天 第15题 一项工程，甲单独做需8天，乙单独做需12天，丙单独做需16天。按甲、乙、丙每人各做1天的顺序轮流，问完成这项工程共需多少天？ 【详解】 甲 ，乙 ，丙 。一个周期3天完成 。 ，取3个完整周期。 3个周期9天完成 ，剩余 。 第10天甲做： 乙还需：（天） 总时间：（天） 【答案】 天（即10.75天） 第16题 甲、乙合做一批零件，甲的工作效率是乙的2倍。两人合作6天完成这批零件的3/5，剩下的由甲单独完成。问甲单独完成这批零件共需多少天？ 【详解】 设乙效率为 ，则甲效率为 ，合作效率为 。 合作6天完成 ： ，得 ，甲效率 。 甲单独完成整批零件：（天） 【答案】 15天 第17题 甲、乙、丙三人合做一项工程，工作效率之比为2:3:4。三人合作5天完成这项工程的1/3。问丙单独完成这项工程需多少天？ 【详解】 设甲、乙、丙效率分别为 、、，合作效率为 。 合作5天完成 ： ，得 ，丙效率 。 丙单独完成需要：（天） 【答案】 天 第18题 一个水池，单开甲管注满需6小时，单开乙管注满需8小时，单开丙管排空需12小时。先同时打开甲、丙两管3小时，然后关掉丙管、打开乙管，问还需多少小时才能注满水池？ 【详解】 甲 ，乙 ，丙排空 。 甲、丙3小时注水：，剩余 。 甲、乙同开净效率： 还需时间：（小时） 【答案】 小时 第19题 一项工程，甲、乙合作需12天完成，乙、丙合作需15天完成，甲、丙合作需20天完成。问甲、乙、丙单独完成各需多少天？ 【详解】 甲、乙效率 ，乙、丙 ，甲、丙 。 三式相加： 故 。 甲：，乙：，丙： 甲单独30天，乙单独20天，丙单独60天。 【答案】 甲30天，乙20天，丙60天 第20题 一项工程，甲单独做需20天，乙单独做需30天，丙单独做需40天。三人合作，乙在中途休息了若干天，丙比乙多休息了3天，结果从开工到完工共用了12天。问乙、丙各休息了多少天？ 【详解】 甲 ，乙 ，丙 ，三人合作效率 。 若三人12天都不休息，可完成 ，比总量多出 。 多出的部分正是乙、丙休息期间未完成的工作量。 设乙休息 天，则丙休息 天。 两边同乘120： ，解得 。 丙休息：（天） 【答案】 乙休息天，丙休息天 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优23：工程问题 学习目标 1. 理解工程问题的基本数量关系，掌握把工作总量看作单位"1"的解题思路，认识工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。 2. 熟练解决单人工程、两人合作、多人合作、中途休息、轮流工作、交替完工等经典工程题型。 3. 学会根据题意转化条件，利用假设法、对比法、分时间段分析等方法处理复杂工程问题。 4. 区分工程问题与普通应用题，找准工作效率，规避合作、休息类题型常见易错点，提升奥数综合解题能力。 知识精讲 1. 基本概念 (1) 工程问题研究工作总量、工作效率、工作时间三者关系。小升初奥数里，在没有给出具体工作量时，我们一般把工作总量设为单位"1"。 (2) 工作效率：单位时间内完成的工作量。如果一项工程甲单独 10 天做完，那么甲每天完成全部工程的 ，甲的工作效率就是 。 2. 三大核心公式 (1) 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 (2) 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 (3) 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作时：合作效率 = 各个单独效率之和；合作时间 = 工作总量 ÷ 合作效率。 3. 常见题型分类与解题要点 （1）基础合作型 已知各自单独完工时间，求合作完工时间。直接求出各自效率相加，总量 ÷ 效率和 = 合作时间。 （2）已知合作时间，求另一人单独时间 先求合作效率，减去已知人的效率，得到另一人效率，再求单独时间。 （3）中途休息型（高频考点） 两种思路： 1　 分段算：分别计算每个人实际工作天数，工作量相加等于单位"1"。 2　 假设不休息：先算出假设全部时间都工作的总工作量，多出的工作量就是休息时间本该完成的量，反推休息天数。 易错：休息的时候效率为 0，不能继续算工作量。 （4）交替轮流工作型（奥数难点） 甲乙轮流做，不是同时合作！步骤： 1　 先算一个循环周期（甲 1 天 + 乙 1 天）完成多少工作量； 2　 用总量除以一个周期工作量，算出完整周期个数以及剩余工作量； 3　 剩余工作量按照轮流顺序，从头依次安排人做，算出剩下部分需要的时间； 4　 总时间 = 完整周期时间 + 剩余部分时间。 易错点：剩余工作量不一定刚好由第一个人做完，要判断够不够一个人一天的工作量。 （5）效率变化、多人合作、工作量分配型 多个人一起干活，效率相加；如果先后开工，分开计算每个人的工作时长，工作量累加等于 1。 4. 常用解题技巧 (1) 设总量为单位"1"（主流方法）； (2) 设总量为单独完工时间的最小公倍数，把效率变成整数计算（适合计算弱的同学，避开分数）； (3) 列表分段，把时间、人、工作量写清楚； (4) 对比条件，找工作量差和时间差，求效率差。 5. 易错提醒 (1) ✅ 合作：同一时间一起做，效率相加； (2) ✅ 轮流：先后做，不同时做，不能直接效率相加； (3) ✅ 工作时间 ≠ 总经过天数，休息时间要扣除； (4) ✅ 效率是每天 / 每小时完成的量，不要和总时间混淆。 例题讲解 【典型例题 1】（基础合作型） 一项工程，甲队单独做 12 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作，多少天可以完成这项工程？ 【跟踪训练 1】 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 10 天完成。两人合作，几天完成？ 【典型例题 2】（已知合作时间，求单独时间） 一项工程，甲乙合作 6 天可以完成。如果甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要多少天完成？ 【跟踪训练 2】 甲乙合作 8 天完成一项工程，甲单独做要 12 天完成，乙单独做多少天完成？ 【典型例题 3】（中途休息型） 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。两人合作，中途甲休息了 5 天，乙没有休息，从开工到完工一共用了多少天？ 【跟踪训练 3】 一项工程，甲单独做 15 天完成，乙单独做 20 天完成。两人合作，乙中途休息 4 天，甲一直工作，完成这项工程一共要多少天？ 【典型例题 4】（交替轮流工作，奥数重点） 一项工程，甲单独做要 12 天完成，乙单独做要 18 天完成。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流各做 1 天，多少天可以完成这项工程？ 【跟踪训练 4】 一项工程，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成。按甲、乙轮流各一天的顺序工作，多少天完工？ 【典型例题 5】（多人合作） 有一项工程，甲单独 10 天完成，乙单独 12 天完成，丙单独 15 天完成。三人合作，多少天可以完成这项工程？ 【跟踪训练 5】 甲单独做 12 天，乙单独做 15 天，丙单独做 20 天。三人合作，几天完工？ 奥数练习 第1题 一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成。现由甲先做若干天，再由乙接着做，共用15天完成。问甲、乙各做了多少天？ 第2题 甲、乙、丙三人合作一项工程，10天可以完成。若甲单独做需30天，乙单独做需40天。先由甲、乙合作6天，剩下的由丙单独完成，丙还需要多少天？ 第3题 做一批零件，甲、乙两人合作需8天完成。若乙先做4天，剩下的由甲单独做，还需10天完成。问甲单独完成这批零件需要多少天？ 第4题 一项工程，甲单独做需15天，乙单独做需20天。先由甲单独做若干天，然后乙加入与甲一起做，结果共用12天完成。问乙加入了多少天？ 第5题 一个水池，单开甲管注满需8小时，单开乙管注满需10小时，单开丙管排空需20小时。先同时打开甲、乙两管3小时，然后关掉甲管、打开丙管，问还需多少小时才能注满水池？ 第6题 一项工程，甲单独做需6天完成，乙单独做需10天完成，丙单独做需12天完成。现由甲、乙、丙三人轮流做，每人各做一天，按甲、乙、丙的顺序循环进行。问完成这项工程共需多少天？ 第7题 甲、乙、丙三人合作一项工程，6天可以完成。若甲单独做需12天，乙单独做需18天。先由甲、乙、丙合作4天，然后丙离开，由甲、乙继续完成。问还需要多少天？ 第8题 甲、乙两人合作一项工程，12天可以完成。若甲先做8天，再由乙做18天，也能正好完成。问甲、乙单独完成各需多少天？ 第9题 一项工程，甲单独做需15天完成，乙单独做需25天完成。若两人合作，乙在中途休息了几天，结果从开工到完工共用了10天。问乙休息了多少天？ 第10题 一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需15天。若按甲做1天、乙做1天、甲做1天……的顺序轮流（甲先做），问完成这项工程共需多少天？ 第11题 甲、乙合作一项工程需8天完成。若甲每天比乙每天多完成全部工程的1/24，问甲、乙单独完成各需多少天？ 第12题 甲、乙、丙三人合作一项工程，12天完成。若甲、乙合作需18天，乙、丙合作需20天。问丙单独做需多少天？ 第13题 一个水池，单开甲管注满需10小时，单开乙管注满需15小时，单开丙管排空需30小时。三管同时打开2小时后，关掉丙管，问还需多少小时才能注满水池？ 第14题 一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需12天。若按乙做1天、甲做1天、乙做1天……的顺序轮流（乙先做），问完成这项工程共需多少天？ 第15题 一项工程，甲单独做需8天，乙单独做需12天，丙单独做需16天。按甲、乙、丙每人各做1天的顺序轮流，问完成这项工程共需多少天？ 第16题 甲、乙合做一批零件，甲的工作效率是乙的2倍。两人合作6天完成这批零件的3/5，剩下的由甲单独完成。问甲单独完成这批零件共需多少天？ 第17题 甲、乙、丙三人合做一项工程，工作效率之比为2:3:4。三人合作5天完成这项工程的1/3。问丙单独完成这项工程需多少天？ 第18题 一个水池，单开甲管注满需6小时，单开乙管注满需8小时，单开丙管排空需12小时。先同时打开甲、丙两管3小时，然后关掉丙管、打开乙管，问还需多少小时才能注满水池？ 第19题 一项工程，甲、乙合作需12天完成，乙、丙合作需15天完成，甲、丙合作需20天完成。问甲、乙、丙单独完成各需多少天？ 第20题 一项工程，甲单独做需20天，乙单独做需30天，丙单独做需40天。三人合作，乙在中途休息了若干天，丙比乙多休息了3天，结果从开工到完工共用了12天。问乙、丙各休息了多少天？ 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $