小升初奥数培优31：多次相遇问题（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册人教版

小升初奥数培优31：多次相遇问题 学习目标 1. 理解直线两端出发、直线同端出发、环形跑道三类多次迎面相遇的规律，牢记相遇次数与合走总路程之间的关系。 2. 掌握"时间相同，路程比 = 速度比"这一核心思想，会画线段图辅助分析往返相遇。 3. 熟练运用公式解决：已知第一次相遇点位置求全程、已知全程和速度求相遇地点、两次相遇点间距问题。 4. 区分迎面相遇与追及相遇，能识别易错陷阱（到达端点停留、速度变化、同端出发）。 5. 提升行程综合思维，能用算术法、方程两种思路解题，适配小升初选拔考题。 知识精讲 一、基础公式回顾 1. 相遇核心： (1) 速度和 = 路程和 ÷ 相遇时间 (2) 相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和 2. 正比例关系：两人同时出发、同时停止（时间相等），则 ，这是多次相遇最核心的工具。 二、直线型——两端同时出发（两岸型，小升初最高频） 甲从 A、乙从 B，相向而行，到达对方起点立刻原路返回，不断往返。 (1) 第 1 次迎面相遇：两人合走 1 个全程（） (2) 第 2 次迎面相遇：两人合走 3 个全程 (3) 第 3 次迎面相遇：两人合走 5 个全程 (4) 第 n 次迎面相遇：两人合走 (2n − 1) 个全程 重要推论：速度不变，总时间和总路程成正比。 第二次相遇时，每个人走的路程都是第一次相遇时自己路程的 3 倍；第三次相遇时是第一次的 5 倍，以此类推。 易错提醒：此规律只适用于迎面相遇，不包含背后追上（追及相遇）。 三、直线型——同一端点同时出发（单岸型） 甲、乙同时从 A 出发，往返于 A、B 之间： (1) 第 1 次迎面相遇：合走 2 个全程 (2) 第 2 次迎面相遇：合走 4 个全程 (3) 第 n 次迎面相遇：合走 2n 个全程 四、环形跑道多次迎面相遇（同一点背向出发） 两人从同一点背向而行： (1) 每迎面相遇 1 次，合走 1 圈 (2) 第 n 次迎面相遇，合走 n 圈 五、环形跑道追及相遇（同一点同向出发） 速度快的追速度慢的： (1) 每追上 1 次，路程差为 1 圈 (2) 第 n 次追上，路程差为 n 圈 六、解题通用步骤 1. 判断类型：两端出发 / 同端出发 / 环形；区分迎面还是追及。 2. 确定第几次相遇，算出一共合走多少路程。 3. 利用"路程比 = 速度比"，或者"单人路程倍数关系"列式。 4. 画线段图标注相遇点，看清相遇点距离哪个端点多少。 5. 检验：往返运动超过全程时要减去全程，判断位置。 例题讲解 【典型例题 1】 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，在距离 A 地 60 千米处第一次迎面相遇；两车继续前进，各自到达对方出发点后立即原路返回，第二次迎面相遇在距离 B 地 40 千米处。求 A、B 两地相距多少千米？ 【跟踪训练 1】 甲、乙两人同时从东西两地相向而行，第一次在距离东地 35 米处相遇，相遇后继续往前走，到达对面立刻返回，第二次相遇在距离西地 25 米处。求东西两地相距多少米？ 【典型例题 2】 A、B 两地相距 200 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲速度 40 千米/时，乙速度 60 千米/时，到达终点后立刻返回。求两车第二次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 【跟踪训练 2】 甲、乙两地相距 180 千米，客车从甲、货车从乙同时相向开出，客车速度 50 km/h，货车速度 40 km/h，到达端点后马上返回，求第二次迎面相遇地点距离乙地多少千米？ 【典型例题 3】 甲、乙两人同时从 A、B 两地相向而行，第一次相遇离 A 地 70 米；到达对方起点后立刻返回，第二次相遇离 A 地 50 米。求 A、B 两地全长？ 【跟踪训练 3】 甲、乙二人从 A、B 两地同时相向出发，第一次相遇距离 B 地 45 米，各自到对面马上返回，第二次相遇距离 B 地 15 米。求 A、B 两地距离？ 【典型例题 4】 甲、乙两人在周长 400 米的环形跑道上，从同一点同时背向出发，甲每秒跑 4 米，乙每秒跑 6 米。两人第 5 次迎面相遇时，甲一共跑了多少米？ 【跟踪训练 4】 周长 300 米环形跑道，两人同点背向出发，甲速度 3 米/秒，乙速度 2 米/秒，第 4 次迎面相遇时乙跑了多少米？ 【典型例题 5】 快、慢两车同时从甲、乙两站相向开出，快车每小时 90 千米，慢车每小时 60 千米，到达对方车站后立刻返回，第二次相遇时快车比慢车一共多走 150 千米。甲、乙两站相距多少千米？ 【跟踪训练 5】 A、B 两车同时从甲、乙两地相向而行，A 车速度 75 km/h，B 车速度 55 km/h，到达端点立即返回，第二次相遇时 A 比 B 多走 120 千米。甲、乙两地相距多少千米？ 奥数练习 第 1 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，第一次迎面相遇时距离 A 地 75 千米；两车继续前进，到达对方出发点后立即原路返回，第二次迎面相遇时距离 A 地 55 千米。求 A、B 两地之间的距离。 第 2 题 甲、乙两人同时从东、西两镇相向而行，第一次迎面相遇时距离东镇 40 千米；相遇后两人继续前进，到达对方起点后立即原路返回，第二次迎面相遇时距离西镇 20 千米。求东、西两镇之间的距离。 第 3 题 A、B 两地相距 300 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲车速度 50 千米/时，乙车速度 30 千米/时，到达对方起点后立即原路返回。求两车第 3 次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 第 4 题 甲、乙两人同时从 A 地出发，在 A、B 两地之间往返锻炼，A、B 相距 200 千米，甲每小时行 60 千米，乙每小时行 40 千米。求两人第 2 次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 第 5 题 甲、乙两人在周长 500 米的环形跑道上，从同一点同时背向出发，甲每秒跑 3 米，乙每秒跑 2 米。求两人第 8 次迎面相遇时，相遇点距离出发点的最短跑道长度是多少米？ 第 6 题 甲、乙两人在周长 360 米的环形跑道上，从同一点同时同向出发，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 4 米。求甲第 5 次追上乙时，追上点距离出发点的最短跑道长度是多少米？ 第 7 题 A、B 两地相距 200 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲车速度 60 千米/时，乙车速度 40 千米/时，到达对方起点后立即原路返回。求两车第 4 次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 第 8 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，第一次迎面相遇时距离 A 地 60 千米；相遇后继续前进，到达对方出发点后立即原路返回，第二次迎面相遇时距离 B 地 30 千米。求两次迎面相遇地点之间的距离。 第 9 题 甲、乙两人同时从 A、B 两地相向而行，第一次迎面相遇时距离 B 地 50 米；相遇后继续前进，到达对方起点后立即原路返回，第二次迎面相遇时距离 A 地 40 米。求 A、B 两地之间的距离。 第 10 题 A、B 两地相距 300 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲车速度 60 千米/时，乙车速度 40 千米/时。两车第一次相遇后继续前进，乙车到达 A 地后立即原路返回；甲车到达 B 地后在 B 地停留 1 小时，再原路返回。求两车第二次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 第 11 题 甲、乙两人在周长 240 米的环形跑道上，从同一点同时背向出发，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 3 米。求两人第 6 次迎面相遇时，相遇点距离出发点的最短跑道长度是多少米？ 第 12 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，甲、乙速度比为 4 : 3，第一次迎面相遇时距离 A 地 80 千米。若两车到达对方起点后立即原路返回，求第 5 次迎面相遇时距离 A 地多少千米？ 第 13 题 甲、乙两人在周长 300 米的环形跑道上，从同一点同时背向出发，甲每秒跑 2 米，乙每秒跑 3 米。求第 3 次迎面相遇点与第 7 次迎面相遇点之间的最短跑道长度。 第 14 题 A、B 两地相距 240 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲车速度 50 千米/时，乙车速度 30 千米/时。两车第一次相遇后，甲车速度变为 30 千米/时，乙车速度变为 50 千米/时，继续向对方起点行驶，到达后立即原路返回。求第二次迎面相遇时距离 A 地多少千米？ 第 15 题 甲、乙两人同时从 A 地出发，在 A、B 两地之间往返行走，A、B 相距 180 千米，甲每小时行 90 千米，乙每小时行 60 千米。求两人第 3 次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 第 16 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，第一次迎面相遇时距离 A 地 40 千米；相遇后继续前进，到达对方出发点后立即原路返回，第二次迎面相遇时仍然距离 A 地 40 千米（两次相遇点不同）。求 A、B 两地之间的距离。 第 17 题 甲、乙两人在周长 400 米的环形跑道上，从同一点同时同向出发，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。当甲第一次追上乙时，两人同时立刻掉头反向而跑（即各自改为原来的反方向）。求从出发到两人第二次相遇（含第一次追上）一共经过多少秒？ 第 18 题 A、B 两地相距 360 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲车速度 70 千米/时，乙车速度 50 千米/时，到达对方起点后立即原路返回。求两车第 3 次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 第 19 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，甲、乙速度比为 7 : 3，两车到达对方起点后立即原路返回。已知第 3 次迎面相遇点距离 A 地 20 千米。求 A、B 两地之间的距离。 第 20 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，甲、乙速度比为 5 : 4，两车到达对方起点后立即原路返回。已知第一次迎面相遇点与第二次迎面相遇点之间相距 40 千米。求 A、B 两地之间的距离。 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优31：多次相遇问题 学习目标 1. 理解直线两端出发、直线同端出发、环形跑道三类多次迎面相遇的规律，牢记相遇次数与合走总路程之间的关系。 2. 掌握"时间相同，路程比 = 速度比"这一核心思想，会画线段图辅助分析往返相遇。 3. 熟练运用公式解决：已知第一次相遇点位置求全程、已知全程和速度求相遇地点、两次相遇点间距问题。 4. 区分迎面相遇与追及相遇，能识别易错陷阱（到达端点停留、速度变化、同端出发）。 5. 提升行程综合思维，能用算术法、方程两种思路解题，适配小升初选拔考题。 知识精讲 一、基础公式回顾 1. 相遇核心： (1) 速度和 = 路程和 ÷ 相遇时间 (2) 相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和 2. 正比例关系：两人同时出发、同时停止（时间相等），则 ，这是多次相遇最核心的工具。 二、直线型——两端同时出发（两岸型，小升初最高频） 甲从 A、乙从 B，相向而行，到达对方起点立刻原路返回，不断往返。 (1) 第 1 次迎面相遇：两人合走 1 个全程（） (2) 第 2 次迎面相遇：两人合走 3 个全程 (3) 第 3 次迎面相遇：两人合走 5 个全程 (4) 第 n 次迎面相遇：两人合走 (2n − 1) 个全程 重要推论：速度不变，总时间和总路程成正比。 第二次相遇时，每个人走的路程都是第一次相遇时自己路程的 3 倍；第三次相遇时是第一次的 5 倍，以此类推。 易错提醒：此规律只适用于迎面相遇，不包含背后追上（追及相遇）。 三、直线型——同一端点同时出发（单岸型） 甲、乙同时从 A 出发，往返于 A、B 之间： (1) 第 1 次迎面相遇：合走 2 个全程 (2) 第 2 次迎面相遇：合走 4 个全程 (3) 第 n 次迎面相遇：合走 2n 个全程 四、环形跑道多次迎面相遇（同一点背向出发） 两人从同一点背向而行： (1) 每迎面相遇 1 次，合走 1 圈 (2) 第 n 次迎面相遇，合走 n 圈 五、环形跑道追及相遇（同一点同向出发） 速度快的追速度慢的： (1) 每追上 1 次，路程差为 1 圈 (2) 第 n 次追上，路程差为 n 圈 六、解题通用步骤 1. 判断类型：两端出发 / 同端出发 / 环形；区分迎面还是追及。 2. 确定第几次相遇，算出一共合走多少路程。 3. 利用"路程比 = 速度比"，或者"单人路程倍数关系"列式。 4. 画线段图标注相遇点，看清相遇点距离哪个端点多少。 5. 检验：往返运动超过全程时要减去全程，判断位置。 例题讲解 【典型例题 1】 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，在距离 A 地 60 千米处第一次迎面相遇；两车继续前进，各自到达对方出发点后立即原路返回，第二次迎面相遇在距离 B 地 40 千米处。求 A、B 两地相距多少千米？ 【详解】 本题属于直线两端出发多次相遇。 第一次相遇，两车合走 1 个全程，此时甲车走了 60 千米。 第二次相遇，两车合走 3 个全程；速度不变，时间是第一次的 3 倍，甲车走的总路程： （千米） 观察路线：甲走到 B 再折返 40 千米，也就是甲走的总路程 = 1 个全程 + 40 千米。 全程：（千米） 【答案】140 千米 【跟踪训练 1】 甲、乙两人同时从东西两地相向而行，第一次在距离东地 35 米处相遇，相遇后继续往前走，到达对面立刻返回，第二次相遇在距离西地 25 米处。求东西两地相距多少米？ 【详解】 两端出发，第一次合走 1 个全程，甲走 35 米；第二次合走 3 个全程，甲一共走： （米） 甲走的总路程 = 全程 + 25 米 全程：（米） 【答案】80 米 【典型例题 2】 A、B 两地相距 200 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲速度 40 千米/时，乙速度 60 千米/时，到达终点后立刻返回。求两车第二次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 【详解】 第二次迎面相遇，合走 个全程 总路程和：（千米） 速度和：（千米/时） 总时间：（小时） 甲车一共行驶路程：（千米） 甲从 A 出发，走到 B 是 200 千米，继续往回走： （千米），即距离 B 地 40 千米。 距离 A 地：（千米） 【答案】160 千米 【跟踪训练 2】 甲、乙两地相距 180 千米，客车从甲、货车从乙同时相向开出，客车速度 50 km/h，货车速度 40 km/h，到达端点后马上返回，求第二次迎面相遇地点距离乙地多少千米？ 【详解】 第二次迎面相遇合走 3 个全程：（千米） 速度和：（千米/时） 总时间：（小时） 货车总路程：（千米） 货车从乙出发，走到甲是 180 千米，折返： （千米），即距离甲地 60 千米。 距离乙地：（千米） 【答案】120 千米 【典型例题 3】 甲、乙两人同时从 A、B 两地相向而行，第一次相遇离 A 地 70 米；到达对方起点后立刻返回，第二次相遇离 A 地 50 米。求 A、B 两地全长？ 【详解】 两端出发，第二次相遇合走 3 个全程，甲一共走：（米） 第二次相遇点距离 A 还有 50 米：说明甲走完全程之后，掉头还差 50 米回到 A，也就是： 甲总路程 = 2 个全程 − 50 米 列式： ，（米） 【答案】130 米 【跟踪训练 3】 甲、乙二人从 A、B 两地同时相向出发，第一次相遇距离 B 地 45 米，各自到对面马上返回，第二次相遇距离 B 地 15 米。求 A、B 两地距离？ 【详解】 第一次相遇合走 1 个全程，乙走 45 米；第二次合走 3 个全程，乙一共走： （米） 乙从 B 出发，第二次相遇还距离 B 地 15 米：乙总路程 = 2 个全程 − 15 米 ，（米） 【答案】75 米 【典型例题 4】 甲、乙两人在周长 400 米的环形跑道上，从同一点同时背向出发，甲每秒跑 4 米，乙每秒跑 6 米。两人第 5 次迎面相遇时，甲一共跑了多少米？ 【详解】 环形同点背向：第 n 次迎面相遇合走 n 圈。 第 5 次相遇合走 5 圈：（米） 速度和：（米/秒） 总时间：（秒） 甲路程：（米） 【答案】800 米 【跟踪训练 4】 周长 300 米环形跑道，两人同点背向出发，甲速度 3 米/秒，乙速度 2 米/秒，第 4 次迎面相遇时乙跑了多少米？ 【详解】 第 4 次相遇合走 4 圈：（米） 速度和：（米/秒） 总时间：（秒） 乙路程：（米） 【答案】480 米 【典型例题 5】 快、慢两车同时从甲、乙两站相向开出，快车每小时 90 千米，慢车每小时 60 千米，到达对方车站后立刻返回，第二次相遇时快车比慢车一共多走 150 千米。甲、乙两站相距多少千米？ 【详解】 第二次迎面相遇，合走 3 个全程。 速度差：（千米/时） 路程差 150 千米，一共行驶时间：（小时） 速度和：（千米/时） 总路程和：（千米） 总路程和是 3 个全程： 全程：（千米） 【答案】250 千米 【跟踪训练 5】 A、B 两车同时从甲、乙两地相向而行，A 车速度 75 km/h，B 车速度 55 km/h，到达端点立即返回，第二次相遇时 A 比 B 多走 120 千米。甲、乙两地相距多少千米？ 【详解】 速度差：（千米/时） 总用时：（小时） 速度和：（千米/时） 总路程和：（千米） 第二次相遇合走 3 个全程： 全程：（千米） 【答案】260 千米 奥数练习 第 1 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，第一次迎面相遇时距离 A 地 75 千米；两车继续前进，到达对方出发点后立即原路返回，第二次迎面相遇时距离 A 地 55 千米。求 A、B 两地之间的距离。 【详解】 两端出发，第二次迎面相遇合走 3 个全程，甲车走的总路程是第一次相遇时的 3 倍： （千米） 第二次相遇点距离 A 地 55 千米，说明甲车走到 B 后折返，还差 55 千米回到 A，即甲走的总路程 = 2 个全程 − 55 千米： ，，（千米） 【答案】140 千米 第 2 题 甲、乙两人同时从东、西两镇相向而行，第一次迎面相遇时距离东镇 40 千米；相遇后两人继续前进，到达对方起点后立即原路返回，第二次迎面相遇时距离西镇 20 千米。求东、西两镇之间的距离。 【详解】 甲从东镇出发，第一次相遇走 40 千米；第二次相遇合走 3 个全程，甲一共走： （千米） 第二次相遇点距西镇 20 千米，说明甲走到西镇后折返了 20 千米，即甲走的总路程 = 1 个全程 + 20 千米： （千米） 【答案】100 千米 第 3 题 A、B 两地相距 300 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲车速度 50 千米/时，乙车速度 30 千米/时，到达对方起点后立即原路返回。求两车第 3 次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 【详解】 第 3 次迎面相遇合走 个全程： 总路程和：（千米） 速度和：（千米/时） 总时间：（小时） 甲车总路程：（千米） 甲从 A 出发，一个往返为 600 千米， 千米，即第二次从 A 出发向 B 走了 337.5 千米；由于 337.5 > 300，说明甲已过 B 点向回走了 37.5 千米： 距 A 地：（千米） 【答案】262.5 千米 第 4 题 甲、乙两人同时从 A 地出发，在 A、B 两地之间往返锻炼，A、B 相距 200 千米，甲每小时行 60 千米，乙每小时行 40 千米。求两人第 2 次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 【详解】 同端出发，第 n 次迎面相遇合走 2n 个全程。第 2 次合走 4 个全程： 总路程和：（千米） 速度和：（千米/时） 总时间：（小时） 甲车总路程：（千米） 甲从 A 出发，一个往返 400 千米， 千米，即回到 A 后又向 B 走了 80 千米。 【答案】80 千米 第 5 题 甲、乙两人在周长 500 米的环形跑道上，从同一点同时背向出发，甲每秒跑 3 米，乙每秒跑 2 米。求两人第 8 次迎面相遇时，相遇点距离出发点的最短跑道长度是多少米？ 【详解】 背向出发，第 n 次相遇合走 n 圈。第 8 次相遇合走 8 圈： 总路程和：（米） 速度和：（米/秒） 总时间：（秒） 甲跑的总路程：（米） 圈余 400 米，即相遇点沿甲方向距起点 400 米。 最短距离：（米） 【答案】100 米 第 6 题 甲、乙两人在周长 360 米的环形跑道上，从同一点同时同向出发，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 4 米。求甲第 5 次追上乙时，追上点距离出发点的最短跑道长度是多少米？ 【详解】 同向追及，第 n 次追上时路程差为 n 圈。第 5 次追上路程差 5 圈： 速度差：（米/秒） 总时间：（秒） 甲跑的总路程：（米） 圈余 240 米，即追上点沿甲方向距起点 240 米。 最短距离：（米） 【答案】120 米 第 7 题 A、B 两地相距 200 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲车速度 60 千米/时，乙车速度 40 千米/时，到达对方起点后立即原路返回。求两车第 4 次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 【详解】 第 4 次迎面相遇合走 个全程： 总路程和：（千米） 速度和：（千米/时） 总时间：（小时） 甲车总路程：（千米） 甲从 A 出发，一个往返 400 千米， 个往返余 40 千米，即回到 A 后又向 B 走了 40 千米。 【答案】40 千米 第 8 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，第一次迎面相遇时距离 A 地 60 千米；相遇后继续前进，到达对方出发点后立即原路返回，第二次迎面相遇时距离 B 地 30 千米。求两次迎面相遇地点之间的距离。 【详解】 甲车第一次走 60 千米，第二次共走 千米。 第二次相遇点距 B 地 30 千米，即甲走了 1 个全程 + 30 千米： （千米） 第一次相遇点距 A 地 60 千米；第二次相遇点距 B 地 30 千米，即距 A 地 千米。 两次相遇点距离：（千米） 【答案】60 千米 第 9 题 甲、乙两人同时从 A、B 两地相向而行，第一次迎面相遇时距离 B 地 50 米；相遇后继续前进，到达对方起点后立即原路返回，第二次迎面相遇时距离 A 地 40 米。求 A、B 两地之间的距离。 【详解】 乙从 B 地出发，第一次相遇走 50 米；第二次相遇合走 3 个全程，乙一共走： （米） 第二次相遇点距 A 地 40 米，说明乙走到 A 地后折返了 40 米，即乙走的总路程 = 1 个全程 + 40 米： （米） 【答案】110 米 第 10 题 A、B 两地相距 300 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲车速度 60 千米/时，乙车速度 40 千米/时。两车第一次相遇后继续前进，乙车到达 A 地后立即原路返回；甲车到达 B 地后在 B 地停留 1 小时，再原路返回。求两车第二次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 【详解】 第一次相遇：合走 300 千米，速度和 100 千米/时，用时 小时。此时甲走 180 千米（距 A 180），乙走 120 千米（距 B 120）。 相遇后： · 甲距 B 还有 120 千米，需 小时，即出发后第 5 小时到 B；停留 1 小时，第 6 小时从 B 返回。 · 乙距 A 还有 180 千米，需 小时，即出发后第 7.5 小时到 A。 第 6 小时甲从 B 返回时，乙已从相遇点向 A 走了 千米，距 A 还有 千米。 从第 6 小时到第 7.5 小时这 1.5 小时内：甲从 B 向 A 走了 千米，此时甲距 A 地 千米；乙在第 7.5 小时到达 A 地并立刻返回。 此后甲距 A 210 千米向 A 走，乙从 A 向 B 走，两人相距 210 千米相向而行： 相遇还需 小时。 这段时间乙从 A 向 B 走了 千米。 【答案】84 千米 第 11 题 甲、乙两人在周长 240 米的环形跑道上，从同一点同时背向出发，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 3 米。求两人第 6 次迎面相遇时，相遇点距离出发点的最短跑道长度是多少米？ 【详解】 第 6 次相遇合走 6 圈：总路程 米。 速度和：（米/秒） 总时间：（秒） 甲跑的总路程：（米） 圈余 180 米，即相遇点沿甲方向距起点 180 米。 最短距离：（米） 【答案】60 米 第 12 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，甲、乙速度比为 4 : 3，第一次迎面相遇时距离 A 地 80 千米。若两车到达对方起点后立即原路返回，求第 5 次迎面相遇时距离 A 地多少千米？ 【详解】 第一次相遇合走 1 个全程，甲走 4 份、乙走 3 份，共 7 份。甲走 80 千米对应 4 份： 全程 （千米） 第 5 次迎面相遇合走 个全程，甲走的总路程是第一次的 9 倍： （千米） 甲从 A 出发，一个往返为 千米， 个往返余 160 千米。 余 160 千米 > 全程 140 千米，说明甲过 B 点向回走了 千米，距 A 地： （千米） 【答案】120 千米 第 13 题 甲、乙两人在周长 300 米的环形跑道上，从同一点同时背向出发，甲每秒跑 2 米，乙每秒跑 3 米。求第 3 次迎面相遇点与第 7 次迎面相遇点之间的最短跑道长度。 【详解】 每次相遇合走 1 圈，速度和 5 米/秒，每次相遇用时 秒。 第 3 次相遇：用时 180 秒，甲跑 米，，即距起点沿甲方向 60 米。 第 7 次相遇：用时 420 秒，甲跑 米，，即距起点沿甲方向 240 米。 两点沿跑道相距 米，最短距离： （米） 【答案】120 米 第 14 题 A、B 两地相距 240 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲车速度 50 千米/时，乙车速度 30 千米/时。两车第一次相遇后，甲车速度变为 30 千米/时，乙车速度变为 50 千米/时，继续向对方起点行驶，到达后立即原路返回。求第二次迎面相遇时距离 A 地多少千米？ 【详解】 第一次相遇：合走 240 千米，速度和 80 千米/时，用时 小时。 此时甲走 千米（距 A 150，距 B 90）；乙走 90 千米。 相遇后变速：甲速度变为 30，乙速度变为 50。 · 甲距 B 还有 90 千米，需 小时到 B； · 乙距 A 还有 150 千米，需 小时到 A。 两车恰好同时到达对方起点，然后立即原路返回：甲从 B 以 30 千米/时向 A，乙从 A 以 50 千米/时向 B，相距 240 千米相向而行。 第二次相遇用时： 小时。 这段时间乙从 A 向 B 走了 千米。 【答案】150 千米 第 15 题 甲、乙两人同时从 A 地出发，在 A、B 两地之间往返行走，A、B 相距 180 千米，甲每小时行 90 千米，乙每小时行 60 千米。求两人第 3 次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 【详解】 同端出发，第 n 次迎面相遇合走 2n 个全程。第 3 次合走 6 个全程： 总路程和：（千米） 速度和：（千米/时） 总时间：（小时） 甲车总路程：（千米） 一个往返为 千米， 千米。余 288 千米 > 全程 180，说明甲过 B 点向回走了 千米： 距 A 地：（千米） 验证乙：乙走 千米， 千米，即乙从 A 向 B 走了 72 千米，位置一致。 【答案】72 千米 第 16 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，第一次迎面相遇时距离 A 地 40 千米；相遇后继续前进，到达对方出发点后立即原路返回，第二次迎面相遇时仍然距离 A 地 40 千米（两次相遇点不同）。求 A、B 两地之间的距离。 【详解】 甲车第一次走 40 千米，第二次共走 千米。 第二次相遇点距 A 地 40 千米，且与第一次相遇点（距 A 40）不同，说明甲车已走到 B 后折返，在距 A 40 千米处与乙相遇。即甲走的总路程 = 2 个全程 − 40 千米： ，（千米） 验证：S=80 时，第一次相遇甲走 40 恰在中点；第二次甲走 120 = 80（A→B）+ 40（B→A），距 A 恰为 40 千米，两次点分居中点两侧，符合题意。 【答案】80 千米 第 17 题 甲、乙两人在周长 400 米的环形跑道上，从同一点同时同向出发，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。当甲第一次追上乙时，两人同时立刻掉头反向而跑（即各自改为原来的反方向）。求从出发到两人第二次相遇（含第一次追上）一共经过多少秒？ 【详解】 第一次追上：同向而行，路程差 1 圈 = 400 米，速度差 米/秒。 用时：（秒） 此时两人在同一点。掉头后：甲改为乙原来的方向，乙改为甲原来的方向——两人方向仍然相同（都变成原来乙的方向），甲速度 6、乙速度 4，甲继续从背后追乙。 第二次相遇（第二次追上）仍需路程差 1 圈： 用时：（秒） 总时间：（秒） 【答案】400 秒 第 18 题 A、B 两地相距 360 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发相向而行，甲车速度 70 千米/时，乙车速度 50 千米/时，到达对方起点后立即原路返回。求两车第 3 次迎面相遇时，距离 A 地多少千米？ 【详解】 第 3 次迎面相遇合走 个全程： 总路程和：（千米） 速度和：（千米/时） 总时间：（小时） 甲车总路程：（千米） 一个往返为 千米， 千米，即甲从 A 再次出发向 B 走了 330 千米，尚未到 B，距 A 地 330 千米。 验证乙：乙走 千米，减去一个往返 720 千米余 30 千米；乙从 B 出发，一个往返后回到 B，再向 A 走 30 千米，距 A 地 千米，一致。 【答案】330 千米 第 19 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，甲、乙速度比为 7 : 3，两车到达对方起点后立即原路返回。已知第 3 次迎面相遇点距离 A 地 20 千米。求 A、B 两地之间的距离。 【详解】 第 3 次迎面相遇合走 个全程。由于时间相同，甲走的路程占总路程和的 ： 甲走的总路程： 甲从 A 出发，一个往返为 2S，。余 1.5S > S，说明甲过 B 点向回走，距 B 地 ，距 A 地： 由题意 ，得 （千米）。 【答案】40 千米 第 20 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，甲、乙速度比为 5 : 4，两车到达对方起点后立即原路返回。已知第一次迎面相遇点与第二次迎面相遇点之间相距 40 千米。求 A、B 两地之间的距离。 【详解】 第一次相遇合走 1 个全程，甲走 ，即相遇点距 A 地 。 第二次相遇合走 3 个全程，甲走的总路程是第一次的 3 倍： 甲从 A 出发，一个往返为 2S，；余 ，说明甲过 B 点向回走，距 B 地 ，距 A 地： 两次相遇点都在 A 地同侧（距 A 分别为 和 ），间距： （千米） 【答案】180 千米 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $