小升初奥数34：变速与分段行程问题（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册人教版

小升初奥数培优34：变速与分段行程问题 学习目标 1. 理解分段、变速行程的基本特征，能按速度变化的节点把整段行程拆成若干独立过程； 2. 熟练运用行程三量关系：路程 = 速度 × 时间、速度 = 路程 ÷ 时间、时间 = 路程 ÷ 速度； 3. 掌握"路程一定时，速度比与时间比成反比"这一核心工具，能用比例法解决提速提前到达、减速延后到达类问题； 4. 能处理"全程一次变速""先按原速走一段再变速""上下坡往返"三类综合题型，并会画线段图梳理运动过程； 5. 分清平均速度与速度的平均值，牢记"平均速度 = 总路程 ÷ 总时间"，不把两段速度直接相加再除以 2。 知识精讲 一、分段变速行程的基本特征 1. 行程过程中速度并不始终不变：可能在某个地点、某个时刻开始提速或减速，也可能整条路被分成平路、上坡、下坡等不同路段，每段对应一个固定速度。这类题统称为分段（变速）行程问题。 2. 处理原则是分段计算、各段独立、合起来算总量： (1) 每一段内部速度不变，直接按"路程 = 速度 × 时间"计算； (2) 总路程 = 各段路程之和； (3) 总时间 = 各段时间之和； (4) 全程平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，不是各段速度的算术平均。 二、核心比例关系 1. 路程固定、只改变速度时，速度与时间是反比关系，这是本专题最常用的工具：同一段路，速度越快，用时越短，且速度比与时间比互为倒数。 2. 若两段路程相同，速度分别为 v₁、v₂，用时分别为 t₁、t₂，则 v₁ : v₂ = t₂ : t₁。 3. 举例：同一段路，速度提高到原来的 ，用时就是原来的 ，相当于节省了原定时间的 。 4. 时间固定时，路程与速度成正比的：s₁ : s₂ = v₁ : v₂。 5. 判断该用哪一条：题目说"同一段路先后用不同速度""提前或延后多少时间到达"，属于路程固定，用反比；题目说"同时出发、行驶同样长的时间"，属于时间固定，用正比。 三、三类变速模型与解题步骤 模型一：全程一次变速 原速走完全程需要原定时间；提速后仍走完全程，用时缩短，于是提前一段时间到达。减速则相反，用时变长，延后到达。 (1) 由"速度提高百分之几"写出新速度与原速度的比； (2) 路程不变，把速度比前后项对调，得到新用时与原用时的比； (3) 时间比的份数差对应题目给出的提前时间，求出一份时间是多少； (4) 一份时间 × 原用时的份数 = 原定总时间，再乘原速度即得全程。 模型二：先按原速走一段，再变速 1. 前面按要求原速行驶的那一段，用时与计划完全一致，不产生任何时间差；提前或延后的时间全部来自后面变速的那一段。这是本专题出现频率最高的题型。 (1) 先用"全程直接变速"那个条件，求出原定总时间与原速度； (2) 再只看后面变速的那一段，用这一段的速度比求出它按原速需要的时间； (3) 原定总时间减去后面这段的原速时间，就是前面那段按原速实际用的时间； (4) 前面这段路程除以它的时间，得到原速度，进而求出全程长度。 2. 关键理解：两个条件往往给出相同的提前时间，它们描述的是同一个原定总时间，只是变速发生的位置不同，因此两个条件算出的总时间必须相等。 模型三：上下坡往返的平均速度 1. 往返同一段山路时，去程的上坡恰好是返程的下坡，去程的下坡恰好是返程的上坡。因此往返一圈中，上坡总路程 = 下坡总路程 = 单程长度，两种速度各承担了一半路程。 2. 题目没有给出单程长度时，可以把它设成两个速度的最小公倍数，把时间算成整数；平均速度只与两个速度有关，与所设的路程大小无关。 四、两种常用解法 1. 比例法：适用于"路程不变、速度提高百分之几、提前多长时间到达"一类题目。全程只做份数运算，不出现未知数，步骤短、速度快，是考试首选。 2. 方程法：设原速度 v、原定时间 t 或全程 s，把"提前的时间"写成两个时间之差列方程。当条件较多、份数不整齐、或分段次数较多时，方程法更不容易出错，可作为验算手段。 3. 易错提醒 (1) 平均速度不等于两段速度的算术平均，必须用"总路程 ÷ 总时间"； (2) "提高 20%"指新速度是原速度的 1.2 倍，即 6 : 5，不是原速度的 20%； (3) 用比例时先确认是哪段路程相同，份数差必须对应同一段路程上的时间差，不能跨段相减； (4) 单位要统一：千米与米、小时与分钟不能混用，必要时先换算再计算； (5) 变速点前后速度不同，不能把全程当成一个速度直接算时间。 例题讲解 【典型例题1】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%，可以比原定时间提前 1 小时到达。如果按原速行驶，原计划走完全程需要多少小时？ 【详解】 速度提高 20%，新速度与原速度之比为 (1+20%) : 1 = 6 : 5。 路程不变，速度与时间成反比，所以新用时与原用时之比为 5 : 6。把原定时间看作 6 份，提速后只用 5 份，相差 6 - 5 = 1 份。 这 1 份正好对应提前的 1 小时，因此原定时间为 1 × 6 = 6（小时）。 【答案】6 小时 【跟踪训练1】 一辆车从 A 地到 B 地，若速度提高 25%，可以提前 40 分钟到达。原计划走完全程需要多少分钟？ 【详解】 提速 25%，新速度与原速度之比为 1.25 : 1 = 5 : 4；路程不变，时间比是速度比的反比，即 4 : 5。 原定时间 5 份，提速后 4 份，相差 1 份，对应 40 分钟。 原定总时间：40 × 5 = 200（分钟）。 【答案】200 分钟 【典型例题2】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高 20%，可提前 1 小时到达；如果以原速行驶 120 千米后，再将速度提高 25%，也提前 1 小时到达。甲、乙两地相距多少千米？ 【详解】 第一步，看全程提速 20% 的条件：新速度与原速度之比为 6 : 5，时间比为 5 : 6，相差 1 份即 1 小时，所以原定总时间为 1 × 6 = 6（小时）。 第二步，看"先走 120 千米再提速 25%"的条件：前面这一段按原速行驶，用时与计划相同，不产生时间差，提前的 1 小时全部来自后面那一段。 后面一段提速 25%，新旧速度之比为 5 : 4，时间比为 4 : 5，相差 1 份即 1 小时，所以后面这段按原速要走 1 × 5 = 5（小时）。 第三步，前面 120 千米按原速行驶的时间为 6 - 5 = 1（小时），原速度为 120 ÷ 1 = 120（千米/时）。 全程：120 × 6 = 720（千米）。 【答案】720 千米 【跟踪训练2】 一辆汽车从甲地到乙地，如果提速 20%，可以提前 1.5 小时到达；如果先以原速行驶 150 千米，再提速 30%，同样提前 1.5 小时到达。甲、乙两地相距多少千米？ 【详解】 由全程提速 20%：速度比为 6 : 5，时间比为 5 : 6，相差 1 份即 1.5 小时，原定总时间 = 6 × 1.5 = 9（小时）。 由后面一段提速 30%：速度比为 1.3 : 1 = 13 : 10，时间比为 10 : 13，相差 3 份即 1.5 小时，1 份 = 0.5 小时，所以后面这段按原速要走 13 × 0.5 = 6.5（小时）。 前面 150 千米按原速行驶的时间为 9 - 6.5 = 2.5（小时），原速度为 150 ÷ 2.5 = 60（千米/时）。 全程：60 × 9 = 540（千米）。 【答案】540 千米 【典型例题3】 小明从家到学校，先走路再跑步。走路速度是 60 米/分，跑步速度是 120 米/分。某天上学，他先走 10 分钟，再跑 5 分钟，刚好到校。求小明家到学校的距离，以及这次上学的平均速度。 【详解】 分段求路程：走路 60 × 10 = 600（米），跑步 120 × 5 = 600（米）。 总路程：600 + 600 = 1200（米）；总时间：10 + 5 = 15（分钟）。 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间 = 1200 ÷ 15 = 80（米/分）。 【答案】距离 1200 米；平均速度 80 米/分 【跟踪训练3】 一段路程，前半段以 40 千米/时的速度行驶 3 小时，后半段以 60 千米/时的速度行驶 2 小时。求全程的平均速度。 【详解】 前半段路程：40 × 3 = 120（千米）；后半段路程：60 × 2 = 120（千米）。 总路程：120 + 120 = 240（千米）；总时间：3 + 2 = 5（小时）。 平均速度：240 ÷ 5 = 48（千米/时）。 【答案】48 千米/时 【典型例题4】 从山脚到山顶，上山速度是 2 千米/时，下山速度是 6 千米/时。某人从山脚走到山顶后原路返回山脚，求往返全程的平均速度。 【详解】 题目没有给出单程长度，可设单程为 6 千米（取 2 与 6 的最小公倍数，便于计算），路程设成其他数值不影响结果。 上山用时：6 ÷ 2 = 3（小时）；下山用时：6 ÷ 6 = 1（小时）。 往返总路程：6 × 2 = 12（千米）；往返总时间：3 + 1 = 4（小时）。 平均速度：12 ÷ 4 = 3（千米/时）。 注意：不能写成 (2 + 6) ÷ 2 = 4，那是两个速度的平均值，不是平均速度。 【答案】3 千米/时 【跟踪训练4】 一段山路，上坡速度是 3 千米/时，下坡速度是 6 千米/时。往返走完这段山路，求往返的平均速度。 【详解】 设单程为 6 千米。上坡用时：6 ÷ 3 = 2（小时）；下坡用时：6 ÷ 6 = 1（小时）。 往返总路程：6 × 2 = 12（千米）；往返总时间：2 + 1 = 3（小时）。 平均速度：12 ÷ 3 = 4（千米/时）。 【答案】4 千米/时 奥数练习 1．一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 25%，可以比原定时间提前 40 分钟到达；如果车速降低 20%，将比原定时间晚到多少分钟？ 【详解】 速度提高 25%，新速度是原速度的 ，路程不变，用时变为原定时间的 。把原定时间看作 5 份，提速后只用 4 份，少用 1 份。 这 1 份正好是 40 分钟，所以原定时间为 40×5=200（分钟）。 速度降低 20%，新速度是原速度的 ，用时变为原定时间的 ，即 200×=250（分钟）。 比原定时间多 250-200=50（分钟）。 【答案】　50 分钟 2．一辆汽车从甲地开往乙地，如果把速度提高 20%，可以提前 1 小时到达；如果先以原速行驶 100 千米，再把速度提高 30%，同样提前 1 小时到达。甲、乙两地相距多少千米？ 【详解】 先看全程提速 20% 的条件：新速度与原速度之比为 6:5，用时之比为 5:6。原定时间 6 份，提速后 5 份，差 1 份即 1 小时，所以原定总时间是 6 小时。 再看后一段提速 30% 的条件：速度之比为 13:10，用时之比为 10:13。后一段按原速要走 13 份、提速后只走 10 份，差 3 份对应提前的 1 小时，1 份是 小时，后一段按原速要走 13×= 小时。 前 100 千米按原速行驶，用时 6-=（小时），原速度为 100÷=60（千米/时）。 全程为 60×6=360（千米）。 【答案】　360 千米 3．一辆汽车原计划用 6 小时行完全程。实际行驶时，前一半路程把速度提高 20%，后一半路程把速度降低 20%。实际共用多少小时？比原计划多用多少分钟？ 【详解】 原速行完全程要 6 小时，走一半路程各需 3 小时。 前一半速度提高 20%，速度变为原来的 ，用时变为原来的 ，实际用 3×=2.5（小时）。 后一半速度降低 20%，速度变为原来的 ，用时变为原来的 ，实际用 3×=3.75（小时）。 实际共用 2.5+3.75=6.25（小时），即 6 小时 15 分；比原计划多用 0.25 小时，即 15 分钟。 【答案】　实际用 6 小时 15 分，比原计划多用 15 分钟 4．从山脚到山顶，上山每小时行 4 千米，下山每小时行 6 千米。某人上山后沿原路下山，往返共用 5 小时。山脚到山顶的路程是多少千米？往返的平均速度是多少？ 【详解】 设单程为 S 千米。上山用 小时，下山用 小时，两段时间之和等于 5 小时。 通分得 +==5，所以 S=12，即单程 12 千米。 往返总路程 12×2=24（千米），总时间 5 小时，平均速度 24÷5=4.8（千米/时）。 注意：不能把 4 与 6 直接平均成 5，两段的路程虽然相同，用时却不同。 【答案】　路程 12 千米；往返平均速度 4.8 千米/时 5．一辆汽车从甲地到乙地，全程平均分成三段，三段的行驶速度分别为每小时 30 千米、40 千米、60 千米，全程共用 1.5 小时。全程长多少千米？全程的平均速度是多少？ 【详解】 三段等长，设每段为 x 千米，则 ++=1.5。 通分后三项依次为 、、，合计 =，于是 =1.5，解得 x=20。 全程 20×3=60（千米），平均速度 60÷1.5=40（千米/时）。 注意：平均速度不等于 (30+40+60)÷3=43.3，三段用时并不相同。 【答案】　全程 60 千米；平均速度 40 千米/时 6．一辆汽车原计划每小时行 45 千米。实际行驶时，前 的路程按原速行驶，后 的路程每小时多行 15 千米，结果比计划提前 20 分钟到达。全程长多少千米？ 【详解】 设全程为 S 千米，原计划用时 小时。 前 按 45 千米/时行驶，用时 ÷45=；后 按 60 千米/时行驶，用时 ÷60=。 提前 20 分钟即 小时，列式 --=。 把各项化为分母 540：--==，解得 S=180。 【答案】　180 千米 7．甲、乙两地相距 420 千米，一辆汽车原计划用 7 小时行完全程。实际行驶时，前 210 千米按原速行驶，剩下的路程每小时比原速多行 10 千米。这辆汽车实际比计划提前多少分钟到达？ 【详解】 原速度为 420÷7=60（千米/时）。 前 210 千米按原速行驶，用时 210÷60=3.5（小时）。 剩余 210 千米速度为 60+10=70（千米/时），用时 210÷70=3（小时）。 实际共用 3.5+3=6.5（小时），比计划的 7 小时提前 0.5 小时，即 30 分钟。 【答案】　30 分钟 8．从甲地到乙地要依次经过上坡、平路、下坡三段，三段路程长度之比为 2:3:4，三段的速度分别为每小时 3 千米、4.5 千米、6 千米。已知全程 36 千米，走完全程需要多少小时？全程的平均速度是多少？ 【详解】 按 2:3:4 分配 36 千米，三段依次为 8 千米、12 千米、16 千米。 上坡用时 8÷3= 小时，平路用时 12÷4.5= 小时，下坡用时 16÷6= 小时。 三段用时恰好相等，合计 ×3=8（小时）。 平均速度 36÷8=4.5（千米/时）。 【答案】　8 小时；平均速度 4.5 千米/时 9．甲、乙两地之间是一段坡路，从甲到乙全是上坡，从乙到甲全是下坡。一人从甲到乙用了 6 小时，从乙返回甲用了 4 小时。已知上坡速度为每小时 8 千米，求下坡速度和往返的平均速度。 【详解】 往返路程相同，时间之比为 6:4=3:2，速度之比是时间之比的反比，即 2:3。 上坡速度 8 千米/时对应 2 份，1 份是 4 千米/时，下坡速度为 4×3=12（千米/时）。 单程路程 8×6=48（千米），往返共 96 千米，共用 10 小时。 往返平均速度 96÷10=9.6（千米/时）。 【答案】　下坡速度 12 千米/时；往返平均速度 9.6 千米/时 10．A、B 两地相距 300 千米，甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 40 千米。两车相遇后，甲车把速度提高 25%，乙车速度不变，继续前进。当甲车到达 B 地时，乙车距 A 地还有多少千米？ 【详解】 相遇时间 300÷(60+40)=3（小时），此时甲车行了 180 千米，乙车行了 120 千米，乙车距 A 地还有 180 千米。 甲车距 B 地还有 120 千米，提速后速度为 60×1.25=75（千米/时），还需 120÷75=1.6（小时）。 这 1.6 小时内乙车又行 40×1.6=64（千米）。 乙车距 A 地 180-64=116（千米）。 【答案】　116 千米 11．甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，两车速度之比为 5:4。相遇后甲车把速度降低 20%，乙车提速。要使两车同时到达对方的出发地，乙车应把速度提高百分之几？ 【详解】 相遇时两车用时相同，所行路程之比等于速度之比，即甲行全程的 ，乙行全程的 。 相遇后甲车还要走 ，速度变为原来的 ；设甲原速 5k，则相遇后甲速为 4k，甲走完剩余路程需 S÷(4k)=。 乙车还要走 ，原速 4k，提速后为 4k(1+x)，需 S÷[4k(1+x)]。 两车同时到达，两段时间相等：=S÷[4k(1+x)]，化简得 36(1+x)=45，1+x=1.25，x=25%。 【答案】　提高 25% 12．甲、乙两地相距 330 千米，一辆汽车原计划每小时行 60 千米。出发 2 小时后，汽车停车休息 0.5 小时。为了仍按原计划的时间到达乙地，休息后汽车应以每小时多少千米的速度行驶？ 【详解】 原计划用时 330÷60=5.5（小时）。 出发 2 小时已行 2×60=120（千米），剩余路程 330-120=210（千米）。 剩余可用时间 5.5-2-0.5=3（小时），因为休息占用的是原计划时间。 休息后的速度应为 210÷3=70（千米/时）。 【答案】　70 千米/时 13．甲、乙两地相距 360 千米，一辆汽车原计划每小时行 60 千米。实际行驶时，前一半路程把速度降低 25%，后一半路程把速度提高 25%。实际比计划晚到多少分钟？ 【详解】 原计划用时 360÷60=6（小时），一半路程为 180 千米。 前一半速度变为 60×0.75=45（千米/时），用时 180÷45=4（小时）。 后一半速度变为 60×1.25=75（千米/时），用时 180÷75=2.4（小时）。 实际共用 4+2.4=6.4（小时），比计划晚 0.4 小时，即 24 分钟。降速一段多用的时间多于提速一段省下的时间，所以总体晚到。 【答案】　24 分钟 14．甲、乙两地之间是一段坡路，从甲到乙是上坡，从乙到甲是下坡。一人从甲到乙每小时行 5 千米，返回时每小时行 7.5 千米，去时比返回多用 2 小时。两地之间的路程是多少千米？往返的平均速度是多少？ 【详解】 设两地路程为 S 千米，去时用 小时，返回用 小时，两者相差 2 小时。 通分得 -==2，所以 S=30，即路程 30 千米。 去时用 6 小时，返回用 4 小时，往返共 60 千米、10 小时。 往返平均速度 60÷10=6（千米/时），明显低于两个速度的平均值 6.25。 【答案】　路程 30 千米；往返平均速度 6 千米/时 15．一辆汽车从甲地到乙地。（1）如果速度提高 ，所用时间减少几分之几？（2）如果要使所用时间减少 ，速度应提高几分之几？ 【详解】 第（1）问：速度提高 ，新速度是原速度的 ；路程不变，用时变为原来的 ，即比原来少 。 第（2）问：时间减少 ，新用时是原来的 ；路程不变，速度与时间成反比，新速度是原速度的 ，即提高 。 两问的方向相反：速度提高多少，时间就减少"多少占新时间的份额"，不能直接把两个分数互换。 【答案】　（1）；（2） 16．一辆汽车从 A 地到 B 地，前 的路程每小时行 40 千米，其余路程每小时行 60 千米。全程的平均速度是多少？ 【详解】 设全程为 200 千米，前 即 80 千米，其余 120 千米。 前 80 千米用时 80÷40=2（小时），后 120 千米用时 120÷60=2（小时）。 平均速度 200÷(2+2)=50（千米/时）。 设全程为其他数值结果也相同：两段路程之比为 2:3，用时之比 (2÷40):(3÷60)=1:1，两段用时相等，平均速度就是两个速度的平均值 50。 【答案】　50 千米/时 17．甲、乙两人同时从 A 地出发去 B 地，A、B 两地相距 24 千米。甲前一半路程每小时行 4 千米，后一半路程每小时行 6 千米；乙前一半时间每小时行 4 千米，后一半时间每小时行 6 千米。谁先到达 B 地？早到多少分钟？ 【详解】 甲按路程分段：前 12 千米用 3 小时，后 12 千米用 2 小时，共用 5 小时。 乙按时间分段：设用时为 T，则 4×+6×=24，即 5T=24，T=4.8（小时）。 乙先到达，比甲早 5-4.8=0.2（小时），即 12 分钟。 两种分段方式不同：甲有一半路程走得慢，乙的慢速只占一半时间，所以乙的平均速度 5 千米/时高于甲的 4.8 千米/时。 【答案】　乙先到，早 12 分钟 18．环形跑道周长 600 米，甲、乙两人从同一起点同向出发，甲每秒跑 8 米，乙每秒跑 5 米。乙先跑 60 秒后甲才出发。（1）甲出发后多少秒第一次追上乙？（2）第一次追上后，再经过多少秒第二次追上乙？ 【详解】 第（1）问：乙先跑 60 秒，已领先 5×60=300（米）。甲每秒比乙多跑 8-5=3（米），追上需 300÷3=100（秒）。 第（2）问：第二次追上时，甲必须比乙多跑整整一圈，即多跑 600 米。 所需时间 600÷3=200（秒）。 注意：同向追及看的是"路程差"，两次追及之间路程差正好是一圈，与起点位置无关。 【答案】　（1）100 秒；（2）200 秒 19．小明从家到学校，如果每分钟走 60 米，会迟到 9 分钟；如果每分钟走 80 米，会早到 3 分钟。小明家到学校的路程是多少米？准时到校需要走多少分钟？ 【详解】 两种走法的时间相差 9+3=12（分钟）。 设路程为 D 米，则 -=12，通分得 =12，所以 D=2880（米）。 按每分钟 60 米走需 2880÷60=48（分钟），比准时多用 9 分钟。 准时到校所需时间 48-9=39（分钟）。 【答案】　路程 2880 米；准时需 39 分钟 20．一辆汽车往返于甲、乙两地，去时每小时行 50 千米，返回时每小时行 30 千米，往返在路上的时间共 8 小时。甲、乙两地相距多少千米？往返的平均速度是多少？ 【详解】 设两地距离为 S 千米，则 +=8。 通分得 +==8，即 =8，解得 S=150（千米）。 往返总路程 300 千米，总时间 8 小时，平均速度 300÷8=37.5（千米/时）。 平均速度低于 (50+30)÷2=40，因为慢速行驶的时间更长，它在平均中占的权重更大。 【答案】　路程 150 千米；往返平均速度 37.5 千米/时 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优34：变速与分段行程问题 学习目标 1. 理解分段、变速行程的基本特征，能按速度变化的节点把整段行程拆成若干独立过程； 2. 熟练运用行程三量关系：路程 = 速度 × 时间、速度 = 路程 ÷ 时间、时间 = 路程 ÷ 速度； 3. 掌握"路程一定时，速度比与时间比成反比"这一核心工具，能用比例法解决提速提前到达、减速延后到达类问题； 4. 能处理"全程一次变速""先按原速走一段再变速""上下坡往返"三类综合题型，并会画线段图梳理运动过程； 5. 分清平均速度与速度的平均值，牢记"平均速度 = 总路程 ÷ 总时间"，不把两段速度直接相加再除以 2。 知识精讲 一、分段变速行程的基本特征 1. 行程过程中速度并不始终不变：可能在某个地点、某个时刻开始提速或减速，也可能整条路被分成平路、上坡、下坡等不同路段，每段对应一个固定速度。这类题统称为分段（变速）行程问题。 2. 处理原则是分段计算、各段独立、合起来算总量： (1) 每一段内部速度不变，直接按"路程 = 速度 × 时间"计算； (2) 总路程 = 各段路程之和； (3) 总时间 = 各段时间之和； (4) 全程平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，不是各段速度的算术平均。 二、核心比例关系 1. 路程固定、只改变速度时，速度与时间是反比关系，这是本专题最常用的工具：同一段路，速度越快，用时越短，且速度比与时间比互为倒数。 2. 若两段路程相同，速度分别为 v₁、v₂，用时分别为 t₁、t₂，则 v₁ : v₂ = t₂ : t₁。 3. 举例：同一段路，速度提高到原来的 ，用时就是原来的 ，相当于节省了原定时间的 。 4. 时间固定时，路程与速度成正比的：s₁ : s₂ = v₁ : v₂。 5. 判断该用哪一条：题目说"同一段路先后用不同速度""提前或延后多少时间到达"，属于路程固定，用反比；题目说"同时出发、行驶同样长的时间"，属于时间固定，用正比。 三、三类变速模型与解题步骤 模型一：全程一次变速 原速走完全程需要原定时间；提速后仍走完全程，用时缩短，于是提前一段时间到达。减速则相反，用时变长，延后到达。 (1) 由"速度提高百分之几"写出新速度与原速度的比； (2) 路程不变，把速度比前后项对调，得到新用时与原用时的比； (3) 时间比的份数差对应题目给出的提前时间，求出一份时间是多少； (4) 一份时间 × 原用时的份数 = 原定总时间，再乘原速度即得全程。 模型二：先按原速走一段，再变速 1. 前面按要求原速行驶的那一段，用时与计划完全一致，不产生任何时间差；提前或延后的时间全部来自后面变速的那一段。这是本专题出现频率最高的题型。 (1) 先用"全程直接变速"那个条件，求出原定总时间与原速度； (2) 再只看后面变速的那一段，用这一段的速度比求出它按原速需要的时间； (3) 原定总时间减去后面这段的原速时间，就是前面那段按原速实际用的时间； (4) 前面这段路程除以它的时间，得到原速度，进而求出全程长度。 2. 关键理解：两个条件往往给出相同的提前时间，它们描述的是同一个原定总时间，只是变速发生的位置不同，因此两个条件算出的总时间必须相等。 模型三：上下坡往返的平均速度 1. 往返同一段山路时，去程的上坡恰好是返程的下坡，去程的下坡恰好是返程的上坡。因此往返一圈中，上坡总路程 = 下坡总路程 = 单程长度，两种速度各承担了一半路程。 2. 题目没有给出单程长度时，可以把它设成两个速度的最小公倍数，把时间算成整数；平均速度只与两个速度有关，与所设的路程大小无关。 四、两种常用解法 1. 比例法：适用于"路程不变、速度提高百分之几、提前多长时间到达"一类题目。全程只做份数运算，不出现未知数，步骤短、速度快，是考试首选。 2. 方程法：设原速度 v、原定时间 t 或全程 s，把"提前的时间"写成两个时间之差列方程。当条件较多、份数不整齐、或分段次数较多时，方程法更不容易出错，可作为验算手段。 3. 易错提醒 (1) 平均速度不等于两段速度的算术平均，必须用"总路程 ÷ 总时间"； (2) "提高 20%"指新速度是原速度的 1.2 倍，即 6 : 5，不是原速度的 20%； (3) 用比例时先确认是哪段路程相同，份数差必须对应同一段路程上的时间差，不能跨段相减； (4) 单位要统一：千米与米、小时与分钟不能混用，必要时先换算再计算； (5) 变速点前后速度不同，不能把全程当成一个速度直接算时间。 例题讲解 【典型例题1】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%，可以比原定时间提前 1 小时到达。如果按原速行驶，原计划走完全程需要多少小时？ 【跟踪训练1】 一辆车从 A 地到 B 地，若速度提高 25%，可以提前 40 分钟到达。原计划走完全程需要多少分钟？ 【典型例题2】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高 20%，可提前 1 小时到达；如果以原速行驶 120 千米后，再将速度提高 25%，也提前 1 小时到达。甲、乙两地相距多少千米？ 【跟踪训练2】 一辆汽车从甲地到乙地，如果提速 20%，可以提前 1.5 小时到达；如果先以原速行驶 150 千米，再提速 30%，同样提前 1.5 小时到达。甲、乙两地相距多少千米？ 【典型例题3】 小明从家到学校，先走路再跑步。走路速度是 60 米/分，跑步速度是 120 米/分。某天上学，他先走 10 分钟，再跑 5 分钟，刚好到校。求小明家到学校的距离，以及这次上学的平均速度。 【跟踪训练3】 一段路程，前半段以 40 千米/时的速度行驶 3 小时，后半段以 60 千米/时的速度行驶 2 小时。求全程的平均速度。 【典型例题4】 从山脚到山顶，上山速度是 2 千米/时，下山速度是 6 千米/时。某人从山脚走到山顶后原路返回山脚，求往返全程的平均速度。 【跟踪训练4】 一段山路，上坡速度是 3 千米/时，下坡速度是 6 千米/时。往返走完这段山路，求往返的平均速度。 奥数练习 1．一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 25%，可以比原定时间提前 40 分钟到达；如果车速降低 20%，将比原定时间晚到多少分钟？ 2．一辆汽车从甲地开往乙地，如果把速度提高 20%，可以提前 1 小时到达；如果先以原速行驶 100 千米，再把速度提高 30%，同样提前 1 小时到达。甲、乙两地相距多少千米？ 3．一辆汽车原计划用 6 小时行完全程。实际行驶时，前一半路程把速度提高 20%，后一半路程把速度降低 20%。实际共用多少小时？比原计划多用多少分钟？ 4．从山脚到山顶，上山每小时行 4 千米，下山每小时行 6 千米。某人上山后沿原路下山，往返共用 5 小时。山脚到山顶的路程是多少千米？往返的平均速度是多少？ 5．一辆汽车从甲地到乙地，全程平均分成三段，三段的行驶速度分别为每小时 30 千米、40 千米、60 千米，全程共用 1.5 小时。全程长多少千米？全程的平均速度是多少？ 6．一辆汽车原计划每小时行 45 千米。实际行驶时，前 的路程按原速行驶，后 的路程每小时多行 15 千米，结果比计划提前 20 分钟到达。全程长多少千米？ 7．甲、乙两地相距 420 千米，一辆汽车原计划用 7 小时行完全程。实际行驶时，前 210 千米按原速行驶，剩下的路程每小时比原速多行 10 千米。这辆汽车实际比计划提前多少分钟到达？ 8．从甲地到乙地要依次经过上坡、平路、下坡三段，三段路程长度之比为 2:3:4，三段的速度分别为每小时 3 千米、4.5 千米、6 千米。已知全程 36 千米，走完全程需要多少小时？全程的平均速度是多少？ 9．甲、乙两地之间是一段坡路，从甲到乙全是上坡，从乙到甲全是下坡。一人从甲到乙用了 6 小时，从乙返回甲用了 4 小时。已知上坡速度为每小时 8 千米，求下坡速度和往返的平均速度。 10．A、B 两地相距 300 千米，甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 40 千米。两车相遇后，甲车把速度提高 25%，乙车速度不变，继续前进。当甲车到达 B 地时，乙车距 A 地还有多少千米？ 11．甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，两车速度之比为 5:4。相遇后甲车把速度降低 20%，乙车提速。要使两车同时到达对方的出发地，乙车应把速度提高百分之几？ 12．甲、乙两地相距 330 千米，一辆汽车原计划每小时行 60 千米。出发 2 小时后，汽车停车休息 0.5 小时。为了仍按原计划的时间到达乙地，休息后汽车应以每小时多少千米的速度行驶？ 13．甲、乙两地相距 360 千米，一辆汽车原计划每小时行 60 千米。实际行驶时，前一半路程把速度降低 25%，后一半路程把速度提高 25%。实际比计划晚到多少分钟？ 14．甲、乙两地之间是一段坡路，从甲到乙是上坡，从乙到甲是下坡。一人从甲到乙每小时行 5 千米，返回时每小时行 7.5 千米，去时比返回多用 2 小时。两地之间的路程是多少千米？往返的平均速度是多少？ 15．一辆汽车从甲地到乙地。（1）如果速度提高 ，所用时间减少几分之几？（2）如果要使所用时间减少 ，速度应提高几分之几？ 16．一辆汽车从 A 地到 B 地，前 的路程每小时行 40 千米，其余路程每小时行 60 千米。全程的平均速度是多少？ 17．甲、乙两人同时从 A 地出发去 B 地，A、B 两地相距 24 千米。甲前一半路程每小时行 4 千米，后一半路程每小时行 6 千米；乙前一半时间每小时行 4 千米，后一半时间每小时行 6 千米。谁先到达 B 地？早到多少分钟？ 18．环形跑道周长 600 米，甲、乙两人从同一起点同向出发，甲每秒跑 8 米，乙每秒跑 5 米。乙先跑 60 秒后甲才出发。（1）甲出发后多少秒第一次追上乙？（2）第一次追上后，再经过多少秒第二次追上乙？ 19．小明从家到学校，如果每分钟走 60 米，会迟到 9 分钟；如果每分钟走 80 米，会早到 3 分钟。小明家到学校的路程是多少米？准时到校需要走多少分钟？ 20．一辆汽车往返于甲、乙两地，去时每小时行 50 千米，返回时每小时行 30 千米，往返在路上的时间共 8 小时。甲、乙两地相距多少千米？往返的平均速度是多少？ 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $