小升初奥数培优32：钟面行程问题（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册人教版

小升初奥数培优32：钟面行程问题 学习目标 1. 认清钟面行程的本质——环形跑道上的追及与相遇，理解两针速度为什么是定值。 2. 熟记角度制、格制两套速度数据，能在一分钟内判断一道题该用"速度差"还是"速度和"。 3. 会求整点之后两针第一次重合、成直角、成平角、成指定夹角的时刻。 4. 会解决"两针到某刻度距离相等、且分居该刻度两侧"的相遇型时钟题。 5. 会处理"同一夹角先后出现两次"的外出计时问题，能用算术式与方程两条路径互相验算。 知识精讲 （一）钟面的基本量 1. 钟面一圈是 360°，被平均分成 12 个大格、60 个小格。由此得到两个最常用的换算： (1) 1 个大格 = 360° ÷ 12 = 30°，时针 1 小时正好走 1 个大格。 (2) 1 个小格 = 360° ÷ 60 = 6°，分针 1 分钟正好走 1 个小格。 2. 把钟面读成"跑道"：整点时刻两针的夹角就是起跑时的初始距离，后面的一切计算都从这个距离出发。 （二）两针的速度（角度制，首选） 指针 转一圈用时 每分钟走的角度 每分钟走的格数 分针 60 分钟 360 ÷ 60 = 6° 1 格 时针 12 小时（720 分钟） 360 ÷ 720 = 0.5° 格 速度差（追及用） — 6 − 0.5 = 5.5° = ° 格 速度和（相遇用） — 6 + 0.5 = 6.5° = ° 格 表中 5.5° 与 6.5° 两个数，全章反复出现，必须做到开口就能说出。 （三）格制与角度制的关系 分针每分钟走 1 格、时针每分钟走 格，两者相差 格。格制适合"两针相差几格"的题面，角度制通用性更强。两套数据不能混用：一旦选定单位，同一道题里所有路程、速度都用同一套。 （四）判断：用"差"还是用"和" 1. 追及型（路程差 ÷ 速度差）：两针同向、分针在后面追，夹角不断缩小。重合、成直角、成平角、成指定夹角都属这一类。 2. 相遇型（路程和 ÷ 速度和）：两针从某个刻度的两侧相向靠拢，走过的角度合起来正好等于整点时的初始夹角。"到某数字距离相等且分居两侧"就是典型题面。 口诀：同向追着走用差，分头往中间靠用和。一道题先问自己这一句，速度选错的情况基本可以避免。 （五）任意时刻两针的夹角 设时刻为 h 点 m 分（h 取 0～11 的整点数），则分针走过的角为 6m，时针走过的角为 30h + 0.5m。两者夹角为 所得结果若超过 180°，真实的小夹角还要用 360° 减去它。这条公式最适合用来验算：算出时间后代回去，夹角与题目要求对不上，说明模型选错了。 （六）六类常考题型与对应思路 题型 题面特征 核心思路 重合 两针夹角为 0° 初始夹角 ÷ 速度差，分针追完全部落后量 成直角 两针夹角 90° 第一次：落后量 − 90° ÷ 速度差；第二次再追 180° 成平角 两针成一条直线，180° 落后量追到 180° 即可，注意夹角可能先从 150° 增大到 180° 指定夹角 如"夹角 110°" 一小时内一般出现两次，落后量与超出量分别列式 某刻度两侧等距 到同一数字的距离相等且分居两侧 用速度和：时针走过角 + 分针走过角 = 整点初始夹角 外出同夹角 出门与回家时夹角相同 用速度差：两次之间分针相对多走 2 倍夹角 （七）解题四步 1. 定点：读出整点时刻，算出两针的初始夹角，写清"分针落后时针多少度"。 2. 定型：判断是追及还是相遇，确定用差值 5.5° 还是用和值 6.5°。 3. 列式：按"路程 ÷ 速度 = 时间"直接除，或设 x 分钟列方程。 4. 验算：把时间代回夹角公式，核对是否等于题目要求的角。 （八）必记结论 1. 12 小时内两针重合 11 次，不是 12 次；相邻两次重合的间隔是 分钟。 2. 除 0° 与 180° 外，同一个夹角在一小时内一般出现两次；每小时成直角 2 次、成平角 1 次。 3. 分针每分钟比时针多走 5.5°，这一个数贯穿全章，务必记牢。 例题讲解 典型例题 1（第一次重合） 题目：从 4 点整开始，再过多少分钟，时针和分针第一次重合？ 跟踪训练 1 题目：从 5 点整开始，再过多少分钟，时针和分针第一次重合？ 典型例题 2（刻度两侧等距） 题目：3 点过多少分，时针和分针到数字"3"的距离相等，并且分别位于数字"3"的两侧？ 跟踪训练 2 题目：2 点过多少分，时针和分针到数字"2"的距离相等，并且分别位于数字"2"的两侧？ 典型例题 3（第一次成直角） 题目：7 点整开始，再过多少分钟，时针和分针第一次成直角？ 跟踪训练 3 题目：8 点整开始，再过多少分钟，时针和分针第一次成直角？ 典型例题 4（外出同夹角） 题目：小明下午 6 点多外出，出门时两针夹角是 110°；接近 7 点回家，回家时两针夹角又是 110°。小明外出多长时间？ 跟踪训练 4 题目：小红 5 点多出门，出门时两针夹角 70°；不到 6 点回家，回家时夹角又是 70°。小红外出多长时间？ 典型例题 5（再次成平角） 题目：6 点整之后，再过多少分钟，时针和分针第一次反向成一条直线？ 跟踪训练 5 题目：7 点之后，再过多少分钟，时针和分针第一次反向成一条直线？ 奥数练习 第 1 题｜重合之后再成直角 题目：从 3 点整开始，两针第一次重合之后，再过多少分钟两针第一次成直角？ 第 2 题｜一小时内的两次直角 题目：4 点整到 5 点整之间，时针与分针成直角的两个时刻分别是多少？ 第 3 题｜夹角 60° 的两次 题目：8 点整到 9 点整之间，时针与分针夹角为 60° 的两个时刻分别是多少？ 第 4 题｜夹角 110° 的两次 题目：9 点整到 10 点整之间，时针与分针夹角为 110° 的两个时刻分别是多少？ 第 5 题｜夹角 45° 的两次 题目：5 点整到 6 点整之间，时针与分针夹角为 45° 的两个时刻分别是多少？ 第 6 题｜10 点到 11 点之间的重合 题目：10 点整到 11 点整之间，时针与分针何时重合？ 第 7 题｜关于数字 12 对称 题目：6 点整到 7 点整之间，时针与分针到数字"12"的距离相等，并且分居数字"12"的两侧，这时是 6 点几分？ 第 8 题｜关于数字 6 对称 题目：7 点整到 8 点整之间，时针与分针到数字"6"的距离相等，并且分居数字"6"的两侧，这时是 7 点几分？ 第 9 题｜外出前后夹角相同 题目：某人在 7 点整到 8 点整之间外出，出门与回家时两针夹角都是 40°。他外出了多少分钟？ 第 10 题｜夹角由 90° 缩到 30° 题目：3 点整到 4 点整之间，时针与分针的夹角第一次由 90° 缩小到 30°，用了多少分钟？ 第 11 题｜一昼夜成直角的次数 题目：一昼夜（24 小时）内，时针与分针成直角的次数一共有多少次？ 第 12 题｜12 小时成平角的次数 题目：12 小时内，时针与分针成一条直线（平角）的次数一共有多少次？ 第 13 题｜1 点到 2 点夹角 120° 题目：1 点整到 2 点整之间，时针与分针夹角为 120° 的两个时刻分别是多少？ 第 14 题｜4 点到 5 点夹角 30° 题目：4 点整到 5 点整之间，时针与分针夹角为 30° 的两个时刻分别是多少？ 第 15 题｜2 点到 3 点夹角 100° 题目：2 点整到 3 点整之间，时针与分针夹角为 100° 的两个时刻分别是多少？ 第 16 题｜重合时两针的位置 题目：4 点整之后两针第一次重合时，时针与数字"12"的夹角是多少度？ 第 17 题｜相邻两次重合间分针转过的角 题目：从一次两针重合计到下一次重合，分针一共转过多少度？ 第 18 题｜连续两次成直角的间隔 题目：12 点整之后，两针第一次成直角与第二次成直角之间相隔多少分钟？ 第 19 题｜一昼夜重合的次数 题目：一昼夜（24 小时）内，时针与分针重合的次数一共有多少次？ 第 20 题｜写作业用了多久 题目：小明 8 点整开始写作业，这段时间里两针成过一次平角，但没有重合过；写完时两针夹角是 60°。他写了多少分钟？ 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优32：钟面行程问题 学习目标 1. 认清钟面行程的本质——环形跑道上的追及与相遇，理解两针速度为什么是定值。 2. 熟记角度制、格制两套速度数据，能在一分钟内判断一道题该用"速度差"还是"速度和"。 3. 会求整点之后两针第一次重合、成直角、成平角、成指定夹角的时刻。 4. 会解决"两针到某刻度距离相等、且分居该刻度两侧"的相遇型时钟题。 5. 会处理"同一夹角先后出现两次"的外出计时问题，能用算术式与方程两条路径互相验算。 知识精讲 （一）钟面的基本量 1. 钟面一圈是 360°，被平均分成 12 个大格、60 个小格。由此得到两个最常用的换算： (1) 1 个大格 = 360° ÷ 12 = 30°，时针 1 小时正好走 1 个大格。 (2) 1 个小格 = 360° ÷ 60 = 6°，分针 1 分钟正好走 1 个小格。 2. 把钟面读成"跑道"：整点时刻两针的夹角就是起跑时的初始距离，后面的一切计算都从这个距离出发。 （二）两针的速度（角度制，首选） 指针 转一圈用时 每分钟走的角度 每分钟走的格数 分针 60 分钟 360 ÷ 60 = 6° 1 格 时针 12 小时（720 分钟） 360 ÷ 720 = 0.5° 格 速度差（追及用） — 6 − 0.5 = 5.5° = ° 格 速度和（相遇用） — 6 + 0.5 = 6.5° = ° 格 表中 5.5° 与 6.5° 两个数，全章反复出现，必须做到开口就能说出。 （三）格制与角度制的关系 分针每分钟走 1 格、时针每分钟走 格，两者相差 格。格制适合"两针相差几格"的题面，角度制通用性更强。两套数据不能混用：一旦选定单位，同一道题里所有路程、速度都用同一套。 （四）判断：用"差"还是用"和" 1. 追及型（路程差 ÷ 速度差）：两针同向、分针在后面追，夹角不断缩小。重合、成直角、成平角、成指定夹角都属这一类。 2. 相遇型（路程和 ÷ 速度和）：两针从某个刻度的两侧相向靠拢，走过的角度合起来正好等于整点时的初始夹角。"到某数字距离相等且分居两侧"就是典型题面。 口诀：同向追着走用差，分头往中间靠用和。一道题先问自己这一句，速度选错的情况基本可以避免。 （五）任意时刻两针的夹角 设时刻为 h 点 m 分（h 取 0～11 的整点数），则分针走过的角为 6m，时针走过的角为 30h + 0.5m。两者夹角为 所得结果若超过 180°，真实的小夹角还要用 360° 减去它。这条公式最适合用来验算：算出时间后代回去，夹角与题目要求对不上，说明模型选错了。 （六）六类常考题型与对应思路 题型 题面特征 核心思路 重合 两针夹角为 0° 初始夹角 ÷ 速度差，分针追完全部落后量 成直角 两针夹角 90° 第一次：落后量 − 90° ÷ 速度差；第二次再追 180° 成平角 两针成一条直线，180° 落后量追到 180° 即可，注意夹角可能先从 150° 增大到 180° 指定夹角 如"夹角 110°" 一小时内一般出现两次，落后量与超出量分别列式 某刻度两侧等距 到同一数字的距离相等且分居两侧 用速度和：时针走过角 + 分针走过角 = 整点初始夹角 外出同夹角 出门与回家时夹角相同 用速度差：两次之间分针相对多走 2 倍夹角 （七）解题四步 1. 定点：读出整点时刻，算出两针的初始夹角，写清"分针落后时针多少度"。 2. 定型：判断是追及还是相遇，确定用差值 5.5° 还是用和值 6.5°。 3. 列式：按"路程 ÷ 速度 = 时间"直接除，或设 x 分钟列方程。 4. 验算：把时间代回夹角公式，核对是否等于题目要求的角。 （八）必记结论 1. 12 小时内两针重合 11 次，不是 12 次；相邻两次重合的间隔是 分钟。 2. 除 0° 与 180° 外，同一个夹角在一小时内一般出现两次；每小时成直角 2 次、成平角 1 次。 3. 分针每分钟比时针多走 5.5°，这一个数贯穿全章，务必记牢。 例题讲解 典型例题 1（第一次重合） 题目：从 4 点整开始，再过多少分钟，时针和分针第一次重合？ 【详解】 ① 4 点整时，时针指向 4，分针指向 12，分针落后时针 4×30° = 120°。 ② 重合就是分针追上时针，属追及问题：路程差 120°，速度差 °/分。 ③ 时间 = 120 ÷ = 120 × = = （分钟）。 ④ 验算： 分钟时，分针走了 6 × = °；时针走到 120 + 0.5 × = 120 + = °，两针重合。 易错提醒：不能用 120 ÷ 6 计算。分针追时针时，时针也在走，路程差要按速度差去缩。 【答案】 分钟（即 分钟） 跟踪训练 1 题目：从 5 点整开始，再过多少分钟，时针和分针第一次重合？ 【详解】 ① 5 点整时，分针落后时针 5×30° = 150°。 ② 追及时间 = 150 ÷ = 150 × = = （分钟）。 ③ 验算：分针走 6 × = °；时针走到 150 + 0.5 × = 150 + = °，两针重合。 【答案】 分钟（即 分钟） 典型例题 2（刻度两侧等距） 题目：3 点过多少分，时针和分针到数字"3"的距离相等，并且分别位于数字"3"的两侧？ 【详解】 ① 3 点整时分针指向 12、时针正好压在"3"上。之后分针从 12 经 1、2 走向"3"，时针从"3"往 4 的方向离开，两针自然分居"3"的两侧。 ② 设过 t 分钟。分针距"3"还有 90 − 6t 度，时针已走过 0.5t 度，两者相等： 90 − 6t = 0.5t ③ 6.5t = 90，t = 90 ÷ 6.5 = = （分钟）。 ④ 换个模型验算：两针合起来正好走完 90°，用速度和 6.5 计算，90 ÷ = ，结果一致，说明这确实是相遇型。 易错提醒：本题不能套速度差。分针不是在追时针，而是与时针从"3"的两边向中间靠拢，路程要相加。 【答案】 3 点 分（即 3 点 分） 跟踪训练 2 题目：2 点过多少分，时针和分针到数字"2"的距离相等，并且分别位于数字"2"的两侧？ 【详解】 ① 2 点整时两针夹角 2×30° = 60°，这就是两针要合起来走完的总路程。 ② 时间 = 60 ÷ = 60 × = = （分钟）。 ③ 验算：分针走 6 × = °，距"2"还有 60 − = °；时针走 0.5 × = °，两边相等且分居两侧。 【答案】 2 点 分（即 2 点 分） 典型例题 3（第一次成直角） 题目：7 点整开始，再过多少分钟，时针和分针第一次成直角？ 【详解】 ① 7 点整时，沿分针行进方向看，分针落后时针 7×30° = 210°，两针的较小夹角是 360° − 210° = 150°。 ② 分针追赶途中，较小夹角先由 150° 增大到 180°（两针反向），再逐渐缩小。第一次到 90°，发生在"落后量"由 210° 追到 90° 时。 ③ 需追 210° − 90° = 120°，时间 = 120 ÷ = = （分钟）。 ④ 验算：此时分针在 6 × = °，时针在 210 + 0.5 × = 210 + = °，相差 = 90°，成直角。 易错提醒：不能拿"较小夹角 150°"直接减 90°。分针要收回的是 210° 这段落后量，用 150° 算出的时刻两针夹角仍是 150°。 【答案】 分钟（即 分钟） 跟踪训练 3 题目：8 点整开始，再过多少分钟，时针和分针第一次成直角？ 【详解】 ① 8 点整时，分针落后时针 8×30° = 240°，较小夹角为 120°。 ② 第一次成直角需追 240° − 90° = 150°，时间 = 150 ÷ = = （分钟）。 ③ 验算：分针在 6 × = °，时针在 240 + 0.5 × = 240 + = °，相差 = 90°，成直角。 【答案】 分钟（即 分钟） 典型例题 4（外出同夹角） 题目：小明下午 6 点多外出，出门时两针夹角是 110°；接近 7 点回家，回家时两针夹角又是 110°。小明外出多长时间？ 【详解】 ① 6 点整两针成平角 180°，此后夹角不断缩小。同一夹角 110° 会出现两次：先由分针落后 110° 缩小到负，再由分针超过 110° 拉开。 ② 从出门到回家，分针相对时针一共多走 110 + 110 = 220°。 ③ 时间 = 220 ÷ = 40（分钟）。 ④ 验算：出门时刻 t₁ = (180 − 110) ÷ 5.5 = 分钟，约 6 时 分；回家时刻 t₂ = (180 + 110) ÷ 5.5 = 分钟，约 6 时 分；两次相差 40 分钟，与答案相符。 易错提醒：本题不必先算两个具体时刻再相减（容易算错），抓住"相对多走 2 倍夹角"，一步除出时间。 【答案】 40 分钟 跟踪训练 4 题目：小红 5 点多出门，出门时两针夹角 70°；不到 6 点回家，回家时夹角又是 70°。小红外出多长时间？ 【详解】 ① 两次之间分针相对时针多走 70 + 70 = 140°。 ② 时间 = 140 ÷ = 140 × = = （分钟）。 ③ 验算：出门 t₁ = (150 − 70) ÷ 5.5 = 分钟，回家 t₂ = (150 + 70) ÷ 5.5 = 40 分钟，相差 40 − = 分钟。 【答案】 分钟（即 分钟） 典型例题 5（再次成平角） 题目：6 点整之后，再过多少分钟，时针和分针第一次反向成一条直线？ 【详解】 ① 6 点整两针已经成 180°，所以"6 点之后的下一次平角"不是 0 分钟，要跳过这个起点。 ② 分针先追上 180° 使两针重合，再拉开 180°，一共相对多走 180 + 180 = 360°。 ③ 时间 = 360 ÷ = = （分钟）。 ④ 验算：此时分针转过 6 × = °，折回钟面为 °；时针在 180 + 0.5 × = 180 + = °，两针相差 180°，成一条直线。 ⑤ 顺带记住：相邻两次重合的间隔同为 分钟，720 ÷ = 11，这正是 12 小时重合 11 次的由来。 【答案】 分钟（即 分钟） 跟踪训练 5 题目：7 点之后，再过多少分钟，时针和分针第一次反向成一条直线？ 【详解】 ① 7 点整时，分针落后时针 210°，较小夹角 150°。分针追赶时夹角先增大到 180°，只需把落后量由 210° 追到 180°。 ② 需追 210° − 180° = 30°，时间 = 30 ÷ = 30 × = = （分钟）。 ③ 验算：分针在 6 × = °，时针在 210 + 0.5 × = 210 + = °，相差 180°，成一条直线。 【答案】 分钟（即 分钟） 奥数练习 第 1 题｜重合之后再成直角 题目：从 3 点整开始，两针第一次重合之后，再过多少分钟两针第一次成直角？ 【详解】 ① 3 点整分针落后时针 90°，重合时刻为 90 ÷ = （分钟）。 ② 重合时夹角为 0°，此后夹角由 0° 慢慢拉开，第一次到 90° 需要相对多走 90°：90 ÷ = （分钟）。 ③ 换个算法核对：从 3 点整算起，第一次成直角的时刻是 分钟，减去重合时刻 ，仍是 分钟。 ④ 验算：3 时 分时，分针在 6 × = °，时针在 90 + = °，相差 = 90°，成直角。 【答案】 分钟（即 分钟） 第 2 题｜一小时内的两次直角 题目：4 点整到 5 点整之间，时针与分针成直角的两个时刻分别是多少？ 【详解】 ① 4 点整分针落后时针 4×30° = 120°。 ② 第一次成直角：落后量从 120° 缩到 90°，只需追 30°，时间 = 30 ÷ = （分钟）。 ③ 第二次成直角：分针超过时针 90°，落后量变成 −90°，共需追 120 + 90 = 210°，时间 = 210 ÷ = （分钟）。 ④ 验算： 分时两针相差 −90°； 分时分针在 °、时针在 °，相差 = 90°。 【答案】 4 时 分（即 4 时 分）与 4 时 分（即 4 时 分） 第 3 题｜夹角 60° 的两次 题目：8 点整到 9 点整之间，时针与分针夹角为 60° 的两个时刻分别是多少？ 【详解】 ① 8 点整分针落后 8×30° = 240°，较小夹角为 360° − 240° = 120°。要紧盯"落后量 240°"，不能拿 120° 去算。 ② 第一次夹角 60°：落后量缩到 60°，需追 240 − 60 = 180°，时间 = 180 ÷ = （分钟）。 ③ 第二次夹角 60°：落后量越过 0 变成 −60°，共追 240 + 60 = 300°，时间 = 300 ÷ = （分钟）。 ④ 验算： 分时分针在 °、时针在 240 + = °，相差 − = −60°，夹角 60°； 分时相差 +60°，同样成立。 【答案】 8 时 分（即 8 时 分）与 8 时 分（即 8 时 分） 第 4 题｜夹角 110° 的两次 题目：9 点整到 10 点整之间，时针与分针夹角为 110° 的两个时刻分别是多少？ 【详解】 ① 9 点整分针落后 9×30° = 270°，较小夹角 360° − 270° = 90°。 ② 落后量由 270° 往下减，较小夹角先从 90° 增大。落后量减到 250° 时夹角为 110°，时间 = (270 − 250) ÷ = 20 ÷ = （分钟）。 ③ 落后量继续减到 110° 时夹角又为 110°，时间 = (270 − 110) ÷ = 160 ÷ = （分钟）。 ④ 落后量再往下走到 0（重合）之前，夹角都小于 110°，所以本小时内只有这两个时刻。 ⑤ 验算： 分时两针相差 −250°，夹角 110°； 分时相差 −110°，夹角 110°。 【答案】 9 时 分（即 9 时 分）与 9 时 分（即 9 时 分） 第 5 题｜夹角 45° 的两次 题目：5 点整到 6 点整之间，时针与分针夹角为 45° 的两个时刻分别是多少？ 【详解】 ① 5 点整分针落后 5×30° = 150°。 ② 落后量缩到 45°：需追 150 − 45 = 105°，时间 = 105 ÷ = （分钟）。 ③ 落后量变为 −45°：共追 150 + 45 = 195°，时间 = 195 ÷ = （分钟）。 ④ 验算： 分时分针在 °、时针在 150 + = °，相差 = 45°，成立。 【答案】 5 时 分（即 5 时 分）与 5 时 分（即 5 时 分） 第 6 题｜10 点到 11 点之间的重合 题目：10 点整到 11 点整之间，时针与分针何时重合？ 【详解】 ① 10 点整分针落后 10×30° = 300°，较小夹角 60°，但追及要按 300° 计算。 ② 时间 = 300 ÷ = 300 × = （分钟）。 ③ 验算：分针在 6 × = °，时针在 300 + = °，两针重合。 易错提醒：本题若用较小夹角 60° 除以速度差，得到的是两针"夹角为 0 之外"的错误时刻。 【答案】 10 时 分（即 10 时 分） 第 7 题｜关于数字 12 对称 题目：6 点整到 7 点整之间，时针与分针到数字"12"的距离相等，并且分居数字"12"的两侧，这时是 6 点几分？ 【详解】 ① 6 点整分针正指"12"，时针正指"6"（180°）。之后分针沿顺时针离开"12"，时针从"6"走向"7"，两针始终分处"12"的两侧。 ② 设过了 t 分钟。分针到"12"的角度是 6t；时针到"12"的角度是 360° − (180 + 0.5t) = 180 − 0.5t。 ③ 两段相等：6t = 180 − 0.5t，即 6.5t = 180，t = 180 ÷ 6.5 = ≈ 27.7（分钟）。 ④ 模型核对：两针合起来正好走完 6 点整的 180°，用速度和 180 ÷ = ，结果一致，属相遇型。 ⑤ 验算：分针 °≈ 166.2°，时针 180 + = °≈ 193.8°，两者到"12"的角度都是 °，且分处两个半圈。 【答案】 6 时 分（即 6 时 分） 第 8 题｜关于数字 6 对称 题目：7 点整到 8 点整之间，时针与分针到数字"6"的距离相等，并且分居数字"6"的两侧，这时是 7 点几分？ 【详解】 ① 7 点整分针指"12"，时针指"7"（210°），而"6"在 180°。 ② 分针从"12"顺时针走向"6"，到"6"的角度是 180 − 6t；时针已越过"6"往"7"走，到"6"的角度是 210 + 0.5t − 180 = 30 + 0.5t。 ③ 两段相等：180 − 6t = 30 + 0.5t，即 6.5t = 150，t = 150 ÷ 6.5 = ≈ 23.1（分钟）。 ④ 验算：分针 °≈ 138.5°，到"6"的角度 180 − = °≈ 41.5°；时针 °≈ 221.5°，到"6"的角度 °，两边相等且分居两侧。 【答案】 7 时 分（即 7 时 分） 第 9 题｜外出前后夹角相同 题目：某人在 7 点整到 8 点整之间外出，出门与回家时两针夹角都是 40°。他外出了多少分钟？ 【详解】 ① 夹角 40° 在这一小时内出现两次：一次是分针还差 40° 追上时针，一次是分针已经超过时针 40°。 ② 两次之间，分针相对时针多走 40 + 40 = 80°。 ③ 时间 = 80 ÷ = 80 × = ≈ 14.5（分钟）。 ④ 验算：出门时刻 (210 − 40) ÷ 5.5 = 分，回家时刻 (210 + 40) ÷ 5.5 = 分，相差 分钟，两时刻都在 7 点到 8 点之间。 【答案】 分钟（即 分钟） 第 10 题｜夹角由 90° 缩到 30° 题目：3 点整到 4 点整之间，时针与分针的夹角第一次由 90° 缩小到 30°，用了多少分钟？ 【详解】 ① 3 点整分针落后 90°，此时夹角正好 90°。 ② 落后量缩到 30° 时夹角为 30°，需追 90 − 30 = 60°，时间 = 60 ÷ = ≈ 10.9（分钟）。 ③ 之后夹角继续缩小到 0（重合于 分），再拉大到 30°（ 分），所以"第一次"取 分。 ④ 验算： 分时分针在 °、时针在 90 + = °，相差 = 30°。 【答案】 分钟（即 分钟） 第 11 题｜一昼夜成直角的次数 题目：一昼夜（24 小时）内，时针与分针成直角的次数一共有多少次？ 【详解】 ① 分针每分钟比时针多走 5.5°，相对多走 360° 需要 360 ÷ 5.5 = ≈ 65.5 分钟，称为一个"追上循环"。 ② 每个循环里夹角从 0 开到 360 再回到 0，其中 90° 出现两次（一次分针落后 90°，一次分针超过 90°）。 ③ 24 小时共 1440 分钟，1440 ÷ = 22 个循环。 ④ 22 × 2 = 44（次）。 【答案】 44 次 第 12 题｜12 小时成平角的次数 题目：12 小时内，时针与分针成一条直线（平角）的次数一共有多少次？ 【详解】 ① 每个"追上循环"（ 分钟）内，落后量恰好经过 180° 一次，因此平角只出现一次。 ② 12 小时共 720 分钟，720 ÷ = 11 个循环。 ③ 所以 12 小时内两针成平角 11 次，与"12 小时重合 11 次"同一道理。 【答案】 11 次 第 13 题｜1 点到 2 点夹角 120° 题目：1 点整到 2 点整之间，时针与分针夹角为 120° 的两个时刻分别是多少？ 【详解】 ① 1 点整分针落后 30°，夹角只有 30°。 ② 夹角先缩到 0（重合于 分），再慢慢变大。落后量增到 120° 时夹角为 120°，时间 = (30 + 120) ÷ = 150 ÷ = （分钟）。 ③ 落后量继续增到 240° 时，较小夹角为 360° − 240° = 120°，时间 = (30 + 240) ÷ = 270 ÷ = （分钟）。 ④ 验算： 分时两针相差 120°； 分时分针 °、时针 30 + = °，相差 = 240°，较小夹角 120°。 【答案】 1 时 分（即 1 时 分）与 1 时 分（即 1 时 分） 第 14 题｜4 点到 5 点夹角 30° 题目：4 点整到 5 点整之间，时针与分针夹角为 30° 的两个时刻分别是多少？ 【详解】 ① 4 点整分针落后 120°，较小夹角 120°。 ② 落后量缩到 30°：时间 = (120 − 30) ÷ = 90 ÷ = （分钟）。 ③ 落后量越过 0 变成 −30°：共追 120 + 30 = 150°，时间 = 150 ÷ = （分钟）。 ④ 验算： 分时相差 −30°； 分时分针 °、时针 120 + = °，相差 = 30°。 【答案】 4 时 分（即 4 时 分）与 4 时 分（即 4 时 分） 第 15 题｜2 点到 3 点夹角 100° 题目：2 点整到 3 点整之间，时针与分针夹角为 100° 的两个时刻分别是多少？ 【详解】 ① 2 点整分针落后 60°，较小夹角 60°。 ② 落后量增到 100° 时夹角 100°，时间 = (60 + 100) ÷ = 160 ÷ = （分钟）。 ③ 落后量增到 260° 时，较小夹角 360° − 260° = 100°，时间 = (60 + 260) ÷ = 320 ÷ = （分钟）。 ④ 验算： 分时两针相差 100°； 分时分针 °、时针 60 + = °，相差 = 260°，较小夹角 100°。 【答案】 2 时 分（即 2 时 分）与 2 时 分（即 2 时 分） 第 16 题｜重合时两针的位置 题目：4 点整之后两针第一次重合时，时针与数字"12"的夹角是多少度？ 【详解】 ① 重合时刻 = 120 ÷ = （分钟）。 ② 时针本来指向 4（即 120°），这段时间又走了 0.5 × = °。 ③ 夹角 = 120 + = °。 ④ 验算：分针转过 6 × = °，与时针位置完全相同，说明确实重合在此处。 【答案】 °（即 °） 第 17 题｜相邻两次重合间分针转过的角 题目：从一次两针重合计到下一次重合，分针一共转过多少度？ 【详解】 ① 相邻两次重合的时间间隔 = 360 ÷ = （分钟）。 ② 分针每分钟走 6°，共转 6 × = °。 ③ 这个角比一整圈多出 − 360 = °，正好是时针落后于起点的角度。 【答案】 °（即 °） 第 18 题｜连续两次成直角的间隔 题目：12 点整之后，两针第一次成直角与第二次成直角之间相隔多少分钟？ 【详解】 ① 第一次成直角：分针落后时针 90°；第二次成直角：分针超过时针 90°。 ② 从"落后 90°"到"超过 90°"，落后量要变化 90 + 90 = 180°。 ③ 时间 = 180 ÷ = ≈ 32.7（分钟）。 ④ 这个规律可以推广：任意连续两次成直角的间隔都是 分钟。 【答案】 分钟（即 分钟） 第 19 题｜一昼夜重合的次数 题目：一昼夜（24 小时）内，时针与分针重合的次数一共有多少次？ 【详解】 ① 相邻两次重合间隔 分钟。 ② 24 小时 = 1440 分钟，1440 ÷ = 1440 × = 22（次）。 ③ 注意与"12 小时重合 11 次"对应：12 小时 11 次是一天内两段各 11 次，一天合计 22 次。 【答案】 22 次 第 20 题｜写作业用了多久 题目：小明 8 点整开始写作业，这段时间里两针成过一次平角，但没有重合过；写完时两针夹角是 60°。他写了多少分钟？ 【详解】 ① 8 点整分针落后 240°，较小夹角 120°。 ② 夹角的变化过程：先由 120° 增大到 180°（平角， 分），再缩小到 0（重合， 分），之后重新变大。 ③ 夹角为 60° 有两次： 分（重合之前）与 分（重合之后）。 ④ 题目说中途没有重合过，因此只能取重合之前的那一次，即 分钟；同时平角 分确实发生在结束之前，两个条件都满足。 ⑤ 验算： 分时分针在 °、时针在 240 + = °，相差 60°，且此前未出现重合。 【答案】 分钟（即 分钟） 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $