小升初奥数培优33：比例法解行程问题（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册人教版

小升初奥数培优33：比例法解行程问题 学习目标 1. 牢记行程问题的基本关系 ，并准确找出题目中"时间相同""速度相同""路程相同"三者中的哪一个量保持不变。 2. 熟练运用三组正反比结论，在已知速度比时立即写出路程比或时间比，不依赖列方程。 3. 用份数法把比例关系落到具体数量上，会求"一份"对应多少千米、多少分钟，从而求出全程、时间差或剩余距离。 4. 遇到相遇后变速、同时同向出发、相遇后继续走完全程等复合情境时，能分段处理，先更新速度比，再重新比较。 知识精讲 （一）三个基本量与比例法的实质 1. 行程问题只有三个基本量：路程 、速度 、时间 ，三者满足 。三者中任意两个量成比例时，第三个量必然保持不变。 2. 比例法的实质是把"比"翻译成"份"：题目给出的速度比，就是两个人在相同时间内所走路程的份数比；题目给出的时间比，就是两段相同路程上所用时间的份数比。把全程切成若干份后，只要找到"一份"对应的实际数量，其余问题都变成整数乘除，不必设未知数列方程。所以解题的第一步永远是判断哪个量不变。 （二）三种情形与对应结论 判断依据只有一条：题目中两人（或两车、两段路）在哪一个量上被"拉齐"了。 不变量 成正比的量 结论 典型判断标志 时间相同 路程与速度 ，则 同时出发到相遇、同一时刻停下、同时同向追及 速度相同 路程与时间 ，则 同一辆车匀速走两段路、往返途中速度不变 路程相同 速度与时间（成反比） ，则 同一段路两种走法、两人各走完全程、上下山 三条结论中，只有第三条需要"倒过来写"，这也是最容易出错的地方。检验办法：速度快的那个，用时一定少，比例中的数字必然一前一后互换位置。 （三）比例法解题六步 1. 圈不变量。读完题先问：这两个对象是在同一段时间里走，还是走同一段路，还是速度被设定为相等？ 2. 写已知比，转成目标比。先把速度比写出来，再按不变量换成路程比或时间比。 3. 定总份数。相向相遇时，两人份数之和就是全程的份数；走同一段路时，全程的份数就是其中一人的份数。 4. 画线段图标注份数。把全程按份数切开，标出相遇点、中点、剩余段各自占几份。 5. 求一份。用题中唯一的具体数量（离中点的距离、时间差、剩余千米数）除以它对应的份数差。 6. 按份求值。目标量占几份就乘以几，最后回代检验量级是否合理。 （四）两个必须掌握的模型 1. 中点相遇模型。相向而行且在中点附近相遇时，快的一方走的路程超过一半，慢的一方不足一半，两者的路程差恰好是"相遇点到中点的距离"的 2 倍。用份数表达：若速度比为 ，全程 份，中点位于 份处，快者比中点多的份数为 ，这个份数差对应"离中点距离"，而两人路程差是它的 2 倍。 2. 相遇后继续走模型。相遇之后，甲要走的路正好是乙相遇前走过的那一段，乙要走的路正好是甲相遇前走过的那一段，两段份数互换。若此时有人变速，必须先用新速度重算速度比，绝不能沿用相遇前的比。 例题讲解 题型一　中点相遇：时间相同，路程比等于速度比 【典型例题1】 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，甲、乙两车的速度比是 。两车在距离中点 24 千米处相遇，求 A、B 两地的全长。 【跟踪训练1】 甲、乙两人同时从 A、B 两地相向而行，速度比是 。两人在距离中点 15 米处相遇，求 A、B 两地的距离。 题型二　同一段路：速度与时间成反比 【典型例题2】 客车和货车走同一条公路从甲地到乙地，客车速度与货车速度的比是 。客车跑完全程需要 10 小时，货车跑完全程需要多少小时？ 【跟踪训练2】 一段山路，上山速度与下山速度的比是 。上山用了 24 分钟，下山需要多少分钟？ 题型三　相遇后变速：先更新速度比，再分段比份数 【典型例题3】 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，出发时速度比是 。相遇后甲车提速 25%，乙车速度不变，两车继续前进。当乙车到达 A 地时，甲车距离 B 地还有 36 千米。求 A、B 两地的全长。 【跟踪训练3】 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，出发时速度比是 。相遇后甲车提速 ，乙车速度不变，两车继续前进。当乙车到达 A 地时，甲车距离 B 地还有 25 千米。求 A、B 两地的全长。 题型四　时间差与反比：差几份就对应几份时间 【典型例题4】 甲、乙两车同时从 A 地开往 B 地，速度比是 。乙车比甲车早到 30 分钟，求甲车走完全程需要多少分钟。 【跟踪训练4】 走同一条路，骑车速度与步行速度的比是 。骑车比步行少用 36 分钟，步行走完全程需要多少分钟？ 题型五　相遇后互换路段：用"每小时走几份"接续计算 【典型例题5】 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后两车继续前进，甲车又行 9 小时到达 B 地。乙车再行多少小时到达 A 地？ 【跟踪训练5】 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后两车继续前进，甲车又行 9 小时到达 B 地。乙车再行多少小时到达 A 地？ 奥数练习 第 1 题　中点相遇（求全程） 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，甲、乙两车的速度比是 ，两车在距离中点 18 千米处相遇。求 A、B 两地的全长。 第 2 题　中路相差（用路程差求全程） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 ，相遇时甲车比乙车多行驶 30 千米。求 A、B 两地的全长。 第 3 题　三人同向（同一时间内的份数差） 甲、乙、丙三车同时从 A 地开往 B 地，速度比是 。当甲车到达 B 地时，乙车距离 B 地还有 30 千米，此时丙车距离 B 地还有多少千米？ 第 4 题　两次相遇（折返后第二次相遇） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，第一次相遇点距离 A 地 60 千米。相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发地后立即返回，第二次相遇点距离 B 地 40 千米。求 A、B 两地的全长。 第 5 题　两次相遇（两个相遇点的距离） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。两车到达对方出发地后立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点相距 24 千米。求 A、B 两地的全长。 第 6 题　相遇后甲提速（提速后拉开差距） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后甲车提速 50%，乙车速度不变，两车继续前进。当甲车到达 B 地时，乙车距离 A 地还有 25 千米。求 A、B 两地的全长。 第 7 题　相遇后甲提速（剩余量出现分数份） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后甲车提速 20%，乙车速度不变，两车继续前进。当甲车到达 B 地时，乙车距离 A 地还有 35 千米。求 A、B 两地的全长。 第 8 题　相遇后甲减速 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后甲车速度减少 ，乙车速度不变，两车继续前进。当甲车到达 B 地时，乙车距离 A 地还有 39 千米。求 A、B 两地的全长。 第 9 题　相遇后用时互换（反求速度比） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，相遇后继续前进。相遇后甲车用 4 小时到达 B 地，乙车用 9 小时到达 A 地。求甲、乙两车的速度比。 第 10 题　环形跑道（反向相遇） 环形跑道周长 400 米，甲、乙两人从同一地点同时反向出发，速度比是 。两人第 3 次相遇时，甲跑了多少米？ 第 11 题　环形跑道（同向追及） 环形跑道周长 600 米，甲、乙两人从同一地点同时同向出发，速度比是 。甲第 1 次追上乙时，甲跑了多少米？ 第 12 题　环形跑道（连续两次追及） 环形跑道周长 300 米，甲、乙两人从同一地点同时同向出发，速度比是 。甲第 2 次追上乙时，两人一共跑了多少米？ 第 13 题　晚出发却早到达 甲、乙两车从 A 地开往 B 地，速度比是 。甲车比乙车晚出发 20 分钟，却比乙车早到 10 分钟。求乙车走完全程所用的时间。 第 14 题　相遇后停留（仍同时到达） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后甲车停车休息 1 小时，再以原速继续前进，乙车不停，结果两车同时到达对方的出发地。求甲车原来走完全程需要多少小时。 第 15 题　晚出发仍同时到达 甲、乙两车从 A 地开往 B 地，速度比是 。甲车比乙车晚出发 30 分钟，两车同时到达 B 地。求甲车走完全程用了多少小时。 第 16 题　顺水逆水（速度比与时间反比） 一艘轮船在甲、乙两港之间往返，顺水速度与逆水速度的比是 ，往返一次共用 8 小时。求顺水航行这段路需要多少小时。 第 17 题　顺水逆水（由船速与水速之比转化） 一艘轮船在静水中的速度与水流速度的比是 ，在甲、乙两港之间往返一次共用 10 小时。求顺水航行这段路需要多少小时。 第 18 题　相遇后求剩余时间 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后甲车继续行驶 4 小时到达 B 地，乙车还需多少小时才能到达 A 地？ 第 19 题　到达后折返相遇 甲、乙两车同时从 A 地同向开往 B 地，甲车速度是乙车的 倍。甲车到达 B 地后立即返回，途中与乙车在距离 B 地 24 千米处相遇。求 A、B 两地的距离。 第 20 题　中点相遇 + 相遇后双提速（综合） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 ，两车在距离中点 30 千米处相遇。相遇后甲车提速 ，乙车提速 ，继续前进。当甲车到达 B 地时，乙车距离 A 地还有多少千米？ 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优33：比例法解行程问题 学习目标 1. 牢记行程问题的基本关系 ，并准确找出题目中"时间相同""速度相同""路程相同"三者中的哪一个量保持不变。 2. 熟练运用三组正反比结论，在已知速度比时立即写出路程比或时间比，不依赖列方程。 3. 用份数法把比例关系落到具体数量上，会求"一份"对应多少千米、多少分钟，从而求出全程、时间差或剩余距离。 4. 遇到相遇后变速、同时同向出发、相遇后继续走完全程等复合情境时，能分段处理，先更新速度比，再重新比较。 知识精讲 （一）三个基本量与比例法的实质 1. 行程问题只有三个基本量：路程 、速度 、时间 ，三者满足 。三者中任意两个量成比例时，第三个量必然保持不变。 2. 比例法的实质是把"比"翻译成"份"：题目给出的速度比，就是两个人在相同时间内所走路程的份数比；题目给出的时间比，就是两段相同路程上所用时间的份数比。把全程切成若干份后，只要找到"一份"对应的实际数量，其余问题都变成整数乘除，不必设未知数列方程。所以解题的第一步永远是判断哪个量不变。 （二）三种情形与对应结论 判断依据只有一条：题目中两人（或两车、两段路）在哪一个量上被"拉齐"了。 不变量 成正比的量 结论 典型判断标志 时间相同 路程与速度 ，则 同时出发到相遇、同一时刻停下、同时同向追及 速度相同 路程与时间 ，则 同一辆车匀速走两段路、往返途中速度不变 路程相同 速度与时间（成反比） ，则 同一段路两种走法、两人各走完全程、上下山 三条结论中，只有第三条需要"倒过来写"，这也是最容易出错的地方。检验办法：速度快的那个，用时一定少，比例中的数字必然一前一后互换位置。 （三）比例法解题六步 1. 圈不变量。读完题先问：这两个对象是在同一段时间里走，还是走同一段路，还是速度被设定为相等？ 2. 写已知比，转成目标比。先把速度比写出来，再按不变量换成路程比或时间比。 3. 定总份数。相向相遇时，两人份数之和就是全程的份数；走同一段路时，全程的份数就是其中一人的份数。 4. 画线段图标注份数。把全程按份数切开，标出相遇点、中点、剩余段各自占几份。 5. 求一份。用题中唯一的具体数量（离中点的距离、时间差、剩余千米数）除以它对应的份数差。 6. 按份求值。目标量占几份就乘以几，最后回代检验量级是否合理。 （四）两个必须掌握的模型 1. 中点相遇模型。相向而行且在中点附近相遇时，快的一方走的路程超过一半，慢的一方不足一半，两者的路程差恰好是"相遇点到中点的距离"的 2 倍。用份数表达：若速度比为 ，全程 份，中点位于 份处，快者比中点多的份数为 ，这个份数差对应"离中点距离"，而两人路程差是它的 2 倍。 2. 相遇后继续走模型。相遇之后，甲要走的路正好是乙相遇前走过的那一段，乙要走的路正好是甲相遇前走过的那一段，两段份数互换。若此时有人变速，必须先用新速度重算速度比，绝不能沿用相遇前的比。 例题讲解 题型一　中点相遇：时间相同，路程比等于速度比 【典型例题1】 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，甲、乙两车的速度比是 。两车在距离中点 24 千米处相遇，求 A、B 两地的全长。 【详解】 第一步，定不变量：两车同时出发、同时相遇，所用时间相同，所以路程比等于速度比，。 第二步，定份数：相向而行，两人份数之和即全程，全程共 份。甲走 5 份，乙走 3 份。 第三步，定位中点：中点把全程平均分成两半，每半 份。 第四步，求一份：相遇点比中点多出 份，这 1 份对应 24 千米。 第五步，求全程：8×24=192（千米）。 检验：甲走 5×24=120 千米，乙走 3×24=72 千米，相差 48 千米，恰为"离中点 24 千米"的 2 倍，合理。 【答案】 A、B 两地全长 192 千米。 【跟踪训练1】 甲、乙两人同时从 A、B 两地相向而行，速度比是 。两人在距离中点 15 米处相遇，求 A、B 两地的距离。 【详解】 时间相同，路程比等于速度比，，全程共 份。 中点在第 份处。甲走 4 份，比中点多 份，这 0.5 份就是"离中点 15 米"。 一份为 15÷0.5=30（米）。 全程 7×30=210（米）。 检验：甲走 120 米，乙走 90 米，相差 30 米，是离中点距离 15 米的 2 倍，符合中点相遇模型。 【答案】 A、B 两地相距 210 米。 题型二　同一段路：速度与时间成反比 【典型例题2】 客车和货车走同一条公路从甲地到乙地，客车速度与货车速度的比是 。客车跑完全程需要 10 小时，货车跑完全程需要多少小时？ 【详解】 第一步，定不变量：两车走的是同一条路，路程相同，所以速度与时间成反比。 第二步，倒写比例：，则 。客车耗时少，对应小份数 5。 第三步，求一份：客车的 5 份是 10 小时，一份为 10÷5=2（小时）。 第四步，求目标：货车 6 份，2×6=12（小时）。 检验：速度越快用时越短，客车 10 小时少于货车 12 小时，与速度比 6:5 的方向一致。 【答案】 货车跑完全程需要 12 小时。 【跟踪训练2】 一段山路，上山速度与下山速度的比是 。上山用了 24 分钟，下山需要多少分钟？ 【详解】 上山、下山走的是同一段路，路程相同，时间与速度成反比，。 上山 4 份是 24 分钟，一份为 24÷4=6（分钟）。 下山 3 份，6×3=18（分钟）。 检验：下山速度是上山的 ，用时比应为 ，18 分钟正好是 24 分钟的 。 【答案】 下山需要 18 分钟。 题型三　相遇后变速：先更新速度比，再分段比份数 【典型例题3】 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，出发时速度比是 。相遇后甲车提速 25%，乙车速度不变，两车继续前进。当乙车到达 A 地时，甲车距离 B 地还有 36 千米。求 A、B 两地的全长。 【详解】 第一步，算相遇前的份数。时间相同，路程比等于速度比 ，全程 份，相遇时甲走 4 份，乙走 5 份。相遇后乙要走完甲走过的 4 份才能到 A 地，甲要走完乙走过的 5 份才能到 B 地。 第二步，更新速度比。设甲原速为 4、乙速为 5（单位任意，只比大小）。甲提速 25% 后速度为 4×(1+25%)=5，与乙速度相等，即相遇后 。 第三步，比相遇后的份数。速度相等，同一段时间内走的路程相等。乙走完剩下的 4 份到达 A 地，这段时间里甲也正好走 4 份。 第四步，找差的份数。甲到 B 地共需 5 份，实际只走了 4 份，还差 份，这 1 份对应 36 千米。 第五步，求全程：9×36=324（千米）。 检验：相遇时甲走 144 千米、乙走 180 千米；相遇后各走 144 千米，甲共走 288 千米，距 B 地 324-288=36 千米，与题意吻合。 【答案】 A、B 两地全长 324 千米。 【跟踪训练3】 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，出发时速度比是 。相遇后甲车提速 ，乙车速度不变，两车继续前进。当乙车到达 A 地时，甲车距离 B 地还有 25 千米。求 A、B 两地的全长。 【详解】 第一步，相遇前：路程比 ，全程 7 份，甲走 3 份，乙走 4 份。相遇后乙需走 3 份到 A 地，甲需走 4 份到 B 地。 第二步，更新速度比。设甲原速为 3、乙速为 4。甲提速 后速度为 ，与乙相等，相遇后 。 第三步，比份数。乙走完剩余 3 份，同一时间内甲也走 3 份。 第四步，求差的份数。甲到 B 地需 4 份，还差 份，即 25 千米。 第五步，求全程：7×25=175（千米）。 检验：相遇时甲走 75 千米、乙走 100 千米；相遇后各走 75 千米，甲共走 150 千米，距 B 地 175-150=25 千米，符合题意。 【答案】 A、B 两地全长 175 千米。 题型四　时间差与反比：差几份就对应几份时间 【典型例题4】 甲、乙两车同时从 A 地开往 B 地，速度比是 。乙车比甲车早到 30 分钟，求甲车走完全程需要多少分钟。 【详解】 第一步，定不变量：两车走同一段路，路程相同，时间与速度成反比。 第二步，倒写比例：。甲慢，用时多，对应大份数 5。 第三步，找差的份数： 份，这 1 份正是"乙比甲早到"的 30 分钟。 第四步，求目标：甲 5 份，30×5=150（分钟），即 2 小时 30 分。 检验：乙用 4×30=120 分钟，甲比乙多用 30 分钟；甲、乙用时比 150:120=5:4，与速度比 4:5 互为反比，正确。 【答案】 甲车走完全程需要 150 分钟（2 小时 30 分）。 【跟踪训练4】 走同一条路，骑车速度与步行速度的比是 。骑车比步行少用 36 分钟，步行走完全程需要多少分钟？ 【详解】 路程相同，时间与速度成反比，。 份数差 份，对应 36 分钟，一份为 36÷3=12（分钟）。 步行 5 份，12×5=60（分钟）。 检验：骑车用 2×12=24 分钟，比步行少 36 分钟；24:60=2:5，与速度比 5:2 互为反比，正确。 【答案】 步行走完全程需要 60 分钟。 题型五　相遇后互换路段：用"每小时走几份"接续计算 【典型例题5】 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后两车继续前进，甲车又行 9 小时到达 B 地。乙车再行多少小时到达 A 地？ 【详解】 第一步，相遇前的份数：时间相同，路程比 ，全程 8 份，甲走 5 份，乙走 3 份。 第二步，互换路段：相遇后甲要走乙走过的那 3 份到 B 地，乙要走甲走过的那 5 份到 A 地。 第三步，求甲每小时走几份：甲用 9 小时走完 3 份，每小时走 份。 第四步，换成乙的进度：速度比 5:3，乙每小时走 份。 第五步，求乙的时间：乙要走 5 份，（小时）。 简算口径：相遇后甲、乙用时之比等于"所走份数÷各自速度"之比，即 ，甲 9 小时对应 9 份时间，乙即 25 小时。 检验：设甲速 5、乙速 3，相遇后甲走 3 份用 0.6 个时间单位、乙走 5 份用 个时间单位，两者之比 9:25；甲 9 小时则乙 25 小时，量级合理。 【答案】 乙车再行 25 小时到达 A 地。 【跟踪训练5】 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后两车继续前进，甲车又行 9 小时到达 B 地。乙车再行多少小时到达 A 地？ 【详解】 相遇前路程比 ，全程 7 份，甲走 4 份，乙走 3 份。相遇后甲要走 3 份到 B 地，乙要走 4 份到 A 地。 甲 9 小时走 3 份，每小时走 份。按速度比 4:3，乙每小时走 份。 乙要走 4 份，（小时）。 或直接用用时比：相遇后甲、乙用时之比为 ，甲 9 小时，乙即 16 小时。 检验：设甲速 4、乙速 3，相遇后甲走 3 份用 0.75 个时间单位，乙走 4 份用 个时间单位，之比 9:16，与 16 小时吻合。 【答案】 乙车再行 16 小时到达 A 地。 奥数练习 第 1 题　中点相遇（求全程） 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，甲、乙两车的速度比是 ，两车在距离中点 18 千米处相遇。求 A、B 两地的全长。 【详解】 两车同时出发、同时相遇，时间相同，路程比等于速度比，。 相向而行，两车份数之和即全程，共 份，甲走 7 份，乙走 5 份。 中点把全程平均分成两半，每半 份。甲走 7 份，比中点多的 1 份就是"离中点 18 千米"。 于是 1 份 = 18 千米，全程 12×18=216（千米）。 检验：甲走 126 千米，乙走 90 千米，相差 36 千米，恰为离中点距离 18 千米的 2 倍，符合中点相遇模型。 【答案】 A、B 两地全长 216 千米。 第 2 题　中路相差（用路程差求全程） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 ，相遇时甲车比乙车多行驶 30 千米。求 A、B 两地的全长。 【详解】 时间相同，路程比等于速度比，，全程共 份。 甲比乙多走 份，这 2 份对应 30 千米，1 份为 30÷2=15（千米）。 全程 16 份，16×15=240（千米）。 检验：甲走 135 千米，乙走 105 千米，差 30 千米，且 135:105=9:7，与题设一致。 【答案】 A、B 两地全长 240 千米。 第 3 题　三人同向（同一时间内的份数差） 甲、乙、丙三车同时从 A 地开往 B 地，速度比是 。当甲车到达 B 地时，乙车距离 B 地还有 30 千米，此时丙车距离 B 地还有多少千米？ 【详解】 三车同时出发，从出发到甲到达 B 地这段时间相同，所以三者所走路程比等于速度比，即 6:5:4。 把全程按甲的进度分成 6 份：甲走 6 份到达 B 地，乙走 5 份，丙走 4 份。 乙还差 份，正是 30 千米，所以 1 份 = 30 千米，全程 6×30=180（千米）。 丙还差 份，即 2×30=60（千米）。 检验：甲走 180 千米、乙走 150 千米、丙走 120 千米，乙差 30 千米，丙差 60 千米，三者差值按份数递增，符合 6:5:4。 【答案】 丙车距离 B 地还有 60 千米。 第 4 题　两次相遇（折返后第二次相遇） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，第一次相遇点距离 A 地 60 千米。相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发地后立即返回，第二次相遇点距离 B 地 40 千米。求 A、B 两地的全长。 【详解】 关键结论：从出发到第二次相遇，两车合走的总路程是全程的 3 倍（第一次相遇合走 1 个全程，之后各自走到端点再相向而行，又合走 2 个全程）。 两车速度不变、时间相同，所以甲在"3 个全程"这段时间里走的路程，是第一个全程时间里所走路程的 3 倍，即 3×60=180（千米）。 再看第二次相遇的位置：相遇点距离 B 地 40 千米，说明甲已经到达 B 地后折返了 40 千米，甲一共走了"全程 + 40 千米"。 所以 全程 + 40 = 180，全程 = 140（千米）。 检验：第一次相遇时乙走 140-60=80 千米，速度比 60:80=3:4；第二次相遇时乙共走 3×140-180=240 千米，正好是"到 A 地 140 千米 + 折返 100 千米"，位置距 A 地 100 千米即距 B 地 40 千米，与甲相遇点重合，数据自洽。 【答案】 A、B 两地全长 140 千米。 第 5 题　两次相遇（两个相遇点的距离） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。两车到达对方出发地后立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点相距 24 千米。求 A、B 两地的全长。 【详解】 全程共 份。第一次相遇时甲走 5 份，相遇点在距 A 地 5 份处。 到第二次相遇，两车合走 3 个全程，甲走的路程是第一次的 3 倍，即 3×5=15 份。 15 份 = 9 份（到 B 地）+ 6 份（折返），所以第二次相遇点距 B 地 6 份，也就是距 A 地 份。 两个相遇点相距 份，对应 24 千米，1 份 = 12 千米，全程 9×12=108（千米）。 检验：第一次相遇点在距 A 60 千米处，第二次在距 A 36 千米处，两点相距 24 千米；第二次甲共走 15×12=180 千米 = 108+72，折返 72 千米，位置距 A 36 千米，吻合。 【答案】 A、B 两地全长 108 千米。 第 6 题　相遇后甲提速（提速后拉开差距） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后甲车提速 50%，乙车速度不变，两车继续前进。当甲车到达 B 地时，乙车距离 A 地还有 25 千米。求 A、B 两地的全长。 【详解】 相遇前：时间相同，路程比 4:3，全程 7 份，甲走 4 份，乙走 3 份。相遇后甲要走乙走过的 3 份到 B 地，乙要走甲走过的 4 份到 A 地。 更新速度：设甲原速为 4、乙速为 3（只比大小）。甲提速 50% 后速度为 6，乙仍为 3，相遇后速度比变为 6:3=2:1。 甲走完剩下 3 份需 个时间单位；同一段时间里乙走 3×0.5=1.5 份。 乙需要 4 份到 A 地，还剩 份，对应 25 千米，1 份 = 10 千米，全程 7×10=70（千米）。 检验：全程 70 千米，甲走 40 千米、乙走 30 千米；相遇后甲用 0.5 个时间单位走完 30 千米，乙同期走 15 千米，乙距 A 地 40-15=25 千米，吻合。 【答案】 A、B 两地全长 70 千米。 第 7 题　相遇后甲提速（剩余量出现分数份） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后甲车提速 20%，乙车速度不变，两车继续前进。当甲车到达 B 地时，乙车距离 A 地还有 35 千米。求 A、B 两地的全长。 【详解】 相遇前：路程比 5:4，全程 9 份，甲走 5 份，乙走 4 份。相遇后甲要走 4 份到 B 地，乙要走 5 份到 A 地。 更新速度：设甲原速为 5、乙速为 4。甲提速 20% 后速度为 6，相遇后速度比变为 6:4=3:2。 甲走完剩下 4 份需 个时间单位；同一段时间里乙走 份。 乙需要 5 份到 A 地，还剩 份，对应 35 千米。用 35 除以 7 得 5，即三分之一份是 5 千米，1 份 = 15 千米。 全程 9×15=135（千米）。 检验：全程 135 千米，甲走 75 千米、乙走 60 千米；相遇后甲用 个时间单位走完 60 千米，乙同期走 40 千米，乙距 A 地 75-40=35 千米，吻合。 【答案】 A、B 两地全长 135 千米。 第 8 题　相遇后甲减速 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后甲车速度减少 ，乙车速度不变，两车继续前进。当甲车到达 B 地时，乙车距离 A 地还有 39 千米。求 A、B 两地的全长。 【详解】 相遇前：路程比 7:4，全程 11 份，甲走 7 份，乙走 4 份。相遇后甲要走 4 份到 B 地，乙要走 7 份到 A 地。 更新速度：设甲原速为 7、乙速为 4。甲减速 ，即减少 7×=1，相遇后甲速为 6，与乙的速度比是 6:4=3:2。 甲走完剩下 4 份需 个时间单位；同一段时间里乙走 份。 乙需要 7 份到 A 地，还剩 份，对应 39 千米。39÷13=3，三分之一份是 3 千米，1 份 = 9 千米。 全程 11×9=99（千米）。 检验：全程 99 千米，甲走 63 千米、乙走 36 千米；相遇后甲用 个时间单位走完 36 千米，乙同期走 24 千米，乙距 A 地 63-24=39 千米，吻合。 【答案】 A、B 两地全长 99 千米。 第 9 题　相遇后用时互换（反求速度比） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，相遇后继续前进。相遇后甲车用 4 小时到达 B 地，乙车用 9 小时到达 A 地。求甲、乙两车的速度比。 【详解】 设相遇前甲走了 a 份、乙走了 b 份。由于相遇前时间相同，速度比就是 。 相遇后甲要走的是乙走过的 b 份，用 4 小时，所以甲每小时走 份；乙要走的是甲走过的 a 份，用 9 小时，所以乙每小时走 份。 两人的速度比同时又等于各自每小时走的份数之比，于是 ，交叉相乘得 ，即 ，开方后 。 检验：设甲速 3、乙速 2，相遇前用时 t 小时，则甲走 3t、乙走 2t。相遇后甲走 2t 用 小时 = 4，得 t=6；乙走 3t 用 = 9，也与 t=6 一致，故速度比为 3:2 成立。 【答案】 甲、乙两车的速度比是 。 第 10 题　环形跑道（反向相遇） 环形跑道周长 400 米，甲、乙两人从同一地点同时反向出发，速度比是 。两人第 3 次相遇时，甲跑了多少米？ 【详解】 反向而行时，两人每相遇一次，合起来正好跑完 1 圈，第 3 次相遇时两人合跑 3×400=1200（米）。 从出发到第 3 次相遇，两人所用时间相同，所以路程比等于速度比 5:3，全程份数为 8 份。 甲占其中的 5 份：1200×=750（米）。 检验：乙跑 1200-750=450 米，750:450=5:3，与速度比一致；两人合跑 1200 米恰为 3 圈。 【答案】 甲跑了 750 米。 第 11 题　环形跑道（同向追及） 环形跑道周长 600 米，甲、乙两人从同一地点同时同向出发，速度比是 。甲第 1 次追上乙时，甲跑了多少米？ 【详解】 同向出发时，甲追上乙意味着甲比乙多跑了整整 1 圈，即 600 米。 同一段时间内路程比等于速度比 4:3，甲比乙多 份，这 1 份就是 600 米。 甲跑 4 份：4×600=2400（米）。 检验：乙跑 3×600=1800 米，2400-1800=600 米，正好多出 1 圈，且 2400:1800=4:3。 【答案】 甲跑了 2400 米。 第 12 题　环形跑道（连续两次追及） 环形跑道周长 300 米，甲、乙两人从同一地点同时同向出发，速度比是 。甲第 2 次追上乙时，两人一共跑了多少米？ 【详解】 甲第 2 次追上乙，说明甲比乙一共多跑了 2 圈，即 2×300=600（米）。 同一段时间内路程比等于速度比 7:4，甲比乙多 份，这 3 份对应 600 米，1 份 = 200 米。 甲跑 7 份 1400 米，乙跑 4 份 800 米，两人合计 1400+800=2200（米）。 检验：1400-800=600 米，正好是 2 圈；1400:800=7:4，与速度比一致。 【答案】 两人一共跑了 2200 米。 第 13 题　晚出发却早到达 甲、乙两车从 A 地开往 B 地，速度比是 。甲车比乙车晚出发 20 分钟，却比乙车早到 10 分钟。求乙车走完全程所用的时间。 【详解】 两车走同一段路，路程相同，时间与速度成反比，所以 ，甲用 4 份时间，乙用 5 份时间。 把"晚出发 20 分钟 + 早到 10 分钟"合起来看：甲车实际行驶的时间比乙车少 20+10=30（分钟）。 份数差 份对应 30 分钟，1 份 = 30 分钟。 乙车 5 份：5×30=150（分钟），即 2 小时 30 分。 检验：甲车用 4×30=120 分钟，比乙少 30 分钟；甲晚出发 20 分钟、早到 10 分钟，正好少用 30 分钟；且 120:150=4:5，与速度比 5:4 互为反比。 【答案】 乙车走完全程用了 150 分钟（2 小时 30 分）。 第 14 题　相遇后停留（仍同时到达） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后甲车停车休息 1 小时，再以原速继续前进，乙车不停，结果两车同时到达对方的出发地。求甲车原来走完全程需要多少小时。 【详解】 相遇前：全程 9 份，甲走 5 份，乙走 4 份。相遇后甲剩 4 份到 B 地，乙剩 5 份到 A 地。 设甲走完全程需 T 小时。两车路程相同、时间与速度成反比，乙需 小时。 相遇后甲剩 4 份，占全程的 ，按甲的速度需用时 ；乙剩 5 份，占全程的 ，按乙的速度需用时 。 两车同时到达，故 。两边同乘 36：16T+36=25T，得 T=4。 检验：甲全程 4 小时、乙全程 5 小时；相遇后甲用时 小时加 1 小时休息共 小时，乙用时也正好 小时，两人同时到达，成立。 【答案】 甲车原来走完全程需要 4 小时。 第 15 题　晚出发仍同时到达 甲、乙两车从 A 地开往 B 地，速度比是 。甲车比乙车晚出发 30 分钟，两车同时到达 B 地。求甲车走完全程用了多少小时。 【详解】 同一段路，路程相同，时间与速度成反比，。 两车同时到达，说明甲车的行驶时间比乙车少 30 分钟，这正好是份数差 份。 1 份 = 30 分钟，甲车 5 份：5×30=150（分钟），即 2 小时 30 分。 检验：乙车用 6×30=180 分钟，即 3 小时；甲比乙少 30 分钟，与"晚出发 30 分钟同时到达"吻合；150:180=5:6，与速度比 6:5 互为反比。 【答案】 甲车走完全程用了 2.5 小时（150 分钟）。 第 16 题　顺水逆水（速度比与时间反比） 一艘轮船在甲、乙两港之间往返，顺水速度与逆水速度的比是 ，往返一次共用 8 小时。求顺水航行这段路需要多少小时。 【详解】 顺水、逆水走的是同一段路，路程相同，时间与速度成反比，。 往返时间合计 3+5=8 份，对应 8 小时，1 份 = 1 小时。 顺水 3 份：3 小时；逆水 5 份：5 小时。 检验：顺水速度 × 顺水时间 = 5×3=15，逆水速度 × 逆水时间 = 3×5=15，两段路程相等，比例自洽。 【答案】 顺水航行需要 3 小时。 第 17 题　顺水逆水（由船速与水速之比转化） 一艘轮船在静水中的速度与水流速度的比是 ，在甲、乙两港之间往返一次共用 10 小时。求顺水航行这段路需要多少小时。 【详解】 先把船速与水速之比转成顺水、逆水速度：顺水速度 = 船速 + 水速 = 5+1=6 份，逆水速度 = 船速 - 水速 = 5-1=4 份，所以 。 同一段路，路程相同，时间与速度成反比，。 往返合计 2+3=5 份，对应 10 小时，1 份 = 2 小时。 顺水 2 份：2×2=4 小时；逆水 3 份：6 小时。 检验：6×4=24，4×6=24，往返路程相等；4+6=10 小时与题设吻合。 【答案】 顺水航行需要 4 小时。 第 18 题　相遇后求剩余时间 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 。相遇后甲车继续行驶 4 小时到达 B 地，乙车还需多少小时才能到达 A 地？ 【详解】 相遇前：路程比 3:4，甲走 3 份，乙走 4 份。相遇后甲要走乙走过的 4 份才能到 B 地，乙要走甲走过的 3 份才能到 A 地。 甲 4 小时走完 4 份，可知甲每小时走 1 份。 速度比 3:4，乙每小时走 份。 乙要走 3 份，所需时间 小时，即 2 小时 15 分。 检验：设相遇前用时 t 小时，甲走 3t、乙走 4t；甲相遇后走 4t 用 = 4，得 t=3；乙相遇后走 3t 用 小时，与答案一致。 【答案】 乙车还需 2.25 小时（2 小时 15 分）到达 A 地。 第 19 题　到达后折返相遇 甲、乙两车同时从 A 地同向开往 B 地，甲车速度是乙车的 倍。甲车到达 B 地后立即返回，途中与乙车在距离 B 地 24 千米处相遇。求 A、B 两地的距离。 【详解】 从出发到相遇，两车所用时间相同，所以所走路程之比等于速度之比 5:4。 甲走到 B 地又折返 24 千米，共走"全程 + 24"；乙还没到 B 地，走了"全程 - 24"。两者相差 24×2=48（千米）。 把甲、乙的路程按 5:4 分成 5 份与 4 份，相差 1 份，这 1 份就是 48 千米。 甲走 5 份：5×48=240（千米），即"全程 + 24"，所以全程 = 240-24=216（千米）。 检验：乙走 4×48=192 千米，正好是 216-24；240:192=5:4，与速度比一致，且甲折返 24 千米与题设吻合。 【答案】 A、B 两地相距 216 千米。 第 20 题　中点相遇 + 相遇后双提速（综合） 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，速度比是 ，两车在距离中点 30 千米处相遇。相遇后甲车提速 ，乙车提速 ，继续前进。当甲车到达 B 地时，乙车距离 A 地还有多少千米？ 【详解】 第一步，用中点条件求全程。时间相同，路程比 5:3，全程 8 份，中点在 4 份处，甲走 5 份，比中点多的 1 份就是 30 千米。所以 1 份 = 30 千米，全程 8×30=240（千米），相遇时甲走 150 千米、乙走 90 千米。 第二步，明确相遇后各自的任务：甲还差乙走过的 3 份（90 千米）到 B 地，乙还差甲走过的 5 份（150 千米）到 A 地。 第三步，更新速度。设甲原速为 5、乙速为 3（以"份/时间单位"计）。甲提速 后为 6，乙提速 后为 4，相遇后速度比 6:4=3:2。 第四步，按新速度推进。甲走完 3 份（90 千米）需 个时间单位；同一段时间内乙走 份，即 60 千米。 第五步，算剩余。乙原需 150 千米到 A 地，只走了 60 千米，还剩 150-60=90（千米）。 检验：甲相遇后以新速走 3 份用 0.5 个时间单位，乙以新速走 2 份恰为 60 千米；3 份对应 90 千米、2 份对应 60 千米，与新速度比 3:2 一致。 【答案】 乙车距离 A 地还有 90 千米。 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $