小升初奥数培优25：浓度问题（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优25：浓度问题 学习目标 1. 理解溶质、溶剂、溶液、浓度四个核心概念，熟练掌握浓度相关三组基础公式及变形。 2. 能够识别四类基础题型：稀释（加水）、加浓（加盐/蒸发水）、两种溶液混合、多次互换倒液。 3. 掌握抓不变量解题法、方程法、十字交叉法，能根据题目灵活选择方法。 4. 理清浓度变化前后等量关系，解决小升初奥数中复杂浓度配比问题，提升百分数应用题综合解题能力。 知识精讲 （一）四个基础概念 1. 溶质：被溶解的物质，如盐、糖、纯酒精、药粉等。 2. 溶剂：用来溶解溶质的物质，小学浓度题中溶剂一般为清水。 3. 溶液：溶质 + 溶剂混合后的整体液体（盐水、糖水、酒精溶液）。 4. 浓度：溶质质量占溶液总质量的百分比，也叫含盐率、含糖率。 （二）核心公式 1. 溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量 2. 浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液质量 × 100%，即 3. 溶质质量 = 溶液质量 × 浓度 4. 溶液质量 = 溶质质量 ÷ 浓度 5. 变形：溶剂质量 = 溶液质量 ×（1 − 浓度）。 （三）四大基础题型与解题关键 1. 稀释问题（加水）：加水，溶剂变多，溶质质量不变。稀释前溶质 = 稀释后溶质；加入水的质量 = 后来溶液质量 − 原来溶液质量。 2. 加浓问题（加盐 / 蒸发水）：加盐时溶质增加，溶剂（水）质量不变；蒸发水时溶剂减少，溶质质量不变。 3. 两种溶液混合问题：混合前两种溶液溶质之和 = 混合后溶液总溶质。公式：。拓展方法：十字交叉法，两种溶液质量之比 = 浓度差的反比。 4. 互换倒液问题：互相取出相同质量溶液交换，最终两容器浓度相等；先算整体总溶质，求出最终统一浓度，再倒推取出量。 （四）解题常用方法 ① 抓不变量法（优先，小升初最常考）； ② 方程法（万能，复杂题目首选）； ③ 十字交叉法（配比快速计算）。 例题讲解 【典型例题1】稀释问题（加水，溶质不变） 题目：有浓度为 20% 的盐水 300 克，加水稀释成浓度 12% 的盐水，需要加水多少克？ 【详解】 第一步：先求盐（溶质）质量，加水盐不变。盐质量：（克）。 第二步：浓度 12% 时，盐还是 60 克，求新溶液总质量。新溶液质量：（克）。 第三步：新增的质量就是加入的水。加水质量：（克）。 答：需要加水 200 克。 【答案】200 克 【跟踪训练1】 题目：浓度 15% 的糖水 400 克，加入若干克水后，浓度变成 10%，求加入多少克水？ 【详解】 糖的质量：（克）。 加水后溶液总质量：（克）。 加水：（克）。 答：加入 200 克水。 【答案】200 克 【典型例题2】加浓问题（加盐，水不变） 题目：含盐 10% 的盐水 200 克，要使盐水浓度变为 25%，需要加盐多少克？ 【详解】 加盐，水的质量不变。原有水：（克）。 加盐后，水占溶液的：。 加盐后总溶液质量：（克）。 加盐质量：（克）。 答：需要加盐 40 克。 【答案】40 克 【跟踪训练2】 题目：含糖 8% 的糖水 300 克，要调配成含糖 20% 的糖水，需要加糖多少克？ 【详解】 水不变：（克）。 加糖后水占比：。 新溶液：（克）。 加糖：（克）。 答：需要加糖 45 克。 【答案】45 克 【典型例题3】两种溶液混合问题 题目：甲盐水浓度 30%，重 200 克；乙盐水浓度 10%，重 300 克。两种盐水混合在一起，混合后盐水浓度是多少？ 【详解】 甲盐：（克）。 乙盐：（克）。 总盐：（克）。 总溶液：（克）。 混合浓度：。 答：混合后浓度为 18%。 【答案】18% 【跟踪训练3】 题目：浓度为 40% 的酒精溶液 150 克，浓度为 10% 的酒精溶液 250 克，混合后酒精溶液浓度是多少？ 【详解】 纯酒精 1：（克）。 纯酒精 2：（克）。 总纯酒精：（克）。 总溶液：（克）。 浓度：。 答：混合后浓度 21.25%。 【答案】21.25% 【典型例题4】十字交叉法配比（已知目标浓度，求两种溶液质量比） 题目：现有浓度 25% 和浓度 5% 的两种盐水，要配成浓度 15% 的盐水，两种盐水的质量比是多少？ 【详解】 十字交叉： 25%　　　 　　　　　15% 5%　　　　 质量比 = 。 答：25% 盐水与 5% 盐水质量比为 1:1。 【答案】1:1 【跟踪训练4】 题目：用浓度 30% 和浓度 60% 的两种糖水，配制浓度 40% 的糖水，两种糖水质量比是多少？ 【详解】 十字交叉： 30%　　　 　　　　　40% 60%　　　 质量比：（30% 糖水 : 60% 糖水）。 答：30% 糖水与 60% 糖水质量比为 2:1。 【答案】2:1 【典型例题5】溶液互换问题（拔高） 题目：甲容器有 20% 盐水 400 克，乙容器有 10% 盐水 600 克。从甲、乙取出相同质量的盐水，互相交换倒入对方容器，交换后两个容器盐水浓度相等。求从每个容器取出多少克盐水交换？ 【详解】 第一步：先求最终相等的浓度。 总盐：（克）。 总溶液：（克）。 最终浓度：。 第二步：设取出 x 克交换。对甲容器：拿出 x 克 20% 盐水，换入 x 克 10% 盐水。 答：取出 240 克盐水交换。 【答案】240 克 【跟踪训练5】 题目：甲容器浓度 30% 盐水 300 克，乙容器浓度 15% 盐水 500 克，从两容器取出相同质量盐水互换，最终浓度相同，求取出多少克？ 【详解】 总盐：（克）。 总溶液：（克）。 最终浓度：。 设取出 x 克： 答：取出 187.5 克。 【答案】187.5 克 奥数练习 第1题：一瓶盐水，盐与水的质量比是 1 : 19。现在向其中加入一定量的水，使盐水浓度变为 3%。求加入的水与原盐水质量的比。 【详解】 原来盐占盐水的：。设原盐水为 100 份，则其中盐 5 份。设加入 x 份水，依题意： ，即 ，解得 。 加入的水与原盐水的质量比为 。 【答案】 2 : 3 第2题：浓度为 20% 的盐水 300 克，倒出其中的 后，再加入等量的浓度为 10% 的盐水，混合后盐水的浓度是多少？ 【详解】 倒出 即 100 克 20% 盐水，剩余 200 克，其中含盐 （克）。 加入 100 克 10% 盐水，含盐 （克）。 总盐 = 40 + 10 = 50（克），总溶液 = 200 + 100 = 300（克）。 浓度 = 。 【答案】 16.67% 第3题：有浓度分别为 10%、20%、30% 的三种盐水各若干克混合，得到浓度为 19% 的盐水。其中 10% 盐水的质量是 30% 盐水质量的 2 倍，求三种盐水的质量比。 【详解】 设 30% 盐水取 x 克，则 10% 盐水取 2x 克，设 20% 盐水取 y 克。 总盐 = ，总质量 = 。 浓度 19%：，化简得 ，即 。 质量比 10% : 20% : 30% = 。 【答案】 2 : 7 : 1 第4题：浓度为 25% 的盐水 120 克，先加水稀释成浓度 15% 的盐水，需加水多少克？若再蒸发掉一些水使浓度恢复为 25%，又需蒸发多少克水？ 【详解】 盐 = （克），加水盐不变。 稀释到 15% 时溶液 = （克），加水 = 200 − 120 = 80（克）。 要恢复 25%，溶液应 = （克），需蒸发水 = 200 − 120 = 80（克）。 【答案】 加水 80 克；蒸发 80 克 第5题：甲容器装有 400 克浓度为 8% 的盐水，乙容器装有 400 克浓度为 18% 的盐水。从两个容器中倒出同样多的盐水，分别倒入对方容器中搅匀，要使混合后两容器盐水浓度相同，每边应倒出多少克？ 【详解】 总盐 = （克），总溶液 800 克。 最终浓度 = 。 设每边倒出 x 克。对甲容器：。 即 ，解得 （克）。 【答案】 200 克 第6题：某种酒精溶液，第一次倒出它的 后用水加满，第二次倒出它的 后再用水加满，这时溶液的浓度为 8%。求原来溶液的浓度。 【详解】 设原溶液体积为 1，原浓度为 c。倒出、加满只改变体积不改变溶质总量对应的比例。 第一次倒出 剩 ，加满后浓度变为 。 第二次倒出 剩 ，加满后浓度变为 。 依题意 ，故 。 【答案】 16% 第7题：有一杯浓度为 40% 的糖水，若蒸发掉全部水分的 20%（即水的 20%），糖水的浓度变为多少？ 【详解】 设糖水 100 克，则糖 40 克，水 60 克。 蒸发掉水的 20%，即蒸发 （克）水，剩水 48 克。 此时溶液 = 40 + 48 = 88（克），浓度 = 。 【答案】 约 45.45% 第8题：某种盐水，第一次加入一定量的水后，浓度变为原来的 。第二次再加入同样多的水，浓度变为原来的几分之几？ 【详解】 设原盐水 V 克，浓度 c。加 x 克水后浓度变为 ： ，化简得 。 第二次再加 x 克水：浓度 = ，即原浓度的 。 【答案】 原浓度的 第9题：从装满 100 克浓度为 50% 的盐水杯中倒出 40 克盐水，再倒入纯水将杯加满，如此反复两次后，杯中盐水的浓度是多少？ 【详解】 第一次：倒出 40 克 50% 盐水（含盐 克），剩余 60 克含盐 30 克；加 40 克水后为 100 克，浓度 30%。 第二次：倒出 40 克 30% 盐水（含盐 克），剩余 60 克含盐 18 克；加 40 克水后为 100 克，浓度 18%。 【答案】 18% 第10题：浓度为 a% 的盐水 100 克与浓度为 b% 的盐水 200 克混合，得到浓度 14% 的盐水；若将两种盐水各取 150 克混合，得到浓度 13% 的盐水。求 a、b 的值。 【详解】 第一次混合：，即 。 等量混合：，即 。 两式相减得 ，代入得 。 【答案】 a = 10%，b = 16% 第11题：有两杯浓度不同的盐水。从甲杯取 40 克、乙杯取 60 克混合，得到浓度 18% 的盐水；再从甲杯取 60 克、乙杯取 40 克混合，得到浓度 21% 的盐水。求甲、乙两杯盐水的浓度。 【详解】 设甲杯浓度 a%、乙杯浓度 b%。 第一次：，即 。 第二次：，即 。 联立解得 ，。 【答案】 甲 27%，乙 12% 第12题：甲容器盛有浓度 10% 的盐水 200 克，乙容器盛有浓度 30% 的盐水 300 克。从甲取出 x 克倒入乙搅匀，再从乙取出 x 克倒入甲搅匀，最终甲容器浓度变为 15%。求 x。 【详解】 甲倒 x 克 10% 盐水入乙后，乙浓度变为 。 甲最终含盐 = （克）。 即 ，化简得 ，解得 （克）。 【答案】 60 克 第13题：浓度为 30% 的盐水，倒出一部分后，用浓度为 10% 的盐水补满，得到浓度为 24% 的盐水。求倒出的部分占原溶液总量的几分之几？ 【详解】 设原溶液 100 克，盐 30 克。倒出 x 克 30% 盐水（含盐 克），补入 x 克 10% 盐水（含盐 克）。 盐变为 （克）。浓度 24%：，解得 （克）。 倒出的部分占总量：。 【答案】 第14题：甲杯盐水浓度 20%，乙杯盐水浓度 30%。从甲杯取出一半质量的盐水倒入乙杯搅匀，再从乙杯取出与刚才相同质量的溶液倒入甲杯，此时甲杯浓度变为 24%。求原来甲、乙两杯盐水的质量比。 【详解】 设甲质量 m，乙质量 n。甲取一半 0.5m（20%）倒入乙后，乙浓度 = 。 再从乙取 0.5m（此浓度）倒入甲，甲含盐 = 。 甲浓度 24%：，化简得 。 故 。 【答案】 甲 : 乙 = 1 : 2 第15题：有盐水若干，加入一定量的水后浓度降为 30%，再加入等量的水后浓度降为 24%。求原来盐水的浓度。 【详解】 设原来盐 a 克，原溶液 M 克，第一次加水 x 克： ，。 两式相减得 。 又 ，得 。 原浓度 = 。 【答案】 40% 第16题：某容器中盛有一定量的浓度为 20% 的盐水，加入浓度为 10% 的盐水后，浓度变为 16%。若继续加入同样多的 10% 盐水，浓度变为多少？ 【详解】 设原溶液 M 克，第一次加 10% 盐水 x 克：，得 。 继续加同样多 x 克后：总溶液 = ，总盐 = 。 浓度 = 。 【答案】 约 14.29% 第17题：甲容器有浓度 15% 的盐水 200 克，乙容器有浓度 40% 的盐水 100 克。现将乙容器的盐水全部倒入甲容器混合均匀，再蒸发掉一部分水，使浓度变为 25%。求蒸发掉多少克水？ 【详解】 混合后盐 = （克），溶液 = 300（克）。 设蒸发 x 克水使浓度 25%：。 即 ，解得 （克）。 【答案】 20 克 第18题：现有浓度为 20% 的盐水 500 克。第一次蒸发掉 100 克水，第二次再加入 50 克盐，此时盐水的浓度是多少？ 【详解】 原盐 = （克）。 蒸发 100 克水后溶液 400 克、盐 100 克，浓度 25%。 再加 50 克盐后溶液 450 克、盐 150 克，浓度 = 。 【答案】 约 33.33% 第19题：甲容器中有浓度 20% 的盐水 600 克，乙容器中有浓度 10% 的盐水 400 克。从甲、乙两个容器中分别倒出相同质量 x 克的盐水，将倒出的盐水分别倒入对方容器中搅匀。若混合后甲容器浓度变为 16%，求 x。 【详解】 同时互换，甲最终含盐 = 剩余部分盐 + 换入部分盐： 。 即 ，解得 （克）。 验算：乙最终 = ，成立。 【答案】 240 克 第20题：有浓度为 12% 的盐水若干克，加入 200 克水后浓度变为 8%，再加入多少克盐，可使浓度变为 10%？ 【详解】 设原盐水 x 克，盐 克。加 200 克水后： ，解得 （克）。此时溶液 600 克、盐 48 克。 设再加 y 克盐使浓度 10%：，即 ，解得 （克）。 【答案】 克 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优25：浓度问题 学习目标 1. 理解溶质、溶剂、溶液、浓度四个核心概念，熟练掌握浓度相关三组基础公式及变形。 2. 能够识别四类基础题型：稀释（加水）、加浓（加盐/蒸发水）、两种溶液混合、多次互换倒液。 3. 掌握抓不变量解题法、方程法、十字交叉法，能根据题目灵活选择方法。 4. 理清浓度变化前后等量关系，解决小升初奥数中复杂浓度配比问题，提升百分数应用题综合解题能力。 知识精讲 （一）四个基础概念 1. 溶质：被溶解的物质，如盐、糖、纯酒精、药粉等。 2. 溶剂：用来溶解溶质的物质，小学浓度题中溶剂一般为清水。 3. 溶液：溶质 + 溶剂混合后的整体液体（盐水、糖水、酒精溶液）。 4. 浓度：溶质质量占溶液总质量的百分比，也叫含盐率、含糖率。 （二）核心公式 1. 溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量 2. 浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液质量 × 100%，即 3. 溶质质量 = 溶液质量 × 浓度 4. 溶液质量 = 溶质质量 ÷ 浓度 5. 变形：溶剂质量 = 溶液质量 ×（1 − 浓度）。 （三）四大基础题型与解题关键 1. 稀释问题（加水）：加水，溶剂变多，溶质质量不变。稀释前溶质 = 稀释后溶质；加入水的质量 = 后来溶液质量 − 原来溶液质量。 2. 加浓问题（加盐 / 蒸发水）：加盐时溶质增加，溶剂（水）质量不变；蒸发水时溶剂减少，溶质质量不变。 3. 两种溶液混合问题：混合前两种溶液溶质之和 = 混合后溶液总溶质。公式：。拓展方法：十字交叉法，两种溶液质量之比 = 浓度差的反比。 4. 互换倒液问题：互相取出相同质量溶液交换，最终两容器浓度相等；先算整体总溶质，求出最终统一浓度，再倒推取出量。 （四）解题常用方法 ① 抓不变量法（优先，小升初最常考）； ② 方程法（万能，复杂题目首选）； ③ 十字交叉法（配比快速计算）。 例题讲解 【典型例题1】稀释问题（加水，溶质不变） 题目：有浓度为 20% 的盐水 300 克，加水稀释成浓度 12% 的盐水，需要加水多少克？ 【跟踪训练1】 题目：浓度 15% 的糖水 400 克，加入若干克水后，浓度变成 10%，求加入多少克水？ 【典型例题2】加浓问题（加盐，水不变） 题目：含盐 10% 的盐水 200 克，要使盐水浓度变为 25%，需要加盐多少克？ 【跟踪训练2】 题目：含糖 8% 的糖水 300 克，要调配成含糖 20% 的糖水，需要加糖多少克？ 【典型例题3】两种溶液混合问题 题目：甲盐水浓度 30%，重 200 克；乙盐水浓度 10%，重 300 克。两种盐水混合在一起，混合后盐水浓度是多少？ 【跟踪训练3】 题目：浓度为 40% 的酒精溶液 150 克，浓度为 10% 的酒精溶液 250 克，混合后酒精溶液浓度是多少？ 【典型例题4】十字交叉法配比（已知目标浓度，求两种溶液质量比） 题目：现有浓度 25% 和浓度 5% 的两种盐水，要配成浓度 15% 的盐水，两种盐水的质量比是多少？ 【跟踪训练4】 题目：用浓度 30% 和浓度 60% 的两种糖水，配制浓度 40% 的糖水，两种糖水质量比是多少？ 【典型例题5】溶液互换问题（拔高） 题目：甲容器有 20% 盐水 400 克，乙容器有 10% 盐水 600 克。从甲、乙取出相同质量的盐水，互相交换倒入对方容器，交换后两个容器盐水浓度相等。求从每个容器取出多少克盐水交换？ 【跟踪训练5】 题目：甲容器浓度 30% 盐水 300 克，乙容器浓度 15% 盐水 500 克，从两容器取出相同质量盐水互换，最终浓度相同，求取出多少克？ 奥数练习 第1题：一瓶盐水，盐与水的质量比是 1 : 19。现在向其中加入一定量的水，使盐水浓度变为 3%。求加入的水与原盐水质量的比。 第2题：浓度为 20% 的盐水 300 克，倒出其中的 后，再加入等量的浓度为 10% 的盐水，混合后盐水的浓度是多少？ 第3题：有浓度分别为 10%、20%、30% 的三种盐水各若干克混合，得到浓度为 19% 的盐水。其中 10% 盐水的质量是 30% 盐水质量的 2 倍，求三种盐水的质量比。 第4题：浓度为 25% 的盐水 120 克，先加水稀释成浓度 15% 的盐水，需加水多少克？若再蒸发掉一些水使浓度恢复为 25%，又需蒸发多少克水？ 第5题：甲容器装有 400 克浓度为 8% 的盐水，乙容器装有 400 克浓度为 18% 的盐水。从两个容器中倒出同样多的盐水，分别倒入对方容器中搅匀，要使混合后两容器盐水浓度相同，每边应倒出多少克？ 第6题：某种酒精溶液，第一次倒出它的 后用水加满，第二次倒出它的 后再用水加满，这时溶液的浓度为 8%。求原来溶液的浓度。 第7题：有一杯浓度为 40% 的糖水，若蒸发掉全部水分的 20%（即水的 20%），糖水的浓度变为多少？ 第8题：某种盐水，第一次加入一定量的水后，浓度变为原来的 。第二次再加入同样多的水，浓度变为原来的几分之几？ 第9题：从装满 100 克浓度为 50% 的盐水杯中倒出 40 克盐水，再倒入纯水将杯加满，如此反复两次后，杯中盐水的浓度是多少？ 第10题：浓度为 a% 的盐水 100 克与浓度为 b% 的盐水 200 克混合，得到浓度 14% 的盐水；若将两种盐水各取 150 克混合，得到浓度 13% 的盐水。求 a、b 的值。 第11题：有两杯浓度不同的盐水。从甲杯取 40 克、乙杯取 60 克混合，得到浓度 18% 的盐水；再从甲杯取 60 克、乙杯取 40 克混合，得到浓度 21% 的盐水。求甲、乙两杯盐水的浓度。 第12题：甲容器盛有浓度 10% 的盐水 200 克，乙容器盛有浓度 30% 的盐水 300 克。从甲取出 x 克倒入乙搅匀，再从乙取出 x 克倒入甲搅匀，最终甲容器浓度变为 15%。求 x。 第13题：浓度为 30% 的盐水，倒出一部分后，用浓度为 10% 的盐水补满，得到浓度为 24% 的盐水。求倒出的部分占原溶液总量的几分之几？ 第14题：甲杯盐水浓度 20%，乙杯盐水浓度 30%。从甲杯取出一半质量的盐水倒入乙杯搅匀，再从乙杯取出与刚才相同质量的溶液倒入甲杯，此时甲杯浓度变为 24%。求原来甲、乙两杯盐水的质量比。 第15题：有盐水若干，加入一定量的水后浓度降为 30%，再加入等量的水后浓度降为 24%。求原来盐水的浓度。 第16题：某容器中盛有一定量的浓度为 20% 的盐水，加入浓度为 10% 的盐水后，浓度变为 16%。若继续加入同样多的 10% 盐水，浓度变为多少？ 第17题：甲容器有浓度 15% 的盐水 200 克，乙容器有浓度 40% 的盐水 100 克。现将乙容器的盐水全部倒入甲容器混合均匀，再蒸发掉一部分水，使浓度变为 25%。求蒸发掉多少克水？ 第18题：现有浓度为 20% 的盐水 500 克。第一次蒸发掉 100 克水，第二次再加入 50 克盐，此时盐水的浓度是多少？ 第19题：甲容器中有浓度 20% 的盐水 600 克，乙容器中有浓度 10% 的盐水 400 克。从甲、乙两个容器中分别倒出相同质量 x 克的盐水，将倒出的盐水分别倒入对方容器中搅匀。若混合后甲容器浓度变为 16%，求 x。 第20题：有浓度为 12% 的盐水若干克，加入 200 克水后浓度变为 8%，再加入多少克盐，可使浓度变为 10%？ 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $