数学广角 鸽巢问题（知识清单）数学人教版六年级上册（新教材）

该小学数学单元复习讲义系统梳理人教版六年级上册“鸽巢问题”内容，涵盖原理概念、两种模型、解题方法及易错点，构建从核心要素认知到模型应用再到问题解决的递进式学习支架。 清单通过思维导图整合知识框架，以“知识点-考点-练习”三级结构呈现体系，如“通用四步法”明确解题流程，易错点专项标注混淆点，培养学生推理意识与模型意识。分考点典例分析搭配变式练习，适配不同学习需求，助力教师精准教学，提升学生自主复习效率。

人教版·新教材六年级数学上册 数学广角：鸽巢问题（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：鸽巢原理的基本概念 1.核心要素 （1）鸽巢（抽屉）：存放物体的容器； （2）物体：需要分配的对象； （3）关键词：①总有：一定存在、肯定有；②至少：最少、不少于。 2.原理本质：把多于n个的物体放进n个鸽巢里，总有一个鸽巢里至少放进2个物体。 知识点02：鸽巢原理的两种基本模型 1.模型1：物体数>鸽巢数（基础型） （1）结论：把m个物体放进n个鸽巢里（m>n，m、n为正整数），总有一个鸽巢里至少放进2个物体。 （2）解题关键：判断“物体数”和“鸽巢数”，明确谁是物体、谁是鸽巢。 2.模型2：物体数= k×鸽巢数 +r（0<r≤n，进阶型） （1）通用公式 ①计算：物体数÷鸽巢数=商k……余数r ②结论：总有一个鸽巢里至少放进k+1个物体。 （2）核心逻辑：平均分配后，余数的物体不管怎么放，总有一个鸽巢至少多放1个。 （3）特殊情况：若余数r=0，则至少数=商k。 3.解题步骤（通用四步法） （1）定鸽巢：分析题意，确定“鸽巢”的数量（如人数、颜色种类、盒子数等）； （2）数物体：确定需要分配的“物体”数量； （3）算商余：用物体数÷鸽巢数，计算出商和余数； （4）得结论：根据公式确定“至少数”，规范表述“总有一个鸽巢里至少有……”。 【易错点】 （1）混淆“鸽巢”和“物体”：如摸球问题中，误把球的数量当鸽巢，颜色种类当物体。 （2）误解“至少”的含义：认为“至少数”是余数的数量，而非商+ 1（如10个物体放进3个鸽巢，10÷3=3……1，至少数是4而非1）。 （3）物体数未明确时的判定错误：如“保证摸出2个同色球”，未考虑最不利情况（先摸出所有颜色各1个，再摸1个即可）。 （4）最不利原则应用失误：解决“保证……”类问题时，未先考虑“最倒霉”的情况。 （5）鸽巢数判定失误：如属相问题中，误将人数当鸽巢，忽略12个属相才是鸽巢数。 考点01：基础鸽巢问题 【典型例题1】六（2）班有学生47名，他们分别订阅了A、B、C三种杂志中的一种，至少有几名学生订阅的杂志相同？ 【典型例题2】井冈山风景名胜景区是“红色旅游经典景区”。学校组织50名同学去参观井冈山革命博物馆、井冈山革命烈士陵园和井冈山革命斗争旧址群三个景点。每名同学至少参观一个景点，那么至少有（     ）名同学参观的景点相同。 A．5 B．6 C．7 D．8 【练习1】把14支中性笔放进5个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支中性笔。 【练习2】跳绳比赛分为男生组和女生组，六（1）班派出4名同学参加跳绳比赛。下面说法正确的是（     ）。 A．每个组至少有2名六（1）班的同学 B．男生组一定有2名六（1）班的同学 C．总有一个组至少有2名六（1）班的同学 D．以上说法都不正确 考点02：鸽巢问题的进阶 【典型例题1】六年级1班有45名同学，他们每人都报名参加了至少一项学校社团活动，学校社团包括：书法社、围棋社、科技社。问：至少有多少名同学参加的社团是完全相同的？ 【典型例题2】奇奇想要购买一张电影票，购买时他发现第8排一共有19个座位，并且已经有一部分座位被选中，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，则第8排至少已经被选中了（ ）个座位。 【练习1】西山区某小学组织学生到湿地公园开展研学活动，活动现场设置了“鸟类观察”、“植物标本制作”、“水质检测”3个体验区，如果要保证至少有一个体验区里有4名同学，那么至少需要（ ）名同学参与体验。 【练习2】某班有59名小学生，他们都订阅了《小朋友》《儿童时代》《少年报》中的一种或几种，那么其中至少有（ ）名学生订的报刊种类完全相同。 考点03：最不利原则 【典型例题1】希望小学绘画兴趣小组的同学中，最大的12岁，最小的6岁，最少从中挑选（     ）名学生，就一定能找到两个年龄相同的学生。 A．7 B．8 C．13 D．17 【典型例题2】我国古代君子六艺中的“五射”包括“白矢（shǐ）”“参连”“剡（yǎn）注”“襄尺”和“井仪”五种射法。其中“参连”是发了第一箭后，以后三箭要连续射出，俗称“连珠箭”。王叔叔练习“参连”射法，连发四箭，成绩是33环，则王叔叔总有一箭至少射中了几环？ 【练习1】饲养员给10只猴子分香蕉，无论怎么分总有一只猴子至少得到6根香蕉，饲养员至少要拿来（     ）根香蕉。 A．11 B．51 C．60 D．61 【练习2】根据《国家学生体质健康标准》，六年级女生一分钟跳绳达到152下及以上为优秀。某校六年级进行一分钟跳绳测试，有90名女生获得优秀，这些获得优秀的女生一分钟跳绳次数最少的是160下，最多的是190下。这些获得优秀的女生中至少有（ ）人的跳绳成绩是相同的。 一、选择题 1．盒子里有同样大小的红球和蓝球各5个，要想摸出的球一定有2个颜色相同，至少摸出（     ）个球。 A．6 B．2 C．3 2．下面问题可以运用“鸽巢原理”解决的是（     ）。 A．从A到B有2条路，从B到C有3条路，从A到C有几种不同的走法。 B．15名女生分到4个小组做游戏，至少有几名女生要分到同一小组里。 C．有12个零件，其中11个质量相同，只有一个质量轻一些，用天平至少称几次能保证找出这个零件。 3．把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同方法一共有（     ）。 A．4种 B．5种 C．6种 4．有四种花色的扑克牌各4张，要想摸出的扑克牌中一定有3张同色的，至少要摸出（     ）张。 A．8 B．9 C．10 5．我们班52人，则最少有（     ）名同学是同一个月出生的。 A．4 B．5 C．6 二、填空题 6．把12本书放进4个抽屉里，总有一个抽屉至少放进（ ）本书；把14本书放进13个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进（ ）本书。 7．把一些苹果放在3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放入几个呢？先完成下表，再填空。 苹果个数 4 5 6 7 8 … 放苹果最多的抽屉至少放进的个数 … 我发现，求抽屉至少放入的物体数就是用物体数除以（   ）数，当物体数能被整除时，至少放入的物体数就等于（     ）；当物体数不能被整除时，至少放入的物体数就等于（     ）。 8．为落实五育并举，促进融合育人，博爱小学开展了丰富多彩的社团活动。六（1）班有19名同学参加了手工社团、舞蹈社团和羽毛球社团，每人可以参加一个社团、两个社团或三个社团。这些同学中至少有（ ）名同学参加的社团情况完全相同。 9．有长度分别为3cm、4cm、5cm的小棒各4根，任意选取，至少取出（ ）根小棒才能保证围成一个等边三角形。 10．将8只小兔放进3个笼子里，至少有一个笼子放（ ）只小兔。 11．9个小朋友乘5只小船游玩，至少要有（ ）个小朋友乘同一只船里；26个小朋友乘7只小船游玩，至少要有（ ）个小朋友乘同一只小船里。 12．张老师把28名学生分成5个组，总有一组至少有（ ）人。 13．把红、黑、黄、蓝四种颜色的玻璃球各10个放到一个纸盒里，至少取（ ）个球，可以保证取到两个颜色相同的球；至少取（ ）个球，可以保证取到三个颜色相同的球。 14．一个纸箱里有3根白色筷子、4根黑色筷子、5根灰色筷子，除颜色外其他均相同，任意摸一根，摸到（ ）色筷子可能性最大；至少从中摸（ ）根筷子，才能保证摸出一双同色筷子。 15．有8只鸽子飞回6个鸽舍，至少有（ ）只鸽子飞回同一个鸽舍。 16．为庆祝中国共产党的生日，使学生更多地了解中国共产党的辉煌历史，实验小学组织了一次党史知识竞答比赛。此次比赛共有6道题，每道题答对得5分，答错或不答扣1分。 （1）小明答对了4道题，答错了2道题，他的总得分是（ ）分。 （2）已知参加此次竞答比赛的学生中，至少有3个人的得分相同，则参加比赛的学生至少有（ ）人。 17．布袋里有4种不同颜色的小球若干个，最少取出（ ）个小球就能保证其中一定有3个小球的颜色相同。 18．某校六年级四个班各派出16名同学参加运动会，这些参赛学生中，至少有（ ）名学生在同一个月过生日：若从所有参赛学生中随机选取一些同学手举彩旗，至少要选取（ ）名，才能保证有3名是同一个班级的学生。 19．仓库存放红、黄、蓝三种电芯各6盒，至少取出（ ）盒电芯，才能保证拿到两盒颜色相同的电芯。 20．小然和家人到驻马店的皇家驿站游玩，在“羽箭俱乐部”玩射箭，射了8支箭，成绩是57环。小然射出的箭至少有一箭不低于（ ）环。 三、解答题 21．体育课上同学们进行投篮练习，其中6名同学共投进37个球。总有1名同学至少投进几个球？ 22．从一副扑克牌中取出两张王牌，还剩下52张，最少摸出多少张牌，才能保证其中至少有两种花色的纸牌？ 23．食堂有5种不同的菜和3种不同的主食，每人只买一种菜和一种主食。菜和主食有多少种搭配方式？在16名同学中，至少有2名同学所买的菜和主食都是相同的。为什么？ 24．从下面12张英语卡片中，任意抽出几张。要使抽出的英语卡片中一定有2张英语单词是相同的，至少要抽出几张卡片？要使抽出的英语卡片中一定有4张英语单词是相同的，至少要抽出几张卡片？ 25．箱子里有5种不同品牌的果冻各20个，要保证摸到的果冻有4个是同种品牌的，至少要摸出多少个果冻？ 26．王庄小学六年级有这么一群“小牛娃”，他们喜欢科学，喜欢创新，并在市里举办的青少年科技创新大赛中取得佳绩。已知六年级共有5个班，一共有18名同学获奖。 （1）总有一个班至少有多少名同学获奖？ （2）18名获奖同学来自本市的4个社区，至少有几名同学来自同一个社区？ （3）把50本科技读本奖励给这18名获奖同学，总有1名同学至少能分到多少本科技读本？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版·新教材六年级数学上册 数学广角：鸽巢问题（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：鸽巢原理的基本概念 1.核心要素 （1）鸽巢（抽屉）：存放物体的容器； （2）物体：需要分配的对象； （3）关键词：①总有：一定存在、肯定有；②至少：最少、不少于。 2.原理本质：把多于n个的物体放进n个鸽巢里，总有一个鸽巢里至少放进2个物体。 知识点02：鸽巢原理的两种基本模型 1.模型1：物体数>鸽巢数（基础型） （1）结论：把m个物体放进n个鸽巢里（m>n，m、n为正整数），总有一个鸽巢里至少放进2个物体。 （2）解题关键：判断“物体数”和“鸽巢数”，明确谁是物体、谁是鸽巢。 2.模型2：物体数= k×鸽巢数 +r（0<r≤n，进阶型） （1）通用公式 ①计算：物体数÷鸽巢数=商k……余数r ②结论：总有一个鸽巢里至少放进k+1个物体。 （2）核心逻辑：平均分配后，余数的物体不管怎么放，总有一个鸽巢至少多放1个。 （3）特殊情况：若余数r=0，则至少数=商k。 3.解题步骤（通用四步法） （1）定鸽巢：分析题意，确定“鸽巢”的数量（如人数、颜色种类、盒子数等）； （2）数物体：确定需要分配的“物体”数量； （3）算商余：用物体数÷鸽巢数，计算出商和余数； （4）得结论：根据公式确定“至少数”，规范表述“总有一个鸽巢里至少有……”。 【易错点】 （1）混淆“鸽巢”和“物体”：如摸球问题中，误把球的数量当鸽巢，颜色种类当物体。 （2）误解“至少”的含义：认为“至少数”是余数的数量，而非商+ 1（如10个物体放进3个鸽巢，10÷3=3……1，至少数是4而非1）。 （3）物体数未明确时的判定错误：如“保证摸出2个同色球”，未考虑最不利情况（先摸出所有颜色各1个，再摸1个即可）。 （4）最不利原则应用失误：解决“保证……”类问题时，未先考虑“最倒霉”的情况。 （5）鸽巢数判定失误：如属相问题中，误将人数当鸽巢，忽略12个属相才是鸽巢数。 考点01：基础鸽巢问题 【典型例题1】六（2）班有学生47名，他们分别订阅了A、B、C三种杂志中的一种，至少有几名学生订阅的杂志相同？ 【答案】16名 【分析】订阅的杂志可选A、B、C中的一种，所以共有3种不同的订阅类别，这是鸽巢问题中的“鸽巢数”；总人数47是鸽巢问题中的“物体数”；要计算至少数，那么用物体数除以鸽巢数，根据有余数除法的结果，判断至少数。 【详解】订阅杂志的种类共3种。 ……2 （名） 答：至少有名学生订阅的杂志相同。 【典型例题2】井冈山风景名胜景区是“红色旅游经典景区”。学校组织50名同学去参观井冈山革命博物馆、井冈山革命烈士陵园和井冈山革命斗争旧址群三个景点。每名同学至少参观一个景点，那么至少有（     ）名同学参观的景点相同。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先计算出所有不同的参观景点的情况数作为抽屉数，再根据抽屉原理计算最少人数。 【详解】不同的参观情况总数： 只参观1个景点有3种，参观2个景点有3种，参观3个景点有1种， （种） （名） 【练习1】把14支中性笔放进5个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支中性笔。 【答案】3 【分析】用中性笔的总数除以笔筒的总数，得到的商表示平均每个笔筒放的支数，余数表示剩下的支数。剩下的支数无论怎么放，都会使某些笔筒里的数量增加 1，所以至少数等于商加 1。 【详解】14÷5＝2（支）……4（支） 2＋1＝3（支） 【练习2】跳绳比赛分为男生组和女生组，六（1）班派出4名同学参加跳绳比赛。下面说法正确的是（     ）。 A．每个组至少有2名六（1）班的同学 B．男生组一定有2名六（1）班的同学 C．总有一个组至少有2名六（1）班的同学 D．以上说法都不正确 【答案】C 【分析】抽屉原理是把多于抽屉数量的物体放进一些抽屉中，无论怎么分配，至少会有一个抽屉里放了不少于2个物体。利用抽屉原理逐个分析选项判断正误。 【详解】A．存在4名同学全为男生或全为女生的情况，此时其中一个组有0名六（1）班的同学，说法错误，不符合题意。 B．存在4名同学全为女生的情况，此时男生组有0名六（1）班的同学，说法错误，不符合题意。 C．将男生组和女生组看作2个抽屉，六（1）班的4名同学看作4个待分配元素，（名），无论怎么分配，总有一个组至少有2名同学，说法正确，符合题意。 Ｄ．选项C说法正确，原选项说法错误，不符合题意。 考点02：鸽巢问题的进阶 【典型例题1】六年级1班有45名同学，他们每人都报名参加了至少一项学校社团活动，学校社团包括：书法社、围棋社、科技社。问：至少有多少名同学参加的社团是完全相同的？ 【答案】7名 【分析】先确定不同的社团报名组合种类，因为每人至少报1项，所以需要分类枚举报1项、报2项、报3项的所有情况，得到总共有多少种不同的报名类型。 把不同的报名类型看作抽屉，45名同学看作元素，因为要让参加社团完全相同的人数最少，所以需要将元素尽可能平均分配到各个抽屉中，用到抽屉原理求解。 用总人数除以抽屉数，如果能整除，商就是所求的最小值；如果有余数，商加1就是所求的最小值。 【详解】只参加1个社团的选法有3种； 参加2个社团的选法有3种； 参加3个社团的选法有1种； 不同的报名组合共有：（种） （名）（名） （名） 答：至少有7名同学参加的社团是完全相同的。 【典型例题2】奇奇想要购买一张电影票，购买时他发现第8排一共有19个座位，并且已经有一部分座位被选中，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，则第8排至少已经被选中了（ ）个座位。 【答案】7 【分析】要解决这个问题，需要构造一种座位选择方式，使得任意未选中的座位都至少有一个相邻的被选中座位，并找到这种方式下最少的被选中座位数。那么座位的排列应该是每隔两个空座位就有一个已选座位，即“空空选空空选……”这样的规律，据此解答。 【详解】把“空空选”看作一组，一组有3个座位。19÷3＝6（组）……1（个），6组就有6个已选座位，余下的1个座位也应该是已选座位，这样才能保证无论选哪个位置都有相邻的人，所以已选座位有6＋1＝7（个）。 故第8排至少已经被选中了7个座位。 【练习1】西山区某小学组织学生到湿地公园开展研学活动，活动现场设置了“鸟类观察”、“植物标本制作”、“水质检测”3个体验区，如果要保证至少有一个体验区里有4名同学，那么至少需要（ ）名同学参与体验。 【答案】10 【分析】要满足“保证至少有一个体验区里有4名同学”的要求，先考虑所有不满足条件的极端情况：先给3个体验区每个都分配3名学生， 此时任意一个体验区的人数都达不到4名。在此基础上再增加1名同学，无论将这名同学分配到哪个体验区，都一定会让该体验区的人数达到4名。 【详解】 （名） 至少需要10名同学参与体验。 【练习2】某班有59名小学生，他们都订阅了《小朋友》《儿童时代》《少年报》中的一种或几种，那么其中至少有（ ）名学生订的报刊种类完全相同。 【答案】9 【分析】根据题意学生订阅了《小朋友》《儿童时代》《少年报》中的一种或几种，订阅情况分为：只订阅一种，订阅其中两种，三种都订阅，求出一共有多少种订阅方法；将订阅方法看作抽屉，学生人数是要放进抽屉里的物品，用人数除以抽屉数，订阅报刊数完全相同的人数要比商多1。 【详解】只订阅一种有《小朋友》、《儿童时代》和《少年报》三种情况； 订阅其中两种有《小朋友》《儿童时代》、《小朋友》《少年报》和《儿童时代》《少年报》三种情况； 三种都订阅有《小朋友》《儿童时代》《少年报》一种情况。 （种） （名） （名） 考点03：最不利原则 【典型例题1】希望小学绘画兴趣小组的同学中，最大的12岁，最小的6岁，最少从中挑选（     ）名学生，就一定能找到两个年龄相同的学生。 A．7 B．8 C．13 D．17 【答案】B 【分析】先算出6岁到12岁共有多少种不同的年龄，最坏情况是先挑选的学生年龄都不重复，每个年龄各1名，再多挑1名就一定能找到两个年龄相同的学生。 【详解】（种） （名） 最少从中挑选8名学生，就一定能找到两个年龄相同的学生。 【典型例题2】我国古代君子六艺中的“五射”包括“白矢（shǐ）”“参连”“剡（yǎn）注”“襄尺”和“井仪”五种射法。其中“参连”是发了第一箭后，以后三箭要连续射出，俗称“连珠箭”。王叔叔练习“参连”射法，连发四箭，成绩是33环，则王叔叔总有一箭至少射中了几环？ 【答案】9环 【分析】从最不利情况考虑，让四箭的环数尽可能平均，平均数加1能得到“总有一箭至少射中”的最低环数。 【详解】（环）（环） （环） 答：王叔叔总有一箭至少射中了9环。 【练习1】饲养员给10只猴子分香蕉，无论怎么分总有一只猴子至少得到6根香蕉，饲养员至少要拿来（     ）根香蕉。 A．11 B．51 C．60 D．61 【答案】B 【分析】要保证总有一只猴子至少得到6根香蕉，需考虑最不利的情况：每只猴子先都分到5根香蕉，此时再多1根香蕉，就能满足条件。 【详解】（根） （根） 饲养员至少要拿来51根香蕉。 【练习2】根据《国家学生体质健康标准》，六年级女生一分钟跳绳达到152下及以上为优秀。某校六年级进行一分钟跳绳测试，有90名女生获得优秀，这些获得优秀的女生一分钟跳绳次数最少的是160下，最多的是190下。这些获得优秀的女生中至少有（ ）人的跳绳成绩是相同的。 【答案】3 【分析】先用190减去160加1计算出优秀女生跳绳成绩的所有可能不同取值的数量；再用总人数90人除以不同成绩的数量，根据商和余数判断至少有多少人成绩相同，如果有余数，那么至少的人数为商加1，如果没有余数则为商。 【详解】 =31 （种） （人） 这些获得优秀的女生中至少有3人的跳绳成绩是相同的。 一、选择题 1．盒子里有同样大小的红球和蓝球各5个，要想摸出的球一定有2个颜色相同，至少摸出（     ）个球。 A．6 B．2 C．3 【答案】C 【分析】考虑最不利的摸球情况，先摸出个不同颜色的球，再摸个就一定能保证有个颜色相同。 【详解】（个） 至少摸出个球。 2．下面问题可以运用“鸽巢原理”解决的是（     ）。 A．从A到B有2条路，从B到C有3条路，从A到C有几种不同的走法。 B．15名女生分到4个小组做游戏，至少有几名女生要分到同一小组里。 C．有12个零件，其中11个质量相同，只有一个质量轻一些，用天平至少称几次能保证找出这个零件。 【答案】B 【分析】鸽巢原理是指：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。 判断每个选项是否符合鸽巢原理的特征，即是否存在将元素放入集合，且要保证至少有一个集合中有特定数量元素的情况。 【详解】A．从A到B有2条路，从B到C有3条路，从A到C的不同走法是根据乘法原理计算，即从A到B的路数乘从B到C的路数，2×3＝6（种），这是组合问题，不是鸽巢原理。 B．把15名女生分到4个小组做游戏，将15名女生看作15个元素，4个小组看作4个集合。根据鸽巢原理，15÷4＝3（名）……3（名），其中3是商，3是余数。这意味着平均每个小组分3名女生后，还剩下3名女生。剩下的3名女生无论分到哪个小组，都会使得至少有一个小组的女生人数为3＋1＝4（名），所以可以运用鸽巢原理解决。 C．有12个零件，其中11个质量相同，只有一个质量轻一些，用天平至少称几次能保证找出这个零件，这是找次品问题，通过合理分组利用天平称重的方式来找出次品，不是鸽巢原理。 因此，可以运用“鸽巢原理”解决的是15名女生分到4个小组做游戏，至少有几名女生要分到同一小组里。 3．把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同方法一共有（     ）。 A．4种 B．5种 C．6种 【答案】C 【分析】先把5拆成3个大于0的正整数的和，只有两种分拆情况，分别计算每种拆分对应的分配方法，相加得到总方法数。 【详解】第一种分法： 礼物数量为2，2，1，从3个小朋友中选1个拿1个礼物，有3种方法； 第二种分法： 礼物数量为3，1，1，从3个小朋友中选1个拿3个礼物，有3种方法； 总方法数：（种） 4．有四种花色的扑克牌各4张，要想摸出的扑克牌中一定有3张同色的，至少要摸出（     ）张。 A．8 B．9 C．10 【答案】B 【分析】考虑最不利情况：每种花色都摸出2张，此时再摸1张，不管摸到哪种花色，都一定有3张同色的牌。 【详解】4×2＋1 ＝8＋1 ＝9（张） 即至少要摸出9张。 5．我们班52人，则最少有（     ）名同学是同一个月出生的。 A．4 B．5 C．6 【答案】B 【分析】把12个月看作12个抽屉，52名同学看作待分配的元素，按最不利原则平均分配后，余下的元素无论分到哪个抽屉，该抽屉的元素数至少会增加1。 【详解】一年共有12个月 （名）（名） （名） 二、填空题 6．把12本书放进4个抽屉里，总有一个抽屉至少放进（ ）本书；把14本书放进13个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进（ ）本书。 【答案】 3 2 【分析】（1）把12本书平均放进4个抽屉里，正好每个抽屉里放3本，没有剩余，所以总有一个抽屉至少放进3本书。 （2）先将14本书平均放进13个抽屉里，每个抽屉里放1本后，还剩下1本，这1本书无论放进哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进（1＋1）本书。 【详解】（1）12÷4＝3（本） （2）14÷13＝1（本）……1（本） 1＋1＝2（本） 7．把一些苹果放在3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放入几个呢？先完成下表，再填空。 苹果个数 4 5 6 7 8 … 放苹果最多的抽屉至少放进的个数 … 我发现，求抽屉至少放入的物体数就是用物体数除以（   ）数，当物体数能被整除时，至少放入的物体数就等于（     ）；当物体数不能被整除时，至少放入的物体数就等于（     ）。 【答案】2，2，2，3，3；抽屉；商；商 【分析】求抽屉至少放入的物体数时：用物体数除以抽屉数； 若物体数能被抽屉数整除（余数为），则至少放入的物体数等于商； 若物体数不能被抽屉数整除（余数大于或等于），则至少放入的物体数等于商。 【详解】 （个） （个） （个） （个） 求抽屉至少放入的物体数就是用物体数除以抽屉数，当物体数能被整除时，至少放入的物体数就等于商；当物体数不能被整除时，至少放入的物体数就等于商。 8．为落实五育并举，促进融合育人，博爱小学开展了丰富多彩的社团活动。六（1）班有19名同学参加了手工社团、舞蹈社团和羽毛球社团，每人可以参加一个社团、两个社团或三个社团。这些同学中至少有（ ）名同学参加的社团情况完全相同。 【答案】3 【分析】只参加个社团：种（手工、舞蹈、羽毛球）；参加个社团：3种（手工舞蹈、手工羽毛球、舞蹈羽毛球）；参加个社团：种（手工舞蹈羽毛球）；总共有种不同方案。共有名同学，相当于个“物品“要放进个“抽屉”中。（名），那么从第个人开始一定有第三个人和其他两个人一样。 【详解】 （种） （名）（名） （名） 9．有长度分别为3cm、4cm、5cm的小棒各4根，任意选取，至少取出（ ）根小棒才能保证围成一个等边三角形。 【答案】7 【分析】围成等边三角形需要3根长度相同的小棒。题目中有3种不同长度的小棒，考虑最不利情况，即每种长度的小棒都取出了2根，此时还没有凑齐3根相同长度的小棒。在此基础上再取1根，就能保证一定有3根长度相同的小棒，从而围成等边三角形。 【详解】由分析可知，至少取出的小棒数量是：（根） 10．将8只小兔放进3个笼子里，至少有一个笼子放（ ）只小兔。 【答案】3 【分析】先考虑最平均分配的情况，尽量把小兔平均分到各个笼子里，这样每个笼子里兔子的数量会尽可能少。用兔子总数除以笼子数量，得到商和余数，余下的兔子不管放到哪个笼子，这个笼子里兔子的数量就是商加1。 【详解】，剩下的2只小兔，再分别放进笼子里，所以至少有一个笼子里兔子数量是（只）。 11．9个小朋友乘5只小船游玩，至少要有（ ）个小朋友乘同一只船里；26个小朋友乘7只小船游玩，至少要有（ ）个小朋友乘同一只小船里。 【答案】 2 4 【分析】①把5只小船看作5个抽屉，将9个小朋友尽量平均分配到5个抽屉中，剩余的小朋友也要分到其中的抽屉中，根据被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 ②同理，把7只小船看作7个抽屉，将26个小朋友尽量平均分配到7个抽屉中，剩余的小朋友也要分到其中的抽屉中，根据被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【详解】①9÷5＝1（个）……4（个） 1＋1＝2（个） ②26÷7＝3（个）……5（个） 3＋1＝4（个） 9个小朋友乘5只小船游玩，至少要有2个小朋友乘同一只船里；26个小朋友乘7只小船游玩，至少要有4个小朋友乘同一只小船里。 12．张老师把28名学生分成5个组，总有一组至少有（ ）人。 【答案】6 【分析】将28名学生看作要分配的物体，5个组看作抽屉。要确定总有一组至少有几人，应考虑尽可能平均分配的情况。用学生总数除以组数，得到的商表示平均每组的人数，余数表示剩余的人数。剩余的人无论怎么分配，都会使某些组的人数在商的基础上增加1。 【详解】根据题意，利用抽屉原理进行计算： 商是5，余数是3，表示平均每组5人，还剩3人； 将剩下的3人分给其中的3个组，则这3个组每组有：（人） 所以总有一组至少有6人。 13．把红、黑、黄、蓝四种颜色的玻璃球各10个放到一个纸盒里，至少取（ ）个球，可以保证取到两个颜色相同的球；至少取（ ）个球，可以保证取到三个颜色相同的球。 【答案】 5 9 【分析】把四种颜色看作4个抽屉，把取出的玻璃球看作物体。要保证取到指定数量颜色相同的球，需要考虑最不利的情况，即每种颜色的球都取到了尽可能多的数量，但还没有达到要求的数量，在此基础上再取1个球即可满足条件。 【详解】要保证取到两个颜色相同的球：考虑最不利情况，即每种颜色各取了1个球，此时共取了：（个），在此基础上再取1个球，无论是什么颜色，都能保证有2个球颜色相同，所以至少取：（个）； 要保证取到三个颜色相同的球：考虑最不利情况，即每种颜色各取了2个球，此时共取了：（个），在此基础上再取1个球，无论是什么颜色，都能保证有3个球颜色相同，所以至少取：（个）。 14．一个纸箱里有3根白色筷子、4根黑色筷子、5根灰色筷子，除颜色外其他均相同，任意摸一根，摸到（ ）色筷子可能性最大；至少从中摸（ ）根筷子，才能保证摸出一双同色筷子。 【答案】 灰 4 【分析】总筷子数固定时，某颜色筷子的数量越多，摸到它的可能性就越大。这里白色有3根、黑色有4根、灰色有5根，灰色筷子数量最多，所以摸到灰色筷子的可能性最大。 求保证摸出一双同色筷子的最少数量：这是最不利原则的问题，最倒霉的情况是前3次摸出的筷子颜色全都不一样，白、黑、灰各摸了1根，这时候再多摸1根，不管摸到什么颜色，一定会和之前摸出的某一根颜色相同，凑成一双同色筷子。 【详解】5＞4＞3 所以摸到灰色筷子的可能性最大。 3＋1＝4（根） 至少从中摸4根筷子，才能保证摸出一双同色筷子。 15．有8只鸽子飞回6个鸽舍，至少有（ ）只鸽子飞回同一个鸽舍。 【答案】2 【分析】将鸽子看作“物体”，将鸽舍看作“抽屉”。要确定“至少”有几只鸽子飞回同一个鸽舍，需要考虑最不利的情况，即尽可能将鸽子平均分配到各个鸽舍中。利用物体数除以抽屉数，根据商和余数来确定至少数。 【详解】把8只鸽子看作物体，6个鸽舍看作抽屉。根据鸽巢原理，将物体平均分到抽屉中：，商是1，表示平均每个鸽舍飞回1只鸽子；余数是2，表示还剩下2只鸽子。剩下的2只鸽子无论飞进哪个鸽舍，都会使该鸽舍的鸽子数量增加。所以至少有：（只）。 16．为庆祝中国共产党的生日，使学生更多地了解中国共产党的辉煌历史，实验小学组织了一次党史知识竞答比赛。此次比赛共有6道题，每道题答对得5分，答错或不答扣1分。 （1）小明答对了4道题，答错了2道题，他的总得分是（ ）分。 （2）已知参加此次竞答比赛的学生中，至少有3个人的得分相同，则参加比赛的学生至少有（ ）人。 【答案】（1）18 （2）15 【分析】（1）用小明答对4道题的得分减去答错2道题的得分，即可求出他的总得分。 （2）根据抽屉原理（最不利原则），先求出答对的题数从0至6道的得分情况，先假设每种得分刚好是2人，再增加1人，必然和其中一种得分相同，则用得分的种数乘2，再加上1人，即可解答。 【详解】（1）4×5－2×1 ＝20－2 ＝18（分） （2）答对0道：0×5－6×1 ＝0－6 ＝﹣6（分） 答对1道：1×5－5×1 ＝5－5 ＝0（分） 答对2道：2×5－4×1 ＝10－4 ＝6（分） 答对3道：3×5－3×1 ＝15－3 ＝12（分） 答对4道：4×5－2×1 ＝20－2 ＝18（分） 答对5道：5×5－1×1 ＝25－1 ＝24（分） 答对6道：6×5＝30（分） 一共7种得分情况； 7×2＋1 ＝14＋1 ＝15（人） 17．布袋里有4种不同颜色的小球若干个，最少取出（ ）个小球就能保证其中一定有3个小球的颜色相同。 【答案】9 【分析】根据抽屉原理可知，4种不同的颜色相当于4个抽屉，要保证一个抽屉中有3个同色的小球，在取到第3个同色的小球之前需要保证每个抽屉中已经有2个同色的小球，根据最不利原则，第一次取出的4个小球颜色都不相同，第二次取出的4个小球颜色也都不同，此时每种颜色的小球都已经有2个，第三次从布袋中再任意取一个小球，一定会出现有3个颜色相同的小球。 【详解】（3－1）×4＋1 ＝2×4＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 18．某校六年级四个班各派出16名同学参加运动会，这些参赛学生中，至少有（ ）名学生在同一个月过生日：若从所有参赛学生中随机选取一些同学手举彩旗，至少要选取（ ）名，才能保证有3名是同一个班级的学生。 【答案】 6 9 【分析】用班级数乘每班参赛人数求出总人数，再用总人数除以一年的12个月，求出平均每个月的人数，有余数结果就再加1；一共有4个班，先假设每个班都选到2名同学，再多选1名，即可保证有3名是同一个班级的。 【详解】4×16＝64（名） 64÷12＝5（名）……4（名） 5＋1＝6（名） 4×2＋1 ＝8＋1 ＝9（名） 19．仓库存放红、黄、蓝三种电芯各6盒，至少取出（ ）盒电芯，才能保证拿到两盒颜色相同的电芯。 【答案】4 【分析】考虑最不凑巧的情况：前3次取出的电芯，红、黄、蓝三种颜色各拿到了1盒，这时候还没有两盒颜色相同。接下来只要再多取1盒，不管这盒是什么颜色，一定会和之前拿到的某一种颜色的电芯凑成两盒同色的。 【详解】3＋1＝4（盒） 20．小然和家人到驻马店的皇家驿站游玩，在“羽箭俱乐部”玩射箭，射了8支箭，成绩是57环。小然射出的箭至少有一箭不低于（ ）环。 【答案】 【分析】将环总成绩看作物体总数，支箭看作抽屉数。为了求“至少有一箭不低于多少环”，需要考虑最不利的情况，即把总成绩尽可能平均地分配给每一支箭。通过计算平均数及余数，利用抽屉原理的结论（至少数 等于 商加）进行求解。 【详解】57÷8＝7（环）……1（环） （环） 小然射出的箭至少有一箭不低于环。 三、解答题 21．体育课上同学们进行投篮练习，其中6名同学共投进37个球。总有1名同学至少投进几个球？ 【答案】 总有1名同学至少投进7个球。 【分析】把6名同学看作6个鸽巢，37个投进的球看作待分的物体，根据鸽巢原理，用总球数除以人数，有余数时，至少投进的球数为商加1。 【详解】 （个） 答：总有1名同学至少投进7个球。 22．从一副扑克牌中取出两张王牌，还剩下52张，最少摸出多少张牌，才能保证其中至少有两种花色的纸牌？ 【答案】14张 【分析】依题意可知：一副扑克牌中取出两张王牌，还剩下张，要保证至少有两种花色，需考虑最不利的情况先把同一种花色的牌全部摸出，此时再摸张，必然是另一种花色；扑克牌共有种花色，每种花色的张数相等，所以用先计算出单种花色的总张数；先摸出了某一种花色的全部张数，那么此时再摸张，就必然会出现第二种花色，由此可计算最少摸牌的数量。 【详解】计算每种花色的牌数： （张） 最不利情况是先摸完种花色的张牌，再摸张必为其他花色： （张） 答：最少摸出张牌，才能保证其中至少有两种花色的纸牌。 23．食堂有5种不同的菜和3种不同的主食，每人只买一种菜和一种主食。菜和主食有多少种搭配方式？在16名同学中，至少有2名同学所买的菜和主食都是相同的。为什么？ 【答案】15种 因为，根据抽屉原理，至少有2名同学的菜和主食搭配方式相同 【分析】先通过乘法计算菜和主食的总搭配数，再把搭配数看作抽屉数，学生数看作物品数，用抽屉原理计算至少数。 【详解】搭配方式： （种） 把15种搭配看作15个抽屉，16名同学看作16个物品。 （名）（名） （名） 答：菜和主食有15种搭配方式，因为，根据抽屉原理，至少有2名同学的菜和主食搭配方式相同。 24．从下面12张英语卡片中，任意抽出几张。要使抽出的英语卡片中一定有2张英语单词是相同的，至少要抽出几张卡片？要使抽出的英语卡片中一定有4张英语单词是相同的，至少要抽出几张卡片？ 【答案】至少要抽出张才能保证有张相同；至少要抽出张才能保证有张相同。 【分析】观察可知：一共有种不同单词，考虑最坏的情况，要保证有张相同的最坏情况为每种单词各抽取张，共抽取张，此时再抽张必然会出现张相同的单词；最坏情况：每种单词都先抽到张，还没有任何一种凑够张。再抽张，这一张必然属于三个单词中的某一个，这个单词就变成张。 【详解】（张） （张） 答：至少要抽出张才能保证有张相同；至少要抽出张才能保证有张相同。 25．箱子里有5种不同品牌的果冻各20个，要保证摸到的果冻有4个是同种品牌的，至少要摸出多少个果冻？ 【答案】16个 【分析】要保证摸到的果冻有4个是同种品牌，先考虑最不利的情况，也就是每种品牌都只摸到了3个，此时一共摸了5×3＝15个果冻，还没有任何一个品牌达到4个；接下来再摸1个，无论这个果冻是哪个品牌，都会让这个品牌的果冻数量变成4个，所以至少要摸出15＋1＝16个果冻。 【详解】3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 答：至少要摸出16个果冻。 26．王庄小学六年级有这么一群“小牛娃”，他们喜欢科学，喜欢创新，并在市里举办的青少年科技创新大赛中取得佳绩。已知六年级共有5个班，一共有18名同学获奖。 （1）总有一个班至少有多少名同学获奖？ （2）18名获奖同学来自本市的4个社区，至少有几名同学来自同一个社区？ （3）把50本科技读本奖励给这18名获奖同学，总有1名同学至少能分到多少本科技读本？ 【答案】（1）4名 （2）5名 （3）3本 【分析】三道题均为鸽巢问题，解题时先确定鸽巢数量和待分物品总数量，用待分物品总数量除以鸽巢数量，若有余数，则至少数为商加1；若无余数，则至少数为商。 【详解】（1）（名）（名） （名） 答：总有一个班至少有4名同学获奖。 （2）（名）（名） （名） 答：至少有5名同学来自同一个社区。 （3）（本）（本） （本） 答：总有1名同学至少能分到3本科技读本。 2 / 2 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