第3章 圆 【章末复习】（课件）--2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第3章章末复习卷已完成：按 Word 式口径约 1685 字，24 题，题号 1–24 连续，答案与题号一一对应。 --- # 苏科版数学九年级上册 第3章 圆 章末复习 ## 一、知识网络 1. 圆：轴对称图形（任一直径所在直线为对称轴），也是中心对称图形。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧；推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦。半径R、弦a、弦心距d满足(½a)²＋d²＝R²。 2. 同圆或等圆中，圆心角相等、弧相等、弦相等、弦心距相等，四者互相等价。 3. 圆周角等于同弧所对圆心角的一半；同弧或等弧所对圆周角相等；直径所对圆周角是直角；圆内接四边形对角互补。 4. 直线与圆：d＞r相离，d＝r相切，d＜r相交。切线判定“过半径外端且垂直该半径”，性质“切线垂直过切点的半径”；切线长定理PA＝PB且OP平分∠APB；外心为三边垂直平分线交点，内心为三条角平分线交点。 5. 正多边形：中心角＝360°/n；正三角形r＝√3a/6，正方形r＝a/2，正六边形R＝a、r＝√3a/2；面积＝½×周长×边心距。 6. 弧长l＝nπR/180，S扇形＝½lR；圆锥S侧＝πrl，S全＝πrl＋πr²，展开圆心角n＝360r/l。 ## 二、选择题 1. ⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆心O到AB的距离是（　） A. 2　B. 3　C. 4　D. 5 2. 在同圆中，下列结论一定成立的是（　） A. 弦相等则弦心距不等　B. 弧相等则弦相等 C. 弦相等则所对的圆周角相等　D. 圆心角相等则弦心距相等 3. AB是⊙O的直径，C在⊙O上，∠ABC＝35°，则∠BAC的度数是（　） A. 35°　B. 45°　C. 55°　D. 65° 4. 四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝80°，则∠C的度数是（　） A. 80°　B. 90°　C. 100°　D. 120° 5. 三角形的外心是（　） A. 三条中线的交点　B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点　D. 三条边垂直平分线的交点 6. ⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则过P所作的⊙O的切线长为（　） A. √7　B. 5　C. 7　D. √5 7. 正六边形的边长为2，则它的边心距是（　） A. 1　B. √3　C. 2　D. 2√3 8. 半径为6、圆心角为120°的弧长是（　） A. 2π　B. 4π　C. 6π　D. 12π ## 三、填空题 9. ⊙O的半径为10，弦AB＝16，则圆心O到AB的距离是______，半弦长是______。 10. ⊙O的半径为6，弦AB＝6，则弦AB所对的圆心角是______，弦心距是______。 11. ⊙O中∠AOB＝140°，C为优弧AB上一点，则∠ACB＝______。 12. 四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D＝______。 13. PA、PB切⊙O于A、B，∠APB＝60°，OP＝6，则⊙O的半径是______，PA＝______。 14. 正十二边形的中心角是______，每个内角是______。 15. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积是______，展开图圆心角是______。 16. 一个扇形的半径是4，面积是4π，则它的圆心角是______，弧长是______。 ## 四、解答题 17. ⊙O的半径为10，弦AB＝16，C是弧AB的中点，连结OC交AB于D。求OD、CD的长。 18. 在⊙O中，弦AB＝CD。求证：弧AB＝弧CD。 19. PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB＝60°，PA＝3√3。求OP、⊙O的半径、AB的长及四边形AOBP的面积。 20. 正六边形ABCDEF的边长为4，求它的外接圆半径、边心距和面积。 21. 扇形OAB中∠AOB＝90°，OA＝4，以OA为直径在扇形内作半圆。求扇形的面积和半圆的面积。 22. 圆锥的底面半径为6，母线长为10。求它的高、侧面积、全面积及侧面展开图扇形的圆心角。 23. AB是⊙O的直径，C在⊙O上，∠ABC＝30°，过A作⊙O的切线交BC的延长线于D。求∠D的度数。 24. 一个圆锥形冰淇淋纸筒（无底）的底面直径是6cm，母线长是5cm。求制作纸筒所需材料的面积及展开图圆心角。 ## 五、参考答案与解析 1. B。d＝√(R²－(½AB)²)＝√(25－16)＝3。 2. D。圆心角相等则弦、弦心距都相等；C项弦相等时不同弧上的圆周角未必相等。 3. C。AB为直径，∠ACB＝90°，故∠BAC＝90°－35°＝55°。 4. C。圆内接四边形对角互补，∠C＝180°－80°＝100°。 5. D。外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。 6. A。切线长＝√(PO²－r²)＝√(16－9)＝√7。 7. B。r＝√3a/2＝√3。 8. B。l＝120π×6/180＝4π。 9. 距离6，半弦长8。½AB＝8，d＝√(100－64)＝6。 10. 圆心角60°，弦心距3√3。由½AB＝3＝Rsin30°知圆心角为60°，d＝√(36－9)＝3√3。 11. 70°。∠ACB＝½∠AOB＝70°。 12. ∠D＝90°。设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x，由∠A＋∠C＝180°得6x＝180°，x＝30°，故∠B＝90°，∠D＝180°－90°＝90°。 13. 半径3，PA＝3√3。OP平分∠APB，∠APO＝30°，r＝OP·sin30°＝3，PA＝OP·cos30°＝3√3。 14. 30°；150°。中心角＝360°/12＝30°，内角＝180°－30°＝150°。 15. 侧面积15π，圆心角216°。S侧＝πrl＝15π，n＝360r/l＝360×3/5＝216°。 16. 圆心角90°，弧长2π。由nπ×16/360＝4π得n＝90°，l＝90π×4/180＝2π。 17. C是弧AB的中点，故OC⊥AB且平分AB，AD＝8。OD＝√(10²－8²)＝6，CD＝OC－OD＝10－6＝4。 18. 证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F。因为AB＝CD，所以OE＝OF（同圆中弦相等则弦心距相等）。在Rt△OAE与Rt△OCF中，OA＝OC，OE＝OF，所以两三角形全等，得∠AOE＝∠COF，即圆心角∠AOB＝∠COD，故弧AB＝弧CD。 19. 连结OA、OP。∠APO＝30°，∠OAP＝90°，故OP＝OA/sin30°＝2r；由PA＝AO/tan30°得3√3＝r√3，r＝3，OP＝6。由PA＝PB、∠APB＝60°知△PAB为等边三角形，AB＝3√3。四边形AOBP的面积＝2×½×3×3√3＝9√3。 20. R＝a＝4；边心距r＝√3a/2＝2√3；面积＝½×周长×边心距＝½×24×2√3＝24√3。 21. 扇形面积＝90π×16/360＝4π；半圆半径为2，面积＝½π×4＝2π。 22. h＝√(100－36)＝8；S侧＝π×6×10＝60π；S全＝60π＋36π＝96π；n＝360×6/10＝216°。 23. AB为直径，∠ACB＝90°，故∠BAC＝60°。AD切⊙O于A，AD⊥AB，∠DAB＝90°。在△ABD中，∠ABD＝∠ABC＝30°，故∠D＝180°－90°－30°＝60°。 24. r＝3cm，S侧＝π×3×5＝15π cm²；n＝360×3/5＝216°。 ## 六、易错提醒与复习建议 1. 垂径计算都靠“半径、半弦、弦心距”这个直角三角形，先把三量摆出来再套勾股。 2. 圆周角要先看“同弧”，再看点落在优弧还是劣弧；圆内接四边形牢记对角互补。 3. 切线题两条主线：证切线连半径证垂直（或作垂线证d＝r）；已知切线必连半径得直角。 4. 三组公式别串：扇形半径是母线、圆锥侧面积是πrl、展开圆心角是360r/l。 --- 这份偏“全章串联”。如果只想练易错点，我可以再出一份 20 题、带错因归类的“易错专练”；也可以接着做期中模拟卷（含第1—3章）。 苏科版（新教材）数学九年级上册 章末复习 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第3章 圆 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 知识图谱 圆的基本概念 圆 圆、圆心、半径、弦、弧、圆心角、圆周角 圆的对称性 垂径定理 圆周角 切线的性质与判定 正多边形与圆 点与圆的位置关系 点直线与圆的位置关系 圆心角、弧、弦关系 圆周角定理 推论 圆的相关计算 弧长 扇形面积 圆锥：侧面积、全面积 2 考点串讲 ——1：圆的基本相关概念 圆的定义：平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 相关元素：弦、直径、弧（优弧、劣弧）、圆心角、圆周角 确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆；三角形外接圆、外心 【注意】 直径是最长的弦，但弦不一定是直径。 3 考点串讲 ——2：圆的对称性与垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 【注意】 推论中被平分的弦不能是直径，题目无图时弦要考虑双解情况。 4 考点串讲 ——3：圆周角定理及其推论 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半 推论1：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 推论2：圆内接四边形对角互补，任意一个外角等于它的内对角 【注意】 定理成立前提是同圆或等圆，不要忽略条件。 5 考点串讲 ——4：点与圆的位置关系 三种位置关系： ⊙O半径为r，点P到圆心距离d 点P在圆外 d>r 点P在圆上 d=r 点P在圆内 d<r 6 考点串讲 ——5：直线与圆的位置关系 三种位置关系： 设圆半径r，圆心到直线距离d 相离 d>r，无公共点； 相切 d=r，1个公共点； 相交 d<r，2个公共点 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 7 考点串讲 ——5：直线与圆的位置关系 切线判定：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 三角形内切圆、内心：内心是三角形三条角平分线交点，到三角形三边距离相等 辅助线思路：证切线，有交点连半径证垂直；无交点作垂直证半径 【注意】 证明切线两种辅助线不要混用，看清题目条件。 8 考点串讲 ——6：正多边形与圆 相关概念：正多边形的中心、半径、边心距、中心角 核心关系：正多边形半径、边心距、边长一半构成直角三角形 【注意】 计算时把正多边形问题转化解直角三角形求解。 9 考点串讲 ——7：圆的有关计算 弧长公式： 扇形面积公式： 圆锥相关计算：圆锥母线对应扇形半径，圆锥底面周长等于扇形弧长；会求侧面积（）、全面积 【注意】 圆锥计算区分底面圆半径和母线长，二者不要混淆。 10 题型全解 题型01 圆的基本概念辨析 方法总结 方法1：定义甄别法 熟记圆相关概念定义，逐项核对选项，区分等弧、切线、弦、圆周角等概念的成立条件。 方法2：反例排除法 举出反例，直接推翻错误说法，快速选出正确选项。 题型全解 题型02 三角形外接圆的概念辨析 方法总结 分类1：外心定义 外心是三角形三边垂直平分线交点，到三角形三个顶点距离相等。 分类2：位置判断 锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。 题型全解 题型03 求三角形外心坐标 方法总结 方法1：垂直平分线作图法 作出三角形两条边的垂直平分线，交点坐标即为外心坐标。 方法2：列方程求解法 设外心坐标，利用到三个顶点距离相等列方程，解方程组求出坐标。 题型全解 题型04 求特殊三角形外接圆半径 方法总结 方法1：直角三角形结论 直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。 方法2：勾股计算法 普通、等边三角形，连接圆心与顶点，作垂线构造直角三角形，勾股定理求半径。 题型全解 题型05 尺规作图 方法总结 方法1：垂直平分线作图 作两条弦的垂直平分线，交点就是圆心；利用直径所对圆周角为直角找点。 方法2：几何性质作图 依据切线、外接圆相关几何性质，按步骤保留作图痕迹完成画图。 题型全解 题型06 弧、弦、圆心角的关系 方法总结 方法1：等量转化 同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量一组相等，则其余两组对应相等。 方法2：角度计算法 利用圆心角之间倍数、和差关系，计算出所求角度大小。 返回 B 1. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若CD＝8，OD＝5，则BE的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 举一反三 17 返回 2. 如图，AB为⊙O的直径，AC＝AD，∠A＝53°，则∠B的度数是________． 37° ︵ ︵ 举一反三 返回 C 举一反三 返回 举一反三 返回 5. 无锡模拟如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D.若CD＝PB＝2，则⊙O的半径长为________． 举一反三 返回 6. 如图，在⊙O中，AB＝AC＝BC，则∠BOC的度数为________． 120° ︵ ︵ ︵ 举一反三 返回 7. 已知点O为坐标原点，⊙O的半径为r，若点A(2，0)在⊙O内，点P(2，2)在⊙O外，则r的取值范围是__________． 举一反三 返回 8. 已知，⊙O的半径为一元二次方程x2－5x－6＝0的 两根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 A 举一反三 返回 9. 宿迁中考如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数为________． 72° 举一反三 25 举一反三 26 返回 举一反三 27 返回 11. 南京一模在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C(－3，2)，⊙P是△ABC的外接圆，若点D(x，y)是其外接圆上任意一点，则x＋2y的最大值为________． ︵ 举一反三 28 返回 12. 东台期中在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的内切圆的半径长为________． 3 举一反三 29 返回 40 π 举一反三 14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，连接BD，BF是⊙O的切线． (1)求证：BC平分∠DBF； 证明：∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°，∴∠ABC＋∠CBF＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＋∠DCB＝90°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DBC＝∠FBC，∴BC平分∠DBF. 举一反三 举一反三 32 返回 举一反三 15．用一个圆心角为120°，半径为10的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的表面积为________． 举一反三 16. 如图，∠BAO＝90°，AB＝8，动点P在射线AO上，以PA为半径的半圆P交射线AO于另一点C，CD∥BP交半圆P于另一点D，BE∥AO交射线PD于点E，EF⊥AO于点F，连接BD，设AP＝m. (1)求证：∠BDP＝90°； 举一反三 证明：∵PC＝PD，∴∠PDC＝∠PCD. ∵CD∥BP，∴∠BPA＝∠PCD，∠BPD＝∠PDC. ∴∠BPA＝∠BPD. 又∵BP＝BP，AP＝DP，∴△BAP≌△BDP(SAS)． ∴∠BDP＝∠BAP＝90°. 举一反三 (2)若m＝4，求BE的长； 解：∵∠BAO＝90°，BE∥AO，∴∠ABE＝180°－∠BAO＝90°.∵EF⊥AO，∴∠EFA＝90°＝∠ABE＝∠BAF.∴四边形ABEF是矩形，∴BE＝AF，BA＝EF＝8.设BE＝AF＝x，则PF＝x－4.∵∠BDP＝90°，∴∠BDE＝90°＝∠PFE.∵BE∥AO，∴∠BED＝∠EPF.∵△BAP≌△BDP，∴BD＝BA＝EF.∴△BDE≌△EFP.∴PE＝BE＝x.在Rt△PFE中，PF2＋FE2＝PE2，即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10，∴BE的长为10. 举一反三 37 (3)在点P的整个运动过程中，当AF＝3CF时，写出所有符合条件的m的值． 返回 举一反三 38 17. 如图所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD＝60°，点A的坐标为(－2，0)． (1)求线段AD所在直线的函数表达式． 举一反三 举一反三 (2)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t s．当t为何值时，以点P为圆心，1为半径的圆与对角线AC相切？ 举一反三 如图所示．∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DCB＝∠BAD＝60°，AD＝DC＝CB＝BA＝4. ∴∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC＝30°. ①当点P在AD上，圆与AC相切时，易得AP1＝2，∴t1＝2； ②当点P在DC上，圆与AC相切时，易得CP2＝2，∴DP2＝2. ∴AD＋DP2＝6.∴t2＝6； ③当点P在BC上，圆与AC相切时，易得CP3＝2，∴AD＋DC＋CP3＝10.∴t3＝10； 举一反三 返回 ④当点P在AB上，圆与AC相切时，易得AP4＝2，∴BP4＝2.∴AD＋DC＋CB＋BP4＝14.∴t4＝14. 综上，当t的值为2或6或10或14时，以点P为圆心，1为半径的圆与对角线AC相切． 举一反三 谢谢观看 THANKS 3．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D为的中点，过D作AC的垂线，垂足为E，若AB＝10，AC＝8，则线段DE的长为(　　) A．2 B．4 C．3 D. 2　 4．如图，等腰三角形ABP内接于⊙O，AB＝AP，以AB为边的矩形ABCD交⊙O于点C，D，交AP于点E，若DE＝CE，BC＝2，则⊙O的直径长为________． 2＜r＜2　 10.如图，AB为⊙O的直径，点C，D为圆上两点，＝，连接AD，AC，CD，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于E. (1)求证：CE为⊙O的切线； 证明：如图，连接OC.∵＝，∴∠DAC＝∠CAB. ∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AE. ∵CE⊥AD，∴OC⊥CE.又∵OC是⊙O的半径， ∴CE为⊙O的切线． (2)若CD＝4，CE＝2，求⊙O的半径． 解：如图，连接CB，过点C作CF⊥AB于点F. ∵∠DAC＝∠CAB，CE⊥AD，∴CF＝CE＝2. ∵＝，∴BC＝CD＝4.∴BF＝＝＝2.设⊙O的半径为R，在Rt△OCF中，OC2＝OF2＋CF2，∴R2＝(R－2)2＋(2)2，解得R＝4. ∴⊙O的半径为4. 6＋5 13．苏州中考“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径(即)长度为________m．(结果保留π) (2)若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积． 解：如图，连接OE交BD于点M，连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴AE⊥BC，AD⊥BD. ∵∠BAC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形， ∴BD＝AD＝4，∴AB＝＝＝4， ∴OA＝OB＝2， 易得OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AC， ∴∠BOE＝∠BAC＝45°， 易得BM＝BD＝×4＝2， ∴S阴影＝S扇形BOE－S△BOE＝－×2×2＝π－2. π 解：m的值为或4. 解：∵点A的坐标为(－2，0)，∴OA＝2. ∵∠BAD＝60°，∠AOD＝90°，∴∠ADO＝30°. ∴AD＝4.∴OD＝＝2.∴点D的坐标为(0，2)． 设直线AD的函数表达式为y＝kx＋b，代入点A，D的坐标，得解得 ∴直线AD的函数表达式为y＝x＋2. $