北京市昌平区第二中学2026-2027学年第一学期高三年级期中考试数学试卷
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内容正文：
昌平二中2026-2027学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷
试卷命题人杜德强试卷审核人陈雪莲
本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项。
（1)已知复数z=一1-i,则lz=()
(A)0
(B)1
(C)2
(D)2
(2)设集合A={0,-a,B=1,a-2,2a-2},若A∈B,则a=(
(A)2
(B)1
c
(D)-1
(3)已知第暖+茶-1(a>b>0)的离心率为则(）
(A)a2=2b2
(B)3a2=4b2
(C)a=2b
(D)3a=4b
(4)下列函数中最小值为4的是()
(A)f(x)=x2+2x+4
(B)f0因=kin+品
(C)f(x)=2x+22-x
(2)f)=lnx+4
inx
5
5)在+是
的展开式中，x2的系数为-10，则a=()
(A)1
(B)2
(C)-1
(D)-2
(6)已知非零向量ā，五，满足=2且(a-可)1b,则a与的夹角为()
(A)8
(B)
c号
(D)号
(7)已知平面上1：y=2x+m,☑2：y=2x+n(m,n∈R)均与圆x2+y2-4x=0相交，若相
交的四个点可以构成一个正方形，则m一风=（)
(A)2V10
(B)4V5
(c)4V2
(D)4
(8)函数f(x)=XCOSx与g(x)=sinx在(0,2π元)上交点的个数为()
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
1
(9)如图所示，经过正三棱柱底面一边AB,作与底面成30°角的平面，已知截面三角形ABD的
面积为32，且点D是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为()
(A)192+32V3
(B)96V3
(C)192
(D)64V3
(10已知c是非负常数，函数心)=x4-是-c,给出下面四个结论正确的是（)
(A)当c=1,f(x在区间(1,2]上有最大值
(B)当c>2,函数孔x)有4个零点
(C)当c≥1，xE(1,2),都有fx)≥c2
(D)当c>0,方程fx)=c的无解.
第二部分（非选择题
共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
(11)函数f(x)=l0ga(x-1)+V2-x的定义域是
（12)已知双南线兰+兰=1的渐近线方程为y=士号x,则a的值为，
(13)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.
若直线BF的方程为y=-2x+2,则IAF=一
(14)玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四楼：，
且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示某学生用3D技术打印了5个玉琮模型，它们
的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为2的等比数列若最矮玉琮
模犁孔洞的底面半径为4cm,最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为8cm和16cm,则这5
个玉琮模型的高度和为
cm.
(15)已知曲线C:y-x2+x-y+1=0.给出下列四个结论：
①曲线C为中心对称图形；
②曲线C与直线y=x+1有两个交点：
③当x>1时，满足y<x;
④曲线C上任意两点A(x,y)、B(x,y2),当x<1<x,时，AB≥2
其中所有正确结论的序号为。
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(16)(本小题13分)
已函数x)=sin(wx+),(o>0,IK),函数fx)周期为π：且函数f(x)的图象关于直线
x=对称.
6
(I)求函数f(x)的解析式，并求使f(x)>一成立的x的取值范围：
(Ⅱ)若将f(x)的图象先向左平移工个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g()
3
的图象，设函数h(x)=g(x)cosx,求h(x)在
0
4
上的值域.
(17)(本小题13分)
已知aBC的内角4，屁C所对的边分别为a么c,且2c-b=2 asinc-引
(I)求角A:
(IⅡ)若a=√6，D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，且AD=1,求△ABC的面积
(18)(本小题14分)
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥ABAB=3,AC=4,PA=6,PC=2V13.点E在棱PB上，
点F为BC中点.
(I)若点E为PB中点，平面PACO平面AEF=m,证明：EF//m;
(IⅡ)若点E满足PE=2EB,从下列条件①、条件②、条件③中选择-个作为已知条件，使得三
酸锥P-ABC存在且唯一，求平面AEF与平面PAC所成夹角的余弦值，
条件①：EF=√13：
条件②：BC=V13;
条件③：∠BAC=60°.
注·如采选摔的条件不符合要求，第(2)问得有分：如果逃择多个答合要求涤件公别解答，
養第一个解答计分，
心
(19)(本小题15分)
已知函数f(x)=x2-1,函数g(x)=alnx,其中a≤2.
(I)如果曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处具有公共的切线，求a的值及切线方程；
(Ⅱ)如果曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有二个公共点，求a的取值范围.
(20)（本小题15分)
知猫圆E名+a>>0的离心率为5，A,C分别是B的上、下顶点，B,D分别
3
的左、右顶点，|AC卡4.
（I)求椭圆E的标准方程；
(Ⅱ)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M,直线PA与重线y=-2交于点
N.求证：MN∥CD.
(21)(本小题15分)
记M表示有穷集合M的元素个数.已知m,n是正整数，集合S={1,2,·,}.若集合序列
2:A,A,…,An满足下列三个性质，则称Q是“平衡序列”：
①4≥2，其中k=1,2,…,m;
②A=S,其中k=1,2,…,m;
③对于5中的任意两个不同元素i,了，都存在唯一的k∈{1,2，，m}，使得{名，}二A
(I)设m=n=5,判断下列两个集合序列是否是飞平衡序列”？（结论不要求证阻
9:{1,2}，{1,3,4,5},{2,3},{2,4,{2,5}
92:{1,2,3}，{1,4,5}，{2,4}，{3,4}，{3,5}
（Ⅱ)已知n≥3且集合序列Q:A,A2,…,An是衡序列”，对于多，2，…，n,定义：
B={i∈A,k=1,2,…,m}.证明：
(1)当1E4时，B24:(i)m≥n.
4
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