精品解析：广东清远市连州市2026-2027学年上学期期中训练九年级数学试卷

2026—2027学年第一学期期中供题训练 九年级数学学科 本试卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁：考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项是一元一次方程，不符合； B选项含有两个未知数，不符合； C选项是一元二次方程，符合； D选项是分式方程，不符合． 2. 下列各组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】将各组线段按从小到大排序，通过最长与最短线段的乘积是否等于中间两线段的乘积，判断是否为成比例线段． 【详解】解：A、排序得3，5，6，9，， 不是成比例线段，故选项A不符合题意； B、排序得3，5，7，9，， 不是成比例线段，故选项B不符合题意； C、排序得3，6，8，9，， 不是成比例线段，故选项C不符合题意； D、排序得3，5，9，15，， 是成比例线段，故选项D符合题意． 3. 如图，分别以点，为圆心，以大于的长a为半径作弧，两弧相交于点，，则四边形是菱形的理由是（ ） A. B. C. D. 是的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】利用尺规作图和四边相等的四边形是菱形即可判断． 【详解】解：以点，为圆心，以大于的长a为半径作弧，两弧相交于点，， ， 四边形是菱形． 4. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设方程的另一个根为， 关于的一元二次方程有一个根是， ， ． 5. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别．根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案． 【详解】解：矩形和菱形是平行四边形， 矩形和菱形都具有对角线互相平分，对角相等， ∵菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等， ∴对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质． 故选：A． 6. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ． 7. 已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为，， ∴由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， 解得． 8. 如图，四边形的对角线分别是各边的中点，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形中位线定理得到，再根据，证明，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形中，分别是各边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴菱形是正方形． 9. 如图，线段上的一点把分割为两条线段、，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题由再建立方程即可． 【详解】解：由题意知米，， 而，即， ∴， 故选：A． 10. 如图，在直角梯形中，，，，，，点是上一个动点，当的和最小时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，，当点在上时的和最小，再根据，得到，代入计算即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，， ∴，， ∴， ∴当点在上时的和最小， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 把方程化成的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】对原方程进行移项、配方操作，将其转化为题目指定的完全平方形式． 【详解】解：． ． ． ． 13. 如图，在中，是斜边上的中线，，则________． 【答案】15 【解析】 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，最后利用等边对等角即可求解 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 14. 如图，在菱形中，点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接对角线与交于点，根据菱形的性质得到，，，再根据点的坐标为，点的坐标为，得到轴，，即可得到，最后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接对角线与交于点， ∵在菱形中，点在轴上，点的坐标为，点的坐标为， ∴轴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 15. 如图，在矩形纸片中，，，是上的点，且，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得， 第一步， ，，， 第二步； ， 第三步； 第四步， 即， 第五步． （1）开始出现错误的步骤是第___________步； （2）请给出此题正确的解答过程． 【答案】（1）一 （2） 解：解方程化为一般形式，得， ，，， ， ， 即，． 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【小问1详解】 解：将方程化为一般形式，得 ， ∴第一步开始出现错误． 故答案为：一． 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）求证：∽； （2）若求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18. 如图，在正方形中，为正方形的对角线，是的角平分线． （1）求作：过点作的垂线，交于点，连接；（尺规作图：保留作图痕迹） （2）若，求的长． 【答案】（1）过点作的垂线，交于点，连接，如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作垂线的步骤作图即可； （2）先根据正方形，，得到，，再由角平分线证明，得到，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵正方形，， ∴，，， ∵是的角平分线， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， 米（用含x的代数式表示）． （2）若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． 【答案】（1） （2）的长为米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图形和条件确定木栏总长米加上2米后是的长度，据此可得的长度； （2）根据长方形面积公式列出方程，解方程即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得米； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 即，故舍去， 答：的长为米． 20. 如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． （1）求为何值时，四边形是矩形； （2）求为何值时，四边形是菱形． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，解决此题注意结合方程的思想解题． (1)当四边形是矩形时，，据此求得t的值； (2)当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【小问1详解】 解：由题意，得，则， 四边形是矩形， ，， 当时，四边形为矩形， ， 解得， 故当时，四边形为矩形． 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形． 在中，， 时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形． 21. 学完矩形的判定后，善于思考的小强、小明和小丽同学有自己独到的见解： 已知：如图，在中，，，垂足为点，是的外角的平分线，点在上，连接． 小强说：若，则四边形是矩形； 小明说：若，则四边形是矩形； 小丽说：连接，若，则四边形是矩形． 请对其中一人的说法进行判断并证明． 【答案】三人的说法都是正确的，证明如下： 小强的说法的证明： ，， ，， 是的外角的平分线， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 小明的说法的证明： ，， ，，， 是的外角的平分线， ， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 小丽的说法的证明： ，， ，，， 是的外角的平分线， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】小强：先证，结合、得到四边形三个内角为直角，判定矩形； 小明：先证，结合，，得到，证得平行四边形，再加一个直角得矩形； 小丽：先证，由得到平行四边形，推出，，则，可证是平行四边形，结合直角判定矩形． 【详解】略 五．解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题12分，共24分． 22. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． （1）写出方程的衍生点的坐标为________； （2）若关于的一元二次方程有衍生点： ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差，求的值． ③探究衍生点的纵坐标和横坐标之间的等量关系（直接写出关系式不需证明）． 【答案】（1） （2）① 且 ②的值为或 ③ 【解析】 【分析】（1）根据定义，解方程即可； （2）①根据一元二次方程的定义和根的判别式，求解即可； ②根据一元二次方程根与系数的关系，易得，，再根据题意，代入求解即可； ③根据一元二次方程根与系数的关系，易得，，即可求解． 【小问1详解】 解：， ，， 点是方程的衍生点， ； 【小问2详解】 解：①一元二次方程有衍生点，即有两个实数根，， ，， 且； ②衍生点的纵坐标和横坐标相差，， ， ， 方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ，解得，， 则的值为或； ③； 理由：由②知，， ． 23. 综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】（1）如图①，在正方形中，E是上一点，于点F，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．可证．请写出证明过程； 【深入思考】（2）在（1）的条件下，如图②，若延长，交于点H，试猜想线段，，之间的数量关系． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点H逆时针旋转得到线段，点P在上，试猜想，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴； （3）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， 由旋转可知 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）可推出，从而，根据即可得证； （2）根据进而可推出矩形是正方形，从而，进一步得出结果； （3）在上截取，证明得，进而得出，从而，进一步得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中供题训练 九年级数学学科 本试卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁：考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 如图，分别以点，为圆心，以大于的长a为半径作弧，两弧相交于点，，则四边形是菱形的理由是（ ） A. B. C. D. 是的垂直平分线 4. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 5. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 6. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形的对角线分别是各边的中点，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 9. 如图，线段上的一点把分割为两条线段、，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直角梯形中，，，，，，点是上一个动点，当的和最小时，的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则________． 12. 把方程化成的形式为________． 13. 如图，在中，是斜边上的中线，，则________． 14. 如图，在菱形中，点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则菱形的面积为________． 15. 如图，在矩形纸片中，，，是上的点，且，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是________． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得， 第一步， ，，， 第二步； ， 第三步； 第四步， 即， 第五步． （1）开始出现错误的步骤是第___________步； （2）请给出此题正确的解答过程． 17. 如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）求证：∽； （2）若求的长． 18. 如图，在正方形中，为正方形的对角线，是的角平分线． （1）求作：过点作的垂线，交于点，连接；（尺规作图：保留作图痕迹） （2）若，求的长． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， 米（用含x的代数式表示）． （2）若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． 20. 如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． （1）求为何值时，四边形是矩形； （2）求为何值时，四边形是菱形． 21. 学完矩形的判定后，善于思考的小强、小明和小丽同学有自己独到的见解： 已知：如图，在中，，，垂足为点，是的外角的平分线，点在上，连接． 小强说：若，则四边形是矩形； 小明说：若，则四边形是矩形； 小丽说：连接，若，则四边形是矩形． 请对其中一人的说法进行判断并证明． 五．解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题12分，共24分． 22. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． （1）写出方程的衍生点的坐标为________； （2）若关于的一元二次方程有衍生点： ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差，求的值． ③探究衍生点的纵坐标和横坐标之间的等量关系（直接写出关系式不需证明）． 23. 综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】（1）如图①，在正方形中，E是上一点，于点F，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．可证．请写出证明过程； 【深入思考】（2）在（1）的条件下，如图②，若延长，交于点H，试猜想线段，，之间的数量关系． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点H逆时针旋转得到线段，点P在上，试猜想，之间的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $