上海市第四中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

2026学年第一学期高二数学期中考试试题卷 (考试时间100分钟，试卷满分120分) 一、填空题(16题每题3分，7-12题每题4分，共42分) 1.如果复数z满足1·之=1+2i(i为虚数单位)，则z= 2.半径为3的一个球，则此球的体积为· 3.已知向量a=(1,2),b=(3,),若ab,则实数k= 香包知圆雏的线长为3，其侧面积是纤，则该圆锥的底面半径为 5.己知2b均为空间单位向量，且它们的夹角为60°，则后+26=_-一， 6.已知圆柱的轴截面是正方形，它的面积是4cm2,那么这个圆柱的体积是_cm3.(结果中保留) 7.一水平放置的平面四边形OABC,用斜二测画法画出它的直观图OA'BC如图所示，此直观图恰好是一 个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为 70 8.长方体ABCD-ABCD的8个顶点都在同一个球面上，且AB=4,AD=√5，AA=1,则球的表面 积为 9.已知P是大小为60°的二面角a-AB-B内一点，P到α，B的距离分别为3和4，则点P到棱AB 的距离为 10.如图，在直四棱柱BCD-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形∠BAD=60°，AA=3, 则二面角A-BD-A的正弦值为 B D B D 11.如图，在正三校柱ABC-AB,C中，AB=2L4=2,N为4C的中点，M为线段4上的点.则 MN+MB吲的最小值为 M B 12.体积为 的正四面体内有一个球O,球O与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，M,N是 12 球O的表面上的两动点，点P在该正四面体的表面上运动，当|MN最大时，PM.P的最大值是 二、选择题(13、14每小题3分，15、16每小题4分，共14分) 13.四棱柱成为长方体的一个必要不充分条件是（) A.底而是矩形 B.侧面是正方形 C.底面是菱形 D.侧面与底面都是矩形 14.己知直三棱柱ABC-AB,C的所有棱长均为1，则直线AB与直线BC夹角的余弦值为() B分 c 15.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为1的正八面体，则此 正八面体的体积与表面积的数值之比为() A.6 B. cvG D.6 18 9 3 ”12 16.已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点E,将△ABD沿BD折起，使顶点A至点 M,在折起的过程中，对于下面两个命题： ①存在一个位置，使ACDM为等边三角形： ②DM与BC不可能垂直，成立的是 A.①为假命题，②为真命题： B.①为真命题，②为假命愿： C.①②均为真命题： D.①②均为假命题 2 三、解容厘（本大题共5愿，共64分） 17.(4+6=10分)如图，正三梭柱ABC-AB,G的各枚长均为2，D为枚BC的中点. (1)求该三校柱的体积： (2)求点C到平面ADC的距离， 16+6=2分)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x,求： (1)求函数y=)的最小正周期及敏大通： 2)若ae且a=,求a的值， 2 19.(6+6=12分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,M为PC中点. D A D B C (I)求证：PA/平面MBD; (2)若AB=PA=1,求直线AM与平面ABCD所成角的大小. 20.(7+7=4分)如图，ABCD-AB,CD是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为20cm和 40cm,高30am, D C A (I)求正四棱合ABCD-ABCD的侧面BCCB与底面ABCD所成二面角的大小： (2)现削去部分铁料（不计损耗），将原正四校台打磨为一个圆台，使得该圆合的上、下底面分别为原 正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部，求削去部分与原正四棱台的体积之比.、·· 21(4+5+7=16分)， 如图，在AABC中，BC=a,AC=b,AB=C,∠ACB=0,现将△ABC分别以BC、AC、AB所在的直线为轴旋转一周，设所得三个旋转 体的体积依次为V、V2、V3· b 0 (I)若a=4,b=3,c=5,求以AB为轴旋转一周所得几何体的表面积； 味7佣 (3)若0=120°，并令4+上=x,将T表示为x的函数，写出这个函数的定义域并求该函数的最大值。 1