31.2.1 相似三角形（第2课时）教学设计2026-2027学年人教版九年级数学下册

31.2 相似三角形（第 2 课时）教案 课型：新授课　　　　课时：1 课时　　　　授课年级：九年级 一、课标要求 本课对应 2022 年版课标相似部分的学业要求：掌握“截线与三角形一边平行时，截出的小三角形必与原形相似”这一结论，能在变式图形中辨认基本形状，并据此完成计算与说理。 二、教材分析 本课时承接上节的基本事实及其推论。教材借思考栏目提出“在一个三角形内作出与它相似的三角形”的任务，随后完整示范定义式证明：平行保证三角对应相等，推论给出两组边的比，平移构造补上第三组，从而得到本课核心结论——常称预备定理。它是下一节推导各条判定定理的工具，例2 则示范其在平行四边形背景下的用法。 三、学情分析 学生已会用推论写比例式，也经历过按定义证全等的推理训练。可能的困难：一是想不到把线段 DE “搬”到 BC 上，证明在第三组比处中断；二是 8 字型中忘记用对顶角，或换基准后对应关系写反；三是面对平行四边形时，认不出藏在其中的“平行截线”基本模型。 四、教学目标（核心素养目标） 1. 会用数学的眼光观察现实世界：通过观察“平行截线”图形，经历识别 A 字型与 8 字型两种基本形状的过程，发现“平行”与“相似”之间的确定联系。 2. 会用数学的思维思考现实世界：经历猜想、构造、证明的完整过程，理解预备定理的证明思路，并把这条证明路径迁移到截延长线的情形。 3. 会用数学的语言表达现实世界：通过规范书写的训练，学会用符号语言表述预备定理，按对应顺序书写相似三角形与比例式，在平行四边形等背景中完成求比值的推理。 五、教学重难点 教学重点：预备定理（内容与证明思路）及其在求线段、求比值中的运用。 教学难点：平移构造的证法（为什么过 E 作 EF∥AB）；8 字型情形中角与边的对应处理；从平行四边形里抽象出基本图形。 六、教学方法 教学方法：以启发式讲解与证明探究相结合，辅以讲练交替。 教具准备：多媒体课件、教材配套插图、直尺、三角板、几何画板（演示平移构造过程）。 七、教学过程 （一）环节一 导入（新课引入）〔约 3 分钟〕 教师活动：复习提问：“一条直线与三角形的一条边平行，去截另外两边（或它们的延长线）时，被截的线段之间有什么关系？”（对应线段成比例）“按定义判定两个三角形相似，需要哪两组条件？”（三个内角彼此相等；三组边对应成比例）追问：“图形里三条边是否对应成比例往往一眼看不出，借助平行线能不能更快地造出一对相似三角形？”板书课题。 学生活动：口答推论内容与定义的两个条件；带着“怎样更快地得到相似三角形”的问题进入新课。 设计意图：把旧结论与新需求挂接，让学生体会“用平行线创造相似”是水到渠成的想法，而不是凭空规定。 素养落点：数学眼光——在已有结论与新问题之间搭桥。 （二）环节二 建构（性质建构）〔约 8 分钟〕 教师活动：出示教材思考栏目的问题——如图 31.2-5，在 △ABC 中作 DE∥BC，与 AB、AC 分别交于 D、E，那么 △ADE 与 △ABC 相似吗？请学生先判断、再说理。引导学生给出方案后带学生整理证明线索并板书：第一步看角——DE∥BC 提供同位角相等，小三角形与原形的三个角一一对应相等；第二步看边——推论给出 AD 比 AB 等于 AE 比 AC，尚缺 DE 与 BC 的比；第三步构造——DE 悬在形内、不贴在 △ABC 的边上，就把它“搬”上去：过 E 作 AB 的平行线，交 BC 于 F（图 31.2-6），推论给出 BF/BC＝AE/AC，而 BFED 恰构成平行四边形，BF 与 DE 等长，于是 DE/BC 也等于 AE/AC，三组边的比全部到位，按定义证得 △ADE∽△ABC，随后归纳并完整板书本课核心结论（原文见板书设计），给出符号语言，布置学案任务一的问答题。 学生活动：参与三个步骤的设计（特别是“怎样处理 DE 不在三角形边上”这一困难）；口述证明链条；完成学案任务一的填空并互批。 参考答案（证明）：三个角相等由平行线的同位角直接得到；由推论得到；靠“平移 DE”补齐——把 DE 平移到 BC 上（作 AB 的平行线即可实现），▱BFED 中 BF＝DE。 设计意图：把教材的平移构造拆成“角—边—缺口—构造”四个台阶，让学生看清每一步的目的，突破“为什么想到平移”这一思维关卡。 素养落点：数学思维——在猜想之后学会用构造完成演绎。 练习：1.（选择）如图，△ABC 中，AB、AC 上各有一点 D、E，DE 与 BC 平行。若 AD、DB、AE 的长分别是 2、3、4，那么 EC 的长为（　　）（四个选项为 5、6、7、8） 参考答案：选 6（即 B 项）。由推论，AD 比 DB 等于 AE 比 EC，代入得 2∶3＝4∶EC，故 EC＝(4×3)÷2＝6。 2.（填空）DE∥BC，D、E 位于 △ABC 的两边 AB、AC 上。此时 △ADE∽＿＿＿；AD 取 3、DB 取 2 时，AE∶EC＝＿＿＿。 参考答案：相似（预备定理）；此时 AE 比 EC 也是 3 比 2。 （三）环节三 探究（任务驱动探究）〔约 10 分钟〕 教师活动：提出深入一步的问题：若平行线截的是 BA、CA 两边的延长线（图 31.2-7），截得的三角形还与原三角形相似吗？请学生仿照环节二的思路写出完整证明。巡视时提示两点：对顶角不要遗漏；边的比可换 △ADE 作被截三角形来写。请两名学生板演，组织全班讲评与订正。 参考答案：∠ADE 与 ∠B、∠AED 与 ∠C 都是内错角，由 DE∥BC 知它们分别相等；∠DAE 与 ∠BAC 是对顶角，也相等。这样两个三角形的内角一一对应相等。 边：换 △ADE 作被截的三角形，此时 BC∥DE 截 AD、AE 于 B、C，由推论得 ，反写即 。角、边都齐，依据相似的定义得证。 设计意图：把 A 字型的证明结构原样迁移到 8 字型，检验学生是否真正掌握“角—边—定义”的推理框架，同时积累“换基准”的转化经验。 素养落点：数学思维——从合情猜想走向有条理的演绎表达。 练习：（解答）如图，延长 BA 到 D、延长 CA 到 E，使 DE 与 BC 平行。已知 AD、AB、AE 的长分别为 6、4、9，求 AC，并写出 DE 与 BC 的比。 参考答案：由探究所得，图中的小三角形与大三角形相似，AE 比 AC 等于 AD 比 AB，为 6 比 4 即 3∶2；把 AE＝9 代入，解得 AC＝6；DE 与 BC 的比同为 3∶2。 （四）环节四 例题（例题示范＋变式训练）〔约 13 分钟〕 教师活动：出示例2（图 31.2-8）：▱ABCD 中，CD 的中点为 E，对角线 AC 与 BE 相交于 F，求 AF 与 FC 的比。引导学生先“挖图形”——AB∥CD 且 E 在 CD 上，8 字型随即出现，预备定理直接给出两个相似三角形；再“用中点”——CE 与 AB 的倍半关系收尾。板演规范过程后组织变式练习、巩固练习的讲评，对学有余力的学生提出★提高问题。 分析：平行四边形给出 AB∥CD，而 E 在 CD 上，故 AB∥CE，8 字型中据预备定理，△CEF∽△ABF；中点条件把 CE 折算成 AB 的一半，比值随之确定。 解： ∵ ABCD 为 ▱， ∴ AB 与 CD 平行且相等。点 E 落在 CD 上，故 AB∥CE；据预备定理（8 字型），△CEF∽△ABF， ∴ 。又 E 平分 CD，即 CE＝CD/2，而 CD＝AB， ∴ CE＝AB/2， ∴ 。 变式练习：1.（选择）△ABC 中，AB、AC 上各有一点 D、E，DE 平行于 BC。若 AD∶DB＝1∶2 且 AE＝3，则 AC 等于（　　）（四个选项依次是 4.5、6、9、12） 参考答案：选 C。由推论知 EC 是 AE 的 2 倍，即 6，于是 AC＝3＋6＝9。 2.（填空）如图，一条与 BC 平行的直线交 △ABC 的两边于点 D、E。已知两三角形的相似比（△ADE∽△ABC）为 2∶3，且 BC＝9，求 DE。 解：相似比是对应边的比，， ∴ DE＝9×2/3＝6。 巩固练习：1.（教材 P9 练习1，见图）DE 与 BC 平行，D 落在 AB 上、E 落在 AC 上，AD、BD 分别长 3 和 2。图中相似的一对三角形是哪一对？相似比是多少？ 解：△ADE∽△ABC（预备定理），相似比 。 2.（教材 P9 练习2）如图，在 △ABC 中，D、E 两点分别在 AC、BC 上，DE∥AB，把 DE 延长至点 F，使 DF 与 AB 等长，连接 BF。证明 △BFE∽△CDE。 证明：先看角。延长线给出 DF∥AB，加上 DF 与 AB 等长，知 ABFD 恰为 ▱，于是 BF 与 AD 平行且相等。BF∥AD 即 BF∥AC，由内错角相等，∠ACB＝∠FBE；而 ∠ACB 即 ∠DCE，故 ∠FBE 与 ∠DCE 相等。∠FEB 与 ∠DEC 为对顶角，相等。 再看边。DE∥AB，预备定理给出 △CDE∽△CAB， ∴。 ∵ EF＝AB−DE， ∴ EF 与 DE 的比等于 AB 与 DE 的比减 1，也就等于 CB 与 CE 的比减 1，即 EB 比 CE； 另一方面 BF＝AD，而 AD＝AC−CD，同理 BF 与 DC 的比也等于 EB 与 CE 的比。 ∴ 三边比例齐了，加上两组角相等，按定义即得所证。 变式练习：（解答）如图，在 △ABC 中，边 AB、AC 上各有一点 D、E，DE 与 BC 平行。AD、BD、BC 的长分别为 4、2、9，求 DE。 解：预备定理给出 △ADE∽△ABC，AD 比 AB 为 4 比 6，约简为 2 比 3，故 DE 等于 9 的三分之二，即 6。 ★ 提高　▱ABCD 中，CD 上有一点 E，CE 比 ED 为 1∶2，AC、BE 交于点 F，求 AF∶FC。 解：由预备定理，。CE＝CD/3，而 CD＝AB，故 AB 是 CE 的 3 倍， ∴ AF 与 FC 之比为 3∶1。 设计意图：例2 示范“平行四边形中挖基本图形”的程序——先找平行、再定对应、后算比值；三组练习由直接套用到综合构造形成梯度。 素养落点：数学思维与数学语言——在复合图形中分解基本模型，并规范书写推理。 （五）环节五 小结检测〔约 4 分钟〕 教师活动：引导学生按“定理内容—两种基本图形—证明结构—运用步骤”四层回顾本课，形成完整小结：平行线截三角形，截出的小三角形必与原形相似；A 字型与 8 字型分别对应截边与截延长线；证明按“角—边—定义”组织；运用时先找平行线、再写对应顶点、后列比例式。出示当堂检测两题，限时完成并讲评。 学生活动：口述小结要点；独立完成检测并自评。 检测1（填空）△ABC 中，BC 的一条平行线交两边于 D、E。已知 EC＝2，AE＝4，此时 ＝＿＿＿。 解：预备定理给出 △ADE∽△ABC，。 检测2（填空）▱ABCD 的 CD 上取中点 E，AC、BE 交于 F，那么 ＝＿＿＿。 解：预备定理给出 △CEF∽△ABF，。 设计意图：以结构化小结固化推理框架，用与例2同型的检测题反馈掌握情况。 素养落点：三会综合——把图形识别、推理表达与运算串成完整链条。 （六）环节六 作业（分层作业）〔约 2 分钟〕 教师活动：布置作业。必做：习题31.2 的第3题；选做：习题31.2 的第6题——图里 DE、EF 是两条截线，各平行于 △ABC 的一边，要连续运用预备定理并借 △ABC 作传递。提示：第3题，预备定理给出 △ADE∽△ABC，故 AD 比 AB 等于 DE 比 BC，代入 3.5、10.5、4 得 BC＝12；第6题，两条截线各给一对相似——DE∥BC 给出 △ADE∽△ABC；EF∥AB 给出 △EFC∽△CAB。把两组对应角对齐（∠ADE 与 ∠EFC 都等于 ∠B，∠AED 与 ∠ECF 都等于 ∠C，∠A 与 ∠CEF 相等），三组角即对应相等；边比方面，AE/AC 与 CE/AC 相加为 1，配合 EF/AB＝CE/AC 可配出三组相等的比——AD 比 EF、DE 比 FC、AE 比 EC，三边对应成比例，传递即得 △ADE 与 △EFC 相似。 学生活动：记录作业，明确选做题需两次运用预备定理并作传递。 设计意图：必做巩固基本运用，选做为判定方法的传递性预作铺垫。 素养落点：数学语言——课后独立完成书面推理。 八、板书设计 课题：31.2（第 2 课时）· 相似三角形 左栏：预备定理：平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 → A 字型、8 字型简图 → 例2：▱ABCD 中挖出 8 字型 ⟹ △CEF∽△ABF ⟹ AF/FC＝AB/CE＝2。 右栏：方法归纳：①证相似三步——角（平行⟹同位、内错、对顶）、边（推论）、结论（定义或定理）；②8 字型识别——延长线＋对顶角；③平行四边形中求比——挖出基本图形，用中点转化线段。 九、教学反思 补充练习（教师备用） 1. △ABC 中，AB 边上取点 D、AC 边上取点 E，连 DE 使 DE∥BC。AD、DB、DE 各长 4、2、3，求 BC 的长。 解：由预备定理，， ∴ BC＝3×6/4＝4.5。 2. 延长 BA、CA 分别到 D、E（两点都在 △ABC 形外），使 DE∥BC。AD 取 2，AB 取 6，DE 取 3，求 BC 的长。 解：8 字型中，预备定理给出 △ADE∽△ABC，， ∴ BC＝9。 3. 在 △ABC 中，D 为 AB 的中点，过 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E。若 BC＝8，求 DE 的长。 解：由预备定理，， ∴ DE＝4。 4. △ABC 中，D 在边 AB 上、E 在边 AC 上，DE∥BC，点 D 分 AB 为 AD∶DB＝2∶3。写出两三角形的相似比（△ADE 比 △ABC），并求 AE∶EC。 解：相似比是对应边之比，；由推论 。注意相似比是 AD 比 AB（上比全），不是 AD 比 DB。 5. ▱ABCD 中，AD 的中点为 E，CE 的延长线与 BA 的延长线交于点 F。求证：AF＝AB。 证明： ∵ ABCD 为 ▱， ∴ AB∥CD，即 AF∥DC。在 △AEF 中，直线 DC∥AF 截两边 AE、FE 的延长线于点 D、C，据预备定理，△EDC∽△EAF， ∴ 。 ∵ E 为 AD 的中点， ∴ AE＝DE， ∴ AF＝DC。又 ▱ABCD 中 DC＝AB， ∴ AF＝AB。 6. △ABC 中，AB 上取 D、AC 上取 E，连 DE 使 DE∥BC。AD、DB 各取 3、2，AE 比 EC 多 1，求 AE 与 EC。 解：由推论，。设 AE＝3t，EC＝2t，则 3t−2t＝1，t＝1， ∴ AE＝3，EC＝2。 学科网（北京）股份有限公司 $ 九 年级 数学 学科学案（附页1） 九 年级 数学 学科学案（正页） 主备人： 审核人： 二次备课人： 时 间： 姓 名： 班级： 第 页 学习内容：31.2　相似三角形（第 2 课时） 课型：新授课 教学随笔 课标要求：掌握平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似的结论，能运用该结论证明三角形相似并进行简单的计算与推理。 学科素养：几何直观、推理能力、数学运算。 课后反思： 学习目标： 1. 经历探究“平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似”的过程，理解预备定理，会用符号语言表述。 2. 通过辨认 A 字型与 8 字型中的相似三角形，学会按对应顺序写出相似三角形、比例式与相似比。 3. 经历运用预备定理求线段的长或比值的过程，发展几何直观、推理能力与运算能力。 学习重难点：重点：预备定理的内容及其运用（写相似三角形、求线段与比值）。 难点：8 字型情形的证明与识别；从平行四边形中抽象出平行线截三角形的基本图形。 学习过程： 任务一　新课导入·概念建构（约 11 分钟） 【复习】(1) 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；(2) 三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形相似。 【思考】如图 31.2-5，在 △ABC 中，作 DE∥BC，且与 AB、AC 分别相交于点 D、E。那么 △ADE 与 △ABC 相似吗？为什么？ 答：相似。理由如下： ∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE＝∠B、∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等），即 △ADE 与 △ABC 的三个角分别相等。由基本事实的推论，。若能再证明＝，就能证明这两个三角形的边成比例。 如图 31.2-6，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F，则；又四边形 BFED 是平行四边形，可得 BF＝DE，因此。从而 △ADE 与 △ABC 三个角对应相等、三条边对应成比例，由相似的定义，得 △ADE∽△ABC。 归纳（预备定理）：平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 符号语言：如图 31.2-5，∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC（D、E 在 AB、AC 上）；图 31.2-7 中 D、E 在 BA、CA 延长线上时同理 △ADE∽△ABC。 练习：1.（选择）如图，D、E 分别在 △ABC 的边 AB、AC 上，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，AE＝4，则 EC 的长为（　　） A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 8 解：∵ DE∥BC， ∴ AD∶DB＝AE∶EC（平行线分线段成比例），即 2∶3＝4∶EC， ∴ EC＝6。故选 B。 2.（填空）D、E 分别在 △ABC 的边 AB、AC 上，DE∥BC，则 △ADE∽△ABC（由预备定理）；若 AD＝3、DB＝2，则 AE∶EC＝3∶2。 任务二　合作探究·发现规律（约 10 分钟） 【探究】当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时，所构成的三角形也与原三角形相似。请你结合图 31.2-7 完成证明。 解：∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C（两直线平行，内错角相等），∠DAE＝∠BAC（对顶角相等），即 △ADE 与 △ABC 的三个角分别相等。以 △ADE 为基准，BC∥DE 截直线 AD、AE 分别于 B、C，由基本事实的推论得，即，△ADE 与 △ABC 的三条边成比例。由相似的定义，△ADE∽△ABC。 练习：如图 31.2-7，D、E 分别在 △ABC 的边 BA、CA 的延长线上，DE∥BC，AD＝6，AB＝4，AE＝9。求 AC 的长与 DE∶BC 的值。 解：∵ DE∥BC，由探究结论得 △ADE∽△ABC， ∴，即， ∴ AC＝6；且 DE∶BC＝AD∶AB＝3∶2。 任务三　例题示范·巩固训练（约 13 分钟，含★提高约 4 分钟） 例2（课本P8）如图 31.2-8，在 ▱ABCD 中，E 是 CD 的中点，AC，BE 相交于点 F。求的值。 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，由预备定理得 △ABF∽△CEF， ∴。又 E 是 CD 的中点， ∴ AB＝CD＝2CE， ∴。 变式练习：1.（选择）在 △ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，AE＝3，则 AC＝（　　） A. 4.5　　B. 6　　C. 9　　D. 12 解：∵ DE∥BC， ∴ AD∶DB＝AE∶EC＝1∶2；AE＝3， ∴ EC＝6，AC＝AE＋EC＝9。故选 C。 2.（填空）如图，D、E 在 △ABC 的边 AB、AC 上，DE∥BC，△ADE 与 △ABC 的相似比为 2∶3，BC＝9，则 DE＝6。 巩固练习：1.（课本P9练习1）如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC，AD＝3，BD＝2。写出图中的相似三角形，并指出其相似比。 解：由 DE∥BC 及预备定理，得 △ADE∽△ABC，相似比为。 2.（课本P9练习2）如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AC，BC 上的点，DE∥AB。延长 DE 到点 F，使 DF＝AB，连接 BF。求证：△BFE∽△CDE。 解：∵ DE∥AB，由预备定理得 △CDE∽△CAB， ∴。 ∵ DF＝AB，且 DF∥AB， ∴ 四边形 ABFD 是平行四边形， ∴ BF＝AD。∵ EF＝DF−DE＝AB−DE， ∴；又 BF＝AD＝AC−CD，由得，即 △BFE 与 △CDE 的三边成比例。 ∵ BF∥AD， ∴ ∠FBE＝∠ACB（两直线平行，内错角相等），而 ∠DCE＝∠ACB， ∴ ∠FBE＝∠DCE；又 ∠FEB＝∠DEC（对顶角相等），即三个角分别相等。由相似的定义，△BFE∽△CDE。 变式练习：如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AB、AC 上的点，DE∥BC，AD＝4，BD＝2，BC＝9，求 DE 的长。 解：由 DE∥BC 及预备定理，得 △ADE∽△ABC，相似比为，故 DE＝×9＝6。 ★ 提高　▱ABCD 中，E 在 CD 上，CE∶ED＝1∶2，AC 与 BE 交于 F，求 AF∶FC。 解：∵ AB∥CD， ∴ AB∥CE，由预备定理得 △ABF∽△CEF， ∴。 ∵ CE∶ED＝1∶2， ∴ CE＝CD/3，而 AB＝CD， ∴ AB＝3CE， ∴ AF∶FC＝3∶1，即比值为 3。 任务四　小结检测·分层作业（约 6 分钟） 填一填：(1) 平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2) 图 31.2-7 中，DE∥BC 交 BA、CA 延长线于 D、E，则 △ADE∽△ABC。 当堂检测：1.（填空）D、E 分别在 △ABC 的边 AB、AC 上，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，则＝。 2.（填空）▱ABCD 中，E 为 CD 中点，AC 与 BE 交于 F，则＝2。 解：1. 由预备定理，△ADE∽△ABC，AE/AC＝4/6＝2/3，故 AD/AB＝2/3。2. 由预备定理，△ABF∽△CEF，BF/EF＝AB/CE，E 是 CD 中点，AB＝CD＝2CE，故 BF/EF＝2。 作业：必做——课本习题31.2 第3题；选做——课本习题31.2 第6题（图见课本P17）。 解：必做题提示：由预备定理，△ADE∽△ABC，AD/AB＝DE/BC，即 3.5/10.5＝4/BC，解得 BC＝12。选做题提示：由 DE∥BC 得 △ADE∽△ABC（∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠A＝∠A）；由 EF∥AB 得 △EFC∽△CAB（∠CEF＝∠A，∠EFC＝∠B，∠C＝∠C），其中 ∠ADE＝∠EFC，∠AED＝∠ECF，∠A＝∠CEF，三个角分别相等；再由 AD/AB＝AE/AC＝DE/BC 与 CE/CA＝EF/AB，得 AD/EF＝DE/FC＝AE/EC，三边成比例，故 △ADE∽△EFC。 学科网（北京）股份有限公司 $ 九 年级 数学 学科学案（附页1） 九 年级 数学 学科学案（正页） 主备人： 审核人： 二次备课人： 时 间： 姓 名： 班级： 第 页 学习内容：31.2　相似三角形（第 2 课时） 课型：新授课 教学随笔 课标要求：掌握平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似的结论，能运用该结论证明三角形相似并进行简单的计算与推理。 学科素养：几何直观、推理能力、数学运算。 课后反思： 学习目标： 1. 经历探究“平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似”的过程，理解预备定理，会用符号语言表述。 2. 通过辨认 A 字型与 8 字型中的相似三角形，学会按对应顺序写出相似三角形、比例式与相似比。 3. 经历运用预备定理求线段的长或比值的过程，发展几何直观、推理能力与运算能力。 学习重难点：重点：预备定理的内容及其运用（写相似三角形、求线段与比值）。 难点：8 字型情形的证明与识别；从平行四边形中抽象出平行线截三角形的基本图形。 学习过程： 任务一　新课导入·概念建构（约 11 分钟） 【复习】(1) 平行于三角形一边的直线截其他两边（或＿＿＿＿），所得的＿＿＿成比例；(2) 三个角分别＿＿＿、三条边＿＿＿的两个三角形相似。 【思考】如图 31.2-5，在 △ABC 中，作 DE∥BC，且与 AB、AC 分别相交于点 D、E。那么 △ADE 与 △ABC 相似吗？为什么？ 归纳（预备定理）：平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形＿＿＿。 符号语言：如图 31.2-5，∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC（D、E 在 AB、AC 上）；图 31.2-7 中 D、E 在 BA、CA 延长线上时同理 △ADE∽△ABC。 练习：1.（选择）如图，D、E 分别在 △ABC 的边 AB、AC 上，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，AE＝4，则 EC 的长为（　　） A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 8 2.（填空）D、E 分别在 △ABC 的边 AB、AC 上，DE∥BC，则 △ADE∽＿＿＿；若 AD＝3、DB＝2，则 AE∶EC＝＿＿＿。 任务二　合作探究·发现规律（约 10 分钟） 【探究】当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时，所构成的三角形也与原三角形相似。请你结合图 31.2-7 完成证明。 练习：如图 31.2-7，D、E 分别在 △ABC 的边 BA、CA 的延长线上，DE∥BC，AD＝6，AB＝4，AE＝9。求 AC 的长与 DE∶BC 的值。 任务三　例题示范·巩固训练（约 13 分钟，含★提高约 4 分钟） 例2（课本P8）如图 31.2-8，在 ▱ABCD 中，E 是 CD 的中点，AC，BE 相交于点 F。求的值。 变式练习：1.（选择）在 △ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，AE＝3，则 AC＝（　　） A. 4.5　　B. 6　　C. 9　　D. 12 2.（填空）如图，D、E 在 △ABC 的边 AB、AC 上，DE∥BC，△ADE 与 △ABC 的相似比为 2∶3，BC＝9，则 DE＝＿＿＿。 巩固练习：1.（课本P9练习1）如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC，AD＝3，BD＝2。写出图中的相似三角形，并指出其相似比。 2.（课本P9练习2）如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AC，BC 上的点，DE∥AB。延长 DE 到点 F，使 DF＝AB，连接 BF。求证：△BFE∽△CDE。 变式练习：如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AB、AC 上的点，DE∥BC，AD＝4，BD＝2，BC＝9，求 DE 的长。 ★ 提高　▱ABCD 中，E 在 CD 上，CE∶ED＝1∶2，AC 与 BE 交于 F，求 AF∶FC。 任务四　小结检测·分层作业（约 6 分钟） 填一填：(1) 平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形＿＿＿；(2) 图 31.2-7 中，DE∥BC 交 BA、CA 延长线于 D、E，则 △ADE∽△＿＿＿。 当堂检测：1.（填空）D、E 分别在 △ABC 的边 AB、AC 上，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，则＝＿＿＿。 2.（填空）▱ABCD 中，E 为 CD 中点，AC 与 BE 交于 F，则＝＿＿＿。 作业：必做——课本习题31.2 第3题；选做——课本习题31.2 第6题（图见课本P17）。 学科网（北京）股份有限公司 $