重庆市南开中学校2026-2027学年高三上学期11月质量检测数学试题

高2027届高三年级质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号 2 3 4 5 7 8 9 10 11 选项 B D B A A B C AC ACD ABC 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1.B【解析1：=-i,虚部为-1，选B 2.D【解析】曲感612=-1，%=分4%=2=4故a是周期为3的周期数 列，（事实上，可证明an+3=an,过程略），所以a026=a1=2,选D. 3.B【解析】由正态分布图像的对称性可知：P(X<4)=P(X>16)=1-P(X<16)=1-0.7=0.3,选B. 4.A【解析12万-a=(-5,2m-2),由题可得：9(2m-2)=-5×2→m=号，选A 5.A【解析】易知：e≥x+1,l1n(x+1)≤x,且均在x=0处取等号，故f(x)≥x+1-x-1=0,故A= [0,+∞)，由A二B→a≤0→amax=0,选A. 6.D【解析】由题知三棱锥P-ABC外接球和以PA,PB,PC为棱，棱长为2的正方体外接球重合，设 半径为r,则有(2r)2=22+22+22=12→S=4m2=12m.选D. 7.B 【解析】结合0<a1<1,a2026=1可知g>1.且有1≤n≤2025时，0<an<1,n=2026时，a226=1, 故1≤n≤2025时，a<0,n=2026时，4-0=5<0，故B成立 对于C,由等比数列性质可知a40s1·a1=a26=1,又a1∈(0,1).故a40s1>1. →S4051=0,选B. &C【解折】由n80=A40-△CM-2-如-2G-号d=写2丽+而) AC=AB+AD,故AC.AC=(2a正+A0)·(AB+A0=号(2AB+AD+3AB·A0)=2, 选C 数学试题参考答案第1页（共8页）》 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分)】 9.AC【解析】m、n分别是平面B的垂线.由m⊥n,可得，a⊥B,A正确；当a⊥y且交线为m,令B为 过直线m且与a斜交的另一平面，仍满足B∩y=m、mCa,但a与B不垂直，B错误；m⊥Y,B∥ y,则m⊥B;又mCa,平面a内存在一条垂直于平面B的直线，故a⊥B,C正确；m∥a,n∥B,m ⊥n不能推出a⊥B.可取两个不垂直的平面a、B,分别在其内作互相垂直的直线m、n的平行 线，仍满足条件但与B不垂直，D错误.故选AC 10.ACD【解析】川z12|=Iz1川z2|是复数模的乘法性质，恒成立，A正确；la1+21=121+|z2|仅当1、 z2对应的向量同向（或有0）时成立，对任意复数不恒成立，B错误；共轭运算满足对除法可 交换，C正确；由1z-1|=1知z在以(1,0)为圆心、半径为1的圆上.1z-则指该圆上点到 点(0,1)的距离，其最大值为2+1，D正确.故选ACD. 11.ABC【解析】：PD⊥AB,PF⊥AC,∴.A,D,P,F四点共圆，∠DPF=T-A,AP为该圆直径.在△PDF 中，由余弦定理DF2=x2+2-2 xzcos.∠DPF=x2+z2-2xzC0s(T-A)=x2+z2+2 xzcosA,故A 正确.又△ADF外接圆直径为AP,由正弦定理=PA,故B正确，PA三D sinA √x2+z2+2xzc0s ,.PA≥xsinB+sinC等价于 sinA sinA x2++2xzCosA=(xsinB +zsinC)2, x2++2xzCosAx2 sin2B+2 sin2C+2xzsinBsinC 台x2cos2B+z2cos2C+2 xzcosA≥2 xzsinBsinC x2cos2B+22 cos2C-2xzcos(B+C)=2xzsinBsinC x2cos2B+2 cos2C-2xzcosBcosC +2xzsinBsinC=2xzsinBsinC 台x2cos2B+z2cos2C≥2 xzcosBcosC,由均值不等式知该式成立，故C正确. 由C同理可知PB≥sinA+sinC,PC≥sinB+sin4 sinB sinC PA+PB+PCsinB+sinCsinA+ysincysinB+zsinA sinA sinB sinC (sinB sinA (sinC,sinB =x +Y (sinC sinA +z \sinA'sinB sinB sinC sinA sinC ≥2(x+y+z),当△ABC为等边三角形，P为中心时等号可成立 .PA+PB+PC的最小值为2，D错误.故选ABC x+y+z 数学试题参考答案第2页（共8页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相对应位置上） 12.c0sTx(答案不唯一，写出一个即可) 【解析】由条件，f(x)为周期为2的偶函数且在(0,1)上单调递减，∴.f(x)=COSTTX符合题意（答案 不唯一，写出一个即可). 185 【解析】当n≥2时，Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1即an=n2a.-(n-1)2an-1→(n+1)a.=(n-1) an-1 a1 a2 a3 n+1a1n(n+1) 1 又a1=1,43=15 14.-3 【解折1463-活+1=(x,-)产+(2=(-户+1-开 ωxA+P m+2k 6 →ω(xB-xA)=T→0=4 0-1+2kw 6 又曲线y=)过石，0]且x=石在递减区间内4×石+9=T+2k,keZ,结合1p1<号得e=写 )=m4x+）》)=智}=m智-号 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 解：由正弦定理s0产b8=C2R,得2sinM-simC=2sim8cosC…… (2分) 又A=m-B-C,sinA=sin(B+C),代入上式： 2(sinBcosC cosBsinC)-sinC =2sinBcosC,ap(2cosB-1)sinC =0.............................. (4分)》 因0<C<m,0<B<m所以sinC≠0，csB=2,所以B=… (7分) 数学试题参考答案第3页（共8页）》 (2)由余弦定理及B=写可得=d+e2-2 c=a2+c2-ac=7 …(9分） 由c-a=2,代入上式整理得：a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3(舍去)，于是c=3故△ABC的周 长4+万… …(13分) 16.(15分) (1)证明：取AE的中点为O,连接OB、OP,由条件OB=OP=√3，又PB= 6 .PB2=0B2+OP2,… (2分) ∴.P0⊥OB,又P0⊥AE,OB∩AE=0,∴.P0⊥平面ABCE,·(4分) 又POC平面PAE,∴.平面PAE⊥平面ABCE.… (6分) (2)解：由(1)可知，OA、OB、OP两两垂直，如图以0为原点，OA,0B,OP 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则有：B(0,5,0),E(-1,0,0),M -1,9}E-1,5,0,=0,59 …(8分) 设平面BEM的法向量为n1=(x,y,z),由n1·EB=x+3y=0 万·M-+浮=0取y=-1,得a=(3,-1.,又平面5的 2Y+ 法向量n2=(0,1,0)… (12分) ∴.cos<n1,n2>= %:=5x0-1×1+1x0=-5 (14分) 5×1 故平面PAE与平面BEM的夹角的余弦值为 5 (15分) 17.(15分) 解：(1)设焦距为2c,则有2c=22→0=2→02=02+62=2，又=1a=b=1 a 故双曲线C的标准方程为：x2-y2=1.… (3分) (2)设椭圆D的方程为：号+号=1(s>10),由(1)知R,(2,0),放有-f=2① 又由椭圆D经过点（侵，可得是+衣=1②，联立02可解得2=3，r=1或-弓2=2（舍去） 数学试题参考答案第4页（共8页） 故椭圆D方程为+少=1， (7分) 由点(m,)在椭圆D上可得：写+=1③ 义由直线1过点R,(2,0)可得：0=2k+m④，联立③④可解得：-号-号 …(10分) 联立：l:y=kx+m和双曲线C:x2-y2=1可得：(1-2)x2-2kmx-m2-1=0. 设P(4出)，Q(),则有1-≠0，△=4(m2+1-k)=32,1 +架名= 2km 1-k2 1-y2k1-)=+2)24x西=k1Y2=52326. 5 放5a0分r,-为=7×22x2.6=45 …(15分)） 18.(17分) 解：(1)设等比数列{an}公比为q,由S3=28,得a1+a2+a3=a(1+q+q)=28 a1,a2,a3-4成等差数列，得2a2=a1+a3-4,整理得a1(1-2q+g)=4, 1 9= 联立两武得十9十号7化简得2g-59+20,解得” 2 9=2 或 a1=16 (a1=4 因{an}递增，a1>0故q>1,通项公式an=2+l (5分) 2)将a代人2-12…-22022-12…8分剂 2” 2” (i)翠加求和：z.=212+(212++(212-】 =21 (10分) (iⅱ)不等式化为(-1)"λ(4n-3)<2-1, 为偶数时，不等式化为(4n-3)<2”-1,即A<二3该式对一切偶数n恒成 数学试题参考答案第5页（共8页） 令c,-系-即味c作得数a上的最小值 由cn+1-Cn 2+1-12-1-(4n-7):2"+4>0→n>1, 4n+14n-3(4n+1)(4n-3) 由此可得，c1>c2<c3<c4…即n≥2时，{cn}单调递增， 所以衡数项的最小值为白=子，即A<子 ……… (13分) 当a为奇数时，(-1)”=-1，则-A<该式对一切奇数a恒成立， 即求cn在奇数n上的最小值； 由4=1,6号<6以及n≥2时，c单调递增，最小值在a=3时取， 故-A<即A> (16分) 综上，实数入的取值范围为-了号】 (17分) 19.(17分) 解：(1)当a=1,x>0时，f(x)=ln(x+1)+x,则f(1)=ln2+1,切点为(1，ln2+1). f(x)中1+1，则切线斜率为/")-多， 故切线方程为y-(m2+1)=弓(x-1),即y=多+2-分 (4分) (2)(1)法一： 充分性：若x1+x2=2且f(x1)+f(x2)=0, 则a1=x1+y1i=2-x2-y2i=2-2, 所以w1=z-2名1=（2-2)2-2(2-z2）=z号-2a2=w2… (7分) 必要性：若w1=w2,则z号-2z1=号-22，即(a1-2)(名1+2-2)=0， 因为名1≠z2,所以z1+32-2=0,则x1+x2-2+(y1+y2)i=0, 所以x1+x2=2且y1+y2=0,即f(x1)+f(x2)=0,得证.…(10分) 数学试题参考答案第6页（共8页） 法二：w=2-2z=(x2-y2-2x）+(2y-2y)i. 充分性：若x1+x2=2且f(x1)+f(x2)=0,则 01=(x-y7-2x1)+(2x1y1-2y1)i =[(2-x2)2+(-y2)2-2(2-x2)]+[2(2-x2)(-y2)-2(-y2)]i =(x7-y2-2x2）+(2x2y2-2y2)i=w2: …(7分) x号-y-2x1=x号-y7-2x2 必要性：若01=2，则， x1y1-y1=x2y2-y2 (x1-1)2-y斤=(x2-1)2-y 整理得 ,消去(x1-1)2得(x2-1)2(2-)=(y-), (x1-1)y1=(x2-1)y2 即[(x2-1)2+](2-y)=0故=2， 分情况讨论， ①若y1=y2=0,则x1-1=±(x2-1),又因为两点不重合，则只能x1+x2=2; ②若y1=y2≠0，则x1=x2,两点重合，矛盾； ③若y1=-y2≠0，则x1-1=-(x2-1),即x1+x2=2,得证. 所以x1+x2=2且y1+y2=0,即f(x1)+f(x2)=0. …… (10分) (iⅱ)法一：因为f(x)≥0的解集为[m,+o),且实数m∈[-1,0]， 所以f(0)=lna≥0，即a≥1. ①当x<0时，f(x)=ln(-x+a）+,所以f'(x)=-x+a二l>0, -x+a ②当≥0时，fx)=1n(x+a)+,所以f'(x)=.1+1>0, x+a 因此f(x)在R上单调递增. 取f-a）=ln(2a-a,令h(a)=ln(2a）-a,'()=-1<0, 2 所以h(a)在[l,+oo)上单调递减； 所以h(a)<h(1)=ln2-1<0.即f(-a)<0,又f(0)=lna≥0，由零点存在性定理可得，f(x)在R 上有唯一零点. 数学试题参考答案第7页（共8页） 由f(x)≥0的解集为[m,+∞)知，m是f(x)的唯一零点， 即f代(m)=ln(-m+a)+m=0,得a=em+m=g(m).…(14分)） 法二：f(x)≥0的解集为[m,+o)可得，ln(x+a)≥-x的解集为[m,+o), 化简得不等式a≥e-x的解集为[m,+∞)且m∈[-1,0]， 设函数g(x)=e-x,则 ①当x≥0时，g(x)=e"-x为递减函数， ②当x<0时，g(x)=e+x,g'(x)=-e+1<0,则g(x)在(-∞，0)单调递减， 因此g(x)在R上单调递减，设g(xo)=a,则a≥g(x)解集为[xo,+∞)，由题意可得m=xo,即a= g(m)=e-m+m,............. (14分) 又g(x)在(-∞，0)单调递减，且m∈[-1,0]，所以g(0)≤g(m)≤g(-1), 易求g(-1)=e-1,g(0)=1,故a的取值范围是[1，e-1].…(15分) 若w1=w2成立，由①知x1+x2=2且f(x1)+f(x2)=0,代入得 ln[(x1+a)(x2+a)]+x1+x2=0,即1n[(x1+a)(x2|+a)]=-2. 又a≥1，所以(x|+a)(x2|+a)≥1，所以ln[(x|+a)(x2+a)]≥0，和上面结论矛盾 故曲线C上不存在P,P2,使得w1=U2成立.…（17分) 数学试题参考答案第8页（共8页） 高2027届高三年级质量检测 数学试题 2026.11 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，若，则（ ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 4．已知向量，，若，则实数（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，，，若，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面等边的边长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知等比数列的公比为，且，，设，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．在平行四边形中，已知，，．为的中点，为线段与的交点，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9．已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线．下列条件中，能推出的有（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．已知复数，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C．若，则有 D．若，为虚数单位，则的最大值为 11．已知点是内一点，于点，于点，于点，设线段，，的长度分别为，，，则（ ） A． B． C． D．的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相对应位置上） 12．函数同时满足下列三个条件：①；②对，；③在上单调递减．请写出一个符合条件的函数解析式，__________． 13．已知为数列的前项和，且，，则__________． 14．已知函数（，）的部分图象如图所示，曲线与直线在轴右侧第一个交点记为，与直线在轴右侧第二个交点记为．已知，则__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 在中，内角，，的对边分别是，，，且． （1）求角； （2）若，，求的周长． 16．（15分） 如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置（使点落在点的位置），连接、，已知． （1）求证：平面平面； （2）记的中点为，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，焦距为．直线：经过双曲线的右焦点，且与双曲线交于，两点． （1）求双曲线的方程； （2）已知椭圆与双曲线共焦点，且经过点．若点在椭圆上，求的面积． 18．（17分） 已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，且为单调递增数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分） 已知函数，设曲线：．在复平面上，对曲线上的点，记其对应的复数为（为虚数单位），定义，称为点的象． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）设，为曲线上两个不同的点，、为、的象． （i）证明：的充要条件是且； （ii）若存在实数，使得关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围．并判断此时曲线上是否存在，，使得成立，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $