第13讲 三角恒等变换专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第十三讲 三角恒等变换—专题练习 【知识点梳理】 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 知识点一、两角和与差的余弦公式 1.公式 ：. ：. 2.符号规律：左右符号相反. 知识点二、两角和与差的正弦公式 1.公式 ：. ：. 2.符号规律：左右符号相同. 知识点三、两角和与差的正切公式 1.公式 ：. ：. 2.符号规律：分子同，分母异. 3.公式变形 （1）的变形：=. （2）的变形：=. 知识点四、辅助角公式 形如的函数，可以转化为或的形式. ,其中满足，，（根据两角和与差的正弦公式可得）. 注意：通过两角和与差的余弦公式可推出的形式. 知识点五、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.公式 ：. ：. ：. 2.升幂公式：；. 3.降幂公式：；；. 4.半角公式：；；. 简单的三角恒等变换 知识点一、半角公式 1.半角公式 （1）； （2）； （3）. 2.半角公式根号前符号的确定 （1）应用半角公式时 ①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负号； ②若给出了的具体范围，则先求出的范围，再根据所在的象限确定符号. （2）若给出角所在的象限，则可根据下表确定符号. 第一象限 第一、三象限 ＋，－ ＋，－ ＋ 第二象限 第一、三象限 ＋，－ ＋，－ ＋ 第三象限 第二、四象限 ＋，－ －，＋ － 第四象限 第二、四象限 ＋，－ －，＋ － 知识点二、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 （1）. （2）. （3）. （4）. 2.和差化积公式 （1）. （2）. （3）. （4）. 知识点三、万能公式 （1）. （2）. （3）. 【专题练习】 考点一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和正弦、余弦、正切二倍角公式 1.利用和（差）角公式化简求值 例1.（   ） A． B． C． D．2 解：根据三角函数两角和公式，则. 代入原式化简,将代入原式可得： . 因为，，所以. 则原式变为. 故选：C. 例2.化简求值： （1）cos44°sin14°﹣sin44°cos14°； （2）sin（54°﹣x）cos（36°+x）+cos（54°﹣x）sin（36°+x）． 解：（1）cos44°sin14°﹣sin44°cos14°＝sin14°cos44°﹣cos14°sin44° ＝sin（14°﹣44°）＝sin（﹣30°）＝﹣sin30°； （2）sin（54°﹣x）cos（36°+x）+cos（54°﹣x）sin（36°+x） ＝sin[（54°﹣x）+（36°+x）]＝sin90°＝1． 随堂练习： 1.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 解：原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos 60°＝ .故选：B. 2.＝ . 解：＝＝＝tan(15°－45°)＝tan(－30°)＝－.故答案为：－. 3.计算＝ . 解：＝.故答案为：1. 4.tan 10°·tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)． 解：∵tan(10°＋20°)＝＝， ∴tan 10°＋tan 20°＝(1－tan 10°·tan 20°)． ∴原式＝tan 10°·tan 20°＋×(1－tan 10°·tan 20°) ＝tan 10°·tan 20°＋1－tan 10°tan 20° ＝1. 5.化简求值： （1）－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. （2）sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°. （3）. 解：（1）原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝. （2）原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝. （3）原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－. 2.给值求值或给值求角 例1.已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值． 解：因为0<α<，cos α＝，所以sin α＝. 又因为0<β<，所以0<α＋β<π. 因为sin(α＋β)＝<sin α，所以cos(α＋β)＝， 所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－()×＝. 又因为0<β<，所以β＝. 例2.已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． 解：∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 又sin α<sin β，∴0<α<β<， ∴－<α－β<0.故α－β＝－. 随堂练习： 1.已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 解：由于，，故， .故选：C. 2.若，则（   ） A． B． C． D． 解：因为，则. 故选：B. 3.已知sin（α﹣β）＝3cos（α+β），tanα＝2，则tanβ＝（　　） A． B． C． D． 解：因为sin（α﹣β）＝3cos（α+β），所以sinαcosβ﹣cosαsinβ＝3cosαcosβ﹣3sinαsinβ， 因为tanα＝2，所以cosα≠0， 若cosβ＝0，则tanβ无意义，所以cosβ≠0，两边同除以cosαcosβ， 得tanα﹣tanβ＝3﹣3tanαtanβ，又tanα＝2，所以2﹣tanβ＝3﹣3×2tanβ，解得． 故选：A． 4.已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 解：因为都是锐角，所以， 又，所以， ， 又， 所以.故选：A. 5.已知，，则（    ） A． B． C． D． 解：由 . 由 . 由 . 所以 .故选：B. 6.若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为 ． 解：∵<α<，<β<，∴－<－α<0，<＋β<. ∴cos＝， cos＝－， ∴cos(α＋β)＝cos[-]＝coscos＋sinsin ＝()×＋×()＝－，又<α＋β<π，∴α＋β＝.故答案为：. 7.已知tan α＝，tan β＝－2，且0<α<<β<π， 求：（1）tan(α－β)的值； （2）角α＋β的值． 解：（1）tan(α－β)＝＝7. （2）∵tan(α＋β)＝＝， 又0<α<，<β<π，∴<α＋β<，∴α＋β＝. 8.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 解：由cos α＝，0<α<，得sin α＝. 由0<β<α<，得0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝. ∵β＝α－(α－β)， ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. 3.利用和（差）角公式的化简与证明 例1.化简：. 解：原式 . 随堂练习： 1.已知，求证：. 证明：由已知得，所以， 所以. . 所以. 2.已知，，求证：. 证明：因为， 所以. 因为，所以， 所以. 3.化简：. 解：原式 = = = = =. 4.辅助角公式 例1.已知函数． （1）求函数的周期和其图像的对称轴方程； （2）当时，求的值域． 解：（1）， 所以； 令，解得． （2）因为，所以 从而可知， 因此，故所求值域为． 随堂练习： 1.函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 解：，因在上单调递减，则 ，则.故选：D. 2.(多选)f(x)＝sin 2x－cos 2x，则f(x)在下列区间上递增的是(　　) A.[] B.[] C.[] D.[] 解：f(x)＝sin 2x－cos 2x＝＝sin(2x－). 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 整理得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的增区间为[]，k∈Z.经检验B，C正确．故选：BC. 3.已知sin(x+)＝，则cos x＋cos()的值为 . 解：cos x＋cos()＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝sin(x+)＝. 故答案为：. 4.函数y＝cos x＋cos(x+)的最小值是 ，最大值是 ． 解：y＝cos x＋cos xcos －sin xsin  ＝cos x－sin x＝(cos x－sin x) ＝cos(x+)， 当cos(x+)＝－1时，ymin＝－. 当cos(x+)＝1时，ymax＝. 故答案为：－，. 5.若方程sin x－cos x＝m－1有解，则m的取值范围是 . 解：sin x－cos x＝m－1，即2(sin x－cos x )＝m－1，即2sin(x－)＝m－1， ∵sin(x－)∈[－1,1]．∴－2≤m－1≤2，即－1≤m≤3.故答案为：[－1,3]. 6.函数，其相邻两个对称中心之间的距离为 （1）求实数的值及函数的单调递增区间； （2）求函数在上的最大值和最小值； （3）设，若函数在上有两个不同零点，求实数m的取值范围. 解：（1）依题意，， 显然函数的周期，解得，因此， 由，得， 故单调递增区间是. （2）当时，，则当，即时，， 当，即时，. （3）由（1）知，函数在上单调递增，函数值从0增大到， 在上单调递减，函数值从减小到1，函数在的图象，如图，    由，得，函数在上有两个不同零点， 即直线与函数在的图象有两个公共点，此时， 所以实数m的取值范围是. 5.利用倍角公式化简、求值、证明 例1.求下列各式的值： （1）sin2π－cos2π； （2）； （3）cos 20°·cos 40°·cos 80°. 解：（1）原式＝－(cos2π－sin2π)＝－cos π＝－cos＝cos ＝. （2）原式＝. （3）原式＝. 例2.化简的结果为（       ） A． B． C． D． 解：原式 ， 故选：B． 例3.求证：. 证明：方法 1： . 所以等式成立. 方法 2： 故原式成立. 随堂练习： 1.已知，，则（      ） A． B． C． D．1 解：由，故，. 故选：A． 2.化简所得的结果是（     ） A． B． C． D． 解：原式= ．故选：B． 3.已知，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 解：. .故选：B. 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 解：由题意结合诱导公式得， 由二倍角的余弦公式得，故B正确. 故选：B. 5.求下列各式的值： （1）sin cos ； （2）； （3）cos4－sin4. 解：（1）原式＝×2sin cos ＝×sin ＝. （2）原式＝·＝×tan 45°＝. （3）原式＝(cos2－sin2)(cos2+sin2)＝cos2－sin2＝cos ＝. 6.求证： 证明： . 故原等式成立. 7.化简： （1）． （2），其中． （3）． 解： ＝ ． （2）因为，所以，，所以． 故． （3）(方法1) ． (方法2) ． (方法3) ． 8.求证：. 证明： . 故等式成立． 考点二：简单的三角恒等变换 1.半角公式的应用 例1.已知θ∈且sin θ＝，求sin ，cos ，tan 的值． 解：∵θ∈，且sin θ＝.∴cos θ＝－，∈， ∴sin ＝－， cos ＝－＝－，∴tan ＝＝2. 例2.已知，则（　　） A． B． C． D． 解：因为，所以cosθ2cos21，所以cos， 则2cos．故选：A． 随堂练习： 1.已知cos α＝，α∈，则sin等于(　　) A. B.－ C. D. 解：∵α∈，∴∈，sin＝＝.故选：A. 2.若α为第三象限角，且sinα，则tan（　　） A．﹣3 B． C．2 D．﹣2 解：因为α为第三象限角，且sinα，所以cosα，则tan3． 故选：A． 3.若cosα，α是第三象限的角，则（　　） A． B． C．2 D．﹣2 解：由，α是第三象限的角，∴可得， 则.故选：A． 4.已知，且α∈（0，π），则（　　） A． B． C． D． 解：因为知，且α∈（0，π），所以sinα，tanα， 又因为，解得或，由于α∈（0，π），可得 故.故选：A. 5.若，且，则（　　） A． B． C． D． 解：若，且，所以， 则cosθ，则．故选：B． 6.已知α∈（0，π），且，则（　　） A． B． C． D． 解：因为α∈（0，π），所以0， 因为，则（舍负）．故选：C． 7.已知180°<α<270°且sin(α＋270°)＝，则sin ＝ ，tan ＝ . 解：∵sin(α＋270°)＝－cos α＝，∴cos α＝－，又90°<<135°， ∴sin ＝＝＝，tan ＝－＝－＝－3.故答案为：，－3. 8.（1）已知，且270°＜θ＜360°，试求即的值； （2）用半角公式求cos15°的值． 解：（1）∵270°＜θ＜360°，∴135°180°，∴0，0， ∴sin，cos； （2）cos15°． 2.积化和差与和差化积公式的应用 例1.求下列各式的值：　　 （1）；　　 （2）； （3）；　　 （4）. 解：（1） . （2） = . （3）原式. （5）原式. 随堂练习： 1.利用积化和差公式化简的结果为（　　） A． B． C． D． 解：sinαcosβ.故选：D． 2.在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B． C． D． 解：cosAsinC[sin（A+C）﹣sin（A﹣C）][sin（π﹣B）﹣sin（A﹣C）] sin（A﹣C）.因为﹣1≤sin（A﹣C）≤1，所以sin（A﹣C），即cosAsinC的取值范围为.故选：C． 3.已知α，β为锐角，且，则sinαsinβ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解：因为，又， 所以． ∵α，β为锐角，且，∴，即，∴， ∴，∴， ∴sinαsinβ的取值范围为．故选：A． 4.设，则 . 解：，， .故答案为：. 5.求函数的值域. 解：， ， ， 由和角公式， 展开得：， 代入函数得：. 因为，代入函数计算最值： 最小值为：. 最大值为：. 综上，函数最大值为，最小值为，故函数值域为. 3.万能公式应用 例1.求的值域（用万能公式解）. 解：∵，令t＝tan， 则y，即（y﹣1）t2﹣2t+3y﹣1＝0， 当y＝1时，方程有解； 当y≠1时，若方程有解，则Δ＝4﹣4（y﹣1）（3y﹣1）≥0， 解得：y∈[0，]，综上：y∈[0，]， 故的值域为（0，]． 随堂练习： 1.已知，则 . 解：.故答案为：. 2.若，则 . 解：故答案为： 3.已知，则的值为 . 解：；；代入表达式：.故答案为：. 4.（1）试用万能公式证明：． （2）已知，当α为第二象限角时，利用（1）的结论求的值． 解：（1）证明：由及得 故． （2）解：由为第二象限角得由（1）得． 4.三角恒等式的化简与证明 例1.化简：　　 ． 解：由题意得．故答案为：tanθ． 例2.证明： （1）cos4α+4cos2α+3＝8cos4α； （2）； （3）已知sinθ+cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β，求证4cos22α＝cos22β． 证明：（1）由cos4α+4cos2α+3＝2cos22α﹣1+4cos2α+3＝2（cos2α+1）2＝8cos4α， 可得：cos4α+4cos2α+3＝8cos4α． （2）由2cos（α+β） =， 所以． （3）因为sin2θ+cos2θ＝1，可得（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ， 把sinθ+cosθ＝2sinα，sinθ•cosθ＝sin2β代入得4sin2α＝1+2sin2β， 即4（1﹣cos2α）＝1+2（1﹣cos2β）， 整理得4cos2α＝1+2cos2β，所以4cos2α﹣2＝﹣1+2cos2β， 所以2cos2α＝cos2β， 两边平方可得4cos22α＝cos22β． 随堂练习： 1.化简得 . 解：原式＝1＋2sin cos ＋1－cos[2]＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2. 故答案为：2. 2.化简：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝　 　． 解：原式＝ .故答案为：-1. 3.化简求值： （1）； （2）； （3）已知，，求的值． 解：（1）. （2） . （3）已知，，，， 所以， . 4.证明下列等式： (1) (2). 解：（1）左边右边，得证； （2）左边 右边，得证. 5.证明下列恒等式： （1）1+sinα＝（sincos）2； （2）8sin4α＝cos4α﹣4cos2α+3； （3）； 证明：（1）右边左边，故1+sinα＝（sincos）2成立． （2）右边＝cos4α﹣4cos2α+3＝2cos22α﹣1﹣4cos2α+3＝2（cos2α﹣1）2＝2（2sin2α）2＝8sin2α＝左边，故8sin4α＝cos4α﹣4cos2α+3成立； （3）左边右边， 故成立． 6.化简与证明： （1）化简：； （2）证明：． 解：（1）证明：原式 ． （2） ，证毕． 7.证明下列恒等式． （1）； （2）； （3）； （4）． 证明：（1）tantan； （2）； （3） ＝tan（）； （4）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $第十三讲三角恒等变换一专题练习 【知识点梳理】 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 知识点一、两角和与差的余弦公式 1.公式 C()cos(a-B)=cosa cosB+sina sing Ca+p)°cos(a+B)=cosa cospβ-sinc sinβ 2.符号规律：左右符号相反. 知识点二、两角和与差的正弦公式 1.公式 Sa-B)°sin(a-B)=sin cosβ-cosa sinB Sa+B)°sina+β)=sina cosβ+cosa sinpβ 2.符号规律：左右符号相同. 知识点三、两角和与差的正切公式 1.公式 T:tan(a-Bang tantg To):tan(a+B)=tangetamnB 1+tana tan B' 2.符号规律：分子同，分母异 3.公式变形 (I)Ta-B的变t形：tan&--tan B"tan(&-Bj1+ian&tanB叶 (2)Tag的变：形ana+tanBtan(a+B)1-tanc tan) 知识点四、辅助角公式 形如y=asinx+bcosx的函数，可以转化为y=Asin(x+p)或y=Acos(x+p)的形式， y=asinx±bcosx=Va2+b a =sinx± b Ya+b COSX √a2+b =Va2+bsin(0±py其中。 满足cos0= Q sino= 6 ’tang= b(根据两角和与差的正弦公式可得)· Va+b Va+b a 注意：通过两角和与差的余弦公式可推出y=ACos(x+p)的形式. 知识点五、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.公式 S2 sin2a=2sina cosa' cos2a-sin2a C2a cos2= 2c0s2a-1· 1-2sin2a 2tana T2a:tan2a= 、2 1-tan a 2.升幂公式：1+cos2a=2cosa;1-cos2a=2sin2a 3.降幂公式：sina= (1-cos2a):cos1+co2)sim cos 、1 2 in2a. 角 式 sin=1-cosa Cos a 三土别 1+cosa 4. 公 : 2 2 1 sina 1-c0s tan 2 1+cosa 1+cosa sina 简单的三角恒等变换 知识点一、半角公式 1.半角公式 (1)sin =± 1-cos a P (2)c0s 1+cosd 2 (3)tang=± 1-cosa sina1-cosa 2 1+cosa 1+cosa sing 2.半角公式根号前符号的确定 (1)应用半角公式时 ①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负号； ②若给出了α的具体范围，则先求出)的范围，再根 号所在的象限确定符号。 (2)若给出角α所在的象限，则可根据下表确定符号. c a 2 sin a 2 cOS tm号 第一象限 第一、三象限 十， 十， + 第二象限 第一、三象限 +,一 +,一 + 第三象限 第二、四象限 十，一 第四象限 第二、四象限 -,+ 知识点二、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 (1)sin a cos B=sin(a+B)+sin(a-B) 2 (2)cos a sin B=sin(a+B)-sin(a-B) 2 (3)cos a cos B=cos(a+B)+cos(a-B) 2 (4)sin a sin B=-cos(a+B)-cos(a-B) 2 2.和差化积公式 乙el-T b -=力Ie(E) 名az 名g4 s+ 2S03 乙 2us-25op=刀s0(z 0e-I为us-0so0 名ua+T 乙us+0 S00 DZ s00 uIS乙=力uIs(L) 号amz 号sm子sz 乙 0 年鶸业三学此 900( 乙 0=02+X s0 sm=u吸-Xs 乙 乙 -s00X+文usZ人us+Xus(） 【专题练习】 考点一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和正弦、余弦、正切二倍角公式 1.利用和（差）角公式化简求值 例1.cos85+sin25°c0s30°=（） cos 25o A.、3 2 B. D.2 2 2 例2.化简求值： (1)cos44°sinl4°-sin44°cos14°； (2)sin(54°-x)cos(36+x)+cos(54°-x)sin(36+x)· 随堂练习： 1.cos(a-35)cos(25°+a)+sin(a-35)sin(25°+a)的值为() 4月 3 B.2 D:2 2 sin15°-cos15o sin15°+cos150= 3-tan 15 3.计算1+93tan15° 4.tan10°-tan20°+/3(tan10+tan20). 5.化简求值： (1)-sin167°.sin223°+sin257°.sin313°. (2)sin20°cos10°-cos160°sin10°. tan74°+tan76o (3)1-tan74tan76 2.给值求值或给值求角 1 53 π 例1已知cos asin(a+价三4,0Ka,0,求角B的值 2V5 。10 例2.已知a,B均为锐角，且cosa=5,cosB=10,求a-B的值. 随堂练习： 1.已知&∈ cos a= 近，则cosc+的值为(） 4 A. 3V10 2V5 c.-0 D. 3V10V/10 B. 或 10 5 10 10 10 2若ana+=则ana=（） 46 6 B引 。眉 D. 7-5 3.已知sim(a-B)=3cos(+B),tana=2,则tan邱=() B.3 c D.- 3 4己知ax,B都是锐角，cosc三号，cosa+B=二14：则cosB=() A.2 2 B.2 3 c.3 3 D. 2 5已知sinc+B=,ana=2tanB,则sina-B=( B 35 D 6若n子a)=分a子+要 42:42则角a+B的值为 ,其中匹ππ。π 1 π 7.己知tana=3,tanB=-2,且0<aK2<fK元， 求：(1)tan(a一B)的值： （2)角a十B的值. ⑧己知cosa-方co(a-)-且0as号求B的值. 13 1 3.利用和（差)角公式的化简与证明 例1.化简： sin(a-B)sin(B-0)sin(0-a) sina sinβsinβsin0sin0sina 随堂练习： i已加ama+B)-2anaa,a+B≠m+受keZ求：3sn月=sin2a+B时 2已知sina=Asin(a+B),IA>1,求证：tan(a+B)=sinB COS B-A 3化筒：sin(a+B)cosa-号sin2a+B)--sin@] 4辅助角公式 例1.已知函数fx=23 sin xcosx-2cos'x+1 (1)求函数fx的周期和其图像的对称轴方程； (2)当xe0 5匹时，求fx的值域. 12 随堂练习： 1.函数y=V3sin2x-cos2x的单调减区间是() A. kπ石kπ 3 ,k∈Z B. 2km-2k+keZ列 3 c. 2kπ+2kπ 5m,k e Z) D. 6 k+,kπ+5，k∈Z 3 6 2.(多选)w)=sin2x一cos2x,则x)在下列区间上递增的是( π3π B[-8'8 c,5 D π1 3已知sim(+3)=3:则cosx+c0s(3)的值为 4.函数y=cosx+c0s(+3)的最小值是 ,最大值是一 5.若方程simx-V3cosx=m-1有解，则m的取值范围是 6函数fx)=c0sox+3 Bsin@x·c0soxo>0,其相邻两个对称中心之间的距离为号 (1)求实数ω的值及函数f(x)的单调递增区间： 9 (2)求函数fx在x∈[-石]上的曼大位和最小值： (3)设gx=fx)-m,若函数g(x)在x∈[一石写]上有两个不同零点，求实数m的取 值范围. 5.利用倍角公式化简、求值、证明 例1.求下列各式的值： (1)sin'1-cos1 10 2π 1-tan 8 (2) tan 6 (3)c0s20°.c0s40°.c0s80° sin4a 例2.化简 c0s20_的结果为(） 1+cos4a 1+cos2a A.tan2 B.tana C.tan2a D.cos2a 例3.求证 tamg+a-tan年-aF2am2a 随堂练习： 1.己知ae n I, sin2a=cosa' os2a=（) 则 22 3 B. 3 c.3 D.1 V3 2.化简4tan20° 口1+c0s40° 所得的结果是() 2 11 3 A.4 。号 D 3.己知a∈ 4’4 化简2-2sin2a-/1+cos2a的结果是（） A.2sina B.-2sina C.2cosa D.-2cosa 已na-君n2a+君-） 6 > B.9 c.-42 D. 4V2 9 9 5.求下列各式的值： (1)sin 12cos 12 tan22.5° (2)1-tan222.5o (3)cos12-sin'12 sin 20+sin0 6.求证： =tan 0. 2cos20+2sin'0+cosθ 7.化简： 12 (1)V1+sin20°+1-sin20° (2) 1 1日+cos2其中a∈ 2V2 .2a (a）sinasin'B+cosacosB-os2acos2p, 8.求证：cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos2Acos2B 考点二：简单的三角恒等变换 1.半角公式的应用 1已知8e|受，3n日m0 求m号es号m号的他， 000 13 1+sin0+cos0 例2已加sn0-90e(0,艺.则s 二 () 2 8V17 B. 4V17 2V17 9V17 A. 17 C. 17 17 D. 17 随堂练习： 1 1.已知cosa= 5,a∈ 3亚，2 则sm)等于( ) 400 B. V10 c26 D.26 5 5 5 5 2.若a为第三象限角，且sino= 则tang=() 1 A.-3 B.- 3 C.2 D.-2 3.若c0s=- ，α是第三象限的角，则 4 am2=(） 1-tana B.2 C.2 D.-2 4已知coa=7且底0,0，则an受() 4.3 3 B. 3 c.23 2 3 D. 23 3 5若9∈(-7，，且an0=-T5.则os号 =() 6 V10 G 10 A. B. C.± 4 D.士 4 4 4 6.已知ce(0,π)，且tana=2只V2,则tan =() 2 2 B.2 2 A.4 C.2 D. 2V2 3 4 7.己知180<a270°且sim(a+270)=5则sin2=一，tam2— 0 )已知cos9,且270°<0<360°，试求5in二即c0s 14 (2)用半角公式求cos15的值. 2.积化和差与和差化积公式的应用 例1.求下列各式的值： (1)sin105°cos75°： (2)2c0s37.5°cos22.5°； (3)sin(30°+a)-sin(30'-a)月 sn号+atsm-al 随堂练习： 1.利用积化和差公式化简sinsin(受-B的结果为《） A.-J[cos(@+B)-cos(@-B)] B.cos(@+A)+cos(a-B)] 15 c.j[sin(a+B)-sin(@-B)] D.sin(+B+sin(-B)] 2.在△ABC中，若B=30°，则cosAsinC的取值范围是() A.[-1,1] c4别 D.子4 3.己知a,B为锐角，且Q-B= π ,则sinasinB的取值范围是( 3 A.(0,2 B.[1, 2 D.[-3,3] 5,sina-sinB=1 4.设cos(+cosB= 则tan(a-B)= 5.求函数f(x)=sinxsin 3 3.万能公式应用 例1.求y=sinx+1 cosx+2的值域（用万能公式解）. 随堂练习： 16 1.已知tana=2,则cos2a= 2.若tan0= 3 则cos20= 3.己知tan2 =3，则sin0+2cos8的值为 a sina 4.(1)试用万能公式证明：tan 2 1+cosa 4 (2)已知sina=行当a为第二象限角时，利用(1)的结论求tan二的值. 4三角恒等式的化简与证明 例1.化简： sin+sin 20 1+cos0+cos20 例2.证明： （1)c0s4a+4c0s2a+3=8c0sa: (2) sin(B)-2cos(+B)=sing sing sing (3)已知sin0+cos0=2sina,sin0cos0=sinB,求证4cos22ar=cos22β. 17 随堂练习： 1.化简sin 十c0s +2 41 得 2.化简：tamn70cos10(V3tan20°-1)= 3.化简求值： 3 (1) c0s80° sin80 (2) cos401+9/3tan10 (3)已知a∈m,2 3 I sina=4,求cosg的值. 25 4 4.证明下列等式： (1)sin0(1+cos20)=sin 20 cos0 2coslcosa-cosB)+sinasina-sin B)=2sin 2 18 5.证明下列恒等式： ①)l+sima=(sim号+cos2 0)2: (2)8sin a=cos4a-4cos20+3; (3)1+sina 1+am分 cOSa 1-tan2 6.化简与证明： (1)化简：sin40(tan10°-3)： au月2oa02。克m* 21 19 7.证明下列恒等式. ()cosucn sina+sinβ 2 1 sin(x-y) (2) sinx-siny sin(x+y) 1 5si2x+y列 (3)+sinx =tan( COSX (4) cos 2x+cos2y_cos(x-y) 1+cos2(x+y)cos(x+y) 20