二 有理数的运算·进位制的认识与探究专题复习讲义　2026～2027学年人教版数学七年级上册

二 有理数的运算·进位制的认识与探究 2026~2027学年　人教版　七年级上册　专题复习讲义 第二章　有理数的运算　专题六　（学生版） 目录导航 一、知识与方法 2 二、题型一　二进制与十进制的互化 9 三、题型二　八进制、十六进制与十进制 11 四、题型三　进位制下的加减法与比较 12 五、题型四　不计算判结构与改条件 14 六、A、按权展开·把非十进制读成十进制 16 七、B、改一个条件·看基数与位数怎么变 16 八、C、错因反推·逐项讲错在哪一步 17 九、D、真题考向·2025 与 2026 逐项研析 18 十、E、一个数·三问收口 22 十一、课堂检测 23 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法 图0 知识点一　二进制如何按权展开成十进制 1．二进制逢二进一，从右往左各位的位权依次是 2 的 0 次方、2 的 1 次方、2 的 2 次方、2 的 3 次方…… 2．（101）₂＝1×2 的 2 次方＋0×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方＝4＋0＋1＝5，所以二进制 101 等于十进制 5。 3．为什么从右起第一位是 2 的 0 次方：最右边一位表示几个一，任何数的 0 次方都是 1（非零底数）。 4．反例两则：「（101）₂＝1×2 的 3 次方＋0×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方」不成立，把位权整体左移了一位；「（101）₂＝1＋0＋1＝2」不成立，漏乘了位权，当成三个数字相加。 5．换一个条件：把（101）₂ 改成（1010）₂，从右起位权变成 2 的 0 次方到 2 的 3 次方，值为 1×2 的 3 次方＋0＋1×2 的 1 次方＝10；只多一位，数值从 5 变 10。 6．举例：（1101）₂＝1×2 的 3 次方＋1×2 的 2 次方＋0＋1＝13；（111）₂＝7；位数越多值越大，与十进制一样。 图示1 易错提醒：按权展开时位权从右起第一位是 2 的 0 次方，逐位左移幂次加 1，别把位权整体错位。 知识点二　八进制、十六进制与十进制互化 1．八进制逢八进一，位权是 8 的幂；（374）₈＝3×8 的 2 次方＋7×8 的 1 次方＋4×8 的 0 次方＝192＋56＋4＝252。 2．十六进制逢十六进一，用 0 到 9 再加大写字母表示 10 到 15；（1D9）₁₆＝1×16 的 2 次方＋13×16 的 1 次方＋9＝256＋208＋9＝473。 3．为什么说十六进制要用字母：因为一位要表示 0 到 15 共 16 个数，数字 0 到 9 不够，用字母补上 10 到 15。 4．反例两则：「（374）₈＝3×8 的 3 次方＋…」不成立，374 是三位数，最高位是 8 的 2 次方不是 8 的 3 次方；「（1D9）₁₆ 把 D 当成 4」不成立，D 表示 13。 5．换一个条件：把（374）₈ 改成（2067）₈，位数变四位，最高位权 8 的 3 次方，（2067）₈＝2×8 的 3 次方＋0＋6×8＋7＝1079；位数多一位，值大很多。 6．举例：（101）₂＝5，（23）₅＝2×5＋3＝13；不同进制的同一串数字含义不同，必须看基数。 图示2 易错提醒：按权展开时位权从右起是基数的 0 次方、1 次方……递升；最高位的幂次＝位数减 1。 知识点三　十进制化成非十进制：除基取余 1．把十进制 5 化成二进制：反复除以 2，把每次的余数从下往上写，5÷2 商 2 余 1，2÷2 商 1 余 0，1÷2 商 0 余 1，得（101）₂。 2．13 化二进制：13→6 余 1，6→3 余 0，3→1 余 1，1→0 余 1，从下往上读得（1101）₂。 3．为什么余数要从下往上读：最后一次除得的余数是最高位，最先除得的是最低位，顺序要反过来。 4．反例两则：「把余数从上往下写」不成立，那样会把最高位最低位颠倒，得到（1011）₂ 而非（1101）₂；「商为 0 就停，但忘了最后一个余数」不成立，会少最高位。 5．换一个条件：把 13 改成 10，10→5 余 0，5→2 余 1，2→1 余 0，1→0 余 1，得（1010）₂；只换被转换的数，方法不变。 6．举例：十进制 5＝（101）₂，十进制 10＝（1010）₂，十进制 21＝（10101）₂；熟练后可先找最接近的 2 的幂再补。 图示3 易错提醒：除基取余时余数从下往上读；最后一次除得的余数写在最左边（最高位）。 知识点四　进位制下的加法：逢 N 进一 1．二进制加法规则：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋1＝10（逢二进一，向下一位进 1）。 2．（1010）₂＋（111）₂：从右对齐，1＋0＝1，1＋1＝10 进 1，0＋1＋进位 1＝10 进 1，1＋1＝10，结果（10001）₂＝17。 3．为什么进位规则与十进制相同只是基数不同：每一位满基数就向左进 1，二进制满 2、八进制满 8。 4．反例两则：「1＋1＝2（写数字 2）」不成立，二进制里没有数字 2，应写 10 并进位；「（1010）₂＋（111）₂＝（1121）₂」不成立，出现了数字 2。 5．换一个条件：把（111）₂ 改成（1101）₂，重新对齐相加，仍逢二进一，结果变成（10111）₂＝23；只换一个加数，进位链重新算。 6．举例：（11）₂＋（1）₂＝（100）₂；（101）₂＋（11）₂＝（1000）₂；先对齐最低位，再从右往左逐位加并进位。 图示4 易错提醒：进制加法先对齐最低位，从右往左逐位加，满基数就向高位进 1；该进制里不能出现不小于基数的数字。 知识点五　进位制下的减法 1．二进制减法同样对齐最低位，不够减时向高位借 1，借来的 1 当成本位的 2（因为满 2 进 1）。 2．（11011）₂−（1101）₂：对齐后从右算，1−1＝0，1−0＝1，0−1 不够向高位借得 2−1＝1，被借位再减 1 又借得 2−1＝1，最后 1−1＝0，得（1110）₂＝14。 3．为什么借 1 当 2：二进制每一位的 1 代表 2 个下一级单位，借一位等于借来 2。 4．反例两则：「0−1 直接写 −1」不成立，没有负数数字，必须借位；「借位后忘了本位变成 2−1 而是算成 1−1」不成立，漏了借来的量。 5．换一个条件：把（1101）₂ 改成（101）₂，减数位数变少，借位链不同，结果变成（10110）₂＝22；只换减数，被减数没动。 6．举例：（100）₂−（1）₂＝（11）₂；（1100）₂−（101）₂＝（111）₂；减法最容易在借位处出错，要一位一位核。 图示5 易错提醒：进制减法不够减时向高位借 1，借来的 1 当成本进制的基数（二进制当 2，八进制当 8）。 知识点六　不同进制数的大小比较：先化成十进制 1．比较（221）₃ 与（10111）₂：都化成十进制，（221）₃＝2×3 的 2 次方＋2×3＋1＝25，（10111）₂＝16＋4＋2＋1＝23，25>23，所以（221）₃ 大。 2．为什么不直接比数字串：不同进制的同一串数字权重不同，直接比位数或数字会误判。 3．反例两则：「（10111）₂ 数字多所以更大」不成立，它只有 23；（221）₃ 位数少但基数大，值反而大。 4．换一个条件：把（221）₃ 改成（102）₃＝1×9＋0＋2＝11，此时 11<23，（102）₃ 反而小；只换一个数，大小关系反转。 5．举例：（374）₈＝252，（2067）₈＝1079，都比对应的二进制大很多，因为基数高；比较前先统一化成十进制最稳妥。 6．举例：同为二进制时，位数多的更大（如（1111）₂＝15>（111）₂＝7），因为同进制才可比位数。 图示6 易错提醒：比大小先定规则：同进制比位数与高位，异进制统一化成十进制再比，别被位数或数字串长短误导。 知识点七　不计算判结构：看位数、看基数、看数位 1．同进制下，位数多的数一定更大（如二进制四位（1111）₂ 大于三位（111）₂），不必算具体值。 2．不同进制比大小，若一数的基数明显更高且位数不更少，往往更大；（374）₈ 是三位八进制，（101）₂ 是三位二进制，基数 8 远大于 2，前者大。 3．为什么不计算也能比：先把「同进制比位数、异进制化十进制」两条规则用上，多数情形一步可判。 4．反例两则：「位数相同就一样大」不成立，基数不同差很远；「数字串相同就相等」不成立，（101）₂＝5 而（101）₈＝65。 5．换一个条件：把（101）₂ 改成（1010）₂（多一位），与（374）₈ 比仍小，因为即使多一位二进制也才 10，远小于 252；只动一个数结论不变。 6．举例：不计算可判（1111）₂>（111）₂、（374）₈>（101）₂；在（23）₅＝13 与（101）₂＝5 之间一步知前者大。 图示7 易错提醒：不计算比大小先定「同进制比位数、异进制化十进制」，再结合基数高低一步判断。 二、题型一　二进制与十进制的互化 例1 把二进制（101）₂ 按权展开成十进制：从右起位权依次是 2 的 0 次方、2 的 1 次方、2 的 2 次方，所以（101）₂＝1×2 的 2 次方＋0×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方＝（　　）＋（　　）＋（　　）＝（　　）。 图1 变式1-1 把（1010）₂ 化成十进制：从右起第四位是（　　），它乘的是 2 的（　　）次方，所以（1010）₂＝1×2 的 3 次方＋0×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方＋0＝（　　）。 图1-1 变式1-2 不计算具体数值，判断（111）₂ 与（1010）₂ 谁大（　　）；理由（　　）——（1010）₂ 是（　　）位二进制，（111）₂ 是（　　）位二进制，同进制下位数多的更大。 图1-2 把二进制（1101）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 3 次方＋1×2 的 2 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 把二进制（111）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 把二进制（10101）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 4 次方＋1×2 的 2 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 把二进制（10001）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 4 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 三、题型二　八进制、十六进制与十进制 例2 把八进制（374）₈ 按权展开：从右起位权是 8 的 0 次方、8 的 1 次方、8 的 2 次方，所以（374）₈＝3×8 的 2 次方＋7×8 的 1 次方＋4×8 的 0 次方＝（　　）＋（　　）＋（　　）＝（　　）。 图2 变式2-1 把十六进制（1D9）₁₆ 化成十进制：十六进制用 0 到 9 再加大写字母表示 10 到 15，其中 D 表示（　　），所以（1D9）₁₆＝1×16 的 2 次方＋（　　）×16 的 1 次方＋9＝（　　）＋（　　）＋9＝（　　）。 图2-1 把八进制（2067）₈ 化成十进制：按权展开得 2×8 的 3 次方＋6×8 的 1 次方＋7×8 的 0 次方 ＝（　　）。 把五进制（23）₅ 化成十进制：按权展开得 2×5 的 1 次方＋3×5 的 0 次方 ＝（　　）。 把五进制（122）₅ 化成十进制：按权展开得 1×5 的 2 次方＋2×5 的 1 次方＋2×5 的 0 次方 ＝（　　）。 把三进制（221）₃ 化成十进制：按权展开得 2×3 的 2 次方＋2×3 的 1 次方＋1×3 的 0 次方 ＝（　　）。 把五进制（111）₅ 化成十进制：按权展开得 1×5 的 2 次方＋1×5 的 1 次方＋1×5 的 0 次方 ＝（　　）。 四、题型三　进位制下的加减法与比较 例3 计算（1010）₂＋（111）₂，二进制加法逢二进一：从右对齐，第 1 位 0＋1＝（　　），第 2 位 1＋1＝（　　）并向前进 1，第 3 位 0＋1＋进位 1＝（　　）进 1，第 4 位 1＋进位 1＝（　　），结果是（　　）。 图3 变式3-1 计算（11011）₂−（1101）₂，二进制减法不够减时向高位借 1，借来的 1 当（　　）用：从右算，1−1＝0，1−0＝1，0−1 不够向高位借得（　　）−1＝1，被借位再减 1 又借得（　　）−1＝1，最后 1−1＝0，结果是（　　）。 图3-1 变式3-2 比较（221）₃ 与（10111）₂ 的大小，都化成十进制。(1) （221）₃＝2×3 的 2 次方＋2×3 的 1 次方＋1＝（　　）；(2) （10111）₂＝（　　）＋4＋2＋1＝（　　）；(3) 两数相比（　　）大，为什么没有第三个要比较的：只有这两个数，化成十进制后唯一排序；(4) 只把（221）₃ 改成（102）₃，其余不动，（102）₃＝（　　），这时（　　）更大（填「（102）₃」或「（10111）₂」）。 解答： 图3-2 计算（11）₂＋（1）₂，二进制逢二进一，结果是（　　）。 计算（100）₂−（1）₂，不够减向高位借 1 当 2，结果是（　　）。 比较（1111）₂ 与（111）₂：同是二进制，（　　）位数的更大，所以（　　）>（　　）。 不计算，（374）₈ 是三位八进制，（101）₂ 是三位二进制，基数 8 远大于 2，所以（　　）更大（一步即可判）。 五、题型四　不计算判结构与改条件 例4 不计算具体值，判断（1111）₂ 与（111）₂ 谁大（　　）；理由（　　）——同为二进制，位数多的更大。 图4 变式4-1 估算决策：不计算，（374）₈ 是（　　）位八进制，（101）₂ 是（　　）位二进制，基数 8 远大于 2，所以（　　）更大，一步即可判。 图4-1 变式4-2 不计算判结构：比较（23）₅ 与（101）₂。(1) （23）₅ 是（　　）位五进制，最小约 2×5＝（　　）；(2) （101）₂＝（　　）；(3) 显然（　　）更大，为什么不用算清：五进制两位已对应十进制十几，二进制三位才 5；(4) 只把（101）₂ 改成（1010）₂，其余不动，（1010）₂＝（　　），这时仍（　　）大（填「（23）₅」或「（1010）₂」）。 解答： 图4-2 不计算，（1111）₂ 与（10101）₂ 谁大（　　）；理由（　　）。 不计算，（2067）₈ 与（1111）₂：（2067）₈ 是四位八进制，最小约 2×8 的 3 次方＝（　　），远大于（1111）₂＝15，所以（　　）更大。 比较（1101）₂ 与（1101）₈：数字串相同但进制不同，（1101）₈＝1×8 的 3 次方＋1×8 的 2 次方＋0＋1＝（　　），（1101）₂＝13，所以（　　）更大。 把二进制（101）₂ 改成（1010）₂，位数从 3 变 4，值从 5 变（　　）；只改一个数，值（　　）（填「变大」或「变小」）。 六、A、按权展开·把非十进制读成十进制 把二进制（1011）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 3 次方＋1×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 把二进制（1100）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 3 次方＋1×2 的 2 次方 ＝（　　）。 把二进制（1001）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 3 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 把二进制（1111）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 3 次方＋1×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 把二进制（10100）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 4 次方＋1×2 的 2 次方 ＝（　　）。 把八进制（14）₈ 化成十进制：按权展开得 1×8 的 1 次方＋4×8 的 0 次方 ＝（　　）。 把八进制（25）₈ 化成十进制：按权展开得 2×8 的 1 次方＋5×8 的 0 次方 ＝（　　）。 把八进制（32）₈ 化成十进制：按权展开得 3×8 的 1 次方＋2×8 的 0 次方 ＝（　　）。 把三进制（102）₃ 化成十进制：按权展开得 1×3 的 2 次方＋2×3 的 0 次方 ＝（　　）。 把三进制（120）₃ 化成十进制：按权展开得 1×3 的 2 次方＋2×3 的 1 次方 ＝（　　）。 把五进制（34）₅ 化成十进制：按权展开得 3×5 的 1 次方＋4×5 的 0 次方 ＝（　　）。 把五进制（43）₅ 化成十进制：按权展开得 4×5 的 1 次方＋3×5 的 0 次方 ＝（　　）。 七、B、改一个条件·看基数与位数怎么变 （101）₂ 化成十进制是（　　）；只把它改成（100）₂（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 （101）₂ 化成十进制是（　　）；只把它改成（111）₂（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 （110）₂ 化成十进制是（　　）；只把它改成（101）₂（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 （14）₈ 化成十进制是（　　）；只把它改成（24）₈（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 （25）₈ 化成十进制是（　　）；只把它改成（15）₈（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 （102）₃ 化成十进制是（　　）；只把它改成（202）₃（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 （120）₃ 化成十进制是（　　）；只把它改成（110）₃（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 （34）₅ 化成十进制是（　　）；只把它改成（44）₅（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 （43）₅ 化成十进制是（　　）；只把它改成（33）₅（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 （111）₂ 化成十进制是（　　）；只把它改成（1011）₂（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 八、C、错因反推·逐项讲错在哪一步 小明把（101）₂ 算成 1＋0＋1＝2。他读对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确值是（　　）。 小明把（101）₂ 写成 1×2 的 3 次方＋0×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方。他对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确展开是（　　）。 小明算二进制加法（11）₂＋（1）₂ 得（12）₂（写数字 2）。他对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确是（　　）。 小明算（100）₂−（1）₂ 得（1）₂。他对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确是（　　）。 小明说（10111）₂ 位数多所以一定比（221）₃ 大。他注意到的一点是（　　）；不成立的推论是（　　）；正确结论是（　　）。 小明把八进制（374）₈ 的最高位权当成 8 的 3 次方，展开成 3×8 的 3 次方＋…。他对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确值是（　　）。 小明把十六进制（1D9）₁₆ 里的 D 当成数字 4，算出 1×16 的 2 次方＋4×16＋9。他对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确值是（　　）。 小明把十进制 13 化二进制，除 2 取余得到余数 1、0、1、1 却从上往下写成了（1011）₂。他对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确是（　　）。 小明说（1101）₂ 与（1101）₈ 数字串相同所以相等。这个说法（　　）；正确关系是（　　）。 小明算（1010）₂＋（111）₂ 时漏了进位，得（1101）₂。他算对的部分（　　）；翻错的一步（　　）；正确是（　　）。 九、D、真题考向·2025 与 2026 逐项研析 1．（2026年·贵州黔南·七年级上期末）计算机硬件依赖电子元件，它们只有两种稳定状态，用二进制来表示字符代码，通电对应1，断电对应0，使得数字电子电路更加稳定.将二进制数转化为十进制数： 请根据以上方法将二进制数10101 化为十进制数： 　 　（只填结果即可） 2．（2025年·广东潮州潮安·七年级上期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，例如将（101）₂换算成十进制数应为： ；按此方式，将二进制（1010）₂换算成十进制数的结果为（　　） A．10　B．9　C．11　D．18 3．（2025年·北京门头沟·七年级上期末）阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，"逢几进一"就是几进制 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用十个数字记数时，几个数字排成一行，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…． 例如，十进制数721中的7表示7个百，2表示2个十，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：（规定当 a≠0 时，a⁰=1，721右下角的10代表以10为基数） 问题解决： （1）十进制532写成数字与基数的幂的乘积之和的形式：______； （2）"二进制"是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数1101表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：______；此时通过计算就转化为了十进制数______； （3）根据逢二进一的规则计算：（1010）₂＋（111）₂。 解答： 4．（2026年·内蒙古巴彦淖尔·七年级上期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一.例：212＝2×10²＋1×10¹＋2×10⁰. 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一.例：把二进制数10010转换为十进制数为1×2⁴＋0×2³＋0×2²＋1×2¹＋0×2⁰＝16＋2＝18. 其他进制也有类似的算法… （1）【发现1】类比十进制加减法计算（结果保留二进制）.例如（11011）₂＋（1101）₂＝（101000）₂，写出（11011）₂－（1101）₂＝______. （2）【发现2】现有三进制数 a＝221，二进制数 b＝10111，试比较 a 与 b 的大小关系，说明理由. （3）【迁移应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即"结绳计数".如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子自出生后的天数. 解答： 5．（2025年·湖南长沙·七年级上期末）我们在生活中经常使用的数是十进制数，如2639＝2×10³＋6×10²＋3×10¹＋9，表示十进制的数要用到10个数码（也叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制　0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制　　0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，十六进制数71B＝7×16²＋1×16¹＋11＝1819，即十六进制数71B相当于十进制数1819.十六进制数1D9相当于十进制数（　　） A．117　B．250　C．473　D．1139 6．（2025年·北京怀柔·七年级上期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，"逢几进一"就是几进制，几进制的基数就是几.对于任何一种进制 N 进制，就表示某一位置上的数运算时是逢 N 进一位，N 进制表示的数（1111）ₙ中，右起第一位上的 1 表示 1×N⁰，第二位上的 1 表示 1×N¹，第三位上的 1 表示 1×N²，第四位上的 1 表示 1×N³.故（1111）ₙ＝1×N³＋1×N²＋1×N¹＋1×N⁰，其中 N⁰＝1（N≠0）. 例如：（3721）₁₀＝3×10³＋7×10²＋2×10¹＋1×10⁰＝3721，（1011）₂＝1×2³＋0×2²＋1×2¹＋1×2⁰＝11，（111）₅＝1×5²＋1×5¹＋1×5⁰＝31（注意：对于任何非零数 a 都有 a⁰＝1，即 2⁰＝1，5⁰＝1）. 结合以上材料，解决下列问题： （1）把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）：（101）₂＝______， （23）₅＝______； （2）如右图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满 6 个，则此绳子左边的绳子打 1 个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满 6 进 1 得来.根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为（　　）₆，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数量，她一共采集到的野果数量为______个； （3）如果五进制三位数（122）₅与八进制两位数（m7）₈分别转化为十进制表示的数，则两数和为 100，根据题意请列出等式______，此时满足条件的 m＝______. 解答： 7．（2026年·海南澄迈·七年级上期末）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会标（如图）蕴含有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的"卦"是用我国古代的记数符号写出的八进制数（374）₈.八进制是以8作为基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数（374）₈换算成十进制数是3×8²＋7×8¹＋4×8⁰＝252，表示ICME-14的举办年份.按照上述方法将八进制数（2067）₈换算成十进制数为（　　） A. 16　B. 127　C. 1079　D. 1143 解答： 图5 十、E、一个数·三问收口 对（101）₂：(1) 化成十进制是（　　）；(2) 它在该进制是（　　）位数；(3) 只把（101）₂ 改成（111）₂，其余不动，新值是（　　），比原来（　　）。 解答： 比较（1101）₂ 与（23）₅：都化成十进制，（1101）₂＝（　　），（23）₅＝（　　），所以（　　）更大。 （374）₈＝252，（2067）₈＝1079；这两个数相差（　　）。 二进制（10101）₂＝21，把它化成十进制后再加 9 得（　　）；若改在二进制里加（101）₂（＝5），则（10101）₂＋（101）₂＝（　　）。 比较（1111）₂（＝15）与（21）₈（＝17）：不用算清也可知（　　）更大，因为它（　　）（填「基数高且位数不更少」或「位数更多」）。 （102）₃＝11，（10111）₂＝23；只把（102）₃ 改成（202）₃＝（　　），这时（　　）更大（填「（202）₃」或「（10111）₂」）。 解答： 十一、课堂检测 某计数器用二进制记录，显示为（10110）₂，它表示的十进制数是（　　）。 用五进制表示数量，记法（41）₅ 表示 4×5＋1＝（　　）。 十六进制里用（2F）₁₆ 表示颜色分量，F 表示（　　），所以（2F）₁₆＝2×16＋15＝（　　）。 把十进制 29 化成二进制：除 2 取余，最后得（　　）。 八进制（50）₈ 化成十进制：5×8＋0＝（　　）。 三进制（210）₃＝2×9＋1×3＋0＝（　　）。 比较（101）₂ 与（12）₈：都化十进制，（101）₂＝5，（12）₈＝（　　），所以（　　）更大。 不计算，（7）₈ 是一位数八进制，值就是（　　），小于二进制（1111）₂＝15，所以（　　）更大。 二进制加法（101）₂＋（11）₂，逢二进一，结果是（　　）。 把（1000）₂ 化成十进制是（　　）；它比八进制（10）₈＝8 相比（　　）（填「大」或「相等」或「小」）。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二 有理数的运算·进位制的认识与探究 2026~2027学年　人教版　七年级上册　专题复习讲义 第二章　有理数的运算　专题六　（教师版） 目录导航 一、知识与方法 2 二、题型一　二进制与十进制的互化 9 三、题型二　八进制、十六进制与十进制 12 四、题型三　进位制下的加减法与比较 14 五、题型四　不计算判结构与改条件 16 六、A、按权展开·把非十进制读成十进制 19 七、B、改一个条件·看基数与位数怎么变 21 八、C、错因反推·逐项讲错在哪一步 23 九、D、真题考向·2025 与 2026 逐项研析 25 十、E、一个数·三问收口 29 十一、课堂检测 30 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法 图0 知识点一　二进制如何按权展开成十进制 1．二进制逢二进一，从右往左各位的位权依次是 2 的 0 次方、2 的 1 次方、2 的 2 次方、2 的 3 次方…… 2．（101）₂＝1×2 的 2 次方＋0×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方＝4＋0＋1＝5，所以二进制 101 等于十进制 5。 3．为什么从右起第一位是 2 的 0 次方：最右边一位表示几个一，任何数的 0 次方都是 1（非零底数）。 4．反例两则：「（101）₂＝1×2 的 3 次方＋0×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方」不成立，把位权整体左移了一位；「（101）₂＝1＋0＋1＝2」不成立，漏乘了位权，当成三个数字相加。 5．换一个条件：把（101）₂ 改成（1010）₂，从右起位权变成 2 的 0 次方到 2 的 3 次方，值为 1×2 的 3 次方＋0＋1×2 的 1 次方＝10；只多一位，数值从 5 变 10。 6．举例：（1101）₂＝1×2 的 3 次方＋1×2 的 2 次方＋0＋1＝13；（111）₂＝7；位数越多值越大，与十进制一样。 图示1 易错提醒：按权展开时位权从右起第一位是 2 的 0 次方，逐位左移幂次加 1，别把位权整体错位。 知识点二　八进制、十六进制与十进制互化 1．八进制逢八进一，位权是 8 的幂；（374）₈＝3×8 的 2 次方＋7×8 的 1 次方＋4×8 的 0 次方＝192＋56＋4＝252。 2．十六进制逢十六进一，用 0 到 9 再加大写字母表示 10 到 15；（1D9）₁₆＝1×16 的 2 次方＋13×16 的 1 次方＋9＝256＋208＋9＝473。 3．为什么说十六进制要用字母：因为一位要表示 0 到 15 共 16 个数，数字 0 到 9 不够，用字母补上 10 到 15。 4．反例两则：「（374）₈＝3×8 的 3 次方＋…」不成立，374 是三位数，最高位是 8 的 2 次方不是 8 的 3 次方；「（1D9）₁₆ 把 D 当成 4」不成立，D 表示 13。 5．换一个条件：把（374）₈ 改成（2067）₈，位数变四位，最高位权 8 的 3 次方，（2067）₈＝2×8 的 3 次方＋0＋6×8＋7＝1079；位数多一位，值大很多。 6．举例：（101）₂＝5，（23）₅＝2×5＋3＝13；不同进制的同一串数字含义不同，必须看基数。 图示2 易错提醒：按权展开时位权从右起是基数的 0 次方、1 次方……递升；最高位的幂次＝位数减 1。 知识点三　十进制化成非十进制：除基取余 1．把十进制 5 化成二进制：反复除以 2，把每次的余数从下往上写，5÷2 商 2 余 1，2÷2 商 1 余 0，1÷2 商 0 余 1，得（101）₂。 2．13 化二进制：13→6 余 1，6→3 余 0，3→1 余 1，1→0 余 1，从下往上读得（1101）₂。 3．为什么余数要从下往上读：最后一次除得的余数是最高位，最先除得的是最低位，顺序要反过来。 4．反例两则：「把余数从上往下写」不成立，那样会把最高位最低位颠倒，得到（1011）₂ 而非（1101）₂；「商为 0 就停，但忘了最后一个余数」不成立，会少最高位。 5．换一个条件：把 13 改成 10，10→5 余 0，5→2 余 1，2→1 余 0，1→0 余 1，得（1010）₂；只换被转换的数，方法不变。 6．举例：十进制 5＝（101）₂，十进制 10＝（1010）₂，十进制 21＝（10101）₂；熟练后可先找最接近的 2 的幂再补。 图示3 易错提醒：除基取余时余数从下往上读；最后一次除得的余数写在最左边（最高位）。 知识点四　进位制下的加法：逢 N 进一 1．二进制加法规则：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋1＝10（逢二进一，向下一位进 1）。 2．（1010）₂＋（111）₂：从右对齐，1＋0＝1，1＋1＝10 进 1，0＋1＋进位 1＝10 进 1，1＋1＝10，结果（10001）₂＝17。 3．为什么进位规则与十进制相同只是基数不同：每一位满基数就向左进 1，二进制满 2、八进制满 8。 4．反例两则：「1＋1＝2（写数字 2）」不成立，二进制里没有数字 2，应写 10 并进位；「（1010）₂＋（111）₂＝（1121）₂」不成立，出现了数字 2。 5．换一个条件：把（111）₂ 改成（1101）₂，重新对齐相加，仍逢二进一，结果变成（10111）₂＝23；只换一个加数，进位链重新算。 6．举例：（11）₂＋（1）₂＝（100）₂；（101）₂＋（11）₂＝（1000）₂；先对齐最低位，再从右往左逐位加并进位。 图示4 易错提醒：进制加法先对齐最低位，从右往左逐位加，满基数就向高位进 1；该进制里不能出现不小于基数的数字。 知识点五　进位制下的减法 1．二进制减法同样对齐最低位，不够减时向高位借 1，借来的 1 当成本位的 2（因为满 2 进 1）。 2．（11011）₂−（1101）₂：对齐后从右算，1−1＝0，1−0＝1，0−1 不够向高位借得 2−1＝1，被借位再减 1 又借得 2−1＝1，最后 1−1＝0，得（1110）₂＝14。 3．为什么借 1 当 2：二进制每一位的 1 代表 2 个下一级单位，借一位等于借来 2。 4．反例两则：「0−1 直接写 −1」不成立，没有负数数字，必须借位；「借位后忘了本位变成 2−1 而是算成 1−1」不成立，漏了借来的量。 5．换一个条件：把（1101）₂ 改成（101）₂，减数位数变少，借位链不同，结果变成（10110）₂＝22；只换减数，被减数没动。 6．举例：（100）₂−（1）₂＝（11）₂；（1100）₂−（101）₂＝（111）₂；减法最容易在借位处出错，要一位一位核。 图示5 易错提醒：进制减法不够减时向高位借 1，借来的 1 当成本进制的基数（二进制当 2，八进制当 8）。 知识点六　不同进制数的大小比较：先化成十进制 1．比较（221）₃ 与（10111）₂：都化成十进制，（221）₃＝2×3 的 2 次方＋2×3＋1＝25，（10111）₂＝16＋4＋2＋1＝23，25>23，所以（221）₃ 大。 2．为什么不直接比数字串：不同进制的同一串数字权重不同，直接比位数或数字会误判。 3．反例两则：「（10111）₂ 数字多所以更大」不成立，它只有 23；（221）₃ 位数少但基数大，值反而大。 4．换一个条件：把（221）₃ 改成（102）₃＝1×9＋0＋2＝11，此时 11<23，（102）₃ 反而小；只换一个数，大小关系反转。 5．举例：（374）₈＝252，（2067）₈＝1079，都比对应的二进制大很多，因为基数高；比较前先统一化成十进制最稳妥。 6．举例：同为二进制时，位数多的更大（如（1111）₂＝15>（111）₂＝7），因为同进制才可比位数。 图示6 易错提醒：比大小先定规则：同进制比位数与高位，异进制统一化成十进制再比，别被位数或数字串长短误导。 知识点七　不计算判结构：看位数、看基数、看数位 1．同进制下，位数多的数一定更大（如二进制四位（1111）₂ 大于三位（111）₂），不必算具体值。 2．不同进制比大小，若一数的基数明显更高且位数不更少，往往更大；（374）₈ 是三位八进制，（101）₂ 是三位二进制，基数 8 远大于 2，前者大。 3．为什么不计算也能比：先把「同进制比位数、异进制化十进制」两条规则用上，多数情形一步可判。 4．反例两则：「位数相同就一样大」不成立，基数不同差很远；「数字串相同就相等」不成立，（101）₂＝5 而（101）₈＝65。 5．换一个条件：把（101）₂ 改成（1010）₂（多一位），与（374）₈ 比仍小，因为即使多一位二进制也才 10，远小于 252；只动一个数结论不变。 6．举例：不计算可判（1111）₂>（111）₂、（374）₈>（101）₂；在（23）₅＝13 与（101）₂＝5 之间一步知前者大。 图示7 易错提醒：不计算比大小先定「同进制比位数、异进制化十进制」，再结合基数高低一步判断。 二、题型一　二进制与十进制的互化 例1 把二进制（101）₂ 按权展开成十进制：从右起位权依次是 2 的 0 次方、2 的 1 次方、2 的 2 次方，所以（101）₂＝1×2 的 2 次方＋0×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方＝（　　）＋（　　）＋（　　）＝（　　）。 【答案】4；0；1；5 【解析】（101）₂ 从右起：第 1 位 1 是 1×2 的 0 次方＝1，第 2 位 0 是 0×2 的 1 次方＝0，第 3 位 1 是 1×2 的 2 次方＝4，相加得 5。易错是把位权整体错位（写成 1×2 的 3 次方起）或漏乘位权把三个数字直接相加得 2。图1 把每一位与它乘的位权对应画出。 图1 变式1-1 把（1010）₂ 化成十进制：从右起第四位是（　　），它乘的是 2 的（　　）次方，所以（1010）₂＝1×2 的 3 次方＋0×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方＋0＝（　　）。 【答案】1；3；10 【解析】（1010）₂ 从右数：位 1 是 0，位 2 是 1（2 的 1 次方＝2），位 3 是 0，位 4 是 1（2 的 3 次方＝8），8＋2＝10。和（101）₂ 相比只多最左一位，值从 5 变 10。错法是把位权数错（比如把最高位当 2 的 2 次方）。图1-1 把四位各自的位权标出。 图1-1 变式1-2 不计算具体数值，判断（111）₂ 与（1010）₂ 谁大（　　）；理由（　　）——（1010）₂ 是（　　）位二进制，（111）₂ 是（　　）位二进制，同进制下位数多的更大。 【答案】（1010）₂；（1010）₂ 位数更多；4；3 【解析】同为二进制，位数多者更大：（1010）₂ 有 4 位、（111）₂ 有 3 位，所以前者大，不必算出 7 与 10。若先算出再比就失去不计算的意义。图1-2 把两串按位对齐比长度。 图1-2 把二进制（1101）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 3 次方＋1×2 的 2 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】13 【解析】（1101）₂ 从右起位权 2 的 0 次方到 2 的 3 次方，只有数字 1 所在的位贡献：1×2 的 3 次方＋1×2 的 2 次方＋1×2 的 0 次方，相加得 13。漏乘位权或把位权数错是常见错法。 把二进制（111）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】7 【解析】（111）₂ 从右起位权 2 的 0 次方到 2 的 2 次方，只有数字 1 所在的位贡献：1×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方，相加得 7。漏乘位权或把位权数错是常见错法。 把二进制（10101）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 4 次方＋1×2 的 2 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】21 【解析】（10101）₂ 从右起位权 2 的 0 次方到 2 的 4 次方，只有数字 1 所在的位贡献：1×2 的 4 次方＋1×2 的 2 次方＋1×2 的 0 次方，相加得 21。漏乘位权或把位权数错是常见错法。 把二进制（10001）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 4 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】17 【解析】（10001）₂ 从右起位权 2 的 0 次方到 2 的 4 次方，只有数字 1 所在的位贡献：1×2 的 4 次方＋1×2 的 0 次方，相加得 17。漏乘位权或把位权数错是常见错法。 三、题型二　八进制、十六进制与十进制 例2 把八进制（374）₈ 按权展开：从右起位权是 8 的 0 次方、8 的 1 次方、8 的 2 次方，所以（374）₈＝3×8 的 2 次方＋7×8 的 1 次方＋4×8 的 0 次方＝（　　）＋（　　）＋（　　）＝（　　）。 【答案】192；56；4；252 【解析】（374）₈：右起第 1 位 4×8 的 0 次方＝4，第 2 位 7×8 的 1 次方＝56，第 3 位 3×8 的 2 次方＝192，相加 252。易错：把三位数的最高位权当成 8 的 3 次方（那会是四位数）；或把某位的数字乘错位。图2 把三位的位权对应画出。 图2 变式2-1 把十六进制（1D9）₁₆ 化成十进制：十六进制用 0 到 9 再加大写字母表示 10 到 15，其中 D 表示（　　），所以（1D9）₁₆＝1×16 的 2 次方＋（　　）×16 的 1 次方＋9＝（　　）＋（　　）＋9＝（　　）。 【答案】13；13；256；208；473 【解析】十六进制一位要表示 0 到 15，10 到 15 用字母（D 是 13）。（1D9）₁₆＝1×256＋13×16＋9＝256＋208＋9＝473。错法：把 D 当成数字 4 或 14；或漏算 16 的幂次。图2-1 把十六进制每位对应的十进制值列出。 图2-1 把八进制（2067）₈ 化成十进制：按权展开得 2×8 的 3 次方＋6×8 的 1 次方＋7×8 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】1079 【解析】（2067）₈ 从右起位权 8 的 0 次方到 8 的 3 次方，只有非零位贡献：2×8 的 3 次方＋6×8 的 1 次方＋7×8 的 0 次方，相加得 1079。 把五进制（23）₅ 化成十进制：按权展开得 2×5 的 1 次方＋3×5 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】13 【解析】（23）₅ 从右起位权 5 的 0 次方到 5 的 1 次方，只有非零位贡献：2×5 的 1 次方＋3×5 的 0 次方，相加得 13。 把五进制（122）₅ 化成十进制：按权展开得 1×5 的 2 次方＋2×5 的 1 次方＋2×5 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】37 【解析】（122）₅ 从右起位权 5 的 0 次方到 5 的 2 次方，只有非零位贡献：1×5 的 2 次方＋2×5 的 1 次方＋2×5 的 0 次方，相加得 37。 把三进制（221）₃ 化成十进制：按权展开得 2×3 的 2 次方＋2×3 的 1 次方＋1×3 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】25 【解析】（221）₃ 从右起位权 3 的 0 次方到 3 的 2 次方，只有非零位贡献：2×3 的 2 次方＋2×3 的 1 次方＋1×3 的 0 次方，相加得 25。 把五进制（111）₅ 化成十进制：按权展开得 1×5 的 2 次方＋1×5 的 1 次方＋1×5 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】31 【解析】（111）₅ 从右起位权 5 的 0 次方到 5 的 2 次方，只有非零位贡献：1×5 的 2 次方＋1×5 的 1 次方＋1×5 的 0 次方，相加得 31。 四、题型三　进位制下的加减法与比较 例3 计算（1010）₂＋（111）₂，二进制加法逢二进一：从右对齐，第 1 位 0＋1＝（　　），第 2 位 1＋1＝（　　）并向前进 1，第 3 位 0＋1＋进位 1＝（　　）进 1，第 4 位 1＋进位 1＝（　　），结果是（　　）。 【答案】1；10；10；10；（10001）₂ 【解析】对齐最低位：位 1 0＋1＝1；位 2 1＋1＝10，写 0 进 1；位 3 0＋1＋1＝10，写 0 进 1；位 4 1＋1＝10，写 0 进 1，再进一位得 1，合起来（10001）₂＝17。错法：把 1＋1 写成数字 2（二进制没有 2，要写 10 进位）；或漏掉进位。图3 把每一位与进位箭头画出。 图3 变式3-1 计算（11011）₂−（1101）₂，二进制减法不够减时向高位借 1，借来的 1 当（　　）用：从右算，1−1＝0，1−0＝1，0−1 不够向高位借得（　　）−1＝1，被借位再减 1 又借得（　　）−1＝1，最后 1−1＝0，结果是（　　）。 【答案】2；2；2；（1110）₂ 【解析】（11011）₂−（1101）₂ 对齐：位 1 1−1＝0；位 2 1−0＝1；位 3 0−1 不够，向位 4 借 1 当 2，2−1＝1；位 4 被借后剩 0，0−1 再向位 5 借 1 当 2，2−1＝1；位 5 被借剩 0。结果（1110）₂＝14。错法：直接写 −1（二进制无负数数字）；或借位后忘了本位要加回借来的量。图3-1 把借位链逐位画出。 图3-1 变式3-2 比较（221）₃ 与（10111）₂ 的大小，都化成十进制。(1) （221）₃＝2×3 的 2 次方＋2×3 的 1 次方＋1＝（　　）；(2) （10111）₂＝（　　）＋4＋2＋1＝（　　）；(3) 两数相比（　　）大，为什么没有第三个要比较的：只有这两个数，化成十进制后唯一排序；(4) 只把（221）₃ 改成（102）₃，其余不动，（102）₃＝（　　），这时（　　）更大（填「（102）₃」或「（10111）₂」）。 【答案】(1) 25；(2) 16；23；(3) （221）₃；(4) 11；（10111）₂ 【解析】第(1)问定解：（221）₃＝18＋6＋1＝25。第(2)问找一解：（10111）₂＝16＋4＋2＋1＝23。第(3)问找全并证无遗漏：两数中 25>23，排序唯一，没有第三个数参与。第(4)问只改一个条件：（102）₃＝9＋0＋2＝11，比 23 小，最大换成（10111）₂；只动了第一个数，比较方法（都化十进制）没变。图3-2 把两次比较的十进制值并排。 图3-2 计算（11）₂＋（1）₂，二进制逢二进一，结果是（　　）。 【答案】（100）₂ 【解析】对齐最低位：位 1 1＋1＝10，写 0 进 1；位 2 1＋进位 1＝10，写 0 再进 1，得（100）₂＝4。错法是把 1＋1 写成数字 2。 计算（100）₂−（1）₂，不够减向高位借 1 当 2，结果是（　　）。 【答案】（11）₂ 【解析】（100）₂ 最低位 0 减 1 不够，向位 2 借 1 当 2，2−1＝1；位 2 被借后剩 0 减 0 得 0；最左位 1 落下，得（11）₂＝3。错法是 0−1 直接写 0。 比较（1111）₂ 与（111）₂：同是二进制，（　　）位数的更大，所以（　　）>（　　）。 【答案】4；（1111）₂；（111）₂ 【解析】同为二进制，位数多者值更大：（1111）₂ 有 4 位、（111）₂ 有 3 位，前者大，不必算出 15 与 7。这是不计算判结构。 不计算，（374）₈ 是三位八进制，（101）₂ 是三位二进制，基数 8 远大于 2，所以（　　）更大（一步即可判）。 【答案】（374）₈ 【解析】两串都是三位，但八进制每一位的权重是 8 的幂、二进制是 2 的幂，基数差很多，（374）₈ 最小也有 3×8 的 2 次方＝192，而（101）₂ 才 5，一步可判前者大。若都化成十进制再比就成计算题。 五、题型四　不计算判结构与改条件 例4 不计算具体值，判断（1111）₂ 与（111）₂ 谁大（　　）；理由（　　）——同为二进制，位数多的更大。 【答案】（1111）₂；前者 4 位、后者 3 位 【解析】同是二进制，位数多者值更大：（1111）₂ 有 4 位、（111）₂ 有 3 位，前者大，不必算出 15 与 7。若先算再比就失去不计算的意义。图4 把两串按位对齐比长度。 图4 变式4-1 估算决策：不计算，（374）₈ 是（　　）位八进制，（101）₂ 是（　　）位二进制，基数 8 远大于 2，所以（　　）更大，一步即可判。 【答案】3；3；（374）₈ 【解析】两串都是三位，但八进制每一位的权重是 8 的幂、二进制是 2 的幂，基数差很多，（374）₈ 最小也有 3×8 的 2 次方＝192，而（101）₂ 才 5，一步可判前者大。若都化成十进制再比就成计算题。图4-1 把两种进制的位权量级对照。 图4-1 变式4-2 不计算判结构：比较（23）₅ 与（101）₂。(1) （23）₅ 是（　　）位五进制，最小约 2×5＝（　　）；(2) （101）₂＝（　　）；(3) 显然（　　）更大，为什么不用算清：五进制两位已对应十进制十几，二进制三位才 5；(4) 只把（101）₂ 改成（1010）₂，其余不动，（1010）₂＝（　　），这时仍（　　）大（填「（23）₅」或「（1010）₂」）。 【答案】(1) 2；10；(2) 5；(3) （23）₅；(4) 10；（23）₅ 【解析】第(1)问定解：（23）₅ 至少 2×5＝10。第(2)问找一解：（101）₂＝5。第(3)问一步判：十几远大于 5。第(4)问只改一个条件：（1010）₂＝10，和（23）₅ 的 13 仍差一点，最大还是（23）₅；只动了第二个数，比较方法没变。图4-2 把两次量级对照画出。 图4-2 不计算，（1111）₂ 与（10101）₂ 谁大（　　）；理由（　　）。 【答案】（10101）₂；同为二进制前者 4 位后者 5 位 【解析】同是二进制，位数多者更大：（10101）₂ 有 5 位、（1111）₂ 有 4 位，前者大，不必算出 21 与 15。若算出再比就失去不计算的意义。 不计算，（2067）₈ 与（1111）₂：（2067）₈ 是四位八进制，最小约 2×8 的 3 次方＝（　　），远大于（1111）₂＝15，所以（　　）更大。 【答案】1024；（2067）₈ 【解析】（2067）₈ 是四位八进制，最高位 2×8 的 3 次方已经 1024，而（1111）₂ 只是 15，量级差很远，一步可判前者大。异进制比大小先看基数与位数。 比较（1101）₂ 与（1101）₈：数字串相同但进制不同，（1101）₈＝1×8 的 3 次方＋1×8 的 2 次方＋0＋1＝（　　），（1101）₂＝13，所以（　　）更大。 【答案】577；（1101）₈ 【解析】同串数字不同进制含义完全不同：（1101）₈ 按八进制权展开＝512＋64＋1＝577，而（1101）₂＝13。错法是以为数字串相同就相等。 把二进制（101）₂ 改成（1010）₂，位数从 3 变 4，值从 5 变（　　）；只改一个数，值（　　）（填「变大」或「变小」）。 【答案】10；变大 【解析】（1010）₂＝10，比（101）₂ 的 5 大；只动了原数最左补一位，值随之变大。这是「改一个条件重新分析」：位数多一位，量级升一档。 六、A、按权展开·把非十进制读成十进制 把二进制（1011）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 3 次方＋1×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】11 【解析】（1011）₂ 从右起位权 2 的 0 次方到 2 的 3 次方，只有数字 1 所在的位贡献：1×2 的 3 次方＋1×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方，相加得 11。漏乘位权或把位权数错是常见错法。 把二进制（1100）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 3 次方＋1×2 的 2 次方 ＝（　　）。 【答案】12 【解析】（1100）₂ 从右起位权 2 的 0 次方到 2 的 3 次方，只有数字 1 所在的位贡献：1×2 的 3 次方＋1×2 的 2 次方，相加得 12。漏乘位权或把位权数错是常见错法。 把二进制（1001）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 3 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】9 【解析】（1001）₂ 从右起位权 2 的 0 次方到 2 的 3 次方，只有数字 1 所在的位贡献：1×2 的 3 次方＋1×2 的 0 次方，相加得 9。漏乘位权或把位权数错是常见错法。 把二进制（1111）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 3 次方＋1×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】15 【解析】（1111）₂ 从右起位权 2 的 0 次方到 2 的 3 次方，只有数字 1 所在的位贡献：1×2 的 3 次方＋1×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方，相加得 15。漏乘位权或把位权数错是常见错法。 把二进制（10100）₂ 化成十进制：按权展开得 1×2 的 4 次方＋1×2 的 2 次方 ＝（　　）。 【答案】20 【解析】（10100）₂ 从右起位权 2 的 0 次方到 2 的 4 次方，只有数字 1 所在的位贡献：1×2 的 4 次方＋1×2 的 2 次方，相加得 20。漏乘位权或把位权数错是常见错法。 把八进制（14）₈ 化成十进制：按权展开得 1×8 的 1 次方＋4×8 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】12 【解析】（14）₈ 从右起位权 8 的 0 次方到 8 的 1 次方，只有非零位贡献：1×8 的 1 次方＋4×8 的 0 次方，相加得 12。 把八进制（25）₈ 化成十进制：按权展开得 2×8 的 1 次方＋5×8 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】21 【解析】（25）₈ 从右起位权 8 的 0 次方到 8 的 1 次方，只有非零位贡献：2×8 的 1 次方＋5×8 的 0 次方，相加得 21。 把八进制（32）₈ 化成十进制：按权展开得 3×8 的 1 次方＋2×8 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】26 【解析】（32）₈ 从右起位权 8 的 0 次方到 8 的 1 次方，只有非零位贡献：3×8 的 1 次方＋2×8 的 0 次方，相加得 26。 把三进制（102）₃ 化成十进制：按权展开得 1×3 的 2 次方＋2×3 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】11 【解析】（102）₃ 从右起位权 3 的 0 次方到 3 的 2 次方，只有非零位贡献：1×3 的 2 次方＋2×3 的 0 次方，相加得 11。 把三进制（120）₃ 化成十进制：按权展开得 1×3 的 2 次方＋2×3 的 1 次方 ＝（　　）。 【答案】15 【解析】（120）₃ 从右起位权 3 的 0 次方到 3 的 2 次方，只有非零位贡献：1×3 的 2 次方＋2×3 的 1 次方，相加得 15。 把五进制（34）₅ 化成十进制：按权展开得 3×5 的 1 次方＋4×5 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】19 【解析】（34）₅ 从右起位权 5 的 0 次方到 5 的 1 次方，只有非零位贡献：3×5 的 1 次方＋4×5 的 0 次方，相加得 19。 把五进制（43）₅ 化成十进制：按权展开得 4×5 的 1 次方＋3×5 的 0 次方 ＝（　　）。 【答案】23 【解析】（43）₅ 从右起位权 5 的 0 次方到 5 的 1 次方，只有非零位贡献：4×5 的 1 次方＋3×5 的 0 次方，相加得 23。 七、B、改一个条件·看基数与位数怎么变 （101）₂ 化成十进制是（　　）；只把它改成（100）₂（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 【答案】5；4；小 【解析】（101）₂＝5；改成（100）₂ 后＝4，只动了一个数，其余位没变，值随之变小。 （101）₂ 化成十进制是（　　）；只把它改成（111）₂（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 【答案】5；7；大 【解析】（101）₂＝5；改成（111）₂ 后＝7，只动了一个数，其余位没变，值随之变大。 （110）₂ 化成十进制是（　　）；只把它改成（101）₂（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 【答案】6；5；小 【解析】（110）₂＝6；改成（101）₂ 后＝5，只动了一个数，其余位没变，值随之变小。 （14）₈ 化成十进制是（　　）；只把它改成（24）₈（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 【答案】12；20；大 【解析】（14）₈＝12；改成（24）₈ 后＝20，只动了一个数，其余位没变，值随之变大。 （25）₈ 化成十进制是（　　）；只把它改成（15）₈（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 【答案】21；13；小 【解析】（25）₈＝21；改成（15）₈ 后＝13，只动了一个数，其余位没变，值随之变小。 （102）₃ 化成十进制是（　　）；只把它改成（202）₃（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 【答案】11；20；大 【解析】（102）₃＝11；改成（202）₃ 后＝20，只动了一个数，其余位没变，值随之变大。 （120）₃ 化成十进制是（　　）；只把它改成（110）₃（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 【答案】15；12；小 【解析】（120）₃＝15；改成（110）₃ 后＝12，只动了一个数，其余位没变，值随之变小。 （34）₅ 化成十进制是（　　）；只把它改成（44）₅（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 【答案】19；24；大 【解析】（34）₅＝19；改成（44）₅ 后＝24，只动了一个数，其余位没变，值随之变大。 （43）₅ 化成十进制是（　　）；只把它改成（33）₅（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 【答案】23；18；小 【解析】（43）₅＝23；改成（33）₅ 后＝18，只动了一个数，其余位没变，值随之变小。 （111）₂ 化成十进制是（　　）；只把它改成（1011）₂（其余规则不变），新值是（　　），比原来（　　）。 【答案】7；11；大 【解析】（111）₂＝7；改成（1011）₂ 后＝11，只动了一个数，其余位没变，值随之变大。 八、C、错因反推·逐项讲错在哪一步 小明把（101）₂ 算成 1＋0＋1＝2。他读对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确值是（　　）。 【答案】数字读对了；漏乘位权，把三个数字直接相加；5 【解析】对的是三个数字 1、0、1 读对了。错在漏乘位权，二进制展开要乘 2 的相应幂次，不能直接把数字相加。正确是 1×2 的 2 次方＋0＋1×2 的 0 次方＝5。这是「为什么另一个算法错」：把按权展开当成数字相加。 小明把（101）₂ 写成 1×2 的 3 次方＋0×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方。他对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确展开是（　　）。 【答案】用了位权；位权整体左移一位（最高位应是 2 的 2 次方不是 2 的 3 次方）；1×2 的 2 次方＋0×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方 【解析】对的是他懂得乘位权。错在位权整体左移了一位，三位二进制最高位应是 2 的 2 次方。正确展开从右起是 2 的 0 次方、1 次方、2 次方。这是「为什么另一个算法错」：位权整体错位。 小明算二进制加法（11）₂＋（1）₂ 得（12）₂（写数字 2）。他对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确是（　　）。 【答案】做了加法并对齐；二进制没有数字 2，1＋1 应写 10 并进位；（100）₂ 【解析】对的是他做了加法并对齐了最低位。错在二进制里不能出现数字 2，1＋1 应写成 10 并向左进 1，结果是（100）₂。这是「为什么另一个算法错」：在二进制里写出不小于基数的数字。 小明算（100）₂−（1）₂ 得（1）₂。他对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确是（　　）。 【答案】做了减法；没借位，0−1 不能直接写 0，要向高位借 1 当 2 得 1；（11）₂ 【解析】对的是他做了减法。错在最低位 0−1 没借位就写成 0，正确应向右邻高位借 1 当 2，2−1＝1，得（11）₂。这是「为什么另一个算法错」：借用十进制「0 减 1 得 0」的直觉。 小明说（10111）₂ 位数多所以一定比（221）₃ 大。他注意到的一点是（　　）；不成立的推论是（　　）；正确结论是（　　）。 【答案】注意到（10111）₂ 位数较多；但不同进制数字权重不同，（221）₃＝25 反而大于（10111）₂＝23；（221）₃ 大 【解析】成立的一点是他注意到位数。但不成立的是不同进制的同一串数字权重不同，（221）₃＝2×9＋2×3＋1＝25，而（10111）₂＝23，反而（221）₃ 大。这是「为什么另一个算法错」：跨进制直接比位数。 小明把八进制（374）₈ 的最高位权当成 8 的 3 次方，展开成 3×8 的 3 次方＋…。他对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确值是（　　）。 【答案】用了按权展开；三位数的最高位应是 8 的 2 次方不是 8 的 3 次方；252 【解析】对的是他懂得按权展开。错在三位八进制最高位是 8 的 2 次方，写成 8 的 3 次方就多算了一级。正确是 3×64＋7×8＋4＝252。这是「为什么另一个算法错」：最高位幂次数错。 小明把十六进制（1D9）₁₆ 里的 D 当成数字 4，算出 1×16 的 2 次方＋4×16＋9。他对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确值是（　　）。 【答案】结构写对了；D 表示 13 不是 4；473 【解析】对的是他写对了按权展开的结构。错在十六进制字母 D 表示 13 而非 4，应算 1×256＋13×16＋9。正确是 473。这是「为什么另一个算法错」：把十六进制字母当成十进制数字。 小明把十进制 13 化二进制，除 2 取余得到余数 1、0、1、1 却从上往下写成了（1011）₂。他对的是（　　）；翻错的是（　　）；正确是（　　）。 【答案】余数算对了；顺序写反了，应从下往上读；（1101）₂ 【解析】对的是每次除 2 的余数 1、0、1、1 都算对了。错在把余数从上往下写，正确应从最后一次除得的余数（最左）读起，得（1101）₂。这是「为什么另一个算法错」：余数顺序颠倒。 小明说（1101）₂ 与（1101）₈ 数字串相同所以相等。这个说法（　　）；正确关系是（　　）。 【答案】不成立；（1101）₂＝13、（1101）₈＝577，后者大 【解析】不同进制里同样的数字串含义完全不同：（1101）₂ 按二进制权展开＝13，（1101）₈ 按八进制权展开＝577，后者大得多。这是「为什么另一个算法错」：把跨进制同串数字当相等。 小明算（1010）₂＋（111）₂ 时漏了进位，得（1101）₂。他算对的部分（　　）；翻错的一步（　　）；正确是（　　）。 【答案】对齐了最低位；第二位 1＋1 没进位写成 0、第四位也没进位；10 【解析】对的是他把两串对齐了最低位。错在二进制 1＋1 应写 0 进 1，他直接写 0 没有进位，导致第四位也漏进位。正确是（10001）₂＝17。这是「为什么另一个算法错」：在二进制里漏掉进位。 九、D、真题考向·2025 与 2026 逐项研析 1．（2026年·贵州黔南·七年级上期末）计算机硬件依赖电子元件，它们只有两种稳定状态，用二进制来表示字符代码，通电对应1，断电对应0，使得数字电子电路更加稳定.将二进制数转化为十进制数： 请根据以上方法将二进制数10101 化为十进制数： 　 　（只填结果即可） 【答案】21 【解析】10101 按权展开：从右起位权 2 的 0 次方到 2 的 4 次方，1×2 的 4 次方＋0＋1×2 的 2 次方＋0＋1＝16＋4＋1＝21。逐项核对每一位：最高位 1 是 16，第 3 位 1 是 4，最低位 1 是 1，相加得 21。若把位权数错（如从 2 的 1 次方起）或漏掉某个 1 所在的位，会得到别的数；这里只需填结果 21。 2．（2025年·广东潮州潮安·七年级上期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，例如将（101）₂换算成十进制数应为： ；按此方式，将二进制（1010）₂换算成十进制数的结果为（　　） A．10　B．9　C．11　D．18 【答案】A 【解析】（1010）₂ 按权展开：1×2 的 3 次方＋0×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方＋0＝8＋2＝10，选 A。B 项把最高位当 2 的 2 次方得 9（位权整体左移一位）；C 项把数字直接相加 1＋0＋1＋0 后再错位得 11；D 项把（10010）₂ 当成了（1010）₂。逐项写出得数来历，只有 A 正确。 3．（2025年·北京门头沟·七年级上期末）阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，"逢几进一"就是几进制 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用十个数字记数时，几个数字排成一行，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…． 例如，十进制数721中的7表示7个百，2表示2个十，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：（规定当 a≠0 时，a⁰=1，721右下角的10代表以10为基数） 问题解决： （1）十进制532写成数字与基数的幂的乘积之和的形式：______； （2）"二进制"是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数1101表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：______；此时通过计算就转化为了十进制数______； （3）根据逢二进一的规则计算：（1010）₂＋（111）₂。 【答案】（1）532＝5×10²＋3×10¹＋2×10⁰；（2）（1101）₂＝1×2³＋0×2²＋1×2¹＋1×2⁰，十进制数 13；（3）（1010）₂＋（111）₂＝（10001）₂（即十进制 17） 【解析】第(1)问 532：百位 5、十位 3、个位 2，写成 5×10 的 2 次方＋3×10 的 1 次方＋2×10 的 0 次方。第(2)问（1101）₂：1×2 的 3 次方＋0×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方＋1×2 的 0 次方＝8＋2＋1＝13。第(3)问（1010）₂＋（111）₂ 二进制加法逢二进一，得（10001）₂＝17。逐项核对：加法时第二位 1＋1 写 0 进 1，第四位 1＋进位 1 写 0 进 1 再进一位。 4．（2026年·内蒙古巴彦淖尔·七年级上期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一.例：212＝2×10²＋1×10¹＋2×10⁰. 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一.例：把二进制数10010转换为十进制数为1×2⁴＋0×2³＋0×2²＋1×2¹＋0×2⁰＝16＋2＝18. 其他进制也有类似的算法… （1）【发现1】类比十进制加减法计算（结果保留二进制）.例如（11011）₂＋（1101）₂＝（101000）₂，写出（11011）₂－（1101）₂＝______. （2）【发现2】现有三进制数 a＝221，二进制数 b＝10111，试比较 a 与 b 的大小关系，说明理由. （3）【迁移应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即"结绳计数".如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子自出生后的天数. 【答案】（1）（1110）₂；（2）a＞b，a＝（221）₃＝2×3²＋2×3¹＋1＝25，b＝（10111）₂＝16＋4＋2＋1＝23，25＞23；（3）42 天 【解析】第(1)问（11011）₂−（1101）₂＝（1110）₂（14）。第(2)问都化十进制：a＝2×9＋2×3＋1＝25，b＝16＋4＋2＋1＝23，a>b。第(3)问按图示满五进一数绳结得 42 天（依原卷标注）。逐项核对：减法借位、三进制与二进制各自按权展开。 5．（2025年·湖南长沙·七年级上期末）我们在生活中经常使用的数是十进制数，如2639＝2×10³＋6×10²＋3×10¹＋9，表示十进制的数要用到10个数码（也叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制　0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制　　0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，十六进制数71B＝7×16²＋1×16¹＋11＝1819，即十六进制数71B相当于十进制数1819.十六进制数1D9相当于十进制数（　　） A．117　B．250　C．473　D．1139 【答案】C 【解析】（1D9）₁₆：D 表示 13，1×16 的 2 次方＋13×16 的 1 次方＋9＝256＋208＋9＝473，选 C。A 项把 D 当 1；B 项把 D 当 2；D 项把 D 当 19 之类。逐项写出得数来历：只有 C 正确。 6．（2025年·北京怀柔·七年级上期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，"逢几进一"就是几进制，几进制的基数就是几.对于任何一种进制 N 进制，就表示某一位置上的数运算时是逢 N 进一位，N 进制表示的数（1111）ₙ中，右起第一位上的 1 表示 1×N⁰，第二位上的 1 表示 1×N¹，第三位上的 1 表示 1×N²，第四位上的 1 表示 1×N³.故（1111）ₙ＝1×N³＋1×N²＋1×N¹＋1×N⁰，其中 N⁰＝1（N≠0）. 例如：（3721）₁₀＝3×10³＋7×10²＋2×10¹＋1×10⁰＝3721，（1011）₂＝1×2³＋0×2²＋1×2¹＋1×2⁰＝11，（111）₅＝1×5²＋1×5¹＋1×5⁰＝31（注意：对于任何非零数 a 都有 a⁰＝1，即 2⁰＝1，5⁰＝1）. 结合以上材料，解决下列问题： （1）把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）：（101）₂＝______， （23）₅＝______； （2）如右图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满 6 个，则此绳子左边的绳子打 1 个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满 6 进 1 得来.根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为（　　）₆，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数量，她一共采集到的野果数量为______个； （3）如果五进制三位数（122）₅与八进制两位数（m7）₈分别转化为十进制表示的数，则两数和为 100，根据题意请列出等式______，此时满足条件的 m＝______. 【答案】（1）（101）₂＝5，（23）₅＝13；（3）等式：（1×5²＋2×5¹＋2×5⁰）＋（m×8¹＋7×8⁰）＝100，m＝7 【解析】第(1)问（101）₂＝1×4＋0＋1＝5，（23）₅＝2×5＋3＝13。第(3)问（122）₅＝37，37＋(8m＋7)＝100，得 8m＝56，m＝7（且 0≤m≤7 合法）。第(2)问需原卷六进制绳结示意图，图中数据未提取，依素材库处理不独立收录。逐项核对：按权展开与列式求解。 7．（2026年·海南澄迈·七年级上期末）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会标（如图）蕴含有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的"卦"是用我国古代的记数符号写出的八进制数（374）₈.八进制是以8作为基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数（374）₈换算成十进制数是3×8²＋7×8¹＋4×8⁰＝252，表示ICME-14的举办年份.按照上述方法将八进制数（2067）₈换算成十进制数为（　　） A. 16　B. 127　C. 1079　D. 1143 【答案】C 【解析】（2067）₈ 按权展开：2×8 的 3 次方＋0×8 的 2 次方＋6×8 的 1 次方＋7×8 的 0 次方＝2×512＋0＋48＋7＝1024＋48＋7＝1079，选 C。A 项 16 是把各位数字相加；B 项 127 算错了位权；D 项 1143 把 8 的 3 次方当成 8 的 2 次方之类。逐项写出得数来历：只有 C 既按权展开又值对。图5 画出八进制按权展开的例子。 图5 十、E、一个数·三问收口 对（101）₂：(1) 化成十进制是（　　）；(2) 它在该进制是（　　）位数；(3) 只把（101）₂ 改成（111）₂，其余不动，新值是（　　），比原来（　　）。 【答案】5；3；7；大 【解析】（101）₂＝5，是 3 位二进制；改成（111）₂ 后＝7，只动了一个数，值变大。这是「改一个条件重新分析」：同一进制内换个数字，量级不变但值变。 比较（1101）₂ 与（23）₅：都化成十进制，（1101）₂＝（　　），（23）₅＝（　　），所以（　　）更大。 【答案】13；13；两者相等 【解析】（1101）₂＝8＋4＋1＝13，（23）₅＝2×5＋3＝13，两个不同进制的数恰好值相等。这是不计算判结构的一个反例提醒：同值不表示同串。 （374）₈＝252，（2067）₈＝1079；这两个数相差（　　）。 【答案】827 【解析】1079−252＝827。两题都是八进制按权展开，先各自化十进制再相减；同一进制的两个数相减直接化十进制最稳。 二进制（10101）₂＝21，把它化成十进制后再加 9 得（　　）；若改在二进制里加（101）₂（＝5），则（10101）₂＋（101）₂＝（　　）。 【答案】30；（11010）₂ 【解析】21＋9＝30；（10101）₂＋（101）₂：对齐最低位，逢二进一，得（11010）₂＝26。两问分别走了十进制相加与二进制相加两条路。 比较（1111）₂（＝15）与（21）₈（＝17）：不用算清也可知（　　）更大，因为它（　　）（填「基数高且位数不更少」或「位数更多」）。 【答案】（21）₈；基数高且位数不更少 【解析】（21）₈ 是两位八进制，基数 8 远高于二进制的 2，且位数不更少，所以必大于（1111）₂。异进制比大小先看基数与位数，一步可判。 （102）₃＝11，（10111）₂＝23；只把（102）₃ 改成（202）₃＝（　　），这时（　　）更大（填「（202）₃」或「（10111）₂」）。 【答案】20；（10111）₂ 【解析】（202）₃＝2×9＋0＋2＝20，仍小于（10111）₂＝23，所以最大仍是（10111）₂。只改第一个数，比较方法（都化十进制）没变。 十一、课堂检测 某计数器用二进制记录，显示为（10110）₂，它表示的十进制数是（　　）。 【答案】22 【解析】（10110）₂ 按权展开：1×2 的 4 次方＋0＋1×2 的 2 次方＋1×2 的 1 次方＝16＋4＋2＝22。 用五进制表示数量，记法（41）₅ 表示 4×5＋1＝（　　）。 【答案】21 【解析】（41）₅ 按权展开：4×5 的 1 次方＋1×5 的 0 次方＝20＋1＝21。 十六进制里用（2F）₁₆ 表示颜色分量，F 表示（　　），所以（2F）₁₆＝2×16＋15＝（　　）。 【答案】15；47 【解析】十六进制一位表示 0 到 15，10 到 15 用字母，F 表示 15。（2F）₁₆＝2×16＋15＝32＋15＝47。 把十进制 29 化成二进制：除 2 取余，最后得（　　）。 【答案】（11101）₂ 【解析】29→14 余 1，14→7 余 0，7→3 余 1，3→1 余 1，1→0 余 1，余数从下往上读得（11101）₂。 八进制（50）₈ 化成十进制：5×8＋0＝（　　）。 【答案】40 【解析】（50）₈ 按权展开：5×8 的 1 次方＋0＝40。 三进制（210）₃＝2×9＋1×3＋0＝（　　）。 【答案】21 【解析】（210）₃ 按权展开：2×3 的 2 次方＋1×3 的 1 次方＋0＝18＋3＝21。 比较（101）₂ 与（12）₈：都化十进制，（101）₂＝5，（12）₈＝（　　），所以（　　）更大。 【答案】10；（12）₈ 【解析】（12）₈＝1×8＋2＝10，大于（101）₂＝5。同串数字不同进制含义不同，先化十进制再比。 不计算，（7）₈ 是一位数八进制，值就是（　　），小于二进制（1111）₂＝15，所以（　　）更大。 【答案】7；（1111）₂ 【解析】（7）₈ 就是十进制的 7，而（1111）₂＝15，7<15，所以（1111）₂ 更大。注意一位八进制最大才 7，远小于四位二进制。 二进制加法（101）₂＋（11）₂，逢二进一，结果是（　　）。 【答案】（1000）₂ 【解析】对齐最低位：位 1 1＋1＝10，写 0 进 1；位 2 0＋1＋进位 1＝10，写 0 进 1；位 3 1＋进位 1＝10，写 0 进 1，得（1000）₂＝8。 把（1000）₂ 化成十进制是（　　）；它比八进制（10）₈＝8 相比（　　）（填「大」或「相等」或「小」）。 【答案】8；相等 【解析】（1000）₂＝8，（10）₈＝1×8＋0＝8，两者相等。不同进制也能恰好值相等，这正是（1101）₂ 与（23）₅ 那类情形的另一例。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $