5.1认识二元一次方程组 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第五章 二元一次方程组 5.1 北师大版初中数学八年级上册 1 学习目标 1.理解二元一次方程（组）及其解的概念，并能判断方程是否为二元一次方程． 2.会根据实际问题列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解． 3.通过经历从实际问题情境抽象出等量关系的过程，能独立列出简单的二元一次方程或二元一次方程组，发展模型观念与应用意识. 2 教学分析 PART 1 3 温故知新 含有未知数的等式叫做方程.如：2x+3=-4，2x-3y=10. 在一个方程中，只含有一个未知数（即“一元”），并且未知数的次数是1 （即“一次”）的整式方程，这样的方程叫做一元一次方程. 如：2x+3=5，y+6=8. 1.什么叫做方程？ 2.什么叫一元一次方程？ 3.什么叫方程的解？ 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解； 只含一个未知数的方程的解，也叫做方程的根. 4 累死我了！ 你还累？这么大的个，才比我多驮了2个. 哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！ 真的？！ 你能猜出它们各驮了多少包裹吗? 情境导入一 老牛的包裹数-小马的包裹数=2个 老牛的包裹数+1=(小马的包裹数-1)×2 思考：根据它们的对话，这里，有几个主要未知量? 它们有哪些等量关系? 你能用方程的思想解决吗？ 5 情境导入 老牛的包裹数-小马的包裹数=2个 ① 老牛的包裹数+1=(小马的包裹数-1)×2 ② 若设老牛驮了x个包裹 , 则小马驮了(x-2)个包裹. 根据②可列方程： x +1=2（x-1） 若设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹. 一元一次方程 如果把两个未知量用不同未知数表示呢？ x - y = 2 x +1 = 2(y -1) 情境导入二 昨天，我们一家8个人去公园游玩,买门票花了34元. 每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元. 思考：根据它们的对话，这里，有几个主要未知量? 它们有哪些等量关系? 成人人数+儿童人数=8 成人总票价＋儿童总票价＝34 他们到底去了几个成人、几个儿童呢? 7 情境导入二 成人人数+儿童人数=8 成人总票价＋儿童总票价＝34 设他们中有 x 个成人，y 个儿童.你能列出方程吗？ x＋y＝8 5x＋3y＝34 8 探究新知 x － y = 2 x + 1 = 2 （ y － 1 ） x + y = 8 5x + 3y = 34 观察探究 探究1 上述方程有什么共同特点？ ①等号两边都是整式；②含有两个未知数； ③未知数的次数都是1 探究2 它们与你学过的一元一次方程比较有什么区别？ 探究3 你能类比给它们起个名字吗？ 二元 一次 二元一次方程 9 新课讲解 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程. 知识点1 注意：(1)“一次”是指含未知数的项的次数是 1， 而不是未知数的次数， 如含有 xy 项就不是一次了； 二元一次方程的定义 10 【方法技巧】二元一次方程必须符合以下三个条件： (1)方程是整式方程（分母不含未知数）； (2)化简后方程中只含有两个未知数，未知数系数不为0； (3)含未知数的项的次数都是1． 典例讲解 例1 下列方程中哪些是二元一次方程，哪些不是?如果不是，请说明理由. ①x+3y-9=0, ②3x2-2y+12=0, ③x+y+z=20, ④, ⑤5z+4x=2x⑥2x+10=2x-y， ⑦y=2x+1， ⑧x（y-1）=20. ✖ ✔ ✖ ✖ ✔ ✖ ✔ ✖ 此项的次数是2次 含3个未知数 不是整式 移项合并后只有一个未知数 此项未二次 11 典例讲解 例2.已知|m-1|x|m|+y2n-1=3是二元一次方程，则m+n=____． 解：根据题意，得|m|=1且|m-1|≠0，2n-1=1 解得m= -1，n=1. 所以m+n=0，故填0. 0 由方程是二元一次方程可知： (1)两个未知数的系数不为0； (2)两个未知数的次数都是1. 12 探究新知 探究1：x＝6 , y＝2 适合方程x＋y＝8 吗？ x＝5,y＝3呢? x＝4,y＝4呢? 你还能找到其他x,y的值适合方程x＋y＝8吗 ? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值, 就是这个二元一次方程的一个解. x＝6 , y＝2 是方程x＋y＝8 的一个解, x＝5,y＝3和x＝4,y＝4也分别是方程x＋y＝8 的一个解, 13 新课讲解 使二元一次方程的左右两边相等的一组未知数的值 叫二元一次方程的一个解 知识点2 表示方法： x= y= 例如: 是方程x＋y＝8 的一个解, x＝6 y＝2 ……都是x+y=8的解 二元一次方程有无数个解 二元一次方程解的概念 14 典例讲解 例3.下面4组数值中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？ （1） （3） ✖ ✔ ✖ ✔ （1）将代入方程得2x+y=2≠10， 因此 （2）将代入方程得2x+y=10， 因此 （3）将代入方程得2x+y=11≠10， 因此 （4）将代入方程得2x+y=10， 因此 15 典例讲解 例4. 已知是方程x-ay=2的一个解，则a的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.3 将x=1，y=-1代入方程x-ay=2中， 得1+a=2， 得a=1. B 16 典例讲解 例5.求方程2x+3y=24非负整数解. 解：把方程2x+3y=24变形为： ∵方程的解是非负整数， ∴x、y都是非负整数， ∴x取3的倍数的非负整数：0,3,6,9，等等 方程2x+3y=24的非负整数解有5组，分别是 17 探究新知 探究4. 在前面问题中，若设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹. 方程：x - y = 2和x +1 = 2(y -1) 中 x和y所代表的对象相同吗？ 相同. x 是老牛驮的包裹数，y 是小马驮的包裹数. 当 x，y同时满足方程 x-y=2 和 x+1= 2（y -1），把它们联立起来， 得 ，称这个方程组为___________方程组. 二元一次 18 探究新知 探究5. 在前面问题中的方程x＋y＝8和5x＋3y＝34中，x、y所代表的对象相同吗？ 相同. x 是成人数，y 是儿童数. 同样，当 x，y同时满足方程 x+y=8 和 5x+3y = 34， 把它们联立起来，得 ， 称这个方程组为___________方程组. 二元一次 19 新课讲解 知识点3 二元一次方程组的定义 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 表示形式： 注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量. 20 典例讲解 例6.判断下列方程组是否是二元一次方程组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） √ √ ✖ √ ✖ ✖ 【方法技巧】识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法: ①方程组中的方程是否都是整式方程； ②方程组中是否一共含两个未知数； ③含未知数的项的次数是否都为1. 21 探究新知 探究6：观察x + y = 8的解： x … 1 2 3 4 5 6 … y … 8 6 5 4 3 2 … 观察5x+3y = 34的解： x … 1 2 3 4 5 6 … y … 8 3 … 你能找到一组x，y值，同时适合方程x+y=8和5x+3y =34吗? 是这两个方程的公共解， 它就是方程组 的解 新课讲解 知识点4 二元一次方程组的解的概念 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个 二元一次方程组的解. x＋y＝8 5x＋3y＝34 的解. ｛ 就是二元一次方程组 x＝5 y＝3 例如， ｛ 典例讲解 例7.二元一次方程组的解是 ( ） C. C 例8.已知 是方程组 的解，求代数式3a+b的值. x= 2 y= - 1 ax-3y=7 x-by=5 典例讲解 解：把 代入 ax-3y=7中， 得2a+3=7，解得a=2. 把 代入 x-by=5中， 得2+b=5，解得b=3. ∴3a+b=3×2+3=9. x=2， y=-1 x=2， y=-1 同步练习 1.下列方程中是二元一次方程的是( ____ ) A.6x+3y=2z-1 B. C.x2+x-2y=0 D.x+2y=3 D 2.若x3-|m|+(m-2)y=5是关于x,y的二元一次方程，则m的值为( _ ) A.4 B.-2或2 C.-2 D.2 解：∵x3-|m|+(m-2)y=5是关于x,y的二元一次方程， ∴3-|m|=1且m-2≠0， 解得：m=±2且m≠2， ∴m=-2． C 同步练习 3.下列方程组中，是二元一次方程组的是( ____ ) A. B. C C. D. 同步练习 4.若 是关于x、y的二元一次方程ax-5y=1的解， 则a的值为( ____ ) A.-5 B.3 C.9 D.11 解：将 代入原方程得： 2a-5×1=1， 解得：a=3， ∴a的值为3． B 同步练习 5.已知2x+my-6y=1是关于x,y的二元一次方程，则m的取值 范围是( ___ ) A.m≠0 B.m≠-6 C.m≠6 D.m≠2 C 解：已知2x+my-6y=1是关于x,y的二元一次方程， 则m-6≠0， 解得：m≠6， 故选：C． 同步练习 6.二元一次方程2x+y=9的非负整数解有( ____ ) A.6组 B.5组 C.4组 D.3组 解：∵2x+y=9， ∴y=9-2x, ∵非负整数即x,y均为不小于0的整数， ∴9-2x≥0， 解得x≤4.5， ∴x可取的非负整数值为0，1，2，3，4， 将x分别代入y=9-2x,得对应y为9，7，5，3，1， ∴共有5组非负整数解． B 同步练习 7.二元一次方程kx+2y=5有一个解是 ，则k的值是　　． 解：把 代入方程kx+2y=5中，得3k+2×2=5， 解得k= ， 同步练习 8.若 是关于x和y的二元一次方程mx-ny=12的一组解， 则4m+2n+2049的值为 ______ ． 解：把 代入方程mx-ny=12中， 得-2m-n=12， ∴2m+n=-12， ∴4m+2n+2049 =2(2m+n)+2049 =2×(-12)+2049 =2025， 2025 同步练习 9.小明求得方程组 的解为 ， 则■表示的数为 ____ ． 解：小明求得方程组 的解为 ， 由题意得，方程组的解中y=4， ∴4x+4=12， ∴x=2， ∴■=3x-2y=3×2-2×4=-2， -2 同步练习 10.已知 是关于x,y的方程ax+by=1的解， 则5-6a+4b的值是 ____ ． 解：把 代入方程ax+by=1中， 得3a-2b=1， ∴5-6a+4b =5-(6a-4b) =5-2(3a-2b) =5-2×1=3， 3 同步练习 11.若关于x,y的二元一次方程3x+5y=14的全体整数解可以表示为 (t为整数)，则a= ____ ． 解：若二元一次方程3x+5y=14的全体整数解 可以表示为 (t为整数)， 把 代入3x+5y=14得： 3(a+5t)+5(1-3t)=14， 展开得3a+15t+5-15t=14， 合并同类项得3a+5=14， 移项得3a=9，得a=3． 3 同步练习 12.已知关于x,y的二元一次方程x+ky=2-k. (1)若 是该方程的一个解，求k的值； (2)当k每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解，试求出这组公共解． 解：(1)已知是方程x+ky=2-k的一个解, 则6+3k=2-k,解得：k=-1； (2)将x+ky=2-k整理得：x-2+(y+1)k=0， ∵当k每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解， ∴x-2=0，y+1=0， 解得：x=2，y=-1，即这组公共解为 ． 认识二元一次方程组 二元一次方程(组)的定义 二元一次方程(组)的解 含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程. 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解, 叫做这个二元一次方程组的解. 课堂小结 $