青海西宁市大通县2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

青海大通县2027届高三第一学期期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2},集合A={-1,1},B={-3,-2,-1},则(A)∩B= A.{-1} B.{-1,1}》 C.{-3,-2} D.{-3,-2,-1} 2复数一已2在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知函数f(x)为奇函数，且x<0时f(x)=(合)广+-3，则f(2) A.-5 B.-3 C.3 D.5 4.若点A(1,2)到直线l:3x一4y+c=0的距离为1，则实数c A.-1或1 B.0或10 C.1或5 D.-5或3 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,a1=一1，S,=5a4十10，则S4= A.6 B.7 C.8 D.10 6.tan80°+tan55°-tan80°tan55°= A.√3 B.1 C.-1 D.-√3 7.已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为 A号 B c号 n. 【高三期中考试·数学第1页（共4页）】 27-L-147C 8.一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机 摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望E(X)= A.号 B c D.7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(t,一2)，b=(1,s),则下列说法正确的是 A.若a∥b,则ts=2 B.若a⊥b,则t=2s C.若|a=2b,则|t=2s D.若=s=1,则a在b上的投影向量为-b 10.已知函数f(x)=7cos(ox-平)(w>0)的最小正周期为受，则 A.w=2 B直线x=一需是了☒)图象的一条对称轴 c.f()>f(于) D.函数f(x)图象的对称中心为(+答，0)（∈ 11.已知函数f(x)=x3一3.x一3，则 A.f(x)有2个极值点 B.f(x)有3个零点 C.f(π)>f(2) D.曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线过点(-1,0) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某平台统计了“十一”期间在一款App上的购买电影票情况： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 购票数量（单位：万张） 2.5 4.0 5.5 7.8 6.5 4.8 2.1 1.9 则“十一”期间App上的购票数据的60%分位数为 18已知椭圆E:号+芳-1(@>6>0)的左顶点为A,上顶点为B.0为坐标原点，若51OA1= 2OB引，则E的离心率为 14.若不等式(a.x-1)(x-b)≥0对任意的x∈R恒成立，则4a十b的最小值为 【高三期中考试·数学第2页（共4页）】 27-L-147C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多.商家销售商品， 既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系.为较好地达到这个 目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格.某商店以每件2 元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据： 售价x(元/件) 3 4 6 7 日销量y(件) 69 57 54 40 30 (1)由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； (2)试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数） 附：经验回归方程y=x十a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为石= w-0- ,d=y-b元.参考数据：∑(x-x)(-少)=-95. 空- 16.(本小题满分15分)》 如图，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,BC=2√3，D为边AB上的一点，且 a=2bsin(C+否) (1)求B; (2)若BD=1,∠ACD=,求AC的长. 17.(本小题满分15分) 如图，在正三棱柱ABC-A,BC中，点D为AB的中点. (1)证明：BC1∥平面A,CD: (2)若点E满足A它=AB+号AM,且AE⊥平面A,CD,求直线DB,与平 面A,CD所成角的正弦值， 【高三期中考试·数学第3页（共4页）】 27-L-147C 18.(本小题满分17分)》 已知抛物线C:x2=2y(p>0)的焦点为F,直线y=2与C交于A,B两点，且|AF|=4. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F且斜率不为O的直线l与抛物线C交于M,V两点.若四边形AMBN的面积为 8√5，求直线l的方程 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ax2-xlnx+b(a,b∈R). (1)当x=e时，f(x)取得极值为2，求a,b的值： (2)若f(x)在[1，十∞)上单调递增，求a的取值范围； (3)设g(x)=∫(x),x∈(0，e],是否存在a,使得g(x)的最小值为2？若存在，求出a的 值；若不存在，请说明理由. 【高三期中考试·数学第4页（共4页）】 27-L-147C青海大通县2027届高三第一学期期中考试 数学答题卡 条形码粘贴处 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、准考 考 证 夕 注 证号填写清楚。 2.选择题使用2B铅笔填涂：如需改动，用橡皮擦干 意 净后，再选择其他答案标号：非选择题使用黑色 事 碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序 [0] [0][0] [0][0][0][0][0] [0 在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 项 [1 [1][1] [1][1][1[1J 的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效 [2 [2][2][2][2 1[ [2 3.保持卡面清洁，不折叠、不破损 [3 [3][3][3][3] 3 123 「4 [4][4 「47 [ 填 正确填涂：■ [5 [5] [51 [5 [5 [5 错误填涂：的☐p口 [6 [6] [6] [6] [6 [6 范 [7] [7 [7 [7 缺考 ◇ [7 8 [8][8][8] [8][8 例 ■ (8 标记 9 [91[9][9][9][9][9] [9 [9 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 6CA][B][C][D] 11[A[B][c][D] 2[A][B][C][D] 7 CA][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A]LB][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）】 12.(5分) 13.(5分)】 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三期中考试·数学第1页（共2页）27-L-147C 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三期中考试·数学第2页（共2页）27-L-147C 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！青海大通县2027届高三第一学期期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由题知CA={一3，-2,0,2}，所以(CuA)∩B={-3,-2}.故选C. 2B产料=一号十号在复平面内的点为(-号·清)，位于第二象限放选且 i(1+2i) 3.A由题意，得f(-2)=(分）+(-2)2-3=5，因为函数f(x)为奇函数，所以f(2)=-(-2) -5.故选A. 4B因为d=3-8+=1,所以c=0或c=10.故选B /32+(-4)2 5.C因为数列{a,}为等差数列，所以S=7a+a》-7X2a=7a4,又S=5a4+10,所以7a4=5a4十10，解 2 2 得a4=5,所以S=4a寸a)-4-)+5)=8.故选C 2 6.C原式=(1-tan80°tan55°)tan(80°+55)-tan80°tan55°=-1+tan80°tan55°-tan80°tan55°=-1. 故选C ,A设圆锥的底面半径为，球的半径为R,由圆维与球的表面积相等，得心十×2=4R,所以反后 生有与的方--子感入 1 x3 4 8DX的取值为12.3,4.PX=1D=号=寸，PX=2)=名×号=高，P(X=3)=号×号×是-高 P(X=4)=号×号××号-0，所以E(0=合×1+亮×2+品×3+品×4=子放选D 9.BCD因为a∥b,所以ts-(-2)×1=0,解得ts=一2，故A错误；因为a⊥b,所以tX1十(-2)Xs=0,则t= 2s,故B正确：由|a=2|b,得√？+4=2√1+，整理得2=4s2,则|t|=2|s|,故C正确：当t=s=1 时，a=(1,一2)，b=(1,1),所以a在b上的投影向量为·合=-b,放D正确放选CD 10.BC由题意可知红=受，解得w=4,故A错误；由上得f(）=7cos(4红-牙），令4红-至=kx,k∈乙，解得 x年+无k∈，当=-1时，直线x=一器是()图象的一条对称轴，故B正确：易求得f)在 [无]上单调递减，且无<音<平<，所以f()>f(至)，故C正确：令4红-至=x+受，k∈乙， 解得x=经+需，∈乙，所以)的对称中心为（年+籍，0）k∈D,故D错误故选C 11.ACD对于A选项，f(x)=3x2一3，x∈(-∞，-1)时，f(x)>0,f(x)单调递增，x∈(-1,1)时， f(x)<0,f(x)单调递减，x∈(1，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增，故一1与1均为f(x)的极值点，故A 正确；对于B选项，注意到f(一1)=一1十3一3<0，故x∈（一∞，一1）上时f(x)<0,而当x>1时，f(x)单 【高三期中考试·数学参考答案第1页（共4页）】 27-L-147C 调递增，故最多只有一个零点，故B错误；对于C选项，注意到1<√2<π，由f(x)在(1，十∞)上单调递增可知 f(π)>f(W2),故C正确；对于D选项，f(0)=一3，f(0)=-3,故曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程 为y-(一3)=一3(x一0)，即y=一3(x十1)，显然其过点（一1,0），故D正确.故选ACD. 12.4.8“十一”期间App上的购票数据从小到大排列为：1.9,2.1,2.5,4.0,4.8,5.5,6.5,7.8，因为60%×8 =4.8,所以数据的60%分位数为排列后的第5个数：4.8. 13. 由题意，相8器=冬又51OA=21O,所以名-号所以E的离心率为&=√（台） √-（慢）= 14.4当a=0时，一(x一b)≥0不可能对任意的x∈R恒成立，不满足要求，当a<0时，y=(ax-1)(x一b)开 口向下，不满足题意，所以a>0.令(ax一D(x-b)=0,得=日，=6，当=时，不等式 (ax-1x-b)>≥0对任意的r∈k恒成立，所以日=b,即ab-1,且a>0,6>0,所以红+b>2/ab= 4,当且仅当4a=6,即a=),b=2时等号成立，所以4a十b的最小值为4. 15.解：1)由表知，元=号×(3+4+5+6+7)=5,5=号×(69+57+54+40+30)=50， --10，又6 -95 10 =-9.5, 所以a=y-b元=50+9.5×5=97.5，… 6分 所以y关于x的经验回归方程为y=一9.5x十97.5：…7分 (2)设商家的日利润为之元， 则x=y.(x-2)=(-9.5x+97.5)(x-2)=-9.5.x2+116.5x-195,…11分 该二次函数的对称轴方程为x=116.5∈(6,6.5)， 19 所以当售价定为每件6元时，商家可获得的日利润最大.…13分 16.解：1)因为a=2bsim(C+吾)=b(3sinC+cosC), 由正弦定理得sinA=sinB(√5sinC十cosC),…2分 即sin Bcos C+cos Bsin C=√3 sin Bsin C+sin Bcos C,所以cos Bsin C=√5 sin Bsin C,…4分 因为sinC>0,所以cosB=sin B,即mB=5 3· …6分 因为B∈(0，x),所以B=吾.… …7分 (2)因为BC-23,BD=1,B=若，由余弦定理得 CD=BC+BD-2BC.BDcB=-1+12-2X1X25×写-1，所以CD=万.9分 【高三期中考试·数学参考答案第2页（共4页）】 27-L-147C 因为∠BDC=受+A,所以sin∠BDC=sin(受+A)=cosA 11分 BC CD 在△BDC中由正弦定理得BCsn所以25-即osA牙sinA二2713分 所以mA-2怎是解得AC= 2 ……15分 17.(1)证明：连接AC交AC于G,则G为AC中点， 连接DG,因为D为AB中点，所以DG∥BC, 3分 因为DGC平面ACD,BC平面ACD, 所以BC∥平面ACD.… 6分 (2)解：取AB1中点H,在正三棱柱ABC-A,BC中，DB,DC,DH两两垂直， 故以点D为原点，直线DB,DC,DH分别为x轴，y轴，之轴建立如图所示的空间A 直角坐标系，设AB=2,AA=a(a>0),则D(0,0,0),A(-1,0,0), B A1(-1,0,a),B(1,0,0),所以Ai=(2,0,0),AA=(0,0a),DA= (-1,0,a), …8分 所以A正-Ai计号Ad=(2,0,号a), 因为AE⊥平面A,CD,所以AE⊥DA, 所以成.D=-2+号=0，又>0，所以a=3.…10分 所以花-(2,0，号），由题意知A花为平面ACD的一个法向量，… 12分 又B1(1,0,3),所以DB=(1,0,3),…13分 设直线DB,与平面A,CD所成角为0，则sin0= IA龙.DB 3 5 ,…15分 LAEI DB 18.解：(1)由题意，得C的准线方程为y=一 2分 因为直线y=2与C交于A,B两点，所以A的纵坐标为2， 又AF=4,所以2+号=4，解得力=4， 5分 所以抛物线C的方程为x2=8y.… 7分 (2)因为直线y=2与C交于A,B两点，不妨设A在第一象限， 所以A(4,2),B(-4,2),AB引=8.… …9分 由题意知直线l的斜率存在且不为0，F(0,2),故可设直线1：y=kx+2,M(,y),N(x2,2), 不妨设>y2,则由题意知y>2>y2, 1x2=8y, 联立 得x2-8kx-16=0,△=64k2+64>0,十2=8k,12=-16,…12分 y=kx+2, 因为Sa边5N=S△十Sav=?X8(y-2)+号×8(2-)=4(-2)=8,5， 【高三期中考试·数学参考答案第3页（共4页）】 27-L-147C 所以y一2=25，… 14分 又y-2=k+2-(k2+2)=k(-2)=|k|√/(x-2)7=|k|√(+2)2-4x122=8k|√/R+1 =2/5,所以k=7或=-… 16分 所以直线1的方程为y=号x+2或)y一7+2，即x-2+4=0或x+2y-4=0.…】 7分 19.解：(1)f(x)的定义域为(0，十o∞)，且f(x)=2Q.x-lnx-1,…1分 (f(e)=2ae-2=0, 由题意得 解得a=。,b=2, f(e)=ae2-e+b=2, 所以）=22-hx+2,f()=2x-lh1-1. …3分 令p()=x),则p()=2,令p()=0,得x=号，易知g(),即f(x)在(0，号)上单调递减，在 ex (号，+∞)上单调递增， …4分 所以f()m=f(号)=-ln号<0，又f(e)=0,故在（号，e)上，f(x)<0,在(e,十∞）上，f(x)>0,故 fx)在x=e处取得极小值，所以u=是，b=2。 …5分 (2)f'(x)=2a.x-lnx-1,因为f(x)在[1，+o∞)上单调递增， 所以Hx∈1，十o∞)，f(x)≥0恒成立，即2a.x-lnx-1≥0在[1，十c∞)上恒成立，…6分 所以2a>≥血士在[1，+oo)上恒成立，令(x)=血士（≥D,则g(x）=-h≤0， 所以9(x)在[1，十∞)上单调递减，所以g(x)mx=g(1)=1,…7分 所以2a≥1，所以≥3，即a的取值范围为[名，十o∞ .…8分 (3)由题意得g(x)=2a-n-1,所以g()=2a一1-2a1(x>0),…9分 若a≤0，则g'(x)<0,所以g(x)在(0，十∞)上单调递减，故g(x)在(0，e]上单调递减， 所以g(x)mm=g(e)=2ae-2<0,不合题意.… 11分 若a>0,令g(x)<0,得0K<令g(x)>0,得>2 所以g(x)在(0，六上单测递减，在（易，十o∞）上单测递增，…】 3分 当克<e,即a>2时，g(x)m=g(会)=1-ln品-1=h(2a)=2, 所以a=号，所以品名<e,所以存在a=号，使得gx)的最小俏为2：…15分 当2>e,即0<a≤0时，gx=ge)=2ae-2<-1,不合题意. 综上所述，存在Q三号，使得g()的最小值为2，…17分 【高三期中考试·数学参考答案第4页（共4页）】 27-L-147C