微专题 指数函数的图象、定点与单调性 导学案-2026-2027学年高一上学期数学北大师版必修第一册

微专题：指数函数的图象、定点与单调性 学生版 北师大版（2019）必修第一册·指数运算与指数函数 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题在指数幂运算之后。教材先给出指数函数 （，）的定义，再画底数大于 与小于 两类图象，由此得到定义域、值域、过定点 与单调性四条性质，并把图象沿坐标轴平移得到 一类函数。 考查形式：新高考对本讲的考查集中在三处：判定指数函数、由过点求解析式，选填 5 分；求 型函数的定点，或由图象所在象限反求参数范围；复合函数 的单调区间与最值，常与二次函数嵌套，出现在选填与解答第一问。 第二部分　记·模型与结论 一、指数函数的界定 形如 （，）的函数叫指数函数。三个条件：底数是常数、指数是自变量 、系数为 。、、 都不是指数函数。 求解析式只需一个条件。含参题目写成 的，先由系数为 解出 ，再用 且 筛掉不合的值。 二、图象与四条性质 两类图象都过点 ，都在 轴上方，值域为 ，以 轴为渐近线。 时曲线上升， 越大越靠近 轴； 时曲线下降。 与 的图象关于 轴对称。在同一坐标系里， 处图象越靠上，底数越大。 三、平移与定点 向右平移 个单位、向上平移 个单位得 ，定点随之平移为 。求定点只需令指数为零，与底数无关。 由图象所在象限反求参数，先看升降定底数范围，再看与 轴的交点 的正负定 的范围。 四、复合函数的单调性 的单调性由内外两层共同决定：外层 递增时与 同向， 递减时与 反向。先定内层 的单调区间，再按外层底数决定是否翻转。 求值域先求内层 的取值范围，再由 在该范围上的单调性得值域。 时值域为 ， 时上下限对调。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　指数函数的判定与解析式 【解题技巧】判定指数函数看三条：底数为常数且大于 不等于 、指数为 、系数为 。由过点求解析式，代点化成同底幂解出底数，解完复核底数是否满足大于 且不等于 。 【典例 1-1】（原创） 已知指数函数 （，）的图象经过点 ，求 及 。 【变式 1-1】（原创） 若函数 是指数函数，求实数 的值。 【变式 1-2】（原创） 已知指数函数 的图象经过点 ，求 。 题型二　图象平移与定点 【解题技巧】求定点令指数为零，解出横坐标后代回得纵坐标，与底数取值无关。由图象所在象限反求参数，先由升降定底数范围，再由与 轴交点的高低定平移量的范围。 【典例 2-1】（原创） 函数 （，）的图象恒过哪个定点？ 【变式 2-1】（原创） 函数 的图象恒过哪个定点？ 【变式 2-2】（原创） 若函数 （，）的图象经过第二、三、四象限，求 与 的取值范围。 题型三　复合函数的单调性与值域 【解题技巧】先看内层 的单调区间与值域，再按外层底数决定是否翻转：底大于 同向，底小于 反向。求值域先算内层的取值范围，再把端点代入外层幂。 【典例 3-1】（原创） 求函数 的单调递增区间。 【变式 3-1】（原创） 求函数 的最大值及取得最大值时 的值。 【变式 3-2】（原创） 求函数 在区间 上的值域。 题型四　含参的底数与最值 【解题技巧】底数是含参式子时，先由指数函数的要求列出 且 ，再由递增或递减补一条不等式，最后取交集。闭区间上的最值要按 与 分两类讨论。 【典例 4-1】（原创） 若函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围。 【变式 4-1】（原创） 已知函数 （，）在区间 上的最大值比最小值大 ，求 的值。 【变式 4-2】（原创） 若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖指数函数的判定、过点求解析式、定点、值域、复合函数单调区间、性质辨析与闭区间最值。 1．（单选）下列函数中是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（单选）函数 （，）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 3．（填空）已知指数函数 的图象经过点 ，则 ______。 4．（填空）函数 在区间 上的值域为 ______。 5．（单选）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 6．（多选）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递减 D．图象经过点 7．（解答）已知函数 （，）在区间 上的最大值与最小值之和为 ，求 的值。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向二次型换元求值域、闭区间最值反求底数、底数为二次式时递增的条件、含绝对值函数的性质辨析与指数不等式的求解。 8．（解答）求函数 在 上的值域。 9．（解答）已知函数 （，）在区间 上的最大值与最小值之差为 ，求 的值。 10．（解答）若函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围。 11．（多选）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B． 是偶函数 C．值域为 D．在 上单调递增 12．（解答）解不等式：。 第五部分　思·小结反思 一、判定看三条、求式看范围 指数函数要求底数为常数且大于 不等于 、指数为 、系数为 ；代点求底数后要回验底数范围，负值与 都要舍。 二、定点随平移而动 的定点为 ，令指数为零解出横坐标；由图象所在象限反求参数，先看升降定底数，再看与 轴交点定平移量。 三、复合单调看外层底数 先定内层单调区间与值域，底大于 不翻转、底小于 翻转；求值域把内层端点代入外层幂，再按单调性排好左右端。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：指数函数的图象、定点与单调性 教师解析版 北师大版（2019）必修第一册·指数运算与指数函数 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题在指数幂运算之后。教材先给出指数函数 （，）的定义，再画底数大于 与小于 两类图象，由此得到定义域、值域、过定点 与单调性四条性质，并把图象沿坐标轴平移得到 一类函数。 考查形式：新高考对本讲的考查集中在三处：判定指数函数、由过点求解析式，选填 5 分；求 型函数的定点，或由图象所在象限反求参数范围；复合函数 的单调区间与最值，常与二次函数嵌套，出现在选填与解答第一问。 第二部分　记·模型与结论 一、指数函数的界定 形如 （，）的函数叫指数函数。三个条件：底数是常数、指数是自变量 、系数为 。、、 都不是指数函数。 求解析式只需一个条件。含参题目写成 的，先由系数为 解出 ，再用 且 筛掉不合的值。 二、图象与四条性质 两类图象都过点 ，都在 轴上方，值域为 ，以 轴为渐近线。 时曲线上升， 越大越靠近 轴； 时曲线下降。 与 的图象关于 轴对称。在同一坐标系里， 处图象越靠上，底数越大。 三、平移与定点 向右平移 个单位、向上平移 个单位得 ，定点随之平移为 。求定点只需令指数为零，与底数无关。 由图象所在象限反求参数，先看升降定底数范围，再看与 轴的交点 的正负定 的范围。 四、复合函数的单调性 的单调性由内外两层共同决定：外层 递增时与 同向， 递减时与 反向。先定内层 的单调区间，再按外层底数决定是否翻转。 求值域先求内层 的取值范围，再由 在该范围上的单调性得值域。 时值域为 ， 时上下限对调。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　指数函数的判定与解析式 【解题技巧】判定指数函数看三条：底数为常数且大于 不等于 、指数为 、系数为 。由过点求解析式，代点化成同底幂解出底数，解完复核底数是否满足大于 且不等于 。 【教学提醒】本型可让学生把 、、、 四个式子与 逐条比对，三条特征写在黑板左侧，判定标准一次说清，后面求解析式不会再混。 【典例 1-1】（原创） 已知指数函数 （，）的图象经过点 ，求 及 。 解析：代入得 ，又 ，故 ，即 。 。 参考答案：，。 【学情易错提醒】由 写 ，把负值一并留下。指数函数的底数必须大于 ， 时 在实数范围内定义不全。 【变式 1-1】（原创） 若函数 是指数函数，求实数 的值。 解析：系数为 ：，整理得 ，解得 或 。 底数须大于 且不等于 ，故舍去 ，取 ，此时 。 参考答案：。 【学情易错提醒】求出 与 后不作检验，两解都留。 时底数为 ， 是常数函数，不符合指数函数的定义。 【变式 1-2】（原创） 已知指数函数 的图象经过点 ，求 。 解析：代入得 ，故 ，即 。 。 参考答案：。 【学情易错提醒】由 得 ，把负号当成相反数。负指数表示倒数，，故 。 题型二　图象平移与定点 【解题技巧】求定点令指数为零，解出横坐标后代回得纵坐标，与底数取值无关。由图象所在象限反求参数，先由升降定底数范围，再由与 轴交点的高低定平移量的范围。 【教学提醒】本型可让学生先画 ，再逐次平移得到 、，每动一次标出定点位置。定点随平移而动的规律，画一次比讲三遍牢。 【典例 2-1】（原创） 函数 （，）的图象恒过哪个定点？ 解析：令指数为零：，得 ，此时 ，与 的取值无关。 代回得 ，故图象恒过定点 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把定点写成 ，直接沿用 的结论。平移之后定点跟着动，横坐标由指数为零解出，纵坐标还要加上平移量 。 【变式 2-1】（原创） 函数 的图象恒过哪个定点？ 解析：令 ，得 ，此时 。 代回得 ，故定点为 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 看成向右平移 个单位，定点写成 。 表示向左平移，横坐标是 。 【变式 2-2】（原创） 若函数 （，）的图象经过第二、三、四象限，求 与 的取值范围。 解析：图象经过第二象限，说明曲线在 时位于 轴上方，函数递减，故 。 图象经过第三、四象限，说明曲线与 轴的交点在 轴下方： 时 ，故 。 综上 ，。 参考答案：，。 【学情易错提醒】只由「经过第四象限」得 便收尾，漏掉递减这一层。 时曲线上升， 一侧趋于 而不进第二象限，与题设不符。 题型三　复合函数的单调性与值域 【解题技巧】先看内层 的单调区间与值域，再按外层底数决定是否翻转：底大于 同向，底小于 反向。求值域先算内层的取值范围，再把端点代入外层幂。 【教学提醒】本型的难点在「同增异减」的落地。可把内外两层分别写成两行，各标一次增减，再按乘法符号判断，学生按格式填一遍，翻不翻就一目了然。 【典例 3-1】（原创） 求函数 的单调递增区间。 解析：记内层 ，在 上递减，在 上递增。 外层 的底数小于 ，关于 递减，故复合后增减与内层相反。 内层递减的区间对应复合后递增，故所求区间为 。 参考答案：。 【学情易错提醒】直接把内层的增区间 当作答案。外层底数小于 ，单调方向要翻转，增区间对应的恰是内层的减区间。 【变式 3-1】（原创） 求函数 的最大值及取得最大值时 的值。 解析：内层 ，当 时取最大值 。 外层 的底数大于 ，关于 递增，故 最大时 最大。 ，此时 。 参考答案：最大值为 ，此时 。 【学情易错提醒】求出内层最大值 便作为函数的最大值。题目所求是 的最大值，须把 代入外层，得 。 【变式 3-2】（原创） 求函数 在区间 上的值域。 解析：底数 小于 ， 在 上递减。 故 时取最大值 ， 时取最小值 。 值域为 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把端点顺序照抄，写成 。递减函数在左端点取最大值，值域的左右端要按大小重排。 题型四　含参的底数与最值 【解题技巧】底数是含参式子时，先由指数函数的要求列出 且 ，再由递增或递减补一条不等式，最后取交集。闭区间上的最值要按 与 分两类讨论。 【教学提醒】本型的两类讨论是重点。可在黑板上并列写 与 两栏，各写端点值的对应关系，再分别列方程，最后把两组解合并并逐一回验底数范围。 【典例 4-1】（原创） 若函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围。 解析： 为指数函数，底数须满足 且 。 在 上递减，底数还须小于 ，故 ，即 。 解得 或 。 参考答案：。 【学情易错提醒】只写 便开方，得 ，漏掉负的一半。 在 与 之间对应两段区间，正负都要写。 【变式 4-1】（原创） 已知函数 （，）在区间 上的最大值比最小值大 ，求 的值。 解析：当 时 递增，最大值为 ，最小值为 ，由 得 ，即 （，故 ）。 当 时 递减，最大值为 ，最小值为 ，由 得 ，即 。 两解都在各自的底数范围内，均可取。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】默认 只算出一解。底数不确定时，递增与递减两种情形都要列式，否则答案缺一半。 【变式 4-2】（原创） 若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围。 解析：记内层 ，它的图象是顶点在 的折线，在 上递增，在 上递减。 外层 递增，故复合后的增减与内层一致， 递增的区间为 。 题设要求 上递增，即该区间落在 内，故 。 参考答案：。 【学情易错提醒】由顶点在 处得 ，方向正好相反。 必须整体落在递增段内，递增段的起点 只能更靠左。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖指数函数的判定、过点求解析式、定点、值域、复合函数单调区间、性质辨析与闭区间最值。 1．（单选）下列函数中是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 解析：A、C 两项底数是自变量，属于幂函数；D 项底数为负数，在实数范围内无意义。 B 项底数为常数 ，指数为 ，系数为 ，符合定义。 参考答案：B。 2．（单选）函数 （，）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 解析：令 ，即 ，此时 ，，定点为 。 参考答案：C。 3．（填空）已知指数函数 的图象经过点 ，则 ______。 解析：由 得 ，故 。 参考答案：。 4．（填空）函数 在区间 上的值域为 ______。 解析：底数小于 ，函数递减， 时取最大值 ， 时取最小值 。 值域为 。 参考答案：。 5．（单选）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 解析：内层 在 上递减；外层 递增，复合后与内层同向。 故递减区间为 。 参考答案：A。 6．（多选）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递减 D．图象经过点 解析：A、B 两项由指数函数的定义域与值域直接得到，正确。 底数 小于 ，在 上递减，C 正确。 ，图象过点 ，D 错误。 参考答案：ABC。 7．（解答）已知函数 （，）在区间 上的最大值与最小值之和为 ，求 的值。 解析： 在 上单调，最大值与最小值分别是 与 （次序由 的大小决定）。 由 得 ，即 或 。 底数须大于 ，故 。 参考答案：。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向二次型换元求值域、闭区间最值反求底数、底数为二次式时递增的条件、含绝对值函数的性质辨析与指数不等式的求解。 8．（解答）求函数 在 上的值域。 解析：记 ，则 ，原函数化为 。 时 递减，故 。 顶点 在区间内，最小值 ；端点 时 ， 时 ，故最大值 。 值域为 。 参考答案：。 9．（解答）已知函数 （，）在区间 上的最大值与最小值之差为 ，求 的值。 解析：当 时 递增，最大值为 ，最小值为 ，由 得 ，即 或 ，取 。 当 时 递减，最大值为 ，最小值为 ，由 得同一方程，取 。 两解都满足底数要求。 参考答案： 或 。 10．（解答）若函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围。 解析： 为指数函数，底数须为正且不等于 ；递增要求底数大于 ，故 。 即 ，，解得 或 。 该范围内底数恒大于 ，自动满足大于 且不等于 。 参考答案：。 11．（多选）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B． 是偶函数 C．值域为 D．在 上单调递增 解析：，为偶函数，定义域为 ，A、B 正确。 ，故 ，值域为 ，C 正确。 ，在 上递减，D 错误。 参考答案：ABC。 12．（解答）解不等式：。 解析：，不等式化为 。 底数小于 ，函数递减，不等号方向翻转：。 即 ，解得 。 参考答案：。 第五部分　思·小结反思 一、判定看三条、求式看范围 指数函数要求底数为常数且大于 不等于 、指数为 、系数为 ；代点求底数后要回验底数范围，负值与 都要舍。 二、定点随平移而动 的定点为 ，令指数为零解出横坐标；由图象所在象限反求参数，先看升降定底数，再看与 轴交点定平移量。 三、复合单调看外层底数 先定内层单调区间与值域，底大于 不翻转、底小于 翻转；求值域把内层端点代入外层幂，再按单调性排好左右端。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $