4.2.2指数函数的图象与性质 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2.2 指数函数的图象与性质 导学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　使用日期：＿＿＿＿ 🎯 【课标要求】 1．能用描点法画出具体指数函数的图象，并借助图象探索、理解指数函数的单调性与特殊点。 2．能运用指数函数的性质解决比较大小、求值域、解简单指数不等式等问题。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：　指数函数的图象特征与性质（值域、定点、单调性）；利用单调性比较大小。 学习难点：　底数对图象的影响；利用单调性解指数不等式时的符号处理。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材相应内容，完成以下预习任务。 一、知识回顾 指数函数：（ 且 ），定义域为 。 二、新知初探 1．用描点法在同一坐标系中画出 与 的图象。 2．图象特征：两图象都经过定点＿＿＿＿；当 时，图象自左向右＿＿（升/降）；当 时，图象自左向右＿＿；图象都在 轴＿＿方，且以＿＿轴为渐近线。 3．指数函数 （ 且 ）的性质： （1）定义域：＿＿；值域：＿＿； （2）无论 （ 且 ）为何值，图象恒过定点＿＿； （3）当 时，函数在 上是＿＿函数，且 时 ＿， 时 ＿； （4）当 时，函数在 上是＿＿函数，且 时 ＿， 时 ＿。 4．底数互为倒数时（如 与 ），两图象关于＿＿对称。 三、预习疑惑 预习后仍存在的疑问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 🔍 【合作探究】 探究一：作图与观察 列表描点，在同一坐标系中作出 与 的图象，并与下列图象对照： 图1　两类指数函数的图象与性质 问题 1：验证两图象是否都过点 ？ 问题 2：观察 轴两侧函数值与 的大小关系，总结"函数值与 比大小"的规律。 探究二：性质的归纳 完成新知初探第 3 题性质表，并用一句话概括： 时"越_越_"， 时"越_越_"。 探究三：性质的初步应用 1．利用单调性比较大小： 与 ；　 与 。 2．解不等式：。 💡 【典例精析】 例1　比较下列各组数的大小： （1） 与 ；　（2） 与 ；　（3） 与 。 【解析】 例2　解下列不等式： （1）；　（2）。 【解析】 例3　求下列函数的值域： （1），；　（2）。 【解析】 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1．函数 （ 且 ）的图象恒过定点（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．比较大小：＿＿；　＿＿。 3．不等式 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．函数 ， 的值域是＿＿＿＿；函数 （）的值域是＿＿＿＿。 5．已知 ，比较 与 的大小，并说明理由。 📝 【课堂小结与课后作业】 知识小结： 1．指数函数图象恒过 ，值域为 ，以 轴为渐近线； 2． 时递增、 时递减，比较大小时先看底数与 1 的大小； 3．解指数不等式必须化同底，底数大于 1 不等号不改变方向，底数小于 1（大于 0）不等号要改变方向； 4．求复合型值域先求内层范围，再借助外层单调性。 课后作业：1．解不等式 ；2．求函数 的值域，并说明其图象的对称性；3．预习 4.3 对数。 🌟 【学习反思】 今日收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 存在困惑：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 指数函数的图象与性质 导学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　使用日期：＿＿＿＿ 🎯 【课标要求】 1．能用描点法画出具体指数函数的图象，并借助图象探索、理解指数函数的单调性与特殊点。 2．能运用指数函数的性质解决比较大小、求值域、解简单指数不等式等问题。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：　指数函数的图象特征与性质（值域、定点、单调性）；利用单调性比较大小。 学习难点：　底数对图象的影响；利用单调性解指数不等式时的符号处理。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材相应内容，完成以下预习任务。 一、知识回顾 指数函数：（ 且 ），定义域为 。 二、新知初探 1．用描点法在同一坐标系中画出 与 的图象。 2．图象特征：两图象都经过定点＿＿＿＿；当 时，图象自左向右＿＿（升/降）；当 时，图象自左向右＿＿；图象都在 轴＿＿方，且以＿＿轴为渐近线。 3．指数函数 （ 且 ）的性质： （1）定义域：＿＿；值域：＿＿； （2）无论 （ 且 ）为何值，图象恒过定点＿＿； （3）当 时，函数在 上是＿＿函数，且 时 ＿， 时 ＿； （4）当 时，函数在 上是＿＿函数，且 时 ＿， 时 ＿。 4．底数互为倒数时（如 与 ），两图象关于＿＿对称。 三、预习疑惑 预习后仍存在的疑问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 🔍 【合作探究】 探究一：作图与观察 列表描点，在同一坐标系中作出 与 的图象，并与下列图象对照： 图1　两类指数函数的图象与性质 问题 1：验证两图象是否都过点 ？ 问题 2：观察 轴两侧函数值与 的大小关系，总结"函数值与 比大小"的规律。 探究二：性质的归纳 完成新知初探第 3 题性质表，并用一句话概括： 时"越_越_"， 时"越_越_"。 探究三：性质的初步应用 1．利用单调性比较大小： 与 ；　 与 。 2．解不等式：。 💡 【典例精析】 例1　比较下列各组数的大小： （1） 与 ；　（2） 与 ；　（3） 与 。 【解析】 例2　解下列不等式： （1）；　（2）。 【解析】 例3　求下列函数的值域： （1），；　（2）。 【解析】 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1．函数 （ 且 ）的图象恒过定点（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．比较大小：＿＿；　＿＿。 3．不等式 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．函数 ， 的值域是＿＿＿＿；函数 （）的值域是＿＿＿＿。 5．已知 ，比较 与 的大小，并说明理由。 📝 【课堂小结与课后作业】 知识小结： 1．指数函数图象恒过 ，值域为 ，以 轴为渐近线； 2． 时递增、 时递减，比较大小时先看底数与 1 的大小； 3．解指数不等式必须化同底，底数大于 1 不等号不改变方向，底数小于 1（大于 0）不等号要改变方向； 4．求复合型值域先求内层范围，再借助外层单调性。 课后作业：1．解不等式 ；2．求函数 的值域，并说明其图象的对称性；3．预习 4.3 对数。 🌟 【学习反思】 今日收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 存在困惑：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 📮 【参考答案与解析】 探究一：　问题 1：，，两图象都过点 。 问题 2： 时，，； 时，，；即"同侧大于 1、异侧小于 1"。 探究二：　 时"底数大于 1，越增越快"（ 越大 越大）； 时"底数小于 1，越减越慢"（ 越大 越小）。 探究三：　1．考察 递增，，故 ；考察 递减，，故 。 2．，底数 不等号同向，，故 。 例1：　（1） 递增，，故 。 （2） 递减，，故 。 （3）底数不同且指数也不同，借助中间量 ：，，故 。 例2：　（1），底数 ，故 ，解集为 。 （2）底数 递减，不等号变向：，解得 ，解集为 。 例3：　（1） 递增，，故 ，值域为 。 （2）设 ，则 关于 递减，故 ，值域为 。 当堂达标： 1．B　提示： 时 ，与 无关，恒过 。 2．；　提示： 递增，，故 ；，，故 。 3．B　提示：，底数小于 1 递减，，故 。 4．；　提示： 递增， 时 ， 时 ； 上值域恒为 。 5．因 ，且 递减，故 。 课后作业：　1．，底数 递减且不等号变向：，即 ，解得 或 。 2．， 递增（关于 ），故 ，值域为 ；因 ，图象关于 轴对称。 3．略。 学科网（北京）股份有限公司 $