微专题对数与对数运算导学案-2026-2027学年高一上学期数学北大师版必修第一册

微专题：对数与对数运算 教师解析版 北师大版（2019）必修第一册·对数运算与对数函数 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题接在指数运算之后。教材由 反解出 ，给出对数式与指数式的互化，再规定常用对数、自然对数，最后建立积、商、幂的三条运算法则与换底公式。 考查形式：新高考对本讲的考查以运算为主：由指数式写对数式、对数值的直接求法，选填 5 分；、 一类化简求值；已知 、 表示其他对数，或已知 求 ；换底公式用于连乘约分与比较大小。 第二部分　记·模型与结论 一、对数的定义与互化 若 （，，），则 。底数 仍受指数函数的限制，真数 必须为正——负数和零没有对数。 互化是求值的基本功： 对应 ； 对应 。底数与真数同乘方、开方时对数值不变，常用于化成整数次幂。 二、三条运算法则 设 ，，，：积的对数等于对数之和，商的对数等于对数之差，幂的对数等于指数乘对数。三条法则都由指数运算法则对应而来。 常用推论：，，，。化简时先把真数分解成质因数之积，再拆成对数之和。 三、换底公式 ， 通常取 或 。换底把不同底的对数统一到同一底，连乘时分子分母交叉约分，往往一步得出整数。 由换底可得两条常用结论：，。后者用于处理底与真数同时带次幂的情形。 四、条件式与整体代换 给出 、 一类条件，所求的对数先换底成以 为底，再把 、 的幂拆开代入。注意 ，这一步常被遗漏。 给出 、 求 的，把 分解成 、 的幂的乘积，直接用三条法则得出系数。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　对数式与指数式互化 【解题技巧】求对数值先问一句「底数的几次幂等于真数」，把真数写成底的幂再读指数。真数是分数先写成负指数，真数是根式先写成分数指数。反过来由对数求真数，直接把对数式翻成指数式。 【教学提醒】本型可让学生把 、、、 这几类真数各写一次对应的幂形式，写满一行再做题。真数写成幂的速度决定了本型的做题速度。 【典例 1-1】（原创） 求值：，，。 解析：，故 。 ，故 。 。 参考答案：，，。 【学情易错提醒】 答成 ，把倒数对应的负指数漏掉。，指数是 而不是 。 【变式 1-1】（原创） 已知 ，求实数 的值。 解析：化为指数式：。 由 得 ，且 ，符合要求。 参考答案：。 【学情易错提醒】由 写 。底数须大于 且不等于 ，负值舍去。 【变式 1-2】（原创） 已知 ，求实数 的值。 解析：化为指数式：。 故 。 参考答案：。 【学情易错提醒】写成 ，把对数式与指数式的对应关系弄反。 表示 的 次幂等于 。 题型二　对数运算性质与化简求值 【解题技巧】看到积与商先拆成对数的和差，看到系数先提到真数的指数上。真数是小数或分数，先化成 、 的幂再拆； 是化简中最常用的一步。 【教学提醒】本型的板书可分两栏：左栏写原式，右栏只写「拆、合、提」三个动作。学生每做一步标一个动作名，思路便不会乱，也便于自查有没有漏拆。 【典例 2-1】（原创） 计算：。 解析：由积的对数法则合并：。 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 算成 、 算成 ，当成开方处理。，与 的平方根无关。 【变式 2-1】（原创） 计算：。 解析：前两项提出 ：。 ；由 ，得原式 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 当作 。对数的平方与真数的平方不同， 不能再合并，只能提公因式。 【变式 2-2】（原创） 计算：。 解析：。 。 两式相加得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】 写成 ，按 直接相除。对数值不是真数除以底数，须化为同底幂后比较指数。 题型三　条件式表示与整体代换 【解题技巧】已知 、 表示其他对数，先换底到 ，再把真数分解成 、、 的幂。真数里出现 时用 换掉，这一步是本型的关口。 【教学提醒】本型可先练一步：把 、、、 各分解成 、、 的幂，写成一列。分解熟练之后，代入只是收尾工作。 【典例 3-1】（原创） 已知 ，，用 、 表示 。 解析：换底：。 ；。 故 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 写成 之外的式子，或直接用 。，故 ，符号不能反。 【变式 3-1】（原创） 已知 ，用 表示 。 解析：。 ，故 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 直接写成 ，误以为 中的 也带对数底。 是常数，与 无关。 【变式 3-2】（原创） 已知 ，，用 、 表示 。 解析：，故 。 代入得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】写成 ，把对数的和当成积。积的对数拆成和，不是乘。 题型四　换底公式的应用 【解题技巧】不同底的对数相乘，一律换成同一底，分子分母交叉约分。底与真数带次幂时用 化简，系数一次提清。 【教学提醒】本型的关键动作是「统一底」。可让学生把连乘式写成若干分式相乘，再逐层划去相同的对数记号，约分过程可视化，答案自然浮出。 【典例 4-1】（原创） 计算：。 解析：换底：，。 相乘得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】用 直接判为 。本题第二式的真数是 而非 ，两式不是互为倒数的关系，须先化 。 【变式 4-1】（原创） 计算：。 解析：提系数：，。 相乘得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】系数只提一处，得 便往下算。底与真数同时带次幂时，分子分母各出一个系数，两处都要提。 【变式 4-2】（原创） 已知 ，用 表示 。 解析：。 由 ，得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】写成 ，把 当成 。颠倒底与真数要用倒数关系 。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖对数值的直接求法、常用对数的负指数、由对数求真数、运算法则辨析与含 、 的化简。 1．（单选） 的值为（　　） A． B． C． D． 解析：，故 。 参考答案：B。 2．（单选） 的值为（　　） A． B． C． D． 解析：。 参考答案：B。 3．（填空） ______。 解析：，故 。 参考答案：。 4．（填空）若 ，则 ______。 解析：化为指数式 。 参考答案：。 5．（单选）下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 解析：A 项应为和，不是积；B 项法则只对积成立，对和没有法则；D 项应为差，不是商。 C 项是幂的运算法则，成立。 参考答案：C。 6．（多选）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 解析：A 项：，正确；B 项：，正确；C 项： 的以 为底的对数为 ，正确。 D 项：，故 ，此项错误。 参考答案：ABC。 7．（解答）计算：。 解析：。 原式 。 ，故原式 。 参考答案：。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向多因子连乘约分、指数式与对数式互化后的条件表示、底与真数同时带次幂的换底、性质辨析与整体代换。 8．（解答）计算：。 解析：换底后每一项都是分式，相邻两式的分母与下一式的分子相同，逐次约分。 ；再乘 得 ；再乘 得 。 。 参考答案：。 9．（解答）已知 ，，用 、 表示 。 解析：由 得 ；由 得 。 ，故 。 ，故 。 参考答案：。 10．（解答）计算：。 解析：提系数：，。 原式 。 参考答案：。 11．（多选）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 解析：A 项：底与真数互换，两式互为倒数，乘积为 ，正确。 B 项：，正确。 C 项：，正确。 D 项：，，两者之积为 而和不等于 （），错误。 参考答案：ABC。 12．（解答）已知 ，，用 、 表示 。 解析：，故 。 代入得 。 参考答案：。 第五部分　思·小结反思 一、互化是求值的起点 与 是同一件事的两种写法，求值先问「底数的几次幂等于真数」，分数真数对应负指数，根式真数对应分数指数。 二、积拆和、商拆差、幂提前 三条法则对应三种变形动作；真数先分解成质因数的幂，再拆开合并， 与 是化简中最常用的两条桥。 三、换底统一、次幂提系数 不同底的对数相乘一律换底后约分；底与真数同时带次幂时用 ，系数两个都要提。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：对数与对数运算 学生版 北师大版（2019）必修第一册·对数运算与对数函数 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题接在指数运算之后。教材由 反解出 ，给出对数式与指数式的互化，再规定常用对数、自然对数，最后建立积、商、幂的三条运算法则与换底公式。 考查形式：新高考对本讲的考查以运算为主：由指数式写对数式、对数值的直接求法，选填 5 分；、 一类化简求值；已知 、 表示其他对数，或已知 求 ；换底公式用于连乘约分与比较大小。 第二部分　记·模型与结论 一、对数的定义与互化 若 （，，），则 。底数 仍受指数函数的限制，真数 必须为正——负数和零没有对数。 互化是求值的基本功： 对应 ； 对应 。底数与真数同乘方、开方时对数值不变，常用于化成整数次幂。 二、三条运算法则 设 ，，，：积的对数等于对数之和，商的对数等于对数之差，幂的对数等于指数乘对数。三条法则都由指数运算法则对应而来。 常用推论：，，，。化简时先把真数分解成质因数之积，再拆成对数之和。 三、换底公式 ， 通常取 或 。换底把不同底的对数统一到同一底，连乘时分子分母交叉约分，往往一步得出整数。 由换底可得两条常用结论：，。后者用于处理底与真数同时带次幂的情形。 四、条件式与整体代换 给出 、 一类条件，所求的对数先换底成以 为底，再把 、 的幂拆开代入。注意 ，这一步常被遗漏。 给出 、 求 的，把 分解成 、 的幂的乘积，直接用三条法则得出系数。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　对数式与指数式互化 【解题技巧】求对数值先问一句「底数的几次幂等于真数」，把真数写成底的幂再读指数。真数是分数先写成负指数，真数是根式先写成分数指数。反过来由对数求真数，直接把对数式翻成指数式。 【典例 1-1】（原创） 求值：，，。 【变式 1-1】（原创） 已知 ，求实数 的值。 【变式 1-2】（原创） 已知 ，求实数 的值。 题型二　对数运算性质与化简求值 【解题技巧】看到积与商先拆成对数的和差，看到系数先提到真数的指数上。真数是小数或分数，先化成 、 的幂再拆； 是化简中最常用的一步。 【典例 2-1】（原创） 计算：。 【变式 2-1】（原创） 计算：。 【变式 2-2】（原创） 计算：。 题型三　条件式表示与整体代换 【解题技巧】已知 、 表示其他对数，先换底到 ，再把真数分解成 、、 的幂。真数里出现 时用 换掉，这一步是本型的关口。 【典例 3-1】（原创） 已知 ，，用 、 表示 。 【变式 3-1】（原创） 已知 ，用 表示 。 【变式 3-2】（原创） 已知 ，，用 、 表示 。 题型四　换底公式的应用 【解题技巧】不同底的对数相乘，一律换成同一底，分子分母交叉约分。底与真数带次幂时用 化简，系数一次提清。 【典例 4-1】（原创） 计算：。 【变式 4-1】（原创） 计算：。 【变式 4-2】（原创） 已知 ，用 表示 。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖对数值的直接求法、常用对数的负指数、由对数求真数、运算法则辨析与含 、 的化简。 1．（单选） 的值为（　　） A． B． C． D． 2．（单选） 的值为（　　） A． B． C． D． 3．（填空） ______。 4．（填空）若 ，则 ______。 5．（单选）下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（多选）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（解答）计算：。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向多因子连乘约分、指数式与对数式互化后的条件表示、底与真数同时带次幂的换底、性质辨析与整体代换。 8．（解答）计算：。 9．（解答）已知 ，，用 、 表示 。 10．（解答）计算：。 11．（多选）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（解答）已知 ，，用 、 表示 。 第五部分　思·小结反思 一、互化是求值的起点 与 是同一件事的两种写法，求值先问「底数的几次幂等于真数」，分数真数对应负指数，根式真数对应分数指数。 二、积拆和、商拆差、幂提前 三条法则对应三种变形动作；真数先分解成质因数的幂，再拆开合并， 与 是化简中最常用的两条桥。 三、换底统一、次幂提系数 不同底的对数相乘一律换底后约分；底与真数同时带次幂时用 ，系数两个都要提。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $