1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动（高效培优·讲义）物理人教版选择性必修第二册

第1.3节 带电粒子在匀强磁场中的运动 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 带电粒子在匀强磁场中的运动 考点02 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 考点03 带电粒子在磁场中的不同运动情况分析 03 避坑指南·解题通法 角度01 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期 角度02 带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算 角度03 带电粒子在直边界磁场中运动 角度04 带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动 角度05 根据粒子运动确定磁场区域的范围 角度06 临界状态的不唯一形成多解 角度07 带电粒子在矩形边界磁场中的运动 角度08 动态圆模型 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.理解带电粒子沿不同方向进入匀强磁场时的运动情况，知道洛伦兹力提供圆周运动向心力。 2.推导并掌握轨道半径、周期公式，理解公式中各物理量的含义。 3.会结合几何关系确定粒子轨迹的圆心、半径，求解粒子运动时间。 4.能分析有界磁场中带电粒子运动的简单临界问题。 1.找圆心常用两条思路：速度垂线、弦的中垂线，画出粒子运动轨迹。 2.区分公式：轨道半径与速度有关，周期和粒子运动速度无关。 3.粒子运动时间利用圆心角占圆周的比例进行计算。 4.重视几何图形分析，把磁场边界条件转化为边角关系。 知识导图 考点01 带电粒子在匀强磁场中的运动 1、带电粒子在匀强磁场中的运动 （1）若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝ 。 （2）若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向 ，粒子在垂直于 方向的平面内运动，此时带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。 （3）若带电粒子入射的速度方向与匀强磁场有一夹角θ(0°<θ<90°)时，粒子的速度可分解为垂直于磁场方向的速度v1和平行于磁场方向的速度v2,在垂直于磁场方向以速度v1做匀速圆周运动、在平行于磁场方向以速度v2做匀速直线运动,运动轨迹为螺旋线。 2、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动的分析方法。 【深化点拨】 1．带电粒子在匀强磁场中的运动，当v⊥B时 （1）洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。 （2）带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 2．带电粒子在匀强磁场中的运动，当v∥B时： （1）F=qvBsinθ，当θ=0°或θ=180°时，F=0。 （2）粒子所受洛伦兹力为零,所以粒子将以速度v做匀速直线运动。 1．有三束粒子，分别是质子、氚核和氦核，如果它们均以相同的速度垂直射入匀强磁场（磁场方向垂直于纸面向里），图中能正确表示这三束粒子的运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 2．（多选）一个电子（不计重力，质量m，电荷量e）以速度垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，则（　　） A．电子在图示时刻受到垂直向上的洛伦兹力 B．电子在磁场中做的是变速运动 C．电子的速度始终不变 D．电子的动能始终不变 考点02 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径：由qvB＝m，可得r＝。 2、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期：由r＝和T＝，可得T＝，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的 和运动速度 。 3、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的圆心确定：圆心位置的确定通常有以下两种基本方法 （1）已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． （2）已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 4、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径确定：半径的计算一般利用几何知识解直角三角形，做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解。 5、粒子在匀强磁场中运动时间的确定 （1）粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)。 确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角。 （2）当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长。 【深化点拨】 1．带电粒子（或微粒）在非匀强磁场中的运动 （1）当粒子在非匀强磁场中运动时，半径公式r＝和周期公式T＝不再适用，但可以用来定性分析随着磁场的变化，半径和周期的变化情况。 （2）虽然非匀强磁场中r＝与T＝不再适用，但仍可以用来定性分析粒子的半径与周期的变化。 2．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期公式推导：（v⊥B） 。 1．如图所示，一电荷量为q、质量为m的负电荷以速度v射入匀强磁场中，粒子与水平方向的夹角为，已知匀强磁场的方向为垂直纸面向里，磁感应强度为B，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动 B．粒子所受的洛伦兹力的大小f＝qvBcos C．粒子做匀速圆周运动的半径 D．粒子做匀速圆周运动的周期 2．（多选）如图所示是洛伦兹力演示仪示意图，电子枪向左发射电子，可以通过改变加速电压改变电子的初速度，励磁线圈通过改变电流改变所提供的匀强磁场的磁感应强度，关于实验现象，下列分析正确的是（　　） A．只增大电子加速电压，电子圆周运动的周期变小 B．为使电子顺时针做圆周运动，图中励磁线圈应该通以顺时针方向的电流 C．只增大励磁电流，电子运动的周期变小 D．只增大励磁电流，电子运动的半径变小 3．已知电子的质量，电荷量，若电子以的速率垂直进入磁感应强度的匀强磁场，求电子做圆周运动的半径。 考点03 带电粒子在磁场中的不同运动情况分析 一、带电粒子在直线边界磁场中的运动 1、带电粒子在直线边界磁场中的运动的两种情形 （1）直线边界 （2）平行边界 2、带电粒子在有界磁场中的常用几何关系 （1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。 （2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。 3、常见的解题思路 （1）圆心的确定 ①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹．确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。 ②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中。 垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。 ③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将。 其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线。 交于一点O，该点就是圆心。 （2）半径的确定 方法一：由物理方程求：半径r＝； 方法二：由几何方程求：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。 （3）时间的确定：由确定通过某段圆弧所用的时间，其中T为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角θ越大，所用时间越长。 二、带电粒子在弧形或圆形边界磁场中的运动 1、圆形边界：如图所示，带电粒子从某点沿圆形磁场的半径方向人射，从另一点射出磁场时速度的反向延长线过磁场的圆心，即沿径向射入必沿径向射出。 2、几个与角有关的物理量 如图所示，粒子做匀速圆周运动时，φ为粒子速度的偏向角，粒子与圆心的连线转过的角度α为回旋角（或圆心角），AB弦与切线的夹角θ为弦切角，它们的关系为φ=α=2θ，θ与相邻的弦切角θ'互补，即θ+θ'=180°。 3、如何确定“圆心角与时间” ①速度的偏向角φ=圆弧所对应的圆心角（回旋角）α=2倍的弦切角θ ②时间的计算方法． 方法一：由圆心角求，；方法二：由弧长求，。 【深化点拨】 带电粒子在有界磁场中运动情况分析：由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。 （1）两种思路 ①以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解。 ②直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。 （2）两种方法 物理方法：①利用临界条件求极值；②利用问题的边界条件求极值；③利用矢量图求极值。 数学方法：①利用三角函数求极值；②利用二次方程的判别式求极值；③利用不等式的性质求极值；④利用图象法等。 （3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。 1．如图所示，与轴的夹角为的直线将平面的第一象限分成两个区域、。区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，区域为真空。在时刻，一束质量为、电荷量为的粒子，以不同速率从点（0，a）沿轴正方向垂直磁场进入区域。不计粒子间的相互作用力和重力，则下列说法正确的是（　　） A．带电粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若粒子恰好垂直离开磁场，则其速度为 C．若粒子从轴离开第一象限，其速度的最小值是 D．若粒子恰好垂直轴离开第一象限，其在第一象限中运动的时间为 2．（多选）粒子物理研究领域利用磁场来辨别粒子的身份。一个圆形区域内有垂直于平面向外的匀强磁场，两个带电粒子a和b，以相同的速率从A点沿AO方向射入磁场，它们在磁场中的运动轨迹如图所示。不计重力、空气阻力和粒子间的作用力，下列说法正确的是（    ） A．a粒子带负电，b粒子带正电 B．a粒子带正电，b粒子带负电 C．a粒子的比荷较大 D．b粒子的比荷较大 3．如图所示，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，MN为磁场的下边界，现有一个质量为m，电荷量为+q的带电粒子以某一速度从MN上的O点垂直磁场射入，速度方向与边界MN的夹角，经过一段时间后从MN边界上的P点（未画出）射出磁场，已知OP之间的距离为a，不考虑带电粒子的重力，求： (1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径R； (2)带电粒子的入射速度的大小v； (3)带电粒子在磁场中运动的时间t。 带电粒子在匀强磁场中的运动的综合应用及解题步骤 1.安培力方向的精准判定：安培力方向是解决所有动态平衡和临界问题的前提，必须规范使用左手定则。 （1）定则应用：伸开左手，使大拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。 （2）推论（电流元法/等效法）： ①同向电流相互吸引，异向电流相互排斥。 ②不平行电流有转到平行且同向的趋势。 （3）解题注意：在三维空间图中，一定要将立体图转化为“正视剖面图”，明确磁场 B 、电流I与安培力F三者的两两垂直关系。 2.安培力大小的计算与等效长度：安培力公式 F=BIL 是计算的核心，需特别注意其成立条件和变形应用。 （1）适用条件：公式仅适用于匀强磁场，且导线必须与磁场垂直。 （2）等效长度（Leff）：对于弯曲导线，其在匀强磁场中受到的安培力，等效于连接导线两端点的直导线所受的力。 例如：半径为 RR 的半圆形导线，在垂直于导线平面的匀强磁场中，等效长度 Leff=2R，故 F=2BIR。 （3）闭合回路：闭合线圈在匀强磁场中受到的安培力合力恒为 0。 3.安培力作用下的动态平衡问题 解题步骤（受力分析法）： （1）明确研究对象：通常是可移动的导体棒。 （2）受力分析：画出重力 mg 、支持力/拉力 N/T、以及安培力 FA（方向由左手定则定，大小 FA=BIL）。 （3）建立方程：根据物体处于静止或匀速运动状态，列出平衡方程。 例如：水平导轨上 FA=f摩擦或FA=mgtanθ （倾斜导轨）。 （4）联立求解：将 FA=BIL代入，结合欧姆定律 I=E/R总求解未知量（如电阻、电压、质量等）。 4.变力做功与功能关系：当导体棒在安培力作用下做变速运动（如单杆在导轨上无初速滑动）时，安培力往往是变力。 （1）能量转化核心： 克服安培力做功 = 电路中产生的焦耳热（Q=W克安）。 机械能的减少量=产生的电能=最终的焦耳热。 （2）动量定理的应用： 当导体棒在磁场中受安培力减速停止或达到共速时，可利用动量定理：−FAΔt=mΔv。 由于，可推导出电荷量 与速度变化的关系。 角度01 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期 1．如图所示，纸面内的圆形磁场区域的圆心为O，半径为R，AN、BM分别是水平直径与竖直直径，圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场，圆的上方和右方存在范围足够大、垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力）从A点以水平向右的速度v0射入圆形磁场，然后从M点离开圆形磁场，经过一段时间后又从N点再次进入磁场，下列说法正确的是（　　） A．粒子在圆形磁场中的运动半径为 B．圆形磁场的磁感应强度大小为 C．粒子从A点运动到N点所用的时间为 D．粒子在磁场中运动的总时间为 2．（多选）如图所示，矩形虚线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。、、是三个质量和电荷量大小都相等的带电粒子，它们从边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法中正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子的动能最大 C．粒子在磁场中运动的时间最长 D．粒子在磁场中运动时的向心力最大 3．如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度；磁场右边是宽度、场强、方向向左的匀强电场。一带电粒子电荷量，质量，以的速度沿垂直射入磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出。不计粒子重力，求： (1)大致画出带电粒子的运动轨迹； (2)带电粒子在磁场中运动的轨道半径； (3)带电粒子飞出电场时的动能。 角度02 带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算 4．如图所示，在直角坐标系的 y 轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为 B ，磁场的宽度为d ，磁场方向垂直于xOy 平面向里。一个质量为 m 、 电荷量为－q（q>0）的带电粒子，从原点 O 射入磁场，速度方向与 x 轴正方向成 30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从 y 轴上的某点离开磁场。忽略粒子重力，关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是（     ） A．它的轨道半径为d B．它进入磁场时的速度为 C．它在磁场中运动的时间为 D．它的运动轨迹与 y 轴交点的纵坐标为3d 5．（多选）如图所示，等腰梯形abcd区域（包含边界）存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，边长，电子从a点沿着ad方向射入磁场中，电子的比荷为k，粒子仅在洛伦兹力作用下运动，为使粒子不能经过bc边，粒子的速度可能为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，在直角坐标系xOy中，第I象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在第I象限处水平放置着一足够长的荧光屏，荧光屏左端紧贴y轴上的A点。分布均匀的粒子群以相同的初速度v从y轴上O、A间沿与y轴负方向成45°角射入磁场区域，粒子的质量均为m、带电量均为。已知磁感应强度大小，粒子打到x轴或荧光屏上立即被吸收，不考虑荧光屏吸收粒子后产生的电场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径； (2)粒子打在荧光屏上离A点最远位置的横坐标。 角度03 带电粒子在直边界磁场中运动 7．如图所示，两根长直导线竖直插入粗糙绝缘水平桌面上的A、B两小孔中，CD虚线为AB连线的中垂线，O为A、B连线的中点，连线上a、b两点关于O点对称。导线中通有大小相等、方向相反的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度，式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离。一带正电的小滑块以初速度v0从a点出发在桌面上沿连线CD运动到b点。关于上述过程，下列说法正确的是（　　） A．小滑块做匀速直线运动 B．小滑块做匀加速直线运动 C．小滑块做匀减速直线运动 D．小滑块做曲线运动 8．（多选）在M、N两条长直导线所在的平面内，一带电粒子的运动轨迹示意图如图所示。已知两条导线M、N中只有一条导线中通有恒定电流，另一条导线中无电流，则电流方向和粒子带电情况及运动的方向可能是（　　） A．M中通有自下而上的恒定电流，带正电的粒子从a点向b点运动 B．M中通有自上而下的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动 C．N中通有自下而上的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动 D．N中通有自下而上的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动 角度04 带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动 9．如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，两个质量、电荷量绝对值相同的带电粒子a、b从A点沿着半径方向进入磁场，运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（     ） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a、b两粒子的速率相同 C．a、b两粒子的周期相同 D．a、b两粒子所受洛伦兹力大小相同 10．（多选）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，运动轨迹如图所示，其中AOa=90o，∠AOb=120°，∠AOc=150°。若带电粒子只受磁场力的作用。则下列说法正确的是（     ） A．三个粒子都带负电荷 B．b粒子的速率是a粒子的速率倍 C．c粒子在磁场中运动时间最长 D．三个粒子在磁场中运动的时间之比为3：2：1 11．坐标平面第一象限内存在如图所示的匀强磁场边界，其中为半圆弧，，，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，线段与圆弧相切。一质量为、电荷量为的带负电粒子从坐标原点以不同的初速度沿轴正方向射入磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子刚好打在点时对应的初速度； (2)粒子刚好打在点时，粒子在磁场中的运动时间； (3)若使粒子在磁场中运动的时间最长，求粒子的初速度范围。 角度05 根据粒子运动确定磁场区域的范围 12．如图，平面内有一个半径为的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，，，和边上分别有两个接收屏（接收屏的长度分别等于矩形区域的边长）。两个区域内均存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一群质量为，电荷量为的粒子均匀分布在宽为的区域内，紧邻且平行于边以速度进入圆形区域。不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法不正确的是（     ） A．进入矩形区域的粒子在矩形磁场中运动的最长时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为 C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到屏上的粒子数与打到屏上的粒子数的比例为 13．（多选）一质量为m、电量为q的带电粒子以速度从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域存在磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电荷 B．带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60° C．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 14．如图所示，一圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。一带电粒子从图中点以速度沿直径方向射入磁场，经磁场偏转后从点射出磁场。若PQ之间间距为d，忽略粒子的重力，已知，。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子在磁场中运动时间； (3)若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从点射入，仍从点射出，则圆形磁场的最小面积为？ 角度06 临界状态的不唯一形成多解 15．如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为的带电粒子从D点以速度v平行于BC边方向入射磁场，不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子可能从B点射出 B．若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D．所有从AB边射出的粒子，出射位置离D点越远，其在磁场中运动的时间越长 16．（多选）如图所示，直角三角形MNP区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源可沿平行于PN方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用，不计正、负电子的重力。下列说法正确的是（     ） A．不可能有正电子从M点射出磁场 B．负电子从D点离开磁场时的速度大小为 C．从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为 D．正电子在磁场中运动的最长时间为 17．如图所示的xOy平面内，x<0的区域内有竖直向上的匀强电场；在0<x≤4L区域内，处于第一象限的匀强磁场，磁感应强度为B1（未知）；处于第四象限的匀强磁场，磁感应强度为B2（未知），大小关系为B2=4B1，磁场方向均垂直于纸面向外。一质量为m、带电荷量为+q的粒子，在t=0时刻，从P点x=-2L，y=-L以速度v0沿x轴正向水平射出，恰好从坐标原点进入第一象限，最终垂直于磁场右边界离开磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子进入磁场时的速度； (2)若粒子通过坐标原点后仅在第一象限中运动便离开磁场，粒子在磁场中运动的时间； (3)磁感应强度B1的可能取值。 角度07 带电粒子在矩形边界磁场中的运动 18．如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（     ） A．若粒子恰好从d点射出磁场，则粒子的速度 B．若粒子恰好从c点射出磁场则粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子入射的初速度越大，在磁场中运动的时间越长 D．若粒子从bc边（不包含b，c两点）射出磁场，粒子的速度范围 < 19．（多选）长为l的水平极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，两极板不带电。现有质量为m、电荷量为+q的带电粒子（不计重力），从极板左边两板间中点处垂直于磁感线以速度v水平射入磁场。欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（     ） A．使粒子的速度 B．使粒子的速度 C．使粒子的速度 D．使粒子的速度 20．如图所示，一质量为、带电荷量为的粒子以速度垂直射入一有界匀强磁场区域内，速度方向跟磁场左边界垂直，从右边界离开磁场时速度方向偏转角，磁场区域的宽度为，求： (1)判断带电粒子的电性和带电粒子在磁场中做圆周运动的半径； (2)磁感应强度的大小； (3)粒子在磁场中运动的时间。 角度08 动态圆模型 21．如图所示，xOy区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点以大小为v的速度射入磁场区域，从N点射出。已知，，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径大小为3a C．若仅减小磁感应强度，则粒子将从N点下方射出 D．若入射速度大小为，粒子仍能从y轴上ON之间射出 22．（多选）如图所示，在竖直平面内的xoy直角坐标系中，y轴右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第四象限内有垂直于x轴的无限长探测薄板PQ，其与y轴距离，左右两表面均能接收粒子。位于原点O处的粒子源，沿坐标平面内向磁场区域各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速率均为v，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，粒子撞击薄板后不再反弹。则（     ） A．粒子在磁场中运动的最短时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．薄板左表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板右表面接收到粒子的区域长度为 23．如图所示，在平面直角坐标系的轴上方存在着垂直平面向里磁感应强度大小为的匀强磁场。现由轴上点处平行于轴射入速度为，质量为、电荷量为的粒子，恰从点出磁场，点和点到的距离相等，且，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度； (2)若粒子在平面内，由点以与轴负半轴角的方向入射，速度大小不变，则粒子射出磁场时的位置坐标； (3)若粒子在平面内，由点以某一方向入射，速度大小不变，恰好与轴上的交点距离点最远，则粒子在磁场中运动的时间。 【例1】（2026·河南·高考真题）如图，间距为的两虚线、间存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，虚线上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子在纸面内垂直于虚线从点射入磁场，一段时间后又从点射出磁场。已知该粒子在下方磁场中运动的圆轨迹半径为，不计重力，则上、下磁场的磁感应强度大小之比为（     ） A． B． C． D． 【深化点拨】 （1）考查带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹分析，能结合磁场边界条件画出粒子运动轨迹。 （2）考查洛伦兹力提供向心力的规律，理解磁感应强度和轨迹半径之间的对应关系。 （3）考查几何关系与运动对称性的应用，利用轨迹对称找到上下两段圆弧的半径联系。 （4）考查磁场方向改变时洛伦兹力方向的判断，区分粒子在两个反向磁场中的偏转方向。 【变式1-1】（2026·广西·高考真题）如图，在以坐标原点为圆心、半径为的圆形区域内，存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从点沿轴正方向射入，从点射出，出射方向与轴正方向夹角为。已知粒子电荷量为，质量为，不计重力。该粒子（     ） A．带正电荷 B．从到的运动轨迹是抛物线 C．射入磁场时的速率为 D．从到的运动时间 【变式1-2】（2026·广东·高考真题）（多选）如图是一种长方体电子磁谱仪结构示意图，磁谱仪内存在磁感应强度大小为、方向垂直底面向上的匀强磁场，磁场区域长为、宽为。电子束中有三个电子通过准直器后垂直左侧面沿边缘进入磁场，偏转后分别到达磁谱仪三个侧面，与边缘的距离分别为、和，电子电荷量为、质量为，不考虑相对论效应，下列说法正确的有（     ） A．电子1的动能比电子3的大 B．电子1在磁场中的运动时间为 C．电子2的动能为 D．电子3的动量大小为 【变式1-3】（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 ⚡基础速刷 1．平面内存在垂直平面向外的匀强磁场，一质子垂直磁场射入，不计空气阻力。如图所示，则质子偏转的轨迹可能是（     ） A． B． C． D． 2．2025年，我国自主研制的“人造太阳”装置实现1亿摄氏度1000秒运行，为可控核聚变研究提供重要数据。在托卡马克装置中，强磁场用于约束等离子体。下列说法正确的是（　　） A．磁场对运动的带电粒子不做功，因此无法约束等离子体 B．洛伦兹力使带电粒子在垂直于磁场方向发生偏转，形成约束 C．等离子体中只有正离子受洛伦兹力作用 D．磁场越强，带电粒子的回旋半径越大 3．如图所示，空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界，一束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹不一定相同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹不一定相同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越小 4．（多选）我国“人造太阳”——托卡马克装置预计在2030年核聚变演示发电点亮第一盏灯，其内部产生的强磁场将带电粒子约束在特定区域实现受控核聚变。其中沿管道方向的磁场分布如图所示，越靠管的右侧磁场越强，则速度平行于纸面的带电粒子在该磁场中运动时（不计带电粒子重力），下列说法正确的是（　　） A．带负电粒子在磁场中应沿顺时针方向运动 B．带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小 C．带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时，磁场可能对其做功 D．带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时，洛伦兹力大小不变 5．（多选）如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为。下列判断正确的有（　　） A．电子轨迹所对圆心角为 B．电子的轨迹半径为 C．电子的比荷为 D．电子穿越磁场的时间为 6．如图所示，一带正电粒子，从a点以垂直磁场方向的速度进入磁感应强度为B的匀强磁场，沿着半圆acb运动，从b处飞出磁场，已测得半圆直径ab长度为L。求：带电粒子比荷的数值？ 🚀能力跃升 7．如图所示，在真空环境中，有一条载有恒定电流的长直导线，电流方向竖直向下，初速度为的电子从直导线右侧竖直向上运动，不考虑地磁场影响，电子重力忽略不计，下列说法正确的是（     ） A．接下来电子将向右偏转，运动的半径逐渐变大 B．接下来电子将向左偏转，运动的半径逐渐变小 C．接下来电子将向左偏转，运动的半径逐渐变大 D．接下来电子将向右偏转，运动的半径逐渐变小 8．如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场。一带电粒子从轴上的点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角=60°。粒子经过磁场偏转后在点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知，粒子电荷量为，质量为，重力不计，则（　　） A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中的轨道半径为a D．粒子从M到N的时间为 9．两个比荷相等的带电粒子、，以不同的速率、对准圆心沿着方向射入圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为、，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子射入磁场中的速率 C．粒子在磁场中的运动时间 D．若将磁感应强度变为原来的倍，粒子在磁场中运动的时间将变为原来的 10．（多选）如图所示质量和电量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔垂直进入匀强磁场，带电粒子仅受洛伦兹力的作用，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是（     ） A．M带正电，N带负电 B．M的速率大于N的速率 C．洛伦兹力对M、N做正功 D．M、N在磁场中的运动时间相等 11．（多选）如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（     ） A．若粒子恰好从点射出磁场，则粒子的速度 B．若粒子从cb边射出磁场，则粒子的速度 C．若粒子的速度，则粒子出射时速度方向与轴正方向夹角的正弦值为 D．若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是 12．如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 (1)求粒子射入磁场的速度大小。 (2)在磁场中运动的时间。 🌟思维挑战 13．如图所示，真空中圆形区域内有垂直圆面向外的匀强磁场，是圆的一条直径，一个带正电的粒子从点射入圆形区域，当速度方向与的夹角为，速度大小为时，粒子从点射出，粒子在磁场中的运动时间为；当速度方向与的夹角为速度大小为时，粒子从某点射出，速度方向改变了，粒子在磁场中的运动时间为，下列关于与关系的说法正确的是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在边长为的正三角形区域内，存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。一束速率不同的电子从边的中点沿平行于方向射入磁场，已知粒子在三角形磁场边界仍受到洛伦兹力作用，电子的质量为、电荷量为，则下列说法正确的是（　　） A．从点飞出的电子在磁场中运动的时间为 B．电子在磁场中运动的最长时间为 C．边有电子飞出的区域长度为 D．边有电子飞出的区域长度为 15．（多选）如图所示，一半径为的圆形边界内部（不含其边界）存在一磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。磁场边界最低点点处有一个粒子源，该粒子源向磁场区域内同一时刻向各个方向均匀发射大量速度大小不等，质量均为、电荷量均为的同种带电粒子，然后立即停止发射，粒子的速度范围是。这些粒子射出磁场时的位置均分布在点右侧圆弧上，已知圆弧弧长为圆周长的。忽略粒子间的相互作用，不计重力。下列说法正确的是（     ） A．粒子带正电 B．粒子运动的最大速度 C．在磁场中有带电粒子出现的区域面积为 D．磁场边界上另有一点，从点射出的粒子运动时间最长为 16．（多选）如图所示，纸面内有直角坐标系。匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度的大小为。现有一个位于点的放射源，能从点向纸面内各个方向射出速度大小均为的带正电粒子。若在与轴距离为处放一足够长且平行于轴的感光棒，粒子打在上面即被吸收。已知粒子的比荷，则下列说法中正确的是（     ） A．粒子击中感光棒的最小圆心角为 B．粒子在轴上方区域击中感光棒的最远点坐标为 C．粒子在轴下方区域击中感光棒的最远点所用时间为 D．粒子击中感光棒的长度为 17．如图所示，中央开有小孔的挡板垂直纸面放置，纸面内建有一直角坐标系，坐标系以挡板上的小孔为原点、且轴与挡板平面重合。轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，若大量电子经某装置加速后，向上穿过挡板上小孔时的速度大小均为，方向关于轴对称、且发散角为，所有电子均在平面内运动：已知电子电荷量为，质量为，不计电子间相互作用及重力的影响。求： (1)若阴极通电后释放出的自由电子初速度近似为零，则上述加速装置的加速电压应为多大？ (2)若电子进入磁场后，打在挡板上的落点长度为△，该匀强磁场的磁感应强度为多大？ (3)现在轴正半轴上放置一长度为的电子收集板，收集板右端的横坐标恰为。当匀强磁场的磁感应强度为时，沿轴正方向穿过小孔的电子（速度大小为恰好打在收集板的右端。现有一批总数为个电子以速度向上穿过小孔，其发散角，且假设电子打到轴上时的落点正好均匀分布。求 若所有电子均未打到电子收集板上，则磁感应强度应满足什么条件（用表示）； 若磁感应强度的取值范围为，试写出电子收集板收集到的电子数与应满足的关系式（用、、、表示）. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1.3节 带电粒子在匀强磁场中的运动 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 带电粒子在匀强磁场中的运动 考点02 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 考点03 带电粒子在磁场中的不同运动情况分析 03 避坑指南·解题通法 角度01 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期 角度02 带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算 角度03 带电粒子在直边界磁场中运动 角度04 带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动 角度05 根据粒子运动确定磁场区域的范围 角度06 临界状态的不唯一形成多解 角度07 带电粒子在矩形边界磁场中的运动 角度08 动态圆模型 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.理解带电粒子沿不同方向进入匀强磁场时的运动情况，知道洛伦兹力提供圆周运动向心力。 2.推导并掌握轨道半径、周期公式，理解公式中各物理量的含义。 3.会结合几何关系确定粒子轨迹的圆心、半径，求解粒子运动时间。 4.能分析有界磁场中带电粒子运动的简单临界问题。 1.找圆心常用两条思路：速度垂线、弦的中垂线，画出粒子运动轨迹。 2.区分公式：轨道半径与速度有关，周期和粒子运动速度无关。 3.粒子运动时间利用圆心角占圆周的比例进行计算。 4.重视几何图形分析，把磁场边界条件转化为边角关系。 知识导图 考点01 带电粒子在匀强磁场中的运动 1、带电粒子在匀强磁场中的运动 （1）若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0。 （2）若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动，此时带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。 （3）若带电粒子入射的速度方向与匀强磁场有一夹角θ(0°<θ<90°)时，粒子的速度可分解为垂直于磁场方向的速度v1和平行于磁场方向的速度v2,在垂直于磁场方向以速度v1做匀速圆周运动、在平行于磁场方向以速度v2做匀速直线运动,运动轨迹为螺旋线。 2、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动的分析方法。 【深化点拨】 1．带电粒子在匀强磁场中的运动，当v⊥B时 （1）洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。 （2）带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 2．带电粒子在匀强磁场中的运动，当v∥B时： （1）F=qvBsinθ，当θ=0°或θ=180°时，F=0。 （2）粒子所受洛伦兹力为零,所以粒子将以速度v做匀速直线运动。 1．有三束粒子，分别是质子、氚核和氦核，如果它们均以相同的速度垂直射入匀强磁场（磁场方向垂直于纸面向里），图中能正确表示这三束粒子的运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得粒子轨道半径 由此可知半径与荷质比成反比，因三束粒子中质子的荷质比最大，氚核的最小，故质子的半径最小，氚核的半径最大。 故选C。 2．（多选）一个电子（不计重力，质量m，电荷量e）以速度垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，则（　　） A．电子在图示时刻受到垂直向上的洛伦兹力 B．电子在磁场中做的是变速运动 C．电子的速度始终不变 D．电子的动能始终不变 【答案】BD 【详解】A．由左手定则可知，电子在图示时刻受到垂直向下的洛伦兹力，故A错误； BC．电子在磁场中做的是匀速圆周运动，速度方向时刻在改变，故电子在磁场中做的是变速运动，故B正确，C错误； D．电子在磁场中做的是匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，洛伦兹力不做功，故电子的速度大小不变，根据可知，电子的动能始终不变，故D正确。 故选BD。 考点02 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径：由qvB＝m，可得r＝。 2、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期：由r＝和T＝，可得T＝，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关。 3、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的圆心确定：圆心位置的确定通常有以下两种基本方法 （1）已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． （2）已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 4、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径确定：半径的计算一般利用几何知识解直角三角形，做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解。 5、粒子在匀强磁场中运动时间的确定 （1）粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)。 确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角。 （2）当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长。 【深化点拨】 1．带电粒子（或微粒）在非匀强磁场中的运动 （1）当粒子在非匀强磁场中运动时，半径公式r＝和周期公式T＝不再适用，但可以用来定性分析随着磁场的变化，半径和周期的变化情况。 （2）虽然非匀强磁场中r＝与T＝不再适用，但仍可以用来定性分析粒子的半径与周期的变化。 2．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期公式推导：（v⊥B） 。 1．如图所示，一电荷量为q、质量为m的负电荷以速度v射入匀强磁场中，粒子与水平方向的夹角为，已知匀强磁场的方向为垂直纸面向里，磁感应强度为B，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动 B．粒子所受的洛伦兹力的大小f＝qvBcos C．粒子做匀速圆周运动的半径 D．粒子做匀速圆周运动的周期 【答案】D 【详解】A．根据左手定则可知，图中粒子所受洛伦兹力垂直速度方向向下，故粒子沿顺时针方向做匀速圆周运动，故A错误； B．粒子速度方向与磁场垂直，故粒子所受的洛伦兹力的大小，故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力有 解得，故C错误； D．粒子做匀速圆周运动的周期，故D正确。 故选D。 2．（多选）如图所示是洛伦兹力演示仪示意图，电子枪向左发射电子，可以通过改变加速电压改变电子的初速度，励磁线圈通过改变电流改变所提供的匀强磁场的磁感应强度，关于实验现象，下列分析正确的是（　　） A．只增大电子加速电压，电子圆周运动的周期变小 B．为使电子顺时针做圆周运动，图中励磁线圈应该通以顺时针方向的电流 C．只增大励磁电流，电子运动的周期变小 D．只增大励磁电流，电子运动的半径变小 【答案】BCD 【详解】AC．电子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式为，该公式表明周期与电子的速度（或加速电压）无关，只与电子的比荷和磁感应强度B有关。因此，只增大电子加速电压，周期不变；只增大励磁电流，磁感应强度B增大，电子运动的周期变小，故A错误，C正确； B．电子向左运动，要使其做顺时针圆周运动，根据左手定则（电子带负电，四指指向运动的反方向，即向右），洛伦兹力需指向圆心。此时磁场方向应垂直纸面向里。根据安培定则（右手螺旋定则），励磁线圈产生向里的磁场时，线圈中的电流应为顺时针。故B正确； D．电子在磁场中运动的半径公式为，只增大励磁电流，磁感应强度B增大，电子运动的半径将变小，故D正确。 故选BCD。 3．已知电子的质量，电荷量，若电子以的速率垂直进入磁感应强度的匀强磁场，求电子做圆周运动的半径。 【详解】根据 可得半径公式 代入数据得 考点03 带电粒子在磁场中的不同运动情况分析 一、带电粒子在直线边界磁场中的运动 1、带电粒子在直线边界磁场中的运动的两种情形 （1）直线边界 （2）平行边界 2、带电粒子在有界磁场中的常用几何关系 （1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。 （2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。 3、常见的解题思路 （1）圆心的确定 ①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹．确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。 ②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中。 垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。 ③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将。 其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线。 交于一点O，该点就是圆心。 （2）半径的确定 方法一：由物理方程求：半径r＝； 方法二：由几何方程求：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。 （3）时间的确定：由确定通过某段圆弧所用的时间，其中T为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角θ越大，所用时间越长。 二、带电粒子在弧形或圆形边界磁场中的运动 1、圆形边界：如图所示，带电粒子从某点沿圆形磁场的半径方向人射，从另一点射出磁场时速度的反向延长线过磁场的圆心，即沿径向射入必沿径向射出。 2、几个与角有关的物理量 如图所示，粒子做匀速圆周运动时，φ为粒子速度的偏向角，粒子与圆心的连线转过的角度α为回旋角（或圆心角），AB弦与切线的夹角θ为弦切角，它们的关系为φ=α=2θ，θ与相邻的弦切角θ'互补，即θ+θ'=180°。 3、如何确定“圆心角与时间” ①速度的偏向角φ=圆弧所对应的圆心角（回旋角）α=2倍的弦切角θ ②时间的计算方法． 方法一：由圆心角求，；方法二：由弧长求，。 【深化点拨】 带电粒子在有界磁场中运动情况分析：由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。 （1）两种思路 ①以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解。 ②直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。 （2）两种方法 物理方法：①利用临界条件求极值；②利用问题的边界条件求极值；③利用矢量图求极值。 数学方法：①利用三角函数求极值；②利用二次方程的判别式求极值；③利用不等式的性质求极值；④利用图象法等。 （3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。 1．如图所示，与轴的夹角为的直线将平面的第一象限分成两个区域、。区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，区域为真空。在时刻，一束质量为、电荷量为的粒子，以不同速率从点（0，a）沿轴正方向垂直磁场进入区域。不计粒子间的相互作用力和重力，则下列说法正确的是（　　） A．带电粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若粒子恰好垂直离开磁场，则其速度为 C．若粒子从轴离开第一象限，其速度的最小值是 D．若粒子恰好垂直轴离开第一象限，其在第一象限中运动的时间为 【答案】D 【详解】A．当粒子由y轴离开磁场时，时间最长为半个周期即，A错误； B．若粒子垂直于PO离开磁场，其半径为，由 得，B错误； C．若粒子轨迹恰与PO相切时，轨迹半径为，有 则，故最小速度为，C错误； D．粒子垂直轴离开磁场，半径为，有 在磁场中转过角，则运动时间 匀速运动时间 故在第一象限内运动时间为，D正确。 故选D。 2．（多选）粒子物理研究领域利用磁场来辨别粒子的身份。一个圆形区域内有垂直于平面向外的匀强磁场，两个带电粒子a和b，以相同的速率从A点沿AO方向射入磁场，它们在磁场中的运动轨迹如图所示。不计重力、空气阻力和粒子间的作用力，下列说法正确的是（    ） A．a粒子带负电，b粒子带正电 B．a粒子带正电，b粒子带负电 C．a粒子的比荷较大 D．b粒子的比荷较大 【答案】BC 【详解】AB．由题可知，两粒子以相同的速率从A点沿AO方向射入磁场，a粒子向下偏，b粒子向上偏，磁场垂直纸面向外，根据左手定则，可知a粒子带正电，b粒子带负电，故A错误，B正确； CD．两粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 由图可知，a粒子的偏转半径更小， 故a粒子的比荷较大，故C正确，D错误。 故选BC。 3．如图所示，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，MN为磁场的下边界，现有一个质量为m，电荷量为+q的带电粒子以某一速度从MN上的O点垂直磁场射入，速度方向与边界MN的夹角，经过一段时间后从MN边界上的P点（未画出）射出磁场，已知OP之间的距离为a，不考虑带电粒子的重力，求： (1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径R； (2)带电粒子的入射速度的大小v； (3)带电粒子在磁场中运动的时间t。 【详解】（1）带电粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系有 解得 （2）根据洛伦兹力提供向心力有 又 解得 （3）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动扫过的圆心角为 带电粒子在磁场中运动的时间 其中 解得 带电粒子在匀强磁场中的运动的综合应用及解题步骤 1.安培力方向的精准判定：安培力方向是解决所有动态平衡和临界问题的前提，必须规范使用左手定则。 （1）定则应用：伸开左手，使大拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。 （2）推论（电流元法/等效法）： ①同向电流相互吸引，异向电流相互排斥。 ②不平行电流有转到平行且同向的趋势。 （3）解题注意：在三维空间图中，一定要将立体图转化为“正视剖面图”，明确磁场 B 、电流I与安培力F三者的两两垂直关系。 2.安培力大小的计算与等效长度：安培力公式 F=BIL 是计算的核心，需特别注意其成立条件和变形应用。 （1）适用条件：公式仅适用于匀强磁场，且导线必须与磁场垂直。 （2）等效长度（Leff）：对于弯曲导线，其在匀强磁场中受到的安培力，等效于连接导线两端点的直导线所受的力。 例如：半径为 RR 的半圆形导线，在垂直于导线平面的匀强磁场中，等效长度 Leff=2R，故 F=2BIR。 （3）闭合回路：闭合线圈在匀强磁场中受到的安培力合力恒为 0。 3.安培力作用下的动态平衡问题 解题步骤（受力分析法）： （1）明确研究对象：通常是可移动的导体棒。 （2）受力分析：画出重力 mg 、支持力/拉力 N/T、以及安培力 FA（方向由左手定则定，大小 FA=BIL）。 （3）建立方程：根据物体处于静止或匀速运动状态，列出平衡方程。 例如：水平导轨上 FA=f摩擦或FA=mgtanθ （倾斜导轨）。 （4）联立求解：将 FA=BIL代入，结合欧姆定律 I=E/R总求解未知量（如电阻、电压、质量等）。 4.变力做功与功能关系：当导体棒在安培力作用下做变速运动（如单杆在导轨上无初速滑动）时，安培力往往是变力。 （1）能量转化核心： 克服安培力做功 = 电路中产生的焦耳热（Q=W克安）。 机械能的减少量=产生的电能=最终的焦耳热。 （2）动量定理的应用： 当导体棒在磁场中受安培力减速停止或达到共速时，可利用动量定理：−FAΔt=mΔv。 由于，可推导出电荷量 与速度变化的关系。 角度01 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期 1．如图所示，纸面内的圆形磁场区域的圆心为O，半径为R，AN、BM分别是水平直径与竖直直径，圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场，圆的上方和右方存在范围足够大、垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力）从A点以水平向右的速度v0射入圆形磁场，然后从M点离开圆形磁场，经过一段时间后又从N点再次进入磁场，下列说法正确的是（　　） A．粒子在圆形磁场中的运动半径为 B．圆形磁场的磁感应强度大小为 C．粒子从A点运动到N点所用的时间为 D．粒子在磁场中运动的总时间为 【答案】D 【详解】A．从A点以水平向右的速度v0射入圆形磁场，然后从M点离开圆形磁场，由几何知识可知在圆形磁场内恰好运动个圆，运动的半径为，故A错误； B．在圆形磁场内运动时有 解得，故B错误； C．由几何知识可知在圆形磁场区域外运动的半径为，恰好运动了个圆，粒子从A点运动到N点相当于运动了一个整圆，所用的时间为，故C错误； D．从N点进入圆形磁场后，会从B点离开磁场，相当于运动了个圆，对应的时间为，故D正确。 故选D。 2．（多选）如图所示，矩形虚线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。、、是三个质量和电荷量大小都相等的带电粒子，它们从边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法中正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子的动能最大 C．粒子在磁场中运动的时间最长 D．粒子在磁场中运动时的向心力最大 【答案】ACD 【详解】A．分析粒子a的轨迹，由左手定则可知粒子a带正电，故A正确； BD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力： 解得轨迹半径 由于三粒子的比荷（）相同，且所处磁场B相同，则速度v与半径R成正比。由图可知 则速度 根据动能公式 可知粒子b的动能最大；根据向心力公式F=qvB 可知粒子b受到的向心力最大，故B错误，D正确； C．粒子在磁场中运动的周期均相同。运动时间（为圆心角） 由图可知，粒子c运动轨迹对应的圆心角最大，故粒子c在磁场中运动的时间最长，故C正确。 故选ACD。 3．如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度；磁场右边是宽度、场强、方向向左的匀强电场。一带电粒子电荷量，质量，以的速度沿垂直射入磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出。不计粒子重力，求： (1)大致画出带电粒子的运动轨迹； (2)带电粒子在磁场中运动的轨道半径； (3)带电粒子飞出电场时的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）磁场方向垂直纸面向里，负电荷所受洛伦兹力初始方向向下，故粒子在磁场中沿向下弯曲的圆弧运动。粒子进入电场后所受电场力方向向右，沿竖直方向的速度分量不变，沿水平方向的速度增大，轨迹逐渐向右弯曲。 （2）洛伦兹力提供向心力，有 解得 （3）粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，进入电场后所受电场力方向向右，电场力做正功。 由动能定理得 代入数据得 角度02 带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算 4．如图所示，在直角坐标系的 y 轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为 B ，磁场的宽度为d ，磁场方向垂直于xOy 平面向里。一个质量为 m 、 电荷量为－q（q>0）的带电粒子，从原点 O 射入磁场，速度方向与 x 轴正方向成 30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从 y 轴上的某点离开磁场。忽略粒子重力，关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是（     ） A．它的轨道半径为d B．它进入磁场时的速度为 C．它在磁场中运动的时间为 D．它的运动轨迹与 y 轴交点的纵坐标为3d 【答案】B 【详解】粒子运动轨迹如图所示 A．由几何知识得，可得粒子运动轨道半径为，故A错误； B．由，可得粒子进入磁场时的速度为，故B正确； C．带电粒子在磁场中运动周期 由几何关系知粒子在磁场中运动的时间，可得粒子在磁场中运动的时间为，故C错误； D．粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为，故D错误。 故选B。 5．（多选）如图所示，等腰梯形abcd区域（包含边界）存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，边长，电子从a点沿着ad方向射入磁场中，电子的比荷为k，粒子仅在洛伦兹力作用下运动，为使粒子不能经过bc边，粒子的速度可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】为使粒子不能经过bc边，则粒子可以从ab边或cd边出磁场，其临界点为b、c，由几何关系可知，如图所示 当粒子过b点时，其做圆周运动的圆心在点，根据几何关系可知 解得 则为使粒子从ab边出磁场，其运动半径应小于，由洛伦兹力提供向心力 解得 当粒子过c点时，其做圆周运动的圆心在点，根据几何关系可知 为使粒子从cd边出磁场，其运动半径应大于，由洛伦兹力提供向心力 解得 为满足要求，粒子的速度范围为或。 故选CD。 6．如图所示，在直角坐标系xOy中，第I象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在第I象限处水平放置着一足够长的荧光屏，荧光屏左端紧贴y轴上的A点。分布均匀的粒子群以相同的初速度v从y轴上O、A间沿与y轴负方向成45°角射入磁场区域，粒子的质量均为m、带电量均为。已知磁感应强度大小，粒子打到x轴或荧光屏上立即被吸收，不考虑荧光屏吸收粒子后产生的电场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径； (2)粒子打在荧光屏上离A点最远位置的横坐标。 【详解】（1）根据公式 ，解得 （2）显然，由于每个粒子的圆周运动半径相同，故当粒子垂直打在荧光屏上时离A点最远。 此时粒子的运动路径圆心在荧光屏上，由几何关系可得 角度03 带电粒子在直边界磁场中运动 7．如图所示，两根长直导线竖直插入粗糙绝缘水平桌面上的A、B两小孔中，CD虚线为AB连线的中垂线，O为A、B连线的中点，连线上a、b两点关于O点对称。导线中通有大小相等、方向相反的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度，式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离。一带正电的小滑块以初速度v0从a点出发在桌面上沿连线CD运动到b点。关于上述过程，下列说法正确的是（　　） A．小滑块做匀速直线运动 B．小滑块做匀加速直线运动 C．小滑块做匀减速直线运动 D．小滑块做曲线运动 【答案】C 【详解】根据右手螺旋定则，结合磁场的合成可知C、D之间的磁场方向沿CD向里，磁感应强度大小先增大后减小，根据左手定则可知，带正电的小滑块以初速度从a点出发在桌面上沿连线CD运动到b点过程中，带正电的小滑块不受洛伦兹力，沿CD方向只受到滑动摩擦力作用，方向沿DC向外，滑动摩擦力不变，根据牛顿第二定律可知小滑块的加速度不变，所以小滑块做匀减速直线运动。 故选C。 8．（多选）在M、N两条长直导线所在的平面内，一带电粒子的运动轨迹示意图如图所示。已知两条导线M、N中只有一条导线中通有恒定电流，另一条导线中无电流，则电流方向和粒子带电情况及运动的方向可能是（　　） A．M中通有自下而上的恒定电流，带正电的粒子从a点向b点运动 B．M中通有自上而下的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动 C．N中通有自下而上的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动 D．N中通有自下而上的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动 【答案】AB 【详解】CD．注意观察题图的细节，靠近导线M处，粒子的偏转程度大，说明靠近M处偏转的半径小。洛伦兹力提供粒子偏转的向心力 qvB＝m 圆周运动的半径 粒子速率不变，偏转半径变小，说明B变强，又靠近通电直导线的地方磁场强，故只有M中通有电流，故CD错误； AB．当M中通有向上的电流时，利用右手螺旋定则可知，在M、N中间区域的磁场垂直纸面向里，根据曲线运动的特点，合外力指向弧内，则洛伦兹力指向右侧，根据左手定则可判断，带正电的粒子从a点向b点运动，故A正确，同理可知B正确。 故选AB。 角度04 带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动 9．如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，两个质量、电荷量绝对值相同的带电粒子a、b从A点沿着半径方向进入磁场，运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（     ） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a、b两粒子的速率相同 C．a、b两粒子的周期相同 D．a、b两粒子所受洛伦兹力大小相同 【答案】C 【详解】A．根据题意，由左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误； BC．根据题意，由牛顿第二定律有， 解得， 两个带电粒子质量相等，电荷量绝对值相同，由图可知，粒子轨迹半径较大，则粒子速率较大，两粒子的周期相同，故B错误，C正确； D．粒子所受洛伦兹力 由于粒子速率较大，则粒子所受洛伦兹力较大，故D错误。 故选C。 10．（多选）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，运动轨迹如图所示，其中AOa=90o，∠AOb=120°，∠AOc=150°。若带电粒子只受磁场力的作用。则下列说法正确的是（     ） A．三个粒子都带负电荷 B．b粒子的速率是a粒子的速率倍 C．c粒子在磁场中运动时间最长 D．三个粒子在磁场中运动的时间之比为3：2：1 【答案】BD 【详解】A．若带正电，向右运动时在纸面向里的磁场中所受洛伦兹力向上；若带负电，受力向下。图中三条轨迹均向上弯曲，故三粒子均带正电荷，故A错误； B．设圆形区域半径为，某粒子的轨道半径为，其出射点与的夹角为。由洛伦兹力提供向心力，有 整理得 由几何关系，粒子轨道对应的圆心角为，公共弦满足 整理得 故，，由 可知，故B正确； CD．三条轨迹的圆心角分别为、、，同一磁场中角速度相同，故 从而 粒子运动时间最短，故C错误，D正确。 故选BD。 11．坐标平面第一象限内存在如图所示的匀强磁场边界，其中为半圆弧，，，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，线段与圆弧相切。一质量为、电荷量为的带负电粒子从坐标原点以不同的初速度沿轴正方向射入磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子刚好打在点时对应的初速度； (2)粒子刚好打在点时，粒子在磁场中的运动时间； (3)若使粒子在磁场中运动的时间最长，求粒子的初速度范围。 【详解】（1）粒子刚好打在点时，由几何关系知，点为粒子在磁场中做匀速圆周运动对应的圆心，如图所示，则此时粒子的轨迹半径为 由 解得 （2）由（1）知，粒子刚好打在点时的运动周期为 由几何关系得，此时在磁场中运动的偏转角为 则此时在磁场中的运动时间 （3）若要使粒子运动的时间最长，则粒子要打在段或点右侧 若粒子打在点，此时粒子的轨迹半径 由 得 若粒子打在点，此时粒子的轨迹半径 由 得 则粒子的速度范围为或 即或 角度05 根据粒子运动确定磁场区域的范围 12．如图，平面内有一个半径为的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，，，和边上分别有两个接收屏（接收屏的长度分别等于矩形区域的边长）。两个区域内均存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一群质量为，电荷量为的粒子均匀分布在宽为的区域内，紧邻且平行于边以速度进入圆形区域。不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法不正确的是（     ） A．进入矩形区域的粒子在矩形磁场中运动的最长时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为 C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到屏上的粒子数与打到屏上的粒子数的比例为 【答案】B 【详解】AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力 其中 解得， 由于粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域的半径，则粒子入射点、出射点、磁场圆形区域的圆心与轨迹圆的圆心四点构成的四边形为菱形，则所有粒子经过圆形磁场均可由切点O进入矩形磁场内部，根据几何关系可知，粒子在矩形磁场中的轨迹最长为四分之一圆弧（如图2所示），则运动时间为，故A正确，B错误； C．由于粒子平行射入圆形磁场，根据圆形磁场区域的磁汇聚规律，再结合几何关系可知，沿平行于da边方向从圆形磁场最上端射入的粒子打在c点，此时为最远路径，如图1所示，则粒子在磁场中所经过的面积为一个圆心角为90°的扇形和一个正方形的面积之和，解得，故C正确； D．如图2所示，打到c点的粒子速度方向与ad边垂直，是由f点射入的粒子。故打在bc边的粒子占进入矩形区域内粒子个数比。假设从e点射入的粒子正好打在d点，由于粒子半径与Od的长度相等，该方向的粒子的圆心角为 由图可知ef为打到cd边的粒子分布，此时入射点和圆形磁场的圆心连线与水平方向的夹角为30°。则打在cd边上的粒子占进入矩形区域内粒子个数比为 则打到cd屏上的粒子数与打到bc屏上的粒子数的比例为，故D正确。 本题选择不正确的，故选B。 13．（多选）一质量为m、电量为q的带电粒子以速度从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域存在磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电荷 B．带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60° C．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 【答案】BCD 【详解】A．磁场方向垂直于纸面向外，粒子在磁场中顺时针偏转，根据左手定则可知，带电粒子带正电荷，故A错误； B．由题意可知粒子在磁场中速度方向改变了60°，则带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60°，故B正确； C．由洛伦兹力提供向心力得 可得轨道半径为 粒子的运动轨迹如图所示 若是圆形区域磁场，则以CD为直径的圆面积最小，根据几何关系可知，故最小面积为 故C正确； D．若是矩形区域磁场，则以CD为长，以圆弧最高点到CD的距离h为宽，则矩形的面积最小；则有 所以矩形区域磁场最小面积为 故D正确。 故选BCD。 14．如图所示，一圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。一带电粒子从图中点以速度沿直径方向射入磁场，经磁场偏转后从点射出磁场。若PQ之间间距为d，忽略粒子的重力，已知，。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子在磁场中运动时间； (3)若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从点射入，仍从点射出，则圆形磁场的最小面积为？ 【详解】（1）粒子轨迹如图 几何关系可知 解得粒子轨迹圆半径 根据 联立解得 （2）粒子在磁场中运动时间 联立解得 （3）当PQ为圆形磁场直径时，圆形磁场面积最小，则最小面积为 角度06 临界状态的不唯一形成多解 15．如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为的带电粒子从D点以速度v平行于BC边方向入射磁场，不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子可能从B点射出 B．若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D．所有从AB边射出的粒子，出射位置离D点越远，其在磁场中运动的时间越长 【答案】C 【详解】A．带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能到达B点，故A错误； B．粒子垂直于BC边射出，如图甲所示。 则粒子做匀速圆周运动的半径等于点到边的距离，即，故B错误； C．粒子从点射出，如图乙所示。 根据几何关系有 求得，，则粒子在磁场中运动的时间为，故C正确； D．若粒子从边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，出射位置离D点越远，如图丙所示。 由几何知识可知，所有粒子从边射出时的圆心角均相同，可知其在磁场中运动的时间均相同，故D错误。 故选C。 16．（多选）如图所示，直角三角形MNP区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源可沿平行于PN方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用，不计正、负电子的重力。下列说法正确的是（     ） A．不可能有正电子从M点射出磁场 B．负电子从D点离开磁场时的速度大小为 C．从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为 D．正电子在磁场中运动的最长时间为 【答案】AC 【详解】A．正电子恰好从MN边界射出的轨迹如图所示，根据正电子运动的轨迹可知，不可能从M点射出磁场，选项A正确； B．负电子从D点离开磁场的轨迹如图，负电子从D点离开磁场时，由几何关系得 解得 负电子做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力 解得负电子的速度大小为，故B错误； C．从MN边射出的正电子中，运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长，由几何关系可知圆心角为，则最长时间 根据， 可得粒子运动的周期 解得从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间，故C正确； D．正电子从C、M之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为，故D错误。 故选AC。 17．如图所示的xOy平面内，x<0的区域内有竖直向上的匀强电场；在0<x≤4L区域内，处于第一象限的匀强磁场，磁感应强度为B1（未知）；处于第四象限的匀强磁场，磁感应强度为B2（未知），大小关系为B2=4B1，磁场方向均垂直于纸面向外。一质量为m、带电荷量为+q的粒子，在t=0时刻，从P点x=-2L，y=-L以速度v0沿x轴正向水平射出，恰好从坐标原点进入第一象限，最终垂直于磁场右边界离开磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子进入磁场时的速度； (2)若粒子通过坐标原点后仅在第一象限中运动便离开磁场，粒子在磁场中运动的时间； (3)磁感应强度B1的可能取值。 【详解】（1）带电粒子在电场中，水平方向做匀速运动，有 竖直方向做匀加速运动，有 解得 则带电粒子通过坐标原点的速度大小 速度方向与轴正半轴的夹角为，则 可得 （2）当粒子进入磁场后，第一次恰好垂直磁场右边界射出时的时间最短，如图所示由几何关系知 带电粒子在磁场中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 解得 （3）粒子在磁场中运动，如图所示 由洛伦兹力提供向心力有 且，则有 且满足关系，（） 由洛伦兹力提供向心力有 解得，（） 角度07 带电粒子在矩形边界磁场中的运动 18．如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（     ） A．若粒子恰好从d点射出磁场，则粒子的速度 B．若粒子恰好从c点射出磁场则粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子入射的初速度越大，在磁场中运动的时间越长 D．若粒子从bc边（不包含b，c两点）射出磁场，粒子的速度范围 < 【答案】D 【详解】A．粒子从d点射出，轨迹半圆，半径 根据，即 求得，A错误； B．粒子从c点射出，由几何关系 解得 圆心角 运动时间，B错误； C．粒子速度越大，轨道半径r越大。 从ad边射出圆心角恒为，运动时间，时间不变； 从bc或cd边射出越大，圆心角越小，运动时间变短，C错误； D．结合前面分析，可知粒子要从bc边（不含）射出，需要半径满足，代入，得 即，故D正确。 故选D。 19．（多选）长为l的水平极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，两极板不带电。现有质量为m、电荷量为+q的带电粒子（不计重力），从极板左边两板间中点处垂直于磁感线以速度v水平射入磁场。欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（     ） A．使粒子的速度 B．使粒子的速度 C．使粒子的速度 D．使粒子的速度 【答案】AB 【详解】AB．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 其中为轨道半径。两种临界轨迹及其几何关系如图所示。 低速临界时，粒子从左边界返回时恰好到达上极板，几何关系为，故低速时不撞板需满足：。高速临界时，轨迹恰好经过右上角，几何关系为 由此解得临界半径： 当时，粒子在到达上极板前已从右边界飞出。结合 粒子避免撞板的速度范围为：或 故选AB。 20．如图所示，一质量为、带电荷量为的粒子以速度垂直射入一有界匀强磁场区域内，速度方向跟磁场左边界垂直，从右边界离开磁场时速度方向偏转角，磁场区域的宽度为，求： (1)判断带电粒子的电性和带电粒子在磁场中做圆周运动的半径； (2)磁感应强度的大小； (3)粒子在磁场中运动的时间。 【详解】（1）由左手定则得粒子带负电 粒子运动的轨迹如图，由几何知识得 （2）根据洛伦兹力提供向心力有 可得磁感应强度 （3）粒子做圆周运动的周期 粒子在磁场中的运动时间 角度08 动态圆模型 21．如图所示，xOy区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点以大小为v的速度射入磁场区域，从N点射出。已知，，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径大小为3a C．若仅减小磁感应强度，则粒子将从N点下方射出 D．若入射速度大小为，粒子仍能从y轴上ON之间射出 【答案】D 【详解】A．粒子向左偏转，根据左手定则可知，粒子带正电，故A错误； B．带电粒子从N点射出，轨迹如图所示： 洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由几何关系可得 解得，故B错误； C．粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若减小磁感应强度，则轨道半径增大，可知，粒子可能从N点上方射出，故C错误； D．带电粒子从N点射出，则 若带电粒子恰好从O点射出时，粒子做了半个圆周运动，则半径为， 则 则，即粒子仍能从y轴上ON之间射出，速度范围为，故D正确。 故选D。 22．（多选）如图所示，在竖直平面内的xoy直角坐标系中，y轴右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第四象限内有垂直于x轴的无限长探测薄板PQ，其与y轴距离，左右两表面均能接收粒子。位于原点O处的粒子源，沿坐标平面内向磁场区域各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速率均为v，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，粒子撞击薄板后不再反弹。则（     ） A．粒子在磁场中运动的最短时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．薄板左表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板右表面接收到粒子的区域长度为 【答案】BC 【详解】A．存在不接触PQ从y轴离开磁场的粒子，即时间趋近于0，故最短时间不为，故A错误； B．粒子轨迹半径满足 代入数据解得半径 粒子运动周期 最长时间对应最大的圆心角，粒子从右侧打在PQ上时存在圆心角最大，当速度沿y轴正方向时所对应的轨迹圆心角最大，如图轨迹1所示： 由几何关系可知，圆心角，则，故B正确； C．粒子从左侧打在PQ上时，最上端能打在P点，打在最下端的粒子轨迹与PQ相切，如上图轨迹3所示，由几何关系可知，轨迹圆心角为，则薄板上该切点距离P点的距离为，故薄板左表面接收到粒子的区域长度为，故C正确； D．粒子从右侧打在PQ上时，能打在最上端的粒子应沿y轴正方向入射（如图轨迹1所示），此粒子在PQ上的位置离P点的距离，由几何关系可知 能打在最下端的粒子，其入射点和吸收点正好为直径（如图轨迹2所示），则吸收点离P点的距离，故薄板右表面接收到粒子的区域长度为，故D错误。 故选BC。 23．如图所示，在平面直角坐标系的轴上方存在着垂直平面向里磁感应强度大小为的匀强磁场。现由轴上点处平行于轴射入速度为，质量为、电荷量为的粒子，恰从点出磁场，点和点到的距离相等，且，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度； (2)若粒子在平面内，由点以与轴负半轴角的方向入射，速度大小不变，则粒子射出磁场时的位置坐标； (3)若粒子在平面内，由点以某一方向入射，速度大小不变，恰好与轴上的交点距离点最远，则粒子在磁场中运动的时间。 【详解】（1）由题意可知，A点坐标为，C点坐标为，粒子初速度沿轴正方向，洛伦兹力提供向心力，轨迹圆心在轴上，如图 A、C间距为，恰好等于粒子做圆周运动的直径，因此轨道半径 由洛伦兹力提供向心力公式 解得匀强磁场的磁感应强度大小为 （2） 粒子速度大小不变，因此轨道半径仍为 粒子从以与轴负半轴成角入射，速度方向的垂线（即圆心与A点的连线）与轴正方向成角，可得圆心坐标为，如图 代入得圆心坐标为 写出圆周轨迹方程 粒子从轴（）入射，射出磁场时仍会回到的磁场边界，代入解得另一交点为，因此出射点坐标为。 （3）粒子轨道半径固定为，要让轨迹与轴的交点到O点距离最远，需让该交点成为圆周轨迹上离A点最远的点：即A点和该交点的连线为轨迹圆的直径。 如图 由几何关系可知该过程粒子轨迹对应的圆心角为 粒子圆周运动的周期 运动时间 代入解得粒子在磁场中运动的时间为 【例1】（2026·河南·高考真题）如图，间距为的两虚线、间存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，虚线上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子在纸面内垂直于虚线从点射入磁场，一段时间后又从点射出磁场。已知该粒子在下方磁场中运动的圆轨迹半径为，不计重力，则上、下磁场的磁感应强度大小之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据运动的对称性，可得粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示 带电粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，有 整理得磁感应强度 由于粒子的不变，因此磁感应强度，即 由几何关系，可知与相似，则 由勾股定理得 且 联立解得 故选C。 【深化点拨】 （1）考查带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹分析，能结合磁场边界条件画出粒子运动轨迹。 （2）考查洛伦兹力提供向心力的规律，理解磁感应强度和轨迹半径之间的对应关系。 （3）考查几何关系与运动对称性的应用，利用轨迹对称找到上下两段圆弧的半径联系。 （4）考查磁场方向改变时洛伦兹力方向的判断，区分粒子在两个反向磁场中的偏转方向。 【变式1-1】（2026·广西·高考真题）如图，在以坐标原点为圆心、半径为的圆形区域内，存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从点沿轴正方向射入，从点射出，出射方向与轴正方向夹角为。已知粒子电荷量为，质量为，不计重力。该粒子（     ） A．带正电荷 B．从到的运动轨迹是抛物线 C．射入磁场时的速率为 D．从到的运动时间 【答案】C 【详解】A．根据题意，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A错误； B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则粒子的运动轨迹是圆弧，故B错误； CD．根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系有 解得 由洛伦兹力提供向心力有 解得 由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为，则粒子在磁场内的运动时间，故C正确，D错误。 故选C。 【变式1-2】（2026·广东·高考真题）（多选）如图是一种长方体电子磁谱仪结构示意图，磁谱仪内存在磁感应强度大小为、方向垂直底面向上的匀强磁场，磁场区域长为、宽为。电子束中有三个电子通过准直器后垂直左侧面沿边缘进入磁场，偏转后分别到达磁谱仪三个侧面，与边缘的距离分别为、和，电子电荷量为、质量为，不考虑相对论效应，下列说法正确的有（     ） A．电子1的动能比电子3的大 B．电子1在磁场中的运动时间为 C．电子2的动能为 D．电子3的动量大小为 【答案】BCD 【详解】A．电子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得 可得 根据几何关系可知电子1的运动半径小于电子3的运动半径，则电子1的速度小于电子3的速度，根据可知电子1的动能比电子3的小，故A错误； B．电子在磁场中做匀速圆周运动的周期 结合 可得 根据题图可知电子1在磁场中运动的圆心角为，则电子1在磁场中的运动时间为，故B正确； C．设电子2运动半径为，如图所示 根据几何关系有 可得 根据可得 电子2的动能为，故C正确； D．设电子3运动半径为，如图所示 根据几何关系有 可得 根据可得 电子3的动量大小为，故D正确。 故选BCD。 【变式1-3】（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 ⚡基础速刷 1．平面内存在垂直平面向外的匀强磁场，一质子垂直磁场射入，不计空气阻力。如图所示，则质子偏转的轨迹可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】质子带正电，质子向上进入磁场，根据左手定则及做曲线运动的物体所受合外力指向轨迹凹侧可知，质子在磁场中做匀速圆周运动，其偏转轨迹可能为。 故选A。 2．2025年，我国自主研制的“人造太阳”装置实现1亿摄氏度1000秒运行，为可控核聚变研究提供重要数据。在托卡马克装置中，强磁场用于约束等离子体。下列说法正确的是（　　） A．磁场对运动的带电粒子不做功，因此无法约束等离子体 B．洛伦兹力使带电粒子在垂直于磁场方向发生偏转，形成约束 C．等离子体中只有正离子受洛伦兹力作用 D．磁场越强，带电粒子的回旋半径越大 【答案】B 【详解】A．洛伦兹力始终与带电粒子速度方向垂直，不做功，但洛伦兹力可改变粒子运动方向，使粒子在垂直磁场方向做圆周运动，实现对等离子体的约束，故A错误； B．垂直磁场方向运动的带电粒子受洛伦兹力作用发生偏转，在垂直磁场方向做圆周运动，无法脱离磁场约束范围，可实现对等离子体的约束，故B正确； C．等离子体中包含正离子、电子等多种带电粒子，只要带电粒子运动方向与磁场方向不平行，都会受到洛伦兹力作用，故C错误； D．洛伦兹力提供向心力，有 可得带电粒子垂直磁场运动的回旋半径公式为 当粒子的m、v、q不变时，磁场B越强，回旋半径r越小，故D错误。 故选B。 3．如图所示，空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界，一束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹不一定相同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹不一定相同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越小 【答案】C 【详解】A．粒子在磁场中匀速圆周运动，则有 解得 周期为 可知入射速度不同的粒子，若它们入射速度方向相同，又两种粒子的比荷相同，则入射的半径不相等，周期相等，若两个粒子都从磁场的左边界射出，则圆心角都为，则运动的时间为 可知时间相同；若两粒子在磁场中的圆心角不相等，根据 可知粒子在磁场中运动的时间不相同，故入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间可能相同，故A错误； B．粒子在磁场中匀速圆周运动，则有 解得 入射速度相同的粒子，且比荷相同，故轨道半径一定相同，所以轨迹也一定相同，故B错误； C．根据 可知在磁场中运动时间相同的粒子，其运动对应的圆心角相同，但运动轨迹不一定相同，例如两个粒子都从磁场的左边界射出，则圆心角都为，故C正确； D．根据 可知在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定大，故D错误。 故选C。 4．（多选）我国“人造太阳”——托卡马克装置预计在2030年核聚变演示发电点亮第一盏灯，其内部产生的强磁场将带电粒子约束在特定区域实现受控核聚变。其中沿管道方向的磁场分布如图所示，越靠管的右侧磁场越强，则速度平行于纸面的带电粒子在该磁场中运动时（不计带电粒子重力），下列说法正确的是（　　） A．带负电粒子在磁场中应沿顺时针方向运动 B．带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小 C．带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时，磁场可能对其做功 D．带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时，洛伦兹力大小不变 【答案】AB 【详解】A．根据左手定则可知，带负电粒子在磁场中沿顺时针方向运动，故A正确； B．离子在磁场中，由，解得半径表达式为，因右侧磁场较强，故带电粒子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小，故B正确； C．离子在磁场中运动时，由于洛伦兹力方向总是与速度方向垂直，可知磁场对其一定不做功，故C错误； D．离子在磁场中，洛伦兹力为f=qvB，速度大小不变，越向右磁场越强，故带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时洛伦兹力一直在变大，故D错误。 故选AB。 5．（多选）如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为。下列判断正确的有（　　） A．电子轨迹所对圆心角为 B．电子的轨迹半径为 C．电子的比荷为 D．电子穿越磁场的时间为 【答案】AD 【详解】AB．根据几何关系，可知电子轨迹所对圆心角为，则有 解得 故A正确，B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力 解得 故C错误； D．根据数学知识知电子在磁场中运动的时间为 又电子在磁场中做匀速圆周运动的周期 故电子穿越磁场的时间为 故D正确。 故选AD。 6．如图所示，一带正电粒子，从a点以垂直磁场方向的速度进入磁感应强度为B的匀强磁场，沿着半圆acb运动，从b处飞出磁场，已测得半圆直径ab长度为L。求：带电粒子比荷的数值？ 【答案】 【详解】由几何关系可得半径 根据洛伦兹力提供向心力 可得粒子比荷 🚀能力跃升 7．如图所示，在真空环境中，有一条载有恒定电流的长直导线，电流方向竖直向下，初速度为的电子从直导线右侧竖直向上运动，不考虑地磁场影响，电子重力忽略不计，下列说法正确的是（     ） A．接下来电子将向右偏转，运动的半径逐渐变大 B．接下来电子将向左偏转，运动的半径逐渐变小 C．接下来电子将向左偏转，运动的半径逐渐变大 D．接下来电子将向右偏转，运动的半径逐渐变小 【答案】B 【详解】根据右手螺旋定则可知导线右侧的磁场方向垂直纸面向外； 电子带负电，初速度竖直向上，磁场垂直纸面向外，根据左手定则可知电子受到的洛伦兹力水平向左，电子将向左偏转； 长直导线的磁场特点是离导线越近，磁感应强度B越大。电子在磁场中做圆周运动的洛伦兹力提供向心力，由公式 可得 电子运动过程中洛伦兹力不做功，速率v保持不变，电子向左偏转时离导线越来越近，B逐渐增大，因此运动半径r逐渐变小。 故选B。 8．如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场。一带电粒子从轴上的点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角=60°。粒子经过磁场偏转后在点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知，粒子电荷量为，质量为，重力不计，则（　　） A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中的轨道半径为a D．粒子从M到N的时间为 【答案】D 【详解】A．粒子在磁场里做圆周运动，向右偏转，由左手定则可知，电荷带正电。故A错误； C．粒子在磁场里做圆周运动，由几何关系得 解得，故C错误； B．由洛伦兹力提供向心力得，代入数据得。故B错误； D．粒子在磁场中运动的周期为 粒子从M到N转过的圆心角为120°，则运动时间为。故D正确。 故选D。 9．两个比荷相等的带电粒子、，以不同的速率、对准圆心沿着方向射入圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为、，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子射入磁场中的速率 C．粒子在磁场中的运动时间 D．若将磁感应强度变为原来的倍，粒子在磁场中运动的时间将变为原来的 【答案】C 【详解】A．由图可知磁场方向垂直纸面向里，粒子向右射入。根据左手定则，向上偏转的b粒子洛伦兹力向上，带正电；向下偏转的a粒子洛伦兹力向下，带负电，故A错误； B．作出a、b粒子运动的轨迹半径，如下图所示 设圆形磁场区域半径为，粒子偏转角为，由几何关系得粒子轨迹半径 偏转角 ，得 偏转角 ，得 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 得， 两粒子比荷相等，因此 ，则 ，故B错误； C．粒子运动周期 两粒子比荷相等，相同，因此相同。运动时间 时间与偏转角成正比，则 ，故C正确； D．入射速率不变， ，新轨迹半径 由，解得新偏转角 由 ，可得时间比，故D错误。 故选C。 10．（多选）如图所示质量和电量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔垂直进入匀强磁场，带电粒子仅受洛伦兹力的作用，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是（     ） A．M带正电，N带负电 B．M的速率大于N的速率 C．洛伦兹力对M、N做正功 D．M、N在磁场中的运动时间相等 【答案】BD 【详解】A．根据左手定则，磁场垂直纸面向里，粒子速度向上，正电荷受到的洛伦兹力向左，会向左偏转；负电荷洛伦兹力向右，向右偏转。图中向左偏、向右偏，因此带正电，带负电，故A错误； B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 整理得半径公式 已知两粒子质量、电荷量大小、磁感应强度都相等，因此轨迹半径与速率成正比。由图可知的轨迹半径更大，因此的速率大于的速率，故B正确； C．洛伦兹力的方向始终与粒子速度方向垂直，力与位移方向始终垂直，因此洛伦兹力永远不做功，故C错误； D．圆周运动周期公式 可知周期与速率无关，仅由决定。两粒子都运动了半个圆周轨迹，运动时间，都相等，因此二者运动时间相等，故D正确； 故选BD。 11．（多选）如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（     ） A．若粒子恰好从点射出磁场，则粒子的速度 B．若粒子从cb边射出磁场，则粒子的速度 C．若粒子的速度，则粒子出射时速度方向与轴正方向夹角的正弦值为 D．若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是 【答案】BC 【详解】A．若粒子恰好从c点射出磁场，根据几何关系可知，粒子圆周运动半径为 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得，故A错误； B．若粒子从cb边射出磁场，则 则粒子的速度，故B正确； C．若粒子的速度 则轨迹圆半径 则粒子从cd边射出，设粒子射出磁场时速度方向与y轴正方向夹角为，则，故C正确； D．根据， 解得 若粒子从d点射出，可知圆心角为180°，时间最长，最长时间 若粒子从c点射出，可知圆心角为90°，时间最短，最短时间 若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是，故D错误。 故选BC。 12．如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 (1)求粒子射入磁场的速度大小。 (2)在磁场中运动的时间。 【详解】（1）一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与轴正方向夹角，粒子从M到N做匀速圆周运动，轨迹如图所示： 根据几何关系 解得 洛伦兹力提供向心力 联立解得 （2）根据圆周运动知识可知，周期 解得 速度偏转角为，所以 解得 🌟思维挑战 13．如图所示，真空中圆形区域内有垂直圆面向外的匀强磁场，是圆的一条直径，一个带正电的粒子从点射入圆形区域，当速度方向与的夹角为，速度大小为时，粒子从点射出，粒子在磁场中的运动时间为；当速度方向与的夹角为速度大小为时，粒子从某点射出，速度方向改变了，粒子在磁场中的运动时间为，下列关于与关系的说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆形区域的半径为，当速度大小为时，粒子从点射出，如图1所示，设轨迹半径为，则 粒子在磁场中的运动时间 当速度方向与的夹角为，速度大小为时，粒子从某点射出，速度方向改变了，如图2所示，设轨迹半径为，由几何知识得 粒子在磁场中的运动时间 联立可知 由 可知 由 可知粒子运动的周期相同，则 即 故选A。 14．如图，在边长为的正三角形区域内，存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。一束速率不同的电子从边的中点沿平行于方向射入磁场，已知粒子在三角形磁场边界仍受到洛伦兹力作用，电子的质量为、电荷量为，则下列说法正确的是（　　） A．从点飞出的电子在磁场中运动的时间为 B．电子在磁场中运动的最长时间为 C．边有电子飞出的区域长度为 D．边有电子飞出的区域长度为 【答案】D 【详解】A．从点飞出的电子运动轨迹如图 入射速度 v 平行于 ac，与 Oc 的夹角为 30°。由几何关系可知，圆心角为，根据洛伦兹力提供向心力有 周期为 此时运动的时间为，故A错误； B．当电子速率较小，轨迹半径 R 较小时，电子从 ab 边飞出，电子的运动时间最长，根据对称性可知此时圆心角为240°，时间为，故B错误； CD．电子从 ab 边飞出的临界情况是轨迹圆与 ac 边相切时，如图 根据几何关系可知 出射点 P 到 O 的距离为 则边有电子飞出的区域长度为 同时有 所以 ac 边有电子飞出的区域长度为，故C错误，D正确； 故选D。 15．（多选）如图所示，一半径为的圆形边界内部（不含其边界）存在一磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。磁场边界最低点点处有一个粒子源，该粒子源向磁场区域内同一时刻向各个方向均匀发射大量速度大小不等，质量均为、电荷量均为的同种带电粒子，然后立即停止发射，粒子的速度范围是。这些粒子射出磁场时的位置均分布在点右侧圆弧上，已知圆弧弧长为圆周长的。忽略粒子间的相互作用，不计重力。下列说法正确的是（     ） A．粒子带正电 B．粒子运动的最大速度 C．在磁场中有带电粒子出现的区域面积为 D．磁场边界上另有一点，从点射出的粒子运动时间最长为 【答案】AD 【详解】A．粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力。根据题意，粒子射出磁场的位置分布在点右侧的圆弧上，结合左手定则（磁场垂直纸面向外），若粒子带正电，洛伦兹力方向会使粒子轨迹向右偏转；若带负电则向左偏转，因此粒子应带正电，故A正确； B．已知弧长为圆周长的，对应的圆心角为，最大速度对应的轨迹圆与磁场边界相切，此时轨迹圆半径满足几何关系 解得 由洛伦兹力公式有 联立解得，故B错误； C．可能出现的所有区域如图所示 则粒子出现的区域面积，故C错误； D．粒子运动时间最长对应轨迹圆心角最大，当轨迹圆的弦长时，由几何关系可得圆心角为120°或240°，粒子运动周期 若轨迹圆的圆心角为，运动时间 若轨迹圆的圆心角为，运动时间，故D正确。 故选AD。 16．（多选）如图所示，纸面内有直角坐标系。匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度的大小为。现有一个位于点的放射源，能从点向纸面内各个方向射出速度大小均为的带正电粒子。若在与轴距离为处放一足够长且平行于轴的感光棒，粒子打在上面即被吸收。已知粒子的比荷，则下列说法中正确的是（     ） A．粒子击中感光棒的最小圆心角为 B．粒子在轴上方区域击中感光棒的最远点坐标为 C．粒子在轴下方区域击中感光棒的最远点所用时间为 D．粒子击中感光棒的长度为 【答案】BD 【详解】粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力，有 解得运动半径为 从点向纸面内各个方向射出速度大小一样的带正电粒子，构成动态圆中的旋转圆模型，作图如图所示 A．由图可知，粒子击中感光棒的交点为C点时，弦长最短构成劣弧，其圆心角最小圆心为，其中， 由几何三角形可知 解得，故A错误； B．粒子在轴上方区域击中感光棒的最远时是圆与PQ线相切于D点，圆心为，而 即D点的坐标为，故B正确； C．粒子在轴下方区域击中感光棒的最远点时构成直径，圆心为，其圆心角为，而粒子的周期为 则所用时间为，故C错误； D．由图可知粒子击中感光棒的下端点为点，上端点为D点，而 则总长度为，故D正确。 故选BD。 17．如图所示，中央开有小孔的挡板垂直纸面放置，纸面内建有一直角坐标系，坐标系以挡板上的小孔为原点、且轴与挡板平面重合。轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，若大量电子经某装置加速后，向上穿过挡板上小孔时的速度大小均为，方向关于轴对称、且发散角为，所有电子均在平面内运动：已知电子电荷量为，质量为，不计电子间相互作用及重力的影响。求： (1)若阴极通电后释放出的自由电子初速度近似为零，则上述加速装置的加速电压应为多大？ (2)若电子进入磁场后，打在挡板上的落点长度为△，该匀强磁场的磁感应强度为多大？ (3)现在轴正半轴上放置一长度为的电子收集板，收集板右端的横坐标恰为。当匀强磁场的磁感应强度为时，沿轴正方向穿过小孔的电子（速度大小为恰好打在收集板的右端。现有一批总数为个电子以速度向上穿过小孔，其发散角，且假设电子打到轴上时的落点正好均匀分布。求 若所有电子均未打到电子收集板上，则磁感应强度应满足什么条件（用表示）； 若磁感应强度的取值范围为，试写出电子收集板收集到的电子数与应满足的关系式（用、、、表示）. 【答案】(1) (2) (3)或；当时，当时 【详解】（1）电子初速度近似为零，电场加速过程中电场力做功转化为电子动能。由动能定理得 （2）设电子入射速度偏离轴的角度为且，电子在匀强磁场中受洛伦兹力，速度大小不变，做半径为的圆周运动。由洛伦兹力提供向心力得 所以 电子轨迹及落点区间的几何关系如下图所示 由圆的几何关系，落点坐标为 落点区间长度为 代入得 （3）电子收集板位于轴正半轴，长度为，右端坐标为，故其范围为。在情况下，沿轴正方向入射的电子落在右端，由题意得，由向心力关系得 从而 当磁感应强度为时，轨道半径为 本问发散角为，故。 落点范围的端点为，。 当所有落点均在收集板右侧时，需 即 当所有落点均在收集板左侧时，需 即 因此所有电子均未打到收集板上的条件为或 收集板与轨迹族的相对位置如下图所示 当磁感应强度处于范围时，落点区间被收集板区间完全覆盖，收集数为；当磁感应强度处于范围时，只有落点位于内的电子被收集。由落点均匀分布假设， 代入并整理得 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $