3.5.2 直线与圆的位置关系（课件）--2026-2027学年苏科版数学九年级上册

# 苏科版数学九年级上册 3.5.2 直线与圆的位置关系 专项练习 ## 一、知识梳理（先填空，再做题） 1. 设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d。当 d＜r 时，直线与圆______，有______个公共点；当 d＝r 时，直线与圆______，有______个公共点；当 d＞r 时，直线与圆______，有______个公共点。 2. 直线与圆相切时，这条直线叫做圆的______，唯一的公共点叫做______。 3. 切线的性质：圆的切线______于过切点的半径。 4. 切线的判定：经过半径的______，并且______于这条半径的直线是圆的切线。 5. 从圆外一点引圆的两条切线，切线长______，该点与圆心的连线平分两条切线的______。 6. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的______，它的圆心叫做三角形的______，是三角形三条______的交点。 ## 二、位置关系的判断 1. ⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 到直线 l 的距离分别为 4 cm、5 cm、6 cm，分别判断直线 l 与⊙O 的位置关系及公共点的个数。 2. 已知直线 l 与⊙O 相切，切点为 A，OA＝3 cm，求⊙O 的半径，并说明 OA 与 l 的关系。 3. ⊙O 的半径为 6，若直线 l 与⊙O 只有一个公共点，则圆心到 l 的距离是多少？ 4. 已知⊙O 的直径为 10 cm，圆心到直线 l 的距离为 4 cm，判断 l 与⊙O 的位置关系。 ## 三、切线的性质与判定 1. 已知 PA 切⊙O 于点 A，OA 是半径。求证：OA⊥PA。 2. 已知直线 l 经过⊙O 半径 OA 的外端 A，且 l⊥OA。求证：l 是⊙O 的切线。 3. 已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过 C 作 CD⊥AB 于点 D。CD 是⊙O 的切线吗？为什么？ 4. 从⊙O 外一点 P 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B。求证：PA＝PB，∠APO＝∠BPO。 ## 四、切线长定理与内切圆 1. 从⊙O 外一点 P 引两条切线 PA、PB，若 PA＝6 cm，求 PB 的长。 2. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，求这个三角形内切圆的半径。 3. 若三角形的三边长分别为 5、12、13，求它的内切圆半径。 4. 等边三角形的边长为 6，求它的内切圆半径。 ## 五、选择题（每题只有一个正确选项） 1. ⊙O 的半径为 3，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与⊙O（　　） A. 相交　B. 相切　C. 相离　D. 无法确定 2. 下列说法正确的是（　　） A. 与圆有公共点的直线是切线　B. 垂直于圆的半径的直线是切线　C. 过半径外端且垂直于这条半径的直线是切线　D. 与圆有两个公共点的直线是切线 3. 三角形的内切圆的圆心是（　　） A. 三条中线的交点　B. 三条高的交点　C. 三条边的垂直平分线的交点　D. 三条角平分线的交点 4. 直线与圆相切时，公共点的个数是（　　） A. 0 个　B. 1 个　C. 2 个　D. 无数个 5. 从圆外一点向圆引两条切线，这两条切线的长度（　　） A. 一定相等　B. 一定不等　C. 与半径无关但不确定　D. 只有圆是单位圆时才相等 ## 六、诊断纠错：下面的解法对不对？错的说明错在哪，并写出正确结果 1. 解：因为直线 l 与⊙O 有公共点，所以直线 l 与⊙O 相交。 2. 解：经过半径外端的直线就是圆的切线。 3. Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10。解：内切圆半径 r＝(6＋8＋10)/2＝12。 ## 七、易错提醒与方法小结 - 判断位置关系只看 d 与 r 的大小；d 是“圆心到直线的距离”，要用垂线段来量，不能随便取一条斜线段。 - “有公共点”包含相切和相交两种情况，不能直接说成相交；只有两个公共点才是相交。 - 切线的判定必须同时满足两个条件：经过半径的外端，并且垂直于这条半径；少一个都不成立。 - 切线的性质是“切线垂直于过切点的半径”，用它可以立刻得到直角，是计算题的关键突破口。 - 证明一条直线是切线，常用两种思路：有切点就连半径证垂直，无切点就作垂线证 d＝r。 - 直角三角形内切圆半径可用 r＝(a＋b－c)/2，也可用 r＝面积÷半周长；两个公式结果相同，选好算的那个。 ## 参考答案 一、1. 相交；两；相切；一；相离；零　2. 切线；切点　3. 垂直　4. 外端；垂直　5. 相等；夹角　6. 内切圆；内心；角平分线 二、1. d＝4＜5，相交，2 个公共点；d＝5＝r，相切，1 个公共点；d＝6＞5，相离，0 个公共点　2. 半径 r＝3 cm；OA⊥l　3. d＝6　4. 半径 r＝5＞4，故 l 与⊙O 相交 三、1. 证明：由切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，故 OA⊥PA　2. 证明：l 经过半径 OA 的外端 A，且 l⊥OA，符合切线的判定，故 l 是⊙O 的切线　3. 不是。因为 CD 虽然过圆上一点 C，但 CD⊥AB 中的 AB 不是半径，CD 也不一定垂直于半径 OC，不满足切线判定　4. 证明：连接 OA、OB，PA、PB 是切线，故 OA⊥PA，OB⊥PB；在 Rt△OAP 与 Rt△OBP 中，OA＝OB，OP＝OP，故两三角形全等，得 PA＝PB，∠APO＝∠BPO 四、1. PB＝PA＝6 cm　2. r＝(6＋8－10)/2＝2　3. r＝(5＋12－13)/2＝2　4. 边长 6 的等边三角形高为 3√3，内切圆半径 r＝3√3÷3＝√3 五、1. B　2. C　3. D　4. B　5. A 六、1. 错，有公共点可能是相切。正确：直线与圆有两个公共点时相交，只有一个公共点时相切　2. 错，缺少“垂直于这条半径”这一条件。正确：经过半径外端且垂直于这条半径的直线才是切线　3. 错，把周长公式误当成半径公式。正确：r＝(6＋8－10)/2＝2 > 建议限时 30 分钟完成第二至第四题组；每道切线题先在图上标出切点与半径，看到“切线”二字立刻写出“半径⊥切线”。 --- 全文约 1606 字（按 Word 统计口径，含字母和数字），七类板块：知识梳理、位置关系判断、切线性质与判定、切线长定理与内切圆、选择、诊断纠错、易错小结，答案与解析附后，可直接打印。本课的三个常见易错点是：把“有公共点”直接当成相交；判定切线时漏掉“垂直于半径”；误把周长公式当作内切圆半径公式。 苏科版（新教材）数学九年级上册 3.5.2 直线与圆的位置关系 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第3章 圆 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 知识回顾 点与圆有哪几种位置关系？设点到圆心的距离为d，圆的半径为r， 如何用 d 和 r 的数量关系来判断点与圆的位置关系？ 点与圆的位置关系 d 与 r 的数量关系 ● 点 P 在圆上 点 P 在圆内 点 P 在圆外 r d d＝r d＜r d＞r 情境引入 转眼间天边出现了一道红霞．过了一会儿，在那个地方出现了太阳的小半边脸．太阳好像负着重荷似的一步一步，慢慢地努力上升，到了最后，终于冲破了云霞，完全跳出了海面． ——巴金 如果把海平面看成一条直线，太阳看成一个圆，在日出过程中，二者会出现几种位置关系？ 操作思考 1．在纸上画一个圆（⊙O）； 2．直尺边缘看作一条直线，平行移动直尺，观察直线与圆的位置关系怎样变化？ 直线穿过圆， 2 个公共点． 直线只接触圆一点， 1 个公共点． 直线和圆无接触， 0 个公共点． 可以发现，直线与圆的位置关系可以分为三种：有两个公共点、一个公共点和没有公共点． 获取新知 ● O l ● O ● O l l (1) (2) (3) 当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交． 当直线与圆有唯一公共点时，我们称直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点． 当直线与圆没有公共点时，我们称直线与圆相离． 新知探究 利用圆心与点的距离可以判断这个点与圆的位置关系，是否也可以利用圆心到直线的距离来判断这条直线与圆的位置关系？ 可以过圆心作直线的垂线，利用圆心到垂足的距离来判断直线与圆的位置关系． ● O l ● O ● O l l r r r D D D d d d (1) (2) (3) 　　如图，过圆心作OD⊥l，垂足为D，记圆心O到直线 l 的距离为d，则 d＝OD． 圆的半径为 r，下面分三种情况讨论： 返回 1. 怀仁市，因晋王李克用与辽太祖耶律阿保机会盟于云州东城，易袍马约为兄弟，取怀想仁人及《论语》“怀德里仁”之意而命名．如图是以“仁”设计的艺术字，若将“仁”字每一笔画抽象为直线，背景抽象为圆，则图中直线与圆的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 A 举一反三 7 返回 2. A 在平面直角坐标系xOy中，以点(－2，4)为圆心，4为半径的圆(　　) A．与x轴相切，与y轴相交 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相切，与y轴相离 举一反三 返回 3. C 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以点A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是　　(　　) A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上 C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离 举一反三 新知探究 ● O l ● O ● O l l r r r D D D d d d A (1) (2) (3) 　　1．如图(1)，直线 l 与⊙O相交．设A，B为交点，连接OA，则OA＝r． 在Rt△ADO中，OD＜OA，即 d＜r． B 　　反过来，如果 d＜r，则点 D 在圆内，过点 D 的任意直线都与圆相交， 所以直线 l 与 ⊙O 相交． 新知探究 ● O ● O l l r D D d d (1) (2) (3) ● O l r D d A B 2．如图(2)，直线 l 与⊙O 相切．设 C 为切点，OC＝r， 因为直线 l 上除点 C 外的任意一点 P 都在圆外，OP＞r． 所以 OC 就是圆心 O 到直线 l 的距离，即点 C 与点 D 重合．所以 d＝r． (C) P 反过来，如果 d＝r，则点 D 是 ⊙O 与 l 的一个公共点． 因为圆心 O 到直线 l 上其他点的距离都比 OD 大， 所以直线 l 上除点O 外的点都在圆外，即⊙O与直线 l 只有一个公共点， 所以直线 l 与⊙O相切． 新知探究 ● O ● O l l r D D d d (1) (2) (3) ● O l r D d A B 3．如图(3)，当直线 l 与⊙O 相离时，d 与 r 有什么关系？ 反过来成立吗？请与同学讨论． (C) P 当直线 l 与 ⊙O 相离时，d＞r． 反过来，d＞r 时，直线整体在圆外，无公共点． 新知归纳 ● O ● O l l r D D d d (1) (2) (3) ● O l r D d A B (C) P 如果⊙O的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，那么 直线 l 和 ⊙O 相交 ⇔ d＜r； 直线 l 和 ⊙O 相切 ⇔ d＝r； 直线 l 和 ⊙O 相离 ⇔ d＞r． 位置关系 数量关系 新知巩固 填表： 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离d与半径 r 的关系 2 1 0 d＜r d＝r d＞r D A B O 4 C · d＝2 例题讲解 例2 已知∠BAC＝45°，点 O 在射线 AC 上，AO＝4，以点 O 为圆心，r 为半径画 圆. 根据下列 r 的值，判断 AB 所在直线与 ⊙O 的位置关系： (1) r＝2 (2) r＝2 (3) r＝3 解：如图，过点 O 作 OD⊥AB，垂足为 D． 在 Rt△AOD 中，∠A＝45°， ∴ ∠AOD＝∠A，OD＝AD． ∵ OD2 ＋ AD2 ＝ AO2 ，AO＝4， ∴ 2OD2＝16，得 OD＝2， 即圆心 O 到 AB 所在直线的距离 d＝2． D A B O 4 C · d＝2 例题讲解 (1)当r＝2时，d ＞r，AB 所在直线与⊙O相离； (2)当r＝2时，d＝r，AB 所在直线与⊙O相切； (3)当r＝3时，d＜r，AB 所在直线与⊙O相交． 例2 已知∠BAC＝45°，点 O 在射线 AC 上，AO＝4，以点 O 为圆心，r 为半径画 圆. 根据下列 r 的值，判断 AB 所在直线与 ⊙O 的位置关系： (1) r＝2 (2) r＝2 (3) r＝3 归纳总结 判断直线与圆位置关系的一般步骤： 1．过圆心作目标直线的垂线，计算垂线段的长 度（d）； 2．找到（求出）圆半径 r； 3．比较 d 与 r 大小，判定直线与圆的位置关系． 返回 4. 0 ⊙O的直径为10 cm，圆心O到直线l的距离为10 cm，则直线l与⊙O有______个公共点． 举一反三 返回 5. 相离 已知⊙O的半径是一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是________． 举一反三 6. 举一反三 返回 举一反三 返回 7. A 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC≠BC，M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于点N，现将△MNC沿MN所在直线折叠，得到△MNP.若点P在AB边上，则以MN为直径的⊙O与直线AB的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 举一反三 返回 8. C 如图，在直线l上有相距7 cm的两点A和O(点A在点O的右侧)，以O为圆心作半径为1 cm的圆，过点A作直线 AB⊥l.若⊙O以2 cm/s的速度向右移动(点O始终在直线l上)，则⊙O与直线AB相切时，⊙O运动了(　　) A．3 s B．4 s C．3 s或4 s D．3 s或3.5 s 举一反三 返回 9. r＞4且r≠5 在平面直角坐标系中，圆心P的坐标为(－3，4)，以r为半径在坐标平面内作圆，当r满足______________时，⊙P与坐标轴有4个交点． 举一反三 24 10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3. (1)斜边AB上的高为________； 举一反三 25 (2)以点C为圆心，r为半径作⊙C： ①若直线AB与⊙C没有公共点，直接写出r的取值范围：________； ②若边AB与⊙C有两个公共点，直接写出r的取值范围：________； ③若边AB与⊙C只有一个公共点，直接写出r的取值范围：________________． 返回 举一反三 26 课堂小结 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（2） 直线与圆的三种位置关系：相交(2点)、相切(1点)、相离(0点)． 判定方法：① 由直线与圆的公共点的个数来判断； ② 相交⇔d＜r；相切⇔d＝r；相离⇔d＞r． 解题关键：作垂线求距离，常用勾股定理、面积法计算垂线段长度． 谢谢观看 THANKS 如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，AD是高，若以点D为圆心，r为半径作圆，试分别确定⊙D与直线AB有怎样的位置关系？ (1)r＝3 cm；(2)r＝4.5 cm；(3)r＝6 cm. 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵等边三角形ABC的边长为6 cm，AD是高， ∴AD＝＝9 cm，∠BAD＝30°. ∴DE＝AD＝4.5 cm. 故(1)当r＝3 cm时，∵3 cm＜4.5 cm，∴⊙D与直线AB相离． (2)当r＝4.5 cm时，∵4.5 cm＝4.5 cm，∴⊙D与直线AB相切． (3)当r＝6 cm时，∵4.5 cm<6 cm，∴⊙D与直线AB相交． r＝或3＜r≤4 0＜r＜ ＜r＜3 $