3.3.1 圆心角、弧、弦之间的关系（课件）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

# 苏科版数学九年级上册 3.3.1 圆心角、弧、弦之间的关系 专项练习 ## 一、知识梳理（先填空，再做题） 1. 在**同圆或等圆**中，相等的圆心角所对的弧______，所对的弦______。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中有一组量相等，那么其余各组量都______。 3. 圆心角的度数______它所对弧的度数；弧的度数只和圆心角有关，和圆的大小无关。 4. 在同圆中，较长的劣弧对应的圆心角更______，对应的弦也更______。 5. 一条弦对应两条弧，一条弦对应______个圆心角（劣弧、优弧各一个），解题时注意分类讨论。 6. 等弧的前提：在同圆或等圆中，能够互相______的弧才是等弧；仅度数相等的弧不一定是等弧。 ## 二、基础概念与简单计算 1. 在⊙O中，∠AOB＝∠COD＝50°，判断弧AB与弧CD、弦AB与弦CD的大小关系。 2. 在⊙O中，弧AB＝弧BC，∠AOB＝65°，求∠BOC的度数和弧BC的度数。 3. 已知⊙O₁与⊙O₂是等圆，弧AB在⊙O₁中，弧MN在⊙O₂中，弧AB＝弧MN，求证：AB＝MN，∠AOB＝∠MON。 4. 在⊙O中，弦AB＞弦CD，比较弧AB（劣弧）与弧CD（劣弧）、圆心角∠AOB与∠COD的大小。 5. 圆上四点A、B、C、D依次排列，弧AB∶弧BC∶弧CD＝2∶3∶4，求各段弧对应的圆心角度数。 ## 三、说理证明题 1. 已知：如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝CD。求证：∠AOB＝∠COD，弧AB＝弧CD。 2. 已知：在⊙O中，弧AC＝弧BD。求证：弦AD＝弦BC。 3. 如图，OA、OB、OC、OD是⊙O的半径，∠AOC＝∠BOD。求证：弧AC＝弧BD，AC＝BD。 ## 四、综合应用 1. 在⊙O中，AB是直径，弧AC＝弧BC，求∠AOC的度数。 2. 已知⊙O半径为6，弧AB的度数为120°，求弦AB对应的圆心角度数。 3. 一条弦把圆分成度数比为1∶5的两条弧，求这条弦所对的圆心角（劣弧对应的圆心角）。 ## 五、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 下列说法正确的是（） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 在同圆中，相等的弦所对的劣弧相等 C. 度数相等的弧一定是等弧 D. 弦相等，弦所对的圆心角一定相等 2. 在同圆中，若弧AB＞弧CD（都是劣弧），则（） A. AB＜CD B. ∠AOB＜∠COD C. AB＞CD D. 无法比较 3. 在等圆中，弧AB＝弧CD，则下面结论错误的是（） A. ∠AOB＝∠COD B. AB＝CD C. AB∥CD D. 弧AB度数等于弧CD度数 4. 下列能够判定两条弧是等弧的是（） A. 长度相等 B. 度数相等 C. 在同圆或等圆中，能够重合 D. 弦长相等 5. 在⊙O中，弦AB所对的劣弧为80°，则弦AB对应的圆心角为（） A. 100° B. 80° C. 160° D. 200° ## 六、诊断纠错：下面的解法对不对？错的说明错在哪，并写出正确结果 1. 解：因为∠AOB＝∠COD，所以弧AB＝弧CD，弦AB＝CD。 2. 解：两条弧度数都是100°，所以这两条弧是等弧。 3. 在⊙O中，弦AB＝弦CD，所以弦AB所对的弧一定等于弦CD所对的弧。 ## 七、易错提醒与方法小结 - 定理的前提**“同圆或等圆”不能省略**，脱离这个前提，圆心角相等，弧、弦不一定相等。 - 弦相等，弦对应的弧有两条（劣弧、优弧），默认比较劣弧；题目没说明时，要注意有两种情况。 - 弧的度数＝圆心角度数，这是角度和弧互相转化的核心；区分**弧的度数**和**弧长**，二者不是一回事。 - 证明题思路链：圆心角相等 ⇔ 弧相等 ⇔ 弦相等，三个条件可以互相推导，书写时先写前提。 - 看到弧的比，直接用360°按比例分配，求出每一段弧的度数，再得到圆心角。 ## 参考答案 一、1. 相等；相等 2. 相等 3. 等于 4. 大；长 5. 两 6. 重合 二、1. 弧AB＝弧CD，AB＝CD 2. ∠BOC＝65°，弧BC度数65° 3. 证明：∵⊙O₁、⊙O₂是等圆，弧AB＝弧MN，∴∠AOB＝∠MON，AB＝MN 4. 劣弧AB＞劣弧CD，∠AOB＞∠COD 5. 总份数：2+3+4=9，弧AB：80°，弧BC：120°，弧CD：160° 三、1. 证明：在⊙O中，∵AB＝CD，∴弧AB＝弧CD，∠AOB＝∠COD 2. 证明：∵弧AC＝弧BD，∴弧AC+弧CB＝弧BD+弧CB，即弧AB＝弧CD，∴AD＝BC 3. 证明：∵∠AOC＝∠BOD，在同圆中，∴弧AC＝弧BD，AC＝BD 四、1. ∵AB是直径，弧AC＝弧BC，∴弧AC度数180°÷2＝90°，∠AOC＝90° 2. 圆心角120° 3. 劣弧度数：360°×1/(1+5)=60°，劣弧对应的圆心角60° 五、1. B 2. C 3. C 4. C 5. B 六、1. 错，缺少“在同圆或等圆中”前提。正确：在同圆或等圆中，若∠AOB＝∠COD，则弧AB＝弧CD，AB＝CD。 2. 错，度数相等不一定能重合，不一定是等弧。正确：只有在同圆或等圆中，度数相等的弧才是等弧。 3. 错，一条弦对应两条弧（劣弧、优弧），弦相等时，劣弧相等、优弧相等，不能直接说弧一定相等。 > 建议限时30分钟完成第二至第四题组；做题先圈出“同圆/等圆”，看清题干比较的是劣弧还是优弧，证明题按“角—弧—弦”链条书写。 --- 全文约1596字（Word统计口径，含字母、数字），板块和前面练习版式完全统一，侧重定理前提、互推关系、比例求圆心角，适合当堂巩固。 要不要我继续按这个格式出 **3.3.2 圆周角**？ 苏科版（新教材）数学九年级上册 3.3.1 圆心角、弧、弦之间的关系 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第3章 圆 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 问题引入 把车轮的轮廓看作是一个圆，车轮绕固定轴心旋转，不论转到什么位置，其轮廓都与初始位置的圆重合．这说明圆有什么特殊性质？ 圆特有的性质→旋转不变性 数学活动 在两张透明纸上分别画一个半径相等的圆，并将它们分割成圆心角相等的扇形． 将两张透明纸叠合，绕公共圆心转动其中一张透明纸．你有什么发现？ 两个圆始终保持重合． 特别的，当旋转角为180° 时，旋转前后的图形也保 持重合. 新知归纳 根据中心对称图形的定义，我们得到如下结论： 圆是中心对称图形， 圆心是它的对称中心． 特别的，圆的直径的两个端点关于圆心中心对称． 操作思考 O A B A' B' (A') (B') 点A与点A'重合； 点B与点B'重合． AB与A'B'重合； 与 重合． 在⊙O中，当圆心角∠AOB与∠A'OB'相等时，它们所对的和相等吗？所对的弦AB和A'B'相等吗？ 操作思考 在⊙O和⊙O'中，当圆心角∠AOB与∠A'O'B'相等时，它们所对的和相等吗？所对的弦AB和A'B'相等吗？ ● A B O ● A' B' O' 当OA与O′A′重合时， ∵∠AOB＝∠A′O′B′， ∴ OB与O′B′重合. 又∵OA＝O′A′，OB＝O′B′， ∴点A与点A′重合，点B与点B′重合． ∴ 重合，AB与A′B′重合． 获取新知 在同圆或等圆中，圆心角相等的扇形都可以重合， 这两个扇形对应的弧和弦也都重合，我们把可以重合 的弧叫作等弧(equal arc)． 如图，如果∠AOB＝∠A'OB'，那么AB＝A'B′，＝． O A B A' B' 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 前提条件 前提条件 讨论交流 　　在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？ O A B A' B' (A') (B') ＝ 点A与点A'重合； 点B与点B'重合. ABA'B' ∠AOB∠A'OB' ABA'B' 点A与点A'重合； 点B与点B'重合. ＝ ∠AOB∠A'OB' 新知归纳 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 知一求二 圆心角、弧、弦的相等关系 前提条件 新知归纳 我们可以用图表示同圆或等圆中圆心角与所对弧、弦的关系： 圆心角相等 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 新知归纳 O A B A' B' AB＝A′B′ ＝ ∠AOB ＝∠ A′O′B′ ＝ AB＝A′B′ ∠AOB ＝∠A′O′B′ AB＝A′B′ ∠AOB＝∠ A′O′B′ ＝ ● ● A B A' B' O O' 概念学习 O n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角． 　　我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角． 1°的圆心角 1°的弧 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份．我们把1°的圆心角所对的弧叫作1°的弧． n°的圆心角 n°的弧 新知归纳 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． ①圆心角的度数与圆的半径大小无关,圆弧的度数也与圆的半径大小半径无关； ②圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,并不是角和弧相等,它们是两类不同的图形； ∠AOB＝ ③度数相等的角是等角，但度数相等的弧不一定是等弧，等弧的特征是能够互 相重合（在同圆或等圆中）． 讨论交流 回顾用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程．你能利用圆的性质说明这样作图的道理吗？ O A B C D O′ A′ B′ C′ D′ 解：由作图过程，得 OC＝OD＝O′C′＝O′D′, ∴ ⊙O与⊙O′是等圆， 又∵ CD＝C′D′， ∴ ∠COD＝∠C′O′D′， 即 ∠AOB＝∠A′O′B′，作图成立． 例题讲解 例1 如图，等边三角形ABC的顶点都在⊙O 上，OD⊥AB，垂足为D， 连接OA，OB． 求证：∠AOD＝∠BOD＝60°． 证明：如图，连接OC． ∵ △ABC是等边三角形， ∴ AB＝BC＝AC ． ∴ ∠AOB＝∠AOC＝∠BOC． (同圆中,相等的弦 所对的圆心角相等)． ∴ ∠AOB＝×360°＝120°． ∵ OA＝OB，OD⊥AB， ∴ OD平分∠AOB， ∴ ∠AOD＝∠BOD＝60°． O A B C D 返回 B 1. 下列说法中，正确的是(　　) A．相等的弦所对应的弧相等 B．圆是中心对称图形，对称中心是圆心 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．在同圆或等圆中，较长的弧所对应的弦较长 举一反三 16 返回 2. [江阴期中]如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AC＝BD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为(　　) A．42° B．44° C．46° D．48° ︵ ︵ D 举一反三 返回 3. [徐州期末]如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是(　　) A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠AOB＝∠COD D．AD＝BD ︵ ︵ ︵ ︵ D 举一反三 B A 探究交流 O 解： 作圆的任意一条直径 AB，以 A 为圆心，⊙O的半径为半径画弧交⊙O于C、D，连接BC、CD、BD． △BCD即为这个圆的内接正三角形． C D · 在一个给定的圆中，能否用直尺和圆规作出这个圆的内接正三角形？ 返回 4. 72° 已知⊙O的一条弦AB把圆的周长分成1：4的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为________． 举一反三 返回 5. [常州期中]已知⊙O半径为3，⊙O上有A，B两点，AB＝3，则弦AB所对劣弧的度数为________． 60° 举一反三 返回 6. 46° [苏州期中]如图，OA，OB，OC均为⊙O半径，∠BOD＝22°，AO⊥BO，点D为弧AC的中点，则∠BOC＝________． 举一反三 返回 7. 如图，AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，EC的度数为40°，求∠BOD的度数． ︵ ︵ 举一反三 返回 8. C 在⊙O中，AB＝2CD，则弦AB与弦CD的大小关系是(　　) A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD ︵ ︵ 举一反三 返回 9. C 举一反三 25 返回 10. 80°　 如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC，AD于点E，F，若∠D＝50°，则BE的度数为________． ︵ 举一反三 26 返回 11. 50° 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的度数为________． ︵ ︵ 举一反三 27 课堂小结 3.3 圆的对称性（1） 圆的对称性：中心对称图形，圆心为对称中心 核心定理：同圆 / 等圆中，圆心角、弧、弦知一推二 数量关系：圆心角度数＝所对弧度数 应用：计算证明、尺规等分圆弧、作等角原理 谢谢观看 THANKS 解：连接OE. ∵的度数为40°，∴∠COE＝40°. ∵OC＝OE，∴∠C＝＝70°. ∵CE∥AB，∴∠BOD＝∠C＝70°. 在半径为1的圆中，长度等于的弦所对应的弧的度数为(　　) A．90° B．145° C．90°或270° D．145°或270° $