3.4.1 圆周角定理（课件）--2026-2027学年苏科版数学九年级上册

# 苏科版数学九年级上册 3.4.1 圆周角定理 专项练习 ## 一、知识梳理（先填空，再做题） 1. 顶点在______，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的______。 3. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角______；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______。 4. 推论2：直径所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______。 5. 一条弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有______个，度数都相等。 6. 一条弦对应两条弧，因此一条弦对应的圆周角有两种，两角之和为______°，注意分类讨论。 ## 二、基础计算 1. 在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠AOB＝80°，求弧AB所对的圆周角的度数。 2. 在⊙O中，弧AB所对的圆周角∠ACB＝35°，求这条弧对应的圆心角∠AOB。 3. AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝40°，求∠BAC的度数。 4. 已知⊙O中，∠ACB和∠ADB都是弧AB所对的圆周角，∠ACB＝60°，求∠ADB。 5. 一条弦AB把圆分成度数比为1∶2的两条弧，求弦AB所对的圆周角度数。 ## 三、说理证明题 1. 已知：A、B、C、D四点在⊙O上，弧AB＝弧BC。求证：∠ACB＝∠BAC。 2. 已知：AB是⊙O的直径，C是圆上一点。求证：∠ACB＝90°。 3. 已知：在⊙O中，∠ACB＝∠ADB。求证：弧AB是∠ACB、∠ADB所对的同弧或等弧。 ## 四、综合应用 1. 如图，A、B、C在⊙O上，OA＝OB，∠OAB＝50°，求圆周角∠ACB。 2. 在⊙O中，△ABC内接于圆，∠A＝50°，求弧BC对应的圆心角。 3. AB是⊙O直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝28°，求∠ABD的度数。 ## 五、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 下列角是圆周角的是（） A. 顶点在圆心，两边交圆 B. 顶点在圆上，两边交圆 C. 顶点在圆外，两边交圆 D. 顶点在圆内，两边交圆 2. 同弧所对的圆周角是40°，则它所对圆心角为（） A. 20° B. 40° C. 80° D. 100° 3. AB是⊙O直径，则∠ACB一定是（） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 4. 在同圆中，相等的圆周角所对的弧（） A. 一定相等 B. 一定不相等 C. 互补 D. 互余 5. 一条弦所对的两个圆周角（） A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 无法确定 ## 六、诊断纠错：下面的解法对不对？错的说明错在哪，并写出正确结果 1. 解：圆周角是圆心角的一半。 2. 直径所对圆周角为90°，反过来，90°的角所对的弦是直径。 3. 弦AB分圆为1∶3两段弧，直接算出一个圆周角45°作为唯一答案。 ## 七、易错提醒与方法小结 - 圆周角定理必须带上前提：**同弧或等弧**，脱离这个前提，圆周角不一定等于圆心角的一半。 - 区分圆周角和圆心角：顶点位置是核心，顶点在圆上才是圆周角，顶点在圆心是圆心角。 - 一条弦对应两条弧（劣弧、优弧），对应两组圆周角，两个角度相加等于180°，很多题目容易漏解。 - 看到直径，优先想到直角；看到90°圆周角，优先想到直径，这是大题高频突破口。 - 证明角相等，常用思路：转化为它们所对的弧相等。 ## 参考答案 一、1. 圆上 2. 一半 3. 相等；相等 4. 直角；直径 5. 无数 6. 180 二、1. 40° 2. 70° 3. ∠ACB=90°，∠BAC=90°−40°=50° 4. 60° 5. 两段弧度数120°、240°，对应圆周角60°、120° 三、1. 证明：∵弧AB＝弧BC，∴弧AB、弧BC所对圆周角相等，即∠ACB＝∠BAC 2. 证明：AB是直径，圆心角∠AOB=180°，圆周角∠ACB=1/2∠AOB=90° 3. 证明：圆周角相等 ⇒ 所对弧相等，所以∠ACB、∠ADB对着同弧或等弧AB 四、1. OA=OB，∠OAB=50°，∠AOB=80°，∠ACB=40° 2. 圆心角=2∠A=100° 3. ∠ABD与∠ACD同对弧AD，∠ABD=28° 五、1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 六、1. 错，缺少“同弧或等弧所对”前提。正确：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 2. 错，缺少“角的顶点在圆上”。正确：90°的圆周角所对的弦是直径。 3. 错，一条弦对应两段弧，两个圆周角。正确：圆周角为45°或135°。 > 建议限时30分钟完成第二至第四题组；做题先找准角对着哪一段弧，分清是圆周角还是圆心角，遇到弦求圆周角记得分两种情况。 --- 全文约1590字（Word统计口径），版式和前面练习完全统一，重点抓定理前提、直径直角模型、弦对应圆周角分类讨论。 要不要继续出 **3.4.2 圆的内接四边形**？ 苏科版（新教材）数学九年级上册 3.4.1 圆周角定理 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第3章 圆 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 知识回顾 1．什么是圆心角？ 顶点在圆心的角叫作圆心角． O ● B A 2．圆心角的度数和它所对的弧的度数之间有什么关系？ 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 问题引入 如图，当运动员分别在圆上的三处（ B、D、E ）射门时，三个射门点对球门（线段 AC）的张角相同．你知道为什么吗？ 这三个角有哪些共同的特征？ 顶点都在⊙O上 角的两边都和圆相交于A、C两点 概念学习 O A3 A1 C A2 B 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角 (angle in a circular segment)． 注意：两个条件必须同时具备，缺一不可． 如图，像∠BA1C，∠BA2C，∠BA3C这样， 新知巩固 下列各图中的角是不是圆周角？为什么？ · O3 （3） · O4 （4） · O2 （2） · O1 （1） 顶点不在圆上 两边没有都和圆相交 顶点不在圆上 讨论交流 请说一说圆心角与圆周角的区别与联系． 圆心角 圆周角 区别 联系 角的顶点在圆心 角的两边是两条半径 角的顶点在圆上 角的两边是两条弦 一条弧所对的圆心角有且只有一个 一条弧所对的圆周角有无数个 角的两边都和圆相交 讨论交流 图中∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C都对着． O A3 A1 C A2 B 还存在其他所对的圆周角吗？若有，可画出多少个？这些角之间有什么关系？ 圆心角的度数由其所对弧的度数决定，那么同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？ 新知探究 如图，点 A，B，C 在一个以点 O 为圆心的圆形轨道上，其中点A可以运动．让动点A 在 上运动，圆周角∠BAC和圆心角∠BOC 之间有什么关系？ ∠BAC始终等于∠BOC的一半． 你有什么猜想？ 怎样证实你的猜想呢？ O B C A 新知探究 在所有的所对的圆周角中，与圆心O有哪几种位置关系？ 圆心O在∠BAC的外部 圆心O在∠BAC的一条边上 A O B C 圆心O在∠BAC的内部 A O B C (1) (2) (3) 这种情况最特殊， 我们可以先研究它． 新知探究 证明：∵ OA＝OB， ∴ ∠A＝∠ABO． ∵ ∠BOC是△AOB的外角， ∴ ∠BOC＝∠A＋∠ABO． ∴ ∠BOC＝2∠A． 即 ∠A＝∠BOC． 圆心O在∠BAC的一条边上 O B C A A O B C 新知探究 圆心O在∠BAC的内部 D 证明： 作直径AD， ∵∠BAD＝∠BOD，∠CAD＝∠COD． ∠BAC＝∠BAD＋∠CAD， ∴∠BAC＝∠BOD＋∠COD ＝ (∠BOD＋∠COD) ＝∠BOC． A O B C 新知探究 圆心O在∠BAC的外部 D 证明： 作直径AD， ∵∠BAD＝∠BOD，∠CAD＝∠COD． ∠BAC＝∠BAD－∠CAD， ∴∠BAC＝∠BOD－∠COD ＝ (∠BOD－∠COD) ＝∠BOC． 新知归纳 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半． 同弧或等弧所对的圆周角相等； 由同弧或等弧所对的圆心角相等，我们得到圆周角定理： 因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以我们也可以说， 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半． 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 返回 C 1. [湖南中考]如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为(　　) A．60° B．75° C．90° D．135° 举一反三 14 返回 2. B 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠ACD＝35°，则∠BOD的度数是(　　) A．105° B．110° C．115° D．120° 举一反三 返回 3. B 举一反三 尝试应用 O A B C D 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC＝35°．求∠BDC、∠BOC的度数． 解：∵ ∠BDC和∠BAC都是所对的圆周角， ∴ ∠BDC＝∠BAC＝35°． ∵ ∠BAC是 所对的圆周角， ∠BOC是 所对的圆心角， ∴ ∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°． 例题讲解 O A B C D E 例1 如图，∠E的两边与⊙O分别交于点 A，B 和点 C，D，，的度数分别为150°，70°．求∠E的大小． 分析： ① 由 ，的度数，你可以得到哪些角的度数？ ② 要求∠E的度数，能直接求吗？如果不能，放在哪个三角形中？ 例题讲解 O A B C D E 解： 如图，连接BD． ∵ ，的度数分别为150°，70°， ∴ ∠ABD＝75°，∠BDC＝35°． ∵ ∠ABD＝∠E＋∠BDC， ∴ ∠E＝∠ABD－∠BDC＝75°－35°＝40°． 例1 如图，∠E的两边与⊙O分别交于点 A，B 和点 C，D，，的度数分别为150°，70°．求∠E的大小． 返回 4. 48° 如图，在⊙O中，A是BC的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是________． ︵ 举一反三 返回 5. 90° [连云港中考]如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________． 举一反三 6. [无锡期中]如图，在⊙O中，弦AB＝BC＝CD，BA和CD的延长线交于点P，且∠P＝40°，求∠ACD的度数． 举一反三 返回 解：连接BD. ∵AB＝BC＝CD，∴AB＝BC＝CD. ∴∠CBD＝∠ACB＝∠BDC＝∠BAC＝ ∠P＋∠ACD＝40°＋∠ACD. 又∵∠CBD＋∠ACB＋∠ACD＋∠BDC＝180°， ∴3∠CBD＋∠ACD＝180°. ∴3(40°＋∠ACD)＋∠ACD＝180°，解得∠ACD＝15°. ︵ ︵ ︵ 举一反三 返回 7. B 如图，AD是半圆O的直径，点B，C在半圆上，且AB＝BC＝CD，点P在CD上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于(　　) A．105° B．100° C．90° D．70° ︵ ︵ ︵ ︵ 举一反三 返回 8. D 如图，一弓形暗礁区所含的圆周角∠C＝65°，船在航行时，为保证不进入暗礁区，船到两个灯塔A，B的张角∠ASB应满足的条件是(　　) A．∠ASB＞32.5° B．∠ASB＞65° C．∠ASB＜32.5° D．∠ASB＜65° 举一反三 返回 9. ABD ︵ ︵ 举一反三 26 返回 10. 30° 如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴正半轴上，点D在OA的延长线上，若A(2，0)，D(4，0)，以O为圆心，OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE， 则∠BED的度数是________． 举一反三 27 11. [无锡期中]如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝4，点C在半径OA上，将△BOC沿BC所在直线翻折，点O的对称点D恰好落在AB上，再将AD沿CD所在直线翻折至A1D(点A1是点A的对称点)，那么OA1的长为________． ︵ ︵ ︵ 返回 举一反三 28 12. 证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB， ∴∠DEB＝∠BFG＝90°. ∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G. ∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G.∴AC＝CG. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC． (1)求证：AC＝CG； 举一反三 29 解：连接OC，设⊙O的半径为r. ∵AC＝CG，CD⊥AB，CD＝EG＝8， ∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4.∴OE＝AE－OA＝8－r. 在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋EC2， 即r2＝(8－r)2＋42，解得r＝5. ∴⊙O的半径为5. (2)若CD＝EG＝8，求⊙O的半径． 返回 举一反三 30 课堂小结 3.4 圆周角（1） 圆周角定义：明晰顶点在圆上、两边与圆相交这两个核心要素 圆周角定理：同弧所对圆周角与圆心角的数量关系 核心数学思想：分类讨论；转化 解题关键：借助弧，实现圆心角、圆周角之间的角度转化 谢谢观看 THANKS [常州期末]如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝，∠C＝45°，则⊙O的半径OA的长为(　　) A． B．1 C． D．2 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M.直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是(　　) A．＝ B．AB＝OE C．∠AOD＝∠BAC D．四边形AOCE为菱形 4－4 $