3.3.2 垂径定理（课件）--2026-2027学年苏科版数学九年级上册

# 苏科版数学九年级上册 3.3.2 垂径定理 专项练习 ## 一、知识梳理（先填空，再做题） 1. 垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且平分弦所对的______。 2. 推论：平分弦（不是直径）的直径______于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 3. 一条直线如果满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。五个条件中只要具备其中______个，就可以推出其余三个。 4. 计算常用模型：圆心到弦的垂线段、弦长的一半、半径构成______三角形，用勾股定理求解。 5. 弦到圆心的距离越近，弦越______；弦到圆心的距离越远，弦越______。 6. 圆中平行弦有两种位置：在圆心同侧、在圆心______侧，计算题注意分类讨论。 ## 二、基础计算 1. 在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，AB＝8 cm，求AE、BE的长。 2. ⊙O半径为5，弦AB长为8，OC⊥AB于C，求圆心O到弦AB的距离OC。 3. 在⊙O中，弦AB＝12，圆心O到AB的距离是5，求⊙O的半径。 4. ⊙O半径为10，OC⊥AB，OC＝6，求弦AB的长。 5. 已知⊙O半径13，两条平行弦AB、CD，AB＝24，CD＝10，圆心在两弦之间，求两弦之间的距离。 ## 三、说理证明题 1. 已知：在⊙O中，AB是弦，OC⊥AB，C为垂足。求证：AC＝BC，弧AC＝弧BC。 2. 已知：AB是⊙O的弦，P是AB上一点，OP⊥AB。求证：OP经过圆心O。 3. 已知：⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD。求证：OE＝OF。 ## 四、综合应用 1. 如图，⊙O的半径为10，弦AB⊥直径MN，垂足为C，MC＝4，求弦AB的长。 2. 有一条弧形桥拱，拱高（弧中点到弦的距离）为4 m，弦长16 m，求桥拱所在圆的半径。 3. ⊙O半径为5，弦AB长为6，若点P在AB上移动，求OP的取值范围。 ## 五、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 下列说法正确的是（） A. 垂直于弦的直线平分弦 B. 平分弦的直径一定垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 D. 平分弧的直线一定经过圆心 2. ⊙O半径为5，圆心到弦AB距离为3，则弦AB长为（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 圆内最长弦是10，弦长为6，则圆心到这条弦的距离是（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 在⊙O中，弦AB、CD互相平行，AB＜CD，圆心到AB距离更大，则（） A. AB离圆心更近 B. CD更长 C. AB更长 D. 无法比较 5. 平分一条弦所对的优弧和劣弧的直线一定（） A. 垂直平分这条弦 B. 只过圆心，不一定垂直弦 C. 与弦相交但不平分弦 D. 以上都不对 ## 六、诊断纠错：下面的解法对不对？错的说明错在哪，并写出正确结果 1. 解：平分弦的直径一定垂直于这条弦。 2. ⊙O半径5，弦AB=8，圆心到弦距离d，列式：d²+8²=5²。 3. 两条平行弦AB、CD，只算出一种距离，直接写答案。 ## 七、易错提醒与方法小结 - 垂径定理前提：**直径（过圆心的直线）垂直弦**；只有垂直、不过圆心，不能平分弧。 - 推论有坑：**平分的弦不能是直径**，任意两条直径互相平分，但不一定垂直。 - 固定计算模板：r² = d² + (弦长/2)²，r是半径，d是圆心到弦的距离，优先画出直角三角形。 - 平行弦、动点问题、拱桥问题，一定要分类讨论：两弦在圆心同侧、异侧两种情况。 - 拱高=半径−弦心距（弦在圆心下方），是拱桥类应用题的常用等量关系。 - 求线段范围：圆心到弦的垂线段是最短距离，半径是最长距离。 ## 参考答案 一、1. 平分；两条弧 2. 垂直 3. 两 4. 直角 5. 长；短 6. 异 二、1. AE=BE=4 cm 2. 由勾股：OC=√(5²−4²)=3 3. r=√(5²+6²)=√61 4. AC=√(10²−6²)=8，AB=16 5. O到AB距离：√(13²−12²)=5；O到CD距离：√(13²−5²)=12；距离=5+12=17 三、1. 证明：∵CD是直径，OC⊥AB，由垂径定理，∴AC=BC，弧AC=弧BC 2. 证明：垂直平分弦的直线必过圆心，OP⊥AB且平分AB，所以OP过圆心O 3. 证明：OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=1/2AB，CF=1/2CD；AB=CD，∴AE=CF；又OA=OC，Rt△OAE≌Rt△OCF，∴OE=OF 四、1. 半径ON=10，OC=10−4=6，AC=√(10²−6²)=8，AB=16 2. 设半径r，r²=8²+(r−4)²，解得r=10（m） 3. 最短OP=√(5²−3²)=4，最长OP=5，∴4≤OP≤5 五、1. C 2. C 3. B 4. B 5. A 六、1. 错，被平分的弦如果是直径，则不一定垂直。正确：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。 2. 错，弦长一半是4，不是8。正确：d²+4²=5²，d=3。 3. 错，平行弦有两种位置：同侧、异侧，要分两种情况计算。 > 建议限时30分钟完成第二至第四题组；做题第一步先画垂线，标出弦的一半、弦心距、半径，构造直角三角形再计算。 --- 全文约1602字（Word统计口径），版式和前面所有练习保持统一，重点抓垂径定理条件、勾股模型、分类讨论。 要不要继续出 **3.3.3 圆周角**？ 苏科版（新教材）数学九年级上册 3.3.2 垂径定理 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第3章 圆 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 数学活动 1．如图，在透明纸上画⊙O和⊙O的直径AB，将⊙O沿直径AB对折， 你发现了什么？ O A B 直径两旁的部分 完全重合. 数学活动 2．如图，任意画⊙O的一条弦CD，使CD⊥AB，垂足为P，点C，D 关于AB对称吗？图中还有哪些关于AB对称的点？ O A B C D P 点C、D关于直线 AB 对称. 圆上任意一组到直线 AB 距离相等且分别在 AB 两侧的点都关于 AB 对称． 新知归纳 圆是轴对称图形， 过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． 注意：直径不是圆的对称轴，直径所在的直线才是圆的对称轴．圆有无数条对称轴． 通过以上活动，我们得到如下结论： 观察思考 根据圆的轴对称性，你能在图中找到哪些相等关系？ O C D P A B PCPD 点C与点D重合； PC与PD重合； 与重合； 与重合. 直径AB平分弦CD，且平分， . 叠合法 观察思考 找出的相等关系，你能给出证明吗？ O C D P A B 证明：如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O 的弦， AB⊥CD，垂足为P．连接OC，OD． 在△OCD中， ∵ OC＝OD，OP⊥CD， ∴ PC＝PD，∠BOC＝∠BOD， ∴ ∠AOC＝∠AOD． ∴ ，． 新知归纳 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． ① ② 条件 ③ ④ 结论 知二推三 ① AB是⊙O的直径， ② AB⊥CD于点P ③ PC＝PD， ④ ， ⑤ . O C D P A B 新知巩固 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明理由． 是 不是， 因为没有垂直 是 不是， 因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 怎样修改图 (2)、(4) 能够满足垂径定理的条件？ (1) (2) (3) (4) 　垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”. 这其实就是《九章算术》中的“圆材埋壁”问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? 例题讲解 例2 如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E， CE＝1，AB＝10．求直径CD的长． O A B C D E 例2 如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E， CE＝1，AB＝10．求直径CD的长． 分析： ① 看到垂直于弦的直径，你能联想到什么？ ② 要求直径CD，可以先求什么？ ③ 图中有哪些半径？ ④ 直角三角形三边之间有什么关系？ 例题讲解 O A B C D E 例题讲解 O A B C D E 解：如图，连接OA． 设 OA＝r，则 OE＝OC－CE＝r－1． ∵ AB⊥CD，AB＝10， ∴ AE＝EB＝5（垂径定理）． 在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2． ∴ r2＝52＋(r－1)2． 解这个方程，得 r＝13． ∴ CD＝2r＝2×13＝26． 例2 如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E， CE＝1，AB＝10．求直径CD的长． 思路总结： 见垂直，想定理，得半弦； 连半径，构直角，列方程． 返回 B 1. 如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，则下列结论错误的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．CE＝DE B．AE＝OE C．BC＝ BD D．△OCE≌△ODE ︵ ︵ 举一反三 12 返回 2. B [长沙中考]如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为(　　) 举一反三 返回 3. 泰州期末如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，若C(0，16)，D(0，－4)，则线段AB的长度为________． 16 举一反三 变式训练 ∟ · 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AB＝10，OE＝3． 求弦CD的长． O A B E 解：连接OC． ∵直径AB＝10， ∴ OC＝5． 在Rt△OEA中，由勾股定理，得 CE＝＝＝4． ∵ 弦CD⊥AB， ∴ CD＝2CE＝8． C D 归纳总结 O A B . C P D d a r 1．垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”． 2．在圆中，解决与弦有关的问题时，常常需要从圆心作一条与弦垂直的线段，再连接半径构造直角三角形． 求弦的长度时，常利用垂径定理和勾股定理来求． h d＋h＝r 弦心距 └ E A C D B O 例题讲解 例3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D．求证：AC＝BD． 方法1：连接OA，OB，OC，OD． 证明△OAC≌△OBD(或证明△OAD≌△OBC)． 方法2：连接OA，OB，OC，OD．过点O作OE⊥AB于点E，利用等腰三角形的性质证明． 方法3：过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证． 哪种方法更简洁？ └ E A C D B O 例题讲解 例3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D．求证：AC＝BD． 解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E． ∵ OE⊥AB， ∴ AE＝BE，CE＝DE (垂径定理)． ∴ AE－CE＝BE－DE， 即 AC＝BD． 小结：同心圆，共弦长，作垂线，分两双；大圆小圆各平分，等量相减得短长． 探究交流 在一个给定的圆中，能否用直尺和圆规作出下列内接多边形？如果可以，作出相应的图形． (1) 菱形； (2) 梯形． 解： (1) 菱形：如图，在⊙O上作出 互相垂直的两条直径AC，BD． 连接 BC，CD，DA，AB ． 四边形 ABCD 即为所求． O A C B D · 解： (2) 梯形：如图，在⊙O 中任意作一 条直径AB，作弦CD⊥AB，EF⊥AB (CD≠EF)，连接 CE、DF，四边形 CEFD 即为所求． 探究交流 在一个给定的圆中，能否用直尺和圆规作出下列内接多边形？如果可以，作出相应的图形． (1) 菱形； (2) 梯形． A B · O C D E F 返回 4. 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________cm. 举一反三 返回 5. 平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热．如图，它的截面图可以近似看作是由⊙O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN，若⊙O的半径为25，AB＝36，BC＝14，MN＝30，则该平底烧瓶的 高度为________． 80 举一反三 6. 证明：∵OE⊥AB于点F， CD为⊙O的弦，∴CF＝DF. ∵OA＝OB，OE⊥AB于点F，∴AF＝BF. ∴AF－CF＝BF－DF.∴AC＝BD. [徐州期中]如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是⊙O的半径，且OE⊥AB于点F. (1)求证：AC＝BD； 举一反三 (2)若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径． 返回 举一反三 24 返回 7. B 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 举一反三 返回 8. C 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件的圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD，交AB于点D，交AB于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为(　　) A．50 cm B．35 cm C．25 cm D．20 cm ︵ 举一反三 返回 9. 14 cm或2 cm　 已知⊙O的半径为10 cm，弦AB∥弦CD，且AB＝ 12 cm，CD＝16 cm，则弦AB和弦CD之间的距离为______________． 举一反三 27 返回 10. 南京中考一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸(单位：mm)如图，这枚古钱币的半径为________mm. 13 举一反三 28 返回 6 举一反三 29 12. 9π 如图，⊙P的半径为5，弦AB＝6，以AB为边作正方形ABCD(点D，P在直线AB两侧)．若正方形ABCD绕点P旋转一周，则边CD扫过的面积为________． 返回 举一反三 30 课堂小结 3.3 圆的对称性（2） 圆的对称性：圆是轴对称图形，过圆心直线都是对称轴 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 核心模型：半径、半弦、弦心距构成直角三角形，勾股定理计算 辅助线技巧：求弦长必作“垂直于弦的半径/圆心垂线” 谢谢观看 THANKS A．4 B．4 C．5 D．5 2 解：如图，连接OC，∵CF＝FD，CD＝6，∴CF＝CD＝3.∵OE⊥AB于点F， ∴∠OFC＝90°，∴CO2＝CF2＋OF2. 设⊙O的半径是r，∵EF＝1， ∴OF＝r－1.∴r2＝32＋(r－1)2，解得r＝5. ∴⊙O的半径是5. 11．南通中考在平面直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心，为半径作⊙A.直线y＝kx－3k＋2与⊙A交于B，C两点，则BC的最小值为________． $