3.5.1 点与圆的位置关系（课件）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

# 苏科版数学九年级上册 3.5.1 点与圆的位置关系 专项练习 ## 一、知识梳理（先填空，再做题） 1. 设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d： 若 d＞r，则点 P 在圆______；若 d＝r，则点 P 在圆______；若 d＜r，则点 P 在圆______。 2. 圆可以看成是到定点的距离______定长的点的集合。 3. 圆的内部：到圆心的距离______半径的点的集合；圆的外部：到圆心的距离______半径的点的集合。 4. 经过一点可以作______个圆；经过两点可以作______个圆，圆心在两点连线的______上。 5. ______的三个点确定一个圆；同一直线上的三个点不能确定一个圆。 6. 三角形外接圆的圆心叫做外心，外心是三角形三边______的交点，外心到三角形______距离相等。 ## 二、基础判断与计算 1. ⊙O 半径 r＝6 cm，OP＝4 cm，OM＝6 cm，ON＝7 cm，判断点 P、M、N 和⊙O 的位置关系。 2. 已知⊙O 半径为 5，点 A 在⊙O 内，则 OA 的取值范围是什么？ 3. 已知点 P 在⊙O 外，⊙O 半径是 4，则 OP 的取值范围是什么？ 4. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点 C 为圆心，3 为半径作圆，判断点 A、B 和 AB 的中点 D 与⊙C 的位置关系。 5. 已知⊙O 半径为 8，OP＝8，点 P 在圆上；若将半径增大到 9，点 P 现在在哪里？ ## 三、说理题 1. 已知：⊙O 半径 r，点 A 满足 OA＜r。求证：点 A 在⊙O 内部。 2. 求证：矩形的四个顶点在同一个圆上。 3. 已知△ABC 是锐角三角形，说明它的外心位置以及外心到三个顶点距离关系。 ## 四、综合应用 1. ⊙O 的半径为 5，圆心 O 在坐标原点，判断点 A(3,4)、B(4,4)在圆内、圆上还是圆外。 2. 已知 AB＝8 cm，画出到点 A 的距离等于 5 cm 的点的轨迹；再判断点 B 是否在这个轨迹上。 3. 在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，以 A 为圆心，4 为半径作圆，判断点 B、C 和 BC 的中点 D 与⊙A 的位置关系。 4. 已知⊙O 半径 r＝7，有一点 P，OP＝7，若在圆上移动点 P，OP 的长度会改变吗？为什么？ ## 五、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 已知⊙O 半径为 4，OP＝5，则点 P（） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法确定 2. 到圆心距离等于半径的点，一定在（） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 圆心处 3. 三角形的外心是（） A. 三条角平分线交点 B. 三条中线交点 C. 三边垂直平分线交点 D. 三条高线交点 4. 下列说法正确的是（） A. 经过三个点一定可以作圆 B. 圆内的点到圆心距离大于半径 C. 同圆上所有点到圆心距离相等 D. 外心一定在三角形内部 5. 以点 O 为圆心作圆，要使点 A 在圆内、点 B 在圆外，则半径 r 满足（） A. OA＜r＜OB B. OB＜r＜OA C. r＜OA D. r＞OB ## 六、诊断纠错：下面的解法对不对？错的说明错在哪，并写出正确结果 1. 解：d＜r，点在圆外。 2. 解：任意三个点都能确定一个圆。 3. Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C为圆心，5为半径，AB中点D一定在圆上。 ## 七、易错提醒与方法小结 - 判断位置关系只比较 d 和 r，d 是**点到圆心的距离**，不是随便一条线段。 - 圆内、圆上、圆外是三类集合，边界是圆，d=r 属于圆上，不属于圆内。 - 三点定圆前提：**不在同一直线上**；共线三点没有外接圆。 - 外心位置：锐角三角形在内，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外。 - 直角三角形斜边中点到三顶点距离相等，是高频四点共圆、点圆位置考题。 - 坐标系里找点到原点距离，用勾股定理算距离再和半径比较。 ## 参考答案 一、1. 外；上；内 2. 等于 3. 小于；大于 4. 无数；无数；垂直平分线 5. 不在同一直线上 6. 垂直平分线；三个顶点 二、1. P：d=4＜6，圆内；M：d=6=r，圆上；N：d=7＞6，圆外 2. 0≤OA＜5 3. OP＞4 4. CA=3=r，A在圆上；CB=4＞3，B在圆外；AB=5，CD=2.5＜3，D在圆内 5. OP=8＜9，点P在圆内 三、1. 证明：根据点与圆位置关系判定，d＜r，点A在⊙O内部 2. 证明：矩形对角线相等且互相平分，对角线交点到四个顶点距离相等，所以四点共圆 3. 锐角三角形外心在三角形内部；外心到三个顶点距离相等，都等于外接圆半径 四、1. OA=√(3²+4²)=5=r，A在圆上；OB=√(4²+4²)=√32＞5，B在圆外 2. 轨迹是以A为圆心、5 cm为半径的圆；AB=8，8≠5，B不在轨迹上 3. AD⊥BC，BD=3，AD=4，AB=AC=5；r=4，D在圆上，B、C在圆外 4. 不会改变；圆上任意一点到圆心距离都等于半径 五、1. C 2. B 3. C 4. C 5. A 六、1. 错，记反结论。正确：d＜r，点在圆内；d＞r，点在圆外 2. 错，缺少前提。正确：不在同一直线上的三个点确定一个圆 3. 错，CD=5，r=5，D在圆上，这一题结论碰巧对，但注意：不是所有直角三角形斜边中点到直角顶点距离都随便等于半径，要看半径取值。 > 建议限时30分钟完成第二至第四题组；做题第一步：先找圆心、算出d，再和r比较大小。 --- 全文约1600字（Word统计口径），版式和前面所有练习保持一致。 下一份做 **3.5.2 直线与圆的位置关系** 吗？ 苏科版（新教材）数学九年级上册 3.5.1 点与圆的位置关系 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第3章 圆 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 问题情境 如果把靶心定为圆心，靶子最大外圈看成一个大圆，每支箭尖当作平面上的一个点，这些点和圆一共会出现几种位置情况？如何描述？ 如图，这是一张射击靶纸的图片．图中的箭落点分几种情况？ 射中靶内、刚好压线、完全脱靶． 能用什么数量关系精准区分这几种位置吗？ 操作思考 O 如图，动点从圆心 O出发向外移动， P P1 P3 P2 动点到圆心 O 的距离分别小于、等于、大于半径． 依次经过P1(圆内)、P2(圆上)、P3(圆外)， 动点到圆心的距离和半径有什么关系？ 因此可以利用点到圆心的距离判断点与圆的位置关系． ● 新知归纳 点 P 在圆上 ⇔ d＝r； 点 P 在圆内 ⇔ d＜r； 点 P 在圆外 ⇔ d＞r． r d 如果⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，那么 符号“⇔”读作:“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端． 点与圆的位置关系 d 与 r 的数量关系 ● O 探究交流 从集合的角度来理解，圆是什么？ 圆：到定点（圆心）的距离等于定长（半径） 的点的集合； 圆的内部和外部呢？ 圆的内部：到圆心的距离小于半径的点的集合； 圆的外部：到圆心的距离大于半径的点的集合． 例题讲解 例1 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点 A 为圆心，4为半径作⊙A．点 B，C，D 分别与⊙A有怎样的位置关系？ A B D C 解：如图，连接 AC． ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠B＝90°，AD＝BC＝3． 在Rt△ ABC中，AC2＝AB2＋BC2． ∴ AC＝＝＝5． ∵ AB＝4，AD＝3＜4，AC＝5＞4， ∴ 点 B 在 ⊙A 上，点 D 在 ⊙A 内，点 C 在 ⊙A 外． 归纳总结 判断点与圆位置关系的一般步骤： 1．确定圆心和半径 r； 2．计算点到圆心的距离 d； 3．比较 d 与 r 的大小，对应三类位置． 返回 1. 已知⊙O的半径是10 cm，当点P在⊙O外时，点P到圆心O的距离可能是(　　) A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm D 举一反三 8 返回 2. 盐城期末已知⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(－4，3)，则点P与⊙O的位置关系是(　　) A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．不能确定 C 举一反三 返回 3. 如图，已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为4，则该点可能是(　　) A．点P B．点Q C．点M D．点N D 举一反三 例题讲解 变式 如图，在 △ABC 中，AB＝3，AC＝5，⊙A 的半径为 r，点 B 在 ⊙A 内，点 C 在 ⊙A 外．求 r 的取值范围． A B C 解：∵点B在⊙A内，AB＝3， ∴ r＞3． ∵点 C 在⊙A 外，AC＝5， ∴ r＜5． ∴ r 的取值范围是 3＜r＜5． 返回 4. 2或3 已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为________． 举一反三 返回 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥BC于点D，以点A为圆心，AD长为半径画⊙A，则点B与⊙A的位置关系为________________(填“点B在⊙A内”“点B在⊙A上”或“点B在⊙A外”)． 点B在⊙A外 举一反三 返回 6. 已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为m，且关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则点P与⊙O的位置关系为______________． ︵ 点P在⊙O内 举一反三 7. 已知点P是半径为4的⊙O上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，设线段OQ的长度为a，则a的取值范围为__________． 2≤a≤6 举一反三 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，作DE⊥AC于点E. (1)求DE的长； 举一反三 (2)以点A为圆心，r为半径作圆，若B，C，D，E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求r的取值范围． 返回 举一反三 17 返回 B 举一反三 18 课堂小结 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（1） 点与圆的三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外． 判定方法：d＜r⇔点在圆内；d＝r⇔点在圆上；d＞r⇔点在圆外． 解题步骤：一找圆心半径，二求距离，三比较大小． 两类题型：①已知d、r，判断点的位置； ②已知点的位置，求半径取值范围． 谢谢观看 THANKS 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴DC＝AB＝3，∠ADC＝90°.∴AC＝＝5. ∵DE⊥AC于点E，∴AC·DE＝DC·AD. ∴DE＝＝. 解：在Rt△ADE中，AE＝＝3.2，∴AB＜AE＜AD＜AC.又∵以点A为圆心，r为半径作圆，B，C，D，E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外， ∴点B一定在圆内，点C一定在圆外． ∴r的取值范围为3＜r＜5. 9．如图，在网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)中选取9个格点(格线的交点称为格点)．若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(　　) A．2<r< B.<r≤3 C.<r<5 D．5<r< $