3.1.1 圆的认识（课件）2026-2027学年苏科版数学九年级上册

# 苏科版九年级上册数学 2.3.2 反比例函数在实际生活中的应用 专项练习 ## 一、知识梳理（先填空，再做题） 1. 用反比例函数解决实际问题，一般按“审题设元—找出定值—写出表达式—确定______—作答”五步走。 2. 若两个量的______是一个定值，它们就成反比例关系；设这个定值为 k，则 y＝______。 3. 实际问题中自变量的取值通常为______数，所以图象只取第______象限的那一支，且不与坐标轴______。 4. 求“至少”“不超过”这类问题时，先由反比例函数的增减性确定______值，再结合实际情况确定取值范围。 5. 检验一组数据是否符合反比例关系，最简便的办法是看各组对应数据的______是否相等。 ## 二、行程问题 1. 小明家到学校的路程是 1500 m，步行速度 v（m/min）与所用时间 t（min）满足 vt＝1500。（1）写出 t 关于 v 的函数表达式；（2）当 v＝75 m/min 时，需要多少分钟？（3）若要在 15 min 内到校，速度至少应为多少？ 2. 甲、乙两地相距 240 km，汽车的速度 v（km/h）与行驶时间 t（h）满足 vt＝240。（1）写出 v 关于 t 的函数表达式；（2）当 t＝4 h 时，速度是多少？（3）若速度为 80 km/h，需要几小时？ ## 三、劳动与工程问题 1. 一份稿件共 6000 字，打字速度 x（字/分）与打完所需时间 y（分）满足 xy＝6000。（1）写出 y 关于 x 的函数表达式；（2）当 x＝100 字/分时，需要多少分钟？（3）若要在 40 min 内打完，打字速度每分钟至少多少字？ 2. 一个水池的容量是 120 m³，注水速度 q（m³/h）与注满所需时间 t（h）满足 qt＝120。（1）写出 t 关于 q 的函数表达式；（2）当 q＝15 m³/h 时，需要几小时注满？（3）若要在 6 h 内注满，每小时至少注水多少立方米？ ## 四、消费与几何问题 1. 用 240 元买同一种笔记本，单价 a（元/本）与购买数量 b（本）满足 ab＝240。（1）写出 b 关于 a 的函数表达式；（2）当 a＝8 元时能买多少本？当 a＝12 元时能买多少本？（3）从结果看，单价与数量之间是什么关系？ 2. 一个面积为 36 cm² 的长方形，长 x（cm）与宽 y（cm）满足 xy＝36。（1）写出 y 关于 x 的函数表达式；（2）当 x＝9 cm 时，宽是多少？ 3. 一块面积为 24 m² 的长方形菜地，长 x（m）与宽 y（m）满足 xy＝24。（1）写出 y 关于 x 的表达式；（2）当 x＝6 m 时宽是多少？（3）若宽不超过 2 m，长至少应为多少？ ## 五、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 下列各对量中，成反比例关系的是（　　） A. 总价一定时，单价与数量　B. 正方形的周长与边长　C. 速度一定时，路程与时间　D. 人的体重与年龄 2. 面积为定值的长方形，它的长 x 与宽 y 之间的函数图象是（　　） A. 一条直线　B. 位于第一象限的一支双曲线　C. 位于第一、三象限的两支双曲线　D. 一条抛物线 3. 从 A 地到 B 地路程一定，速度由 60 km/h 提高到 120 km/h，所用时间（　　） A. 变为原来的 2 倍　B. 变为原来的 1/2　C. 不变　D. 变为原来的 1/4 4. 已知 y 与 x 成反比例，当 x＝20 时 y＝30，则当 x＝40 时 y＝（　　） A. 60　B. 30　C. 15　D. 10 5. 若 xy＝48，则下列结论正确的是（　　） A. y 与 x 成正比例　B. y 与 x 成反比例　C. y 与 x 无关　D. y 随 x 增大而增大 ## 六、诊断纠错：下面的解法对不对？错的说明错在哪，并写出正确结果 1. 用 240 元买笔记本，单价 a 元，数量 b 本。解：由 ab＝240 得 b＝240a。 2. 小明家距学校 1500 m，步行速度 75 m/min 时需 20 min。解：如果把速度提高到 150 m/min，因为速度变大，所用时间也会变长，需要 40 min。 3. 水池容量 120 m³，注水速度 q m³/h。解：q 越大，注满所需时间 t 越大，所以 t 与 q 成正比例。 ## 七、易错提醒与方法小结 - 拿到题目先问一句“哪个量是定值”，定值找对了，表达式自然就是 y＝k/x。 - 单位必须统一：min 与 h、m 与 km 混用是最常见的失分点，代数据前先换算。 - 实际问题中图象只取第一象限的一支，不能画成两支，也不能与坐标轴相交。 - 求最值靠增减性：k＞0 时 x 越大 y 越小，据此把“至少”“不超过”翻成不等式。 - 作答要写完整结论并带单位，只写一个数字不符合应用题的答题规范。 ## 参考答案 一、1. 取值范围　2. 乘积；k/x　3. 正；一；相交　4. 边界　5. 乘积 二、1.（1）t＝1500/v；（2）v＝75 时 t＝20（min）；（3）由 t≤15 得 v≥100，即速度至少 100 m/min　2.（1）v＝240/t；（2）t＝4 时 v＝60（km/h）；（3）v＝80 时 t＝3（h） 三、1.（1）y＝6000/x；（2）x＝100 时 y＝60（min）；（3）由 y≤40 得 x≥150，即每分钟至少打 150 字　2.（1）t＝120/q；（2）q＝15 时 t＝8（h）；（3）由 t≤6 得 q≥20，即每小时至少注水 20 m³ 四、1.（1）b＝240/a；（2）a＝8 时 b＝30 本，a＝12 时 b＝20 本；（3）单价越高，购买数量越少，二者成反比例　2.（1）y＝36/x；（2）x＝9 时 y＝4（cm）　3.（1）y＝24/x；（2）x＝6 时 y＝4（m）；（3）由 24/x≤2 得 x≥12，即长至少 12 m 五、1. A　2. B　3. B　4. C　5. B 六、1. 错，b 与 a 是相除关系，不是相乘。正确：b＝240/a　2. 错，速度提高时时间应缩短。正确：速度为 150 m/min 时 t＝10 min　3. 错，q 越大 t 应越小，二者成反比例。正确：t＝120/q，t 与 q 成反比例 > 建议限时 35 分钟完成第二至第四题组；每道题先在草稿上写出“定值是多少、它等于哪两个量的乘积”，再列式、代数据、作答。 --- 全文约 1605 字（按 Word 统计口径，含字母和数字），七类板块：建模步骤梳理、行程、劳动与工程、消费与几何、选择、诊断纠错、易错小结，答案与解析附后，可直接打印。与 2.3.1 的物理化学情境相比，这份练的是生活里最常见的四类“定值”——路程、工作量、总价、面积，本质仍是“先找定值再写 y＝k/x”。 苏科版（新教材）数学九年级上册 3.1.1 圆的认识 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第3章 圆 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 情境导入 这些图形有什么共同特征？ 自古以来，圆象征着完美、和谐．生活中，圆的形象处处可见． 你能给圆下一个定义吗？圆有哪些独特的性质呢？ 操作思考 圆心固定不动，半径的长度不变． 　　请同学们用圆规或一根定长的细绳在练习本上画一个圆，在画圆的过程中，思考“画圆时，什么是固定不动的？什么长度是始终保持不变的？”． 在画圆的过程中，你还有哪些发现？ 获取新知 通过画圆的过程可以发现，圆上的点到一定点的距离都相等，到一定点的距离相等的点都在同一个圆上． 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫作圆（circle）． 定点叫作圆心（centre of circle），定长叫作半径（radius）． P 概念辨析 确定一个圆需要几个要素？ 圆心 O ● 圆心： 决定圆的位置； 半径： 决定圆的大小． 半径 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 如图，点O是圆心，线段OP是半径． P 讨论交流 同一个圆中，所有半径长度相等． 在⊙O中，再任取圆上一点A，连接OA，OA和OP长度相等吗？ 圆心 O ● 半径 A 依据定义，OA、OP都是圆心到圆上点的定长，因此OA＝OP． 返回 C 1. 下列条件中，能确定一个圆的是(　　) A．以点O为圆心 B．以3 cm长为半径 C．以点O为圆心，以3 cm长为半径 D．经过已知点A 举一反三 7 返回 D 举一反三 返回 3. D 平面直角坐标系中，在以点(2，1)为圆心，5为半径的圆上的点的坐标可以是(　　) A．(4，7) B．(－1，－2) C．(5，4) D．(2，－4) 举一反三 知识链接 墨子（战国时期） （约公元前372—289年） 圜，一中同长也 每个圆只有一个中心点， 从圆心到圆上作线段，长度都相等. 知识链接 欧几里得（希腊） （约公元前330—275年） 由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等. 例题讲解 例1 如图，A，B是⊙O上的两点，点O，A，B不在一条直线上，连接OA，OB，AB． 求证：△OAB是等腰三角形． O A B 证明：∵ A，B 是⊙O上的两点， ∴ OA＝OB（圆的定义）． ∴ △OAB 是等腰三角形． 新知探究 如图,矩形ABCD的四个顶点在同一个圆上吗？如果在,指出圆心和半径． O 解：矩形ABCD的四个顶点在同一个圆上． 理由如下：设矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O． ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD，且OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∴ OA＝OB＝OC＝OD． ∴点 A、B、C、D 在以点 O 为圆心，OA长为半径的圆上． 即：圆心是对角线 AC、BD 的交点，半径为对角线长度的一半． A B D C 判断共圆的关键：找一点，使其到各点的距离相等． 返回 4. D 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为5的格点共有(　　) A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 举一反三 返回 5. (3.5，4)或(7.5，4) 在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为(5.5，4)，⊙A的半径为2，过点A作直线l平行于x轴，点P在直线l上运动．当点P在⊙A上时，点P的坐标为_____________________． 举一反三 返回 6. 解：(1)如图，⊙A即为所作． (2)如图，⊙B即为所作． (3)如图，点C即为所作． 如图，线段AB的长为3 cm.请按下列要求作图： (1)到点A的距离等于1 cm的点的集合； (2)到点B的距离等于2 cm的点的集合； (3)到点A的距离等于1 cm，且到点B的距离等于2 cm的点． 举一反三 返回 7. 南京期末如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A，B，C，D四点在同一个圆上． 举一反三 返回 8. 如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC的中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是(　　) A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C D 举一反三 返回 9. 3或4　 如图，原点O右边7个单位长度处有一点P，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒2个单位长度的速度向右运动，经过________秒，点P在⊙O上． 举一反三 19 课堂小结 3.1 圆的相关概念（1） 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合； 圆心定位置，半径定大小． 符号表示：⊙O，读作“圆O”． 性质：同一个圆中，所有半径长度相等 应用：①证线段相等；②共圆判定． 谢谢观看 THANKS 2．在平面内与定点A的距离等于 cm的点有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 证明：连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD，则OA＝OC＝AC.∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴OB＝AC，OD＝AC. ∴OB＝OA＝OC＝OD. ∴A，B，C，D四点在同一个圆上． $