5.6.2 函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象与性质 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 5.6.2　函数 的图象与性质

 必修第一册　第五章　三角函数

[学习目标]

1．理解 、、φ 对图象的影响，会用平移变换与伸缩变换由正弦曲线得到 的图象，并分清两条变换路径中平移量的差别。

2．了解振幅、周期、相位、初相的意义，会求 的最小正周期、最大值与最小值、单调区间、对称轴与对称中心。

3．能由部分图象确定 、、φ，写出函数解析式，会用整体代换把复合角问题化归为 的对应问题。

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 1． 对图象的影响（振幅）

5.4.1 中用五点法作出的 图象，最大值是 1，最小值是 −1，整条曲线夹在直线 与 之间。在同一坐标系中再作出 与 的图象：取 图象上的点 ，把纵坐标乘 2 得 ，它正好在 的图象上；把纵坐标乘 得 ，它正好在 的图象上。

图 1: 处，、 与 图象上的对应点

(1) 一般地，函数 （，）的图象，可以看作把 的图象上所有点的纵坐标（横坐标）得到的：当 时，各点的纵坐标；当 时，各点的纵坐标。

(2) 在 （）中， 叫做，函数的最大值是，最小值是。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 把 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），所得图象对应的函数是 。（　　）

(2) 把 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数是 。（　　）

 2． 对图象的影响（周期变换）

由 5.4.2 知 的最小正周期是 。作出 的图象：当 从 0 增大到 时， 从 0 增大到 ，函数值恰好完成一次完整的波动，所以 的最小正周期是 ；在相同的横坐标范围内，它的波形比 多出一倍。

图 2: 与 的图象（）

(1) 函数 的图象，可以看作把 的图象上所有点的横坐标（纵坐标不变）得到的。一般地，函数 （，）的图象，可以看作把 的图象上所有点的变为原来的倍（不变）得到的。

(2) 函数 （）的最小正周期 ；函数 （，）的最大值是，最小正周期是。

判断

(1) 函数 的最小正周期是 。（　　）

(2) 把 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数是 。（　　）

 3．φ 对图象的影响（平移变换）

用五点法作 的图象：令 依次取 0、、、、，得 依次取 、、、、。与 的五个关键点的横坐标相比，每一个都减少 ，纵坐标却完全相同。

图 3: 的图象由 的图象向左平移 个单位长度得到

(1) 一般地，函数 （）的图象，可以看作把 的图象上所有的点向平移个单位长度得到的（φ>0 时向左平移，φ<0 时向右平移）。

(2) 在 （，）中， 叫做， 叫做，叫做相位，叫做初相。

判断

(1) 函数 的图象是由 的图象向左平移 个单位长度得到的。（　　）

(2) 函数 的图象关于 轴对称。（　　）

 4．由 到 的图象变换

以 为例。路径一（先平移后伸缩）：把 的图象向右平移 个单位长度，得 ；再把各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得 ；最后把纵坐标伸长到原来的 2 倍。路径二（先伸缩后平移）：先把横坐标缩短到原来的 倍，得 ；此时若向右平移 个单位长度，得到的是 ，并不是目标函数；因为 ，所以只需向右平移 个单位长度。

图 4: 向右平移 得 ，平移 得

(1) 先平移后伸缩：把 的图象平移 |φ| 个单位长度，得到 的图象；再把各点的横坐标到原来的倍（纵坐标不变），得到 的图象；最后把各点的纵坐标伸长（或缩短）到原来的 倍。

(2) 先伸缩后平移：先把横坐标变为原来的 倍，得到 的图象；再把图象平移个单位长度，才能得到 的图象。两条路径中，平移与伸缩都是对自变量而言的。

 提醒： 变换次序不同，平移量就不同：先伸缩后平移时，平移量要把 |φ| 除以 。检验的办法是代一个特殊点，看变换后的图象是否经过它。

判断

(1) 把 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象。（　　）

(2) 把 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象。（　　）