5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教A版）

第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

1.会通过函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.

2.结合正弦函数的性质,掌握函数y=Asin(ωx+φ)的性质,能构建三角函数模型解决实际问题.

 

题型(一)　由函数图象求解析式

[例1]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　. 

解析:由题意,设A,B,则x2-x1=,由y=sin(ωx+φ)的图象可知,

ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,∴ω=4.又f=sin=0,∴+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,观察图象,可知当k=2时,φ=-满足条件,∴f(π)=sin=-.

答案:-

|思|维|建|模|

由图象确定A,ω,φ的方法

(1)逐一定参法:如果从图象可直接确定A和ω,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时,代入公式ωx+φ=+2kπ,k∈Z,选取最小值点时,代入公式ωx+φ=+2kπ,k∈Z.

(2)待定系数法:将若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式.

(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数.

　　[针对训练]

1.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示,若A>0,ω>0,|φ|<,则 (　 )

A.A=4 　　　B.ω=1

C.φ= 　　　D.B=4

解析:选C　由题图可知,A=2,B=2,T=-=,得T=π,ω=2.因为2×+φ=,又|φ|<,所以φ=.故选C.

2.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　　　　. 

解析:设函数f(x)=2cos(ωx+φ)的周期为T.由题图,可知T=-,∴T=π.又T=,∴|ω|=2.不妨设ω>0,则f(x)=2cos(2x+φ).将代入f(x)中,可得f=2cos=2.∴cos=1,∴+φ=2kπ(k∈Z).∴φ=2kπ-(k∈Z).取k=1,得φ=-.∴f(x)=2cos.∴f=2cos=2cos=2×=-.

答案:-

 

 

题型(二)　函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合应用

 [例2]　已知函数f(x)=cossin-(ω>0),点A,B是函数f(x)的图象与直线y=的两个交点.且AB的最小值为π.

(1)求函数f(x)的单调递增区间;

(2)若对于∀x∈都有f(x)≥m2-m-,求m的取值范围.

解:(1)f(x)=cossin-

=cos-

=sincos+cos2-

=sin ωx+

=sin ωx+cos ωx

==sin,

易知T=AB=π,ω==2,

故f(x)=sin.

当2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),

即x∈(k∈Z)时,函数f(x)单调递增.

(2)∵当x∈ 时,2x+∈,

∴f(x)min=f= .

原不等式等价于≥m2-m-,

即m2-m-2≤0,解得-1≤m≤2.

故m的取值范围是[-1,2] .

|思|维|建|模|

　　对于综合性问题,需要准备之前所学知识,熟悉诱导公式、两角和差的正、余弦公式、二倍角公式等,熟悉三角函数的性质,函数图象的特点.