第10讲 整式的加减 复习讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第10讲：整式的加减 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、同类项 知识点 典型范例 同类项的定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项 例如：和是同类项，和是同类项. 合并同类项的定义 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 例如：． 合并同类项的法则 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变． 例如： 知识点二、去括号法则 去括号法则 举例 1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同． 例如：． 2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 例如：． 知识点三、整式的加减运算 知识点 典型范例 一合并同类项的法则： 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母与字母的指数不变. 合并同类项： 解：原式 二去括号法则： ⑴括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”去掉，括号里各项都不变号； ⑵括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”去掉，括号里各项都变号. 三整式加减的运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 三、常考的题型 考点一、同类项概念及其指数求参数问题 1．下列各组单项式中，不是同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【详解】本题考查同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，常数项是同类项，据此逐项判断即可． 【分析】解：选项A、与的字母相同，且相同字母的指数相同，x指数均为2，y指数均为3，则是同类项； 选项B、与的字母相同，且相同字母的指数均为1，则是同类项； 选项C、与的字母相同，但y的指数不同，前者为2，后者为1，则不是同类项； 选项D、与均为常数项，则是同类项； 故选：C． 2．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义求出m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：由题意得，与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 3．已知单项式与是同类项，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，根据同类项的定义求出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 4．下列各组式子中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】同类项的判断 【分析】同类项需满足两个条件：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，以此为标准验证各选项． 【详解】解：选项A中与、选项C中与，相同字母指数不都相同，均不是同类项． 选项D中与所含字母不同，不是同类项． 选项B中与所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，是同类项． 5．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于2的项称为“泛同类项”．例如：与是“泛同类项”． (1)以下单项式：①；②；③；④．其中与是“泛同类项”的是______（填序号）． (2)已知均为关于的多项式，．若C的任意两项都是“泛同类项”，求正整数n的值． 【答案】(1)②④ (2)或或． 【知识点】求一个数的绝对值、多项式系数、指数中字母求值、合并同类项、同类项的判断、整式的加减运算 【分析】（1）逐个对照定义，检验字母、指数条件筛选； （2）先合并同类项求出，再根据中任意两项都是泛同类项，列出指数满足的绝对值不等式，结合是正整数求出结果． 【详解】（1）解：单项式中，的指数是，的指数是， ① ：字母为，；指数差：，不满足小于2，不符合； ② ：字母为，；，，符合； ③ ：多出字母，所含字母不同，不符合； ④ ：字母为，；，，符合， 综上，是“泛同类项”的是②④； （2）解： 的任意两项都是“泛同类项”， 当时，， 与是泛同类项，符合题意； 当时，, 与是泛同类项，符合题意； 当且时 与是泛同类项，与是泛同类项，与是泛同类项， 要使和是泛同类项， 因为指数差：，所以只需满足； 要使和是泛同类项， 因为指数相同，所以只需满足， 联立不等式组： ， 由得：， 由得：， ∴， 为正整数，且， ∴， 综上所述， 正整数的值为或或． 考点二、合并同类项问题 6．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【详解】解：A、C选项：，，均错误； B选项：，正确； D选项：与不是同类项，不能合并，错误． 7．下列合并同类项正确的是（　　） ；；；；；；；． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项的知识，熟练掌握合并同类项的方法是解题的关键． 合并同类项之前，首先要判断各项是否是同类项，只有满足该条件，才能进行合并，由此排除部分式子，接下来根据合并同类项的法则：字母和字母的指数不变，系数相加减，逐项分析剩余式子的正误即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知，中不存在同类项，故不能合并， 根据同类项的定义可知，中，故合并错误， 结合合并同类项的法则可知：；； ；，合并同类项计算正确， 故选：． 8．下列合并同类项正确的是_______ ；；；；；；；． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项的知识，熟练掌握合并同类项的方法是解题的关键． 合并同类项之前，首先要判断各项是否是同类项，只有满足该条件，才能进行合并，由此排除部分式子，接下来根据合并同类项的法则：字母和字母的指数不变，系数相加减，逐项分析剩余式子的正误即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知，中不存在同类项，故不能合并， 根据同类项的定义可知，中，故合并错误， 结合合并同类项的法则可知：；； ；，合并同类项计算正确， 故答案为：． 9．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算 (1)； (2)与的差． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、整式的加减运算 【分析】（1）根据合并同类项法则，进行化简，即可； （2）先去括号，再合并同类项得到最简结果即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 考点三、去括号和添括号问题 11．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】去括号 【分析】根据去括号法则，括号前为正号去括号后各项不改变符号，括号前为负号去括号后各项改变符号，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，符合去括号法则，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 12．下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添括号 【分析】本题考查添括号法则与提公因式，根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 故选：D． 13．下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题考查了去括号与添括号的法则，按照去括号或添括号的法则进行即可． 【详解】解：A、，故添括号错误； B、，故添括号错误； C、，故去括号错误； D、，故去括号正确． 故选：D． 14．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减运算 【详解】（1）解： （2）解： 15．观察下列各式： ； ； ； ． (1)探索以上四个式子的变化情况，你能总结出添括号的法则吗？ (2)利用你探索出来的规律，解答下面的题目：已知，求的值． 【答案】(1)添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、添括号 【分析】（1）注意观察等号两边的变化，等号右边添加了括号，然后观察符号的变化即可； （2）将所求式子添加括号变形为含有和的形式，然后再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵， ∴ ． 考点四、整式的加减运算 16．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的加减运算 【详解】解： . 17．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，再根据整式的加减运算法则进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 18．化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】（1）先去括号，然后根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据去括号法则和整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，去括号，熟知相关计算法则是解题的关键． 19．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式的加减运算 【分析】（1）根据合并同类项的方法可以解答本题； （2）先去括号，然后合并同类项即可； （3）先去括号，然后合并同类项即可； （4）先去括号，然后合并同类项即可； 本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 【详解】（1）解： ． ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．化简： 【答案】 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减运算 【详解】解： 考点五、已知式子的值，求代数式值 21．已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，去括号，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 先化简再把、整体代入到所求代数式中进行求解即可． 【详解】解：原式． 故选：B． 22．已知，，则整式的值为（     ） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】将待求整式变形为含与的形式，整体代入已知条件计算． 【详解】解：， ∵，， ∴原式 ． 23．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，先把变形为，再把所求的整式化简然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 原式 ， 故选：． 24．已知：，那么代数式的值为（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再把所求式子先去括号，然后合并同类项化简，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 25．【教材呈现】课本页提到“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则． 尝试应用： (1)把看成一个整体，则_______； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、合并同类项、整式的加减运算、整式的加减中的化简求值 【分析】（1）将视为整体，合并同类项计算系数； （2）对所求式子变形，构造出已知的整体，代入求值； （3）先去括号，再分组凑出已知的与两个整体，代入求值． 【详解】（1）解：将视为整体，则． （2）解：， ． （3）解：去括号，得， 重新分组，得． ，， 原式． 考点六、整式加减中的化简求值问题 26．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 化简结果为，求值结果为 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、合并同类项、去括号、整式的加减中的化简求值 【分析】先去括号合并同类项化简整式，再代入给定的x、y的数值计算最终结果． 【详解】 ． 当，时， 原式 ． 27．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【详解】解： ； 当时，原式． 28．已知多项式，，化简：． 下面是一位同学的解题过程： 解：……第一步 ……第二步 …………第三步 ……………………………………第四步 请回答下列问题： (1)这位同学从第_____步开始出现错误，错误的原因是______； (2)请正确化简，并计算当，时，的值． 【答案】(1) 三；去括号时，括号前为负号，括号内的项未改变符号 (2) 化简结果为，当，时，的值为 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减中的化简求值 【分析】（1）由去括号法则可知，这位同学从第三步出现错误，第三步去括号时括号内的项未改变符号； （2）去括号、合并同类项，得到正确的结果，再把，代入化简后的代数式求值． 【详解】（1）解：这位同学从第三步出现错误， 第三步去括号时括号内的项未改变符号； （2）解： ， 当，时， 原式． 29．若与互为相反数． (1)求，的值； (2)规定一种新运算：，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， 又∵， ∴ ， ； （2）解： ． 把代入上式得： 原式． 30．先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1) ，； (2) ， 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减中的化简求值 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式； （2）解：原式 ， 当，时，原式. 考点七、整式加减中的无关型问题 31．已知两个关于、的多项式与的和不含二次项，则的值为_________． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减中的无关型问题 【分析】将两个多项式求和并合并同类项，根据和不含二次项的条件，令所有二次项的系数为0，求出m、n的值，再代入计算的结果． 【详解】解： ∵和不含二次项 ∴， 解得， ∴． 32．若代数式中不含项，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值、整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】合并同类项后令项的系数为即可求解． 【详解】解： ， ∵代数式不含项， ∴， 解得． 33．关于的多项式中，若不含项，则的值为_________． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【详解】解：， ∵关于的多项式中，不含项， ∴， 解得. 34．已知整式，，且多项式的值与字母x的取值无关． (1)求a、b的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)147 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）将A、B代入多项式中去括号，合并同类项，根据与字母x的取值无关列等式，求解出a、b的值． （2）将（1）中求出的a、b的值代入到所求代数式中计算即可． 【详解】（1）解： ∵的值与字母x的取值无关， ∴含x项的系数为0，即， 解得，． （2）解：将，代入代数式得： 原式 ． 35．已知代数式： (1)若，求代数式C； (2)在（1）的条件下，若，，求代数式C的值； (3)若代数式的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，即可； （2）把，代入（1）中结果进行计算即可求解； （3）把变形为，再令x的系数为0，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：当，时， （3）解：， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：． 考点八、整式加减的应用 36．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7个小长方形，除阴影长方形，外，其余5个小长方形的形状、大小完全相同，且较短边为．给出下面四个结论： ①阴影的较长边为； ②阴影的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和，可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影的较长边为，说法①正确； ∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； 当时，阴影A的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的较长边为，较短边为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为：为定值，说法④正确， 综上正确的是①③④． 37．两仓库分别有水泥60吨和40吨，两工地分别需要水泥70吨和30吨，已知从仓库运到工地的运价如表．设从仓库运到工地的水泥为吨． 到工地 到工地 仓库 每吨15元 每吨12元 仓库 每吨10元 每吨9元 (1)从仓库运到工地的水泥为（     ）吨，从仓库运到工地的水泥为（     ）吨，从仓库运到工地的水泥为（     ）吨；（用含x的代数式表示并化简） (2)求把全部水泥从，两仓库运到，两工地的总运输费；（用含的代数式表示并化简） (3)如果从仓库运到工地的水泥为50吨，求总运输费为多少元？ 【答案】(1)从A仓库运到D工地的水泥为吨，从B仓库运到C工地的水泥为吨，从B仓库运到D工地的水泥为吨 (2)总运输费为元 (3)总运输费为1250元 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算、整式加减的应用 【分析】（1）根据A仓库总存量与运到C工地的量的差，推导A运到D工地的量；根据C工地总需求量与A运到C的量的差，推导B运到C工地的量；根据B仓库总存量与运到C工地的量的差，推导B运到D工地的量； （2）结合各线路的运价与运输量，求和后化简得到总运输费的代数式； （3）将代入总运输费的代数式，计算得到结果． 【详解】（1）解：∵A仓库有水泥60吨，从A仓库运到C工地的水泥为吨， ∴从A仓库运到D工地的水泥为吨， ∵C工地需要水泥70吨， ∴从B仓库运到C工地的水泥为吨， ∵B仓库有水泥40吨， ∴从B仓库运到D工地的水泥为吨； （2）解：总运输费为各线路运费之和， ， 即总运输费为元； （3）解：当时，（元）， 答：总运输费为1250元． 38．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则=________； (2)若代数式的值为10，求代数式的值． 【拓展探索】 (3)把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 【答案】(1)9 (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】（1）把直接代入求解即可； （2）整理所求代数式得，再把代入求解即可； （3）设大正方形的边长为y，小正方形的边长为x，则，，再结合，，可得，，可进一步求得，，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ； （3）解：设大正方形的边长为y，小正方形的边长为x， ，， ， ， 解得， ， ， 解得， 图②中的阴影部分面积为． 39．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 初步尝试： (1)如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是______，A，B两点间的距离是______； (2)如果点A表示数3，将点A先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是______，A，B两点间的距离是______； (3)一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，请你猜想终点B表示的数是______，A，B两点间的距离是______． 【答案】(1)4，7 (2)4，1 (3)， 【知识点】数轴上两点之间的距离、列代数式、整式加减的应用、数轴上点的平移（动点问题） 【详解】（1）解：终点B表示的数是，A，B两点间的距离是； （2）解：终点B表示的数是，A，B两点间的距离是； （3）解：终点B表示的数是，A，B两点间的距离是. 40．小明，小刚，小颖三人玩游戏，每人一张写有已化简的代数式的卡片，游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．小明，小刚，小颖的卡片如下，其中小颖的卡片有一部分看不见了． (1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式，请你判断：此操作 （填写“能”或“不能”）使游戏成功； (2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功，你能否帮小颖求出她的代数式． 【答案】(1)不能 (2) 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列出式子，结合整式的加减的运算法则计算得出，再根据的常数项为8，而小颖卡片上代数式中的常数项为，判断即可得解； （2）用小明卡片的代数式加上小刚卡片的代数式即可得解． 【详解】（1）解：； ∵的常数项为8，而小颖卡片上代数式中的常数项为， ∴小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式不等于小颖卡片上的代数式． ∴游戏不能成功． （2）解：小颖卡片上的代数式为：． ∴小颖卡片上的代数式为． 四、查缺补漏 一、单选题 1．若与是同类项，则y的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查同类项的概念，关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项的定义即可求解． 【详解】解：与是同类项， ，， 故选：B． 2．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．根据有理数减法法则计算即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 3．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题考查去括号：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【详解】解：A、，原说法错误，故本选项不符合题意； B、，原说法错误，故本选项不符合题意； C、，原说法错误，故本选项不符合题意； D、，原说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 4．如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】去括号、整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用整式的加减的法则进行求解即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 5．数在数轴上所对应点如图所示：化简（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了绝对值的化简，数轴与有理数，整式的加减，根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可求解，由数轴判断出的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴原式， 故选：． 6．多项式与的差中不含项，则m的值为（   ） A．9 B．3 C．1 D． 【答案】D 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，将多项式进行合并后，令含有项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ∵多项式与的差中不含项， ∴， ∴． 故选：D． 7．在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【知识点】列代数式、整式的加减运算 【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7， 任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有： 左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意； 左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意； 右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意； 把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 8．多项式的值（ ） A．与的大小都无关 B．与的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与的大小无关 D．与的大小都有关 【答案】A 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则进行解题． 根据去括号、合并同类项进行化简，再进行判断即可． 【详解】解： ， 所以与的大小都无关． 故选：A． 二、填空题 9．若与是同类项，那么________． 【答案】9 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】根据同类项的定义：含有字母相同且相同字母的指数相同，列式计算，求值可． 本题考查了同类项，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， 故， 故答案为：9． 10．已知，且当时，，那么当时，y的值为______． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式加减运算，熟练掌握整式加减运算的性质成为解题的关键． 将、代入可得，再将代入，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵，且当时，， ∴，即， ∴当时，． 故答案为． 11．已知关于x的整式中不含有x的一次项和二次项，则_____． 【答案】1 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，根据关于x的整式中不含有x的一次项和二次项，可得含有x的一次项和二次项的系数为0，据此可得，则，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的整式中不含有x的一次项和二次项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 12．如图，正方形的边长为a，长方形的长和宽分别为b和c，且，请用代数式表示阴影部分三角形的面积______． 【答案】 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式以及整式的加减运算，根据阴影部分三角形的面积，分别求出面积可得得出答案． 【详解】解：阴影部分三角形的面积 ， 故答案为：． 13．已知，，且对于任意有理数，代数式的值不变，则的值是______． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的加减-化简求值，解题的关键是理解对于任意有理数，代数式的值不变．把和代入后去括号合并进行化简，再根据对于任意有理数，代数式的值不变求得，的值，最后计算即可求解． 【详解】解：，， ， 对于任意有理数，代数式的值不变， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 三、解答题 14．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项．合并同类项的法则：系数相加减，字母及字母的指数不变．根据合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．已知：，且． （1）求A等于多少？ （2）若，求A的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】（1）用算出A的代数式； （2）根据绝对值和平方式的非负性求出a和b的值，再代入求出A的值． 【详解】解：（1） ； （2）∵，，且， ∴，，解得，， ∴原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的运算法则． 16．化简求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)，24 (2)，17 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则化简式子后，代入，运算即可； （2）根据运算法则化简式子后，代入，运算即可； 【详解】（1） 解：原式 当，时 原式 （2） 原式 ． 当，时 原式 17．如果单项式2mxay与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项． （1）求（7a﹣22）2026的值． （2）若2mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，求（2m﹣5n）2025的值． 【答案】（1）1；（2）0. 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】（1）根据同类项的定义求出a的值，即可求解； （2）根据同类项的运算得到2m﹣5n=0，故可进行求解. 【详解】解：（1）∵2mxay与﹣5nx2a﹣3y是同类项， ∴2a﹣3=a， 解得：a=3， ∴（7a﹣22）2026=1． （2）a=3时，2mx3y﹣5nx3y=0， ∵xy≠0， ∴2m﹣5n=0， ∴（2m﹣5n）2025=0． 【点睛】此题主要考查同类项的应用，解题的关键是熟知同类项的性质. 18．课堂上，老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有代数式（已化简）的卡片，若两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙的卡片有一部分看不清楚了（图中阴影所示）． 甲            乙                 丙 (1)计算甲的代数式减乙的代数式的结果，并判断该运算能否使游戏成功； (2)小明发现丙的代数式减甲的代数式可以使游戏成功，请求出丙的代数式． 【答案】(1)，不成功 (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）根据整式的加减计算法则求出甲的代数式减乙的代数式的结果，再根据结果的常数项与丙的代数式的常数项不同可得答案； （2）由题意得丙的代数式等于甲的代数式加上乙的代数式，据此求出甲的代数式加上乙的代数式的结果即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∵甲的代数式减去乙的代数式的结果的常数项为，而丙的代数式的常数项的结果数为12， ∴甲的代数式减去乙的代数式的结果不等于丙的代数式， ∴该运算不能使游戏成功； （2）解：由题意得丙的代数式等于甲的代数式加上乙的代数式， ， ∴丙的代数式为． 五、课后作业 一、单选题 1．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】根据合并同类项，去括号，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A ．与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B． 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了合并同类项，去括号，正确的计算是解题的关键． 2．下列各组中的两个单项式不是同类项的是（    ） A．与 B．-3与0 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】根据同类项的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、与是同类项，故本选项不符合题意； B、-3与0是同类项，故本选项不符合题意； C、与中，和的指数均不相同，则不是同类项，故本选项符合题意； D、与是同类项，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数相同的两个单项式是同类项，注意：所有的常数项都是同类项是解题的关键． 3．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项的方法成为解题的关键． 根据合并同类项系数相加减、字母部分不变进行解答即可． 【详解】解：A. ，计算正确，符合题意；     B. 与不是同类项，不能合并，故不符合题意；     C. ，故该选项计算错误，不符合题意；     D. ，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 二、填空题 4．已知 与 是同类项，则 5m+3n 的值是________. 【答案】13 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【详解】试题分析：同类项是指所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式．根据题意可得：，解得：，则5m+3n=10+3=13． 5．若，则的值等于______． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】由于4x+3y=5，可将原式化简变形，得出含有4x+3y的形式，整体代入即可求解． 【详解】∵4x+3y=5，∴3（8y﹣x）﹣5（x+6y+2）=24y﹣3x﹣5x﹣30y﹣10=﹣8x﹣6y﹣10=﹣2（4x+3y）﹣10=﹣2×5﹣10=﹣20． 故答案为﹣20． 【点睛】本题考查了整式的加减，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案． 三、解答题 6．若与是同类项，求值． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项的定义即所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m、n的值，进而代入代数式即可得出答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】；25 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】首先对已知式子进行去括号、合并同类项，将其化简为，然后根据非负数和为0求出、的值，最后代入化简后的式子中进行计算即可． 【详解】解： ． ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，整式的加减乘除混合运算，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简． 8．已知，， （1）试比较与的大小关系： （填“”、“”或“=”符号）． （2）求的值，其中． 【答案】（1）<；（2）. 【知识点】整式加减的应用 【分析】（1）先表示出与，再用作差法比较即可； （2）将代入A、B求值，再将A、B的值代入求解即可. 【详解】解：（1），， , 所以； （2）当时，，， 所以. 【点睛】本题考查了整式的加减运算及代入求值，熟练的掌握整式的加减运算是解题的关键. 9．已知，． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a，b的值； (2)当时，多项式的值为21，求当时，多项式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算、整式的加减中的化简求值 【分析】（1）首先化简，然后根据题意列方程求解即可； （2）首先将代入得到，然后将代入，最后整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：把代入得： ， ∴， 把代入得： ， ∴当时，的值为． 【点睛】此题考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则． 10．（1）设，．当a，b互为倒数时，求的值； （2）先化简，再求值：．其中，． 【答案】（1），；（2）， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减及化简求值． （1）将A，B代入，去括号，合并同类项即可化简，再根据倒数的意义，代入计算即可； （2）先去括号，合并同类项，把所求式子化简，再将x，y的值代入即可． 【详解】解：（1）当，时， ， ∵a，b互为倒数， ∴， ∴原式； （2） ； 当，时， 原式 ． 11．小明在计算多项式减去多项式时，误计算成加上这个多项式，结果得到答案． （1）请你帮小明求出多项式； （2）对于（1）式中的多项式，当时，，求多项式的值． 【答案】（1）；（2）-31 【知识点】整式加减的应用 【分析】（1）根据小明在计算多项式减去多项式时，误计算成加上这个多项式，得到结果，令减去可以得到M，即可解答本题． （2）根据（1）中的结果，代入即可得解． 【详解】（1）根据题意，得 M+= M=-（）= （2）当时，， M===-31． 【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是明确题意，进行正确的计算． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲：整式的加减 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、同类项 知识点 典型范例 同类项的定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项 例如：和是同类项，和是同类项. 合并同类项的定义 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 例如：． 合并同类项的法则 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变． 例如： 知识点二、去括号法则 去括号法则 举例 1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同． 例如：． 2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 例如：． 知识点三、整式的加减运算 知识点 典型范例 一合并同类项的法则： 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母与字母的指数不变. 合并同类项： 解：原式 二去括号法则： ⑴括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”去掉，括号里各项都不变号； ⑵括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”去掉，括号里各项都变号. 三整式加减的运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 三、常考的题型 考点一、同类项概念及其指数求参数问题 1．下列各组单项式中，不是同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 3．已知单项式与是同类项，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 4．下列各组式子中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于2的项称为“泛同类项”．例如：与是“泛同类项”． (1)以下单项式：①；②；③；④．其中与是“泛同类项”的是______（填序号）． (2)已知均为关于的多项式，．若C的任意两项都是“泛同类项”，求正整数n的值． 考点二、合并同类项问题 6．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 7．下列合并同类项正确的是（　　） ；；；；；；；． A． B． C． D． 8．下列合并同类项正确的是_______ ；；；；；；；． 9．合并同类项： (1)； (2)． 10．计算 (1)； (2)与的差． 考点三、去括号和添括号问题 11．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 12．下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 13．下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 14．化简： (1) (2) 15．观察下列各式： ； ； ； ． (1)探索以上四个式子的变化情况，你能总结出添括号的法则吗？ (2)利用你探索出来的规律，解答下面的题目：已知，求的值． 考点四、整式的加减运算 16．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 17．化简： (1)； (2)． 18．化简 (1) (2) 19．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．化简： 考点五、已知式子的值，求代数式值 21．已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 22．已知，，则整式的值为（     ） A．8 B． C．16 D． 23．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 24．已知：，那么代数式的值为（　　） A．3 B．6 C． D． 25．【教材呈现】课本页提到“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则． 尝试应用： (1)把看成一个整体，则_______； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 考点六、整式加减中的化简求值问题 26．先化简，再求值：，其中，． 27．先化简，再求值：，其中． 28．已知多项式，，化简：． 下面是一位同学的解题过程： 解：……第一步 ……第二步 …………第三步 ……………………………………第四步 请回答下列问题： (1)这位同学从第_____步开始出现错误，错误的原因是______； (2)请正确化简，并计算当，时，的值． 29．若与互为相反数． (1)求，的值； (2)规定一种新运算：，求的值． 30．先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中，． 考点七、整式加减中的无关型问题 31．已知两个关于、的多项式与的和不含二次项，则的值为_________． 32．若代数式中不含项，则的值为（     ） A． B． C． D． 33．关于的多项式中，若不含项，则的值为_________． 34．已知整式，，且多项式的值与字母x的取值无关． (1)求a、b的值； (2)求代数式的值． 35．已知代数式： (1)若，求代数式C； (2)在（1）的条件下，若，，求代数式C的值； (3)若代数式的值与x的取值无关，求y的值． 考点八、整式加减的应用 36．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7个小长方形，除阴影长方形，外，其余5个小长方形的形状、大小完全相同，且较短边为．给出下面四个结论： ①阴影的较长边为； ②阴影的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 37．两仓库分别有水泥60吨和40吨，两工地分别需要水泥70吨和30吨，已知从仓库运到工地的运价如表．设从仓库运到工地的水泥为吨． 到工地 到工地 仓库 每吨15元 每吨12元 仓库 每吨10元 每吨9元 (1)从仓库运到工地的水泥为（     ）吨，从仓库运到工地的水泥为（     ）吨，从仓库运到工地的水泥为（     ）吨；（用含x的代数式表示并化简） (2)求把全部水泥从，两仓库运到，两工地的总运输费；（用含的代数式表示并化简） (3)如果从仓库运到工地的水泥为50吨，求总运输费为多少元？ 38．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则=________； (2)若代数式的值为10，求代数式的值． 【拓展探索】 (3)把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 39．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 初步尝试： (1)如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是______，A，B两点间的距离是______； (2)如果点A表示数3，将点A先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是______，A，B两点间的距离是______； (3)一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，请你猜想终点B表示的数是______，A，B两点间的距离是______． 40．小明，小刚，小颖三人玩游戏，每人一张写有已化简的代数式的卡片，游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．小明，小刚，小颖的卡片如下，其中小颖的卡片有一部分看不见了． (1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式，请你判断：此操作 （填写“能”或“不能”）使游戏成功； (2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功，你能否帮小颖求出她的代数式． 四、查缺补漏 一、单选题 1．若与是同类项，则y的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 3．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果，那么（   ） A． B． C． D． 5．数在数轴上所对应点如图所示：化简（   ） A． B． C． D． 6．多项式与的差中不含项，则m的值为（   ） A．9 B．3 C．1 D． 7．在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 8．多项式的值（ ） A．与的大小都无关 B．与的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与的大小无关 D．与的大小都有关 二、填空题 9．若与是同类项，那么________． 10．已知，且当时，，那么当时，y的值为______． 11．已知关于x的整式中不含有x的一次项和二次项，则_____． 12．如图，正方形的边长为a，长方形的长和宽分别为b和c，且，请用代数式表示阴影部分三角形的面积______． 13．已知，，且对于任意有理数，代数式的值不变，则的值是______． 三、解答题 14．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．已知：，且． （1）求A等于多少？ （2）若，求A的值． 16．化简求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 17．如果单项式2mxay与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项． （1）求（7a﹣22）2026的值． （2）若2mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，求（2m﹣5n）2025的值． 18．课堂上，老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有代数式（已化简）的卡片，若两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙的卡片有一部分看不清楚了（图中阴影所示）． 甲            乙                 丙 (1)计算甲的代数式减乙的代数式的结果，并判断该运算能否使游戏成功； (2)小明发现丙的代数式减甲的代数式可以使游戏成功，请求出丙的代数式． 五、课后作业 一、单选题 1．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各组中的两个单项式不是同类项的是（    ） A．与 B．-3与0 C．与 D．与 3．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知 与 是同类项，则 5m+3n 的值是________. 5．若，则的值等于______． 三、解答题 6．若与是同类项，求值． 7．先化简，再求值：，其中． 8．已知，， （1）试比较与的大小关系： （填“”、“”或“=”符号）． （2）求的值，其中． 9．已知，． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a，b的值； (2)当时，多项式的值为21，求当时，多项式的值． 10．（1）设，．当a，b互为倒数时，求的值； （2）先化简，再求值：．其中，． 11．小明在计算多项式减去多项式时，误计算成加上这个多项式，结果得到答案． （1）请你帮小明求出多项式； （2）对于（1）式中的多项式，当时，，求多项式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $