3.2 确定圆的条件（课件）--2026-2027学年苏科版数学九年级上册

# 苏科版数学九年级上册 3.2 确定圆的条件 专项练习 ## 一、知识梳理（先填空，再做题） 1. 经过一个已知点，可以作______个圆；经过两个已知点，可以作______个圆，这些圆的圆心都在连接这两点的线段的______上。 2. 不在同一直线上的三个点确定______个圆；经过同一直线上的三个点______（填“能”或“不能”）作圆。 3. 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的______，它的圆心叫做三角形的______，它是三角形三条边的______的交点。 4. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离______，这个距离就是外接圆的______。 5. 锐角三角形的外心在三角形______，直角三角形的外心在______，钝角三角形的外心在三角形______。 6. 直角三角形外接圆的直径就是它的______，因此外接圆半径等于斜边的______。 7. 证明“经过同一直线上三点不能作圆”常用______法。 ## 二、过一点、两点作圆 1. 经过已知点 A，可以作多少个圆？这些圆的圆心在哪里？ 2. 经过已知点 A、B，可以作多少个圆？这些圆的圆心在哪里？请说明理由。 3. 经过同一直线上的三个点 A、B、C，能作一个圆吗？为什么？ ## 三、三角形的外接圆与外心 1. 什么是三角形的外接圆？什么是三角形的外心？外心有什么性质？ 2. 已知⊙O 是△ABC 的外接圆，OA＝4 cm，求 OB、OC 的长以及⊙O 的直径。 3. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm。（1）求 AB 的长；（2）求这个三角形外接圆的半径；（3）外心在什么位置？ ## 四、判断与说理 1. 请分别说明锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心位置。 2. 若一个三角形的外心在它的一条边上，这个三角形是什么三角形？为什么？ 3. 请用反证法说明：经过同一直线上的三点不能作圆。 ## 五、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 经过三个点一定可以作一个圆　B. 不在同一直线上的三个点确定一个圆　C. 经过两个点只能作一个圆　D. 三角形的外心一定在三角形内部 2. 三角形的外心是（　　） A. 三条中线的交点　B. 三条角平分线的交点　C. 三条高的交点　D. 三条边的垂直平分线的交点 3. 直角三角形的外心位于（　　） A. 三角形内部　B. 斜边的中点　C. 直角顶点　D. 三角形外部 4. 经过平面内两个已知点，可以作圆的个数是（　　） A. 1 个　B. 2 个　C. 无数个　D. 0 个 5. 钝角三角形的外心位于（　　） A. 三角形内部　B. 三角形外部　C. 最长边的中点　D. 钝角的顶点 ## 六、诊断纠错：下面的解法对不对？错的说明错在哪，并写出正确结果 1. 解：因为经过三个点可以作一个圆，所以任意三个点都能确定一个圆。 2. 解：三角形的外心是三角形三条角平分线的交点。 3. Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8。解：AB＝10，所以外接圆的半径为 10。 ## 七、易错提醒与方法小结 - “三点定圆”的前提是三点不在同一直线上；遇到共线三点要立刻想到“垂直平分线互相平行、没有交点”。 - 外心是三条边垂直平分线的交点，不是角平分线、中线或高的交点，这三者分别对应内心、重心、垂心。 - 外心的本质是“到三个顶点距离相等的点”，所以求半径时用“外心到顶点的距离”，不要误用边长。 - 直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，直径就是斜边，这一条在计算题里出现频率最高。 - 外心位置看三角形形状：锐角在内、直角在斜边中点、钝角在外。 - 反证法三步：假设—推出矛盾—否定假设，最后要回到原结论。 ## 参考答案 一、1. 无数；无数；垂直平分线　2. 一；不能　3. 外接圆；外心；垂直平分线　4. 相等；半径　5. 内部；斜边的中点；外部　6. 斜边；一半　7. 反证 二、1. 无数个，圆心可以是平面内除点 A 以外的任意一点　2. 无数个，圆心都在线段 AB 的垂直平分线上，因为圆心到 A、B 的距离必须相等　3. 不能。因为圆心必须同时在这三点连线段的垂直平分线上，而同一直线上两条线段的垂直平分线互相平行，没有交点 三、1. 经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心；外心到三个顶点的距离相等　2. OB＝OC＝4 cm，直径＝8 cm　3.（1）AB＝√(6²＋8²)＝10 cm；（2）外接圆半径＝10/2＝5 cm；（3）外心在斜边 AB 的中点 四、1. 锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部　2. 是直角三角形。因为外心在边上时，该边所对的角是直角，这条边就是外接圆的直径　3. 假设经过 A、B、C 三点可以作圆，圆心为 O，则 OA＝OB＝OC，所以 O 既在 AB 的垂直平分线上，又在 BC 的垂直平分线上；但 A、B、C 共线时这两条垂直平分线互相平行，不可能相交，与假设矛盾，故经过同一直线上的三点不能作圆 五、1. B　2. D　3. B　4. C　5. B 六、1. 错，缺少“不在同一直线上”这一前提。正确：不在同一直线上的三个点确定一个圆　2. 错，把外心与内心混淆了。正确：外心是三条边垂直平分线的交点　3. 错，把直径当成了半径。正确：外接圆半径为 5 > 建议限时 30 分钟完成第二至第四题组；每道题先画草图定外心位置，再用“外心到三顶点距离相等”列式，最后回到题目要求的量。 --- 全文约 1623 字（按 Word 统计口径，含字母和数字），七类板块：知识梳理、过点作圆、外接圆与外心、判断与说理、选择、诊断纠错、易错小结，答案与解析附后，可直接打印。本课关键：外心是垂直平分线的交点，不是角平分线；外心的判定靠“到三顶点距离相等”；直角三角形的外接圆半径就是斜边的一半。 苏科版（新教材）数学九年级上册 3.2 确定圆的条件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第3章 圆 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 新知探究 画一个圆，使它经过一个已知点A，这样的圆能画多少个？ A · O1 · O2 · O3 · 思考：圆心的位置可以在哪里？半径又该如何确定？ 在平面内任取一点，以这点为圆心，它到点A 的距离为半径作圆，这样的圆能作无数个． 新知探究 画一个圆，使它经过两个已知点A、B，这样的圆能画多少个？ 思考：圆心有什么规律吗？ · · · · B · A 经过两个已知点A，B 画圆，圆心到点A，B的距离相等，圆心在线段AB 的垂直平分线上． 无数个 新知探究 画一个圆，使它经过三个已知点A、B、C，这样的圆能画多少个？ 三个已知点A、B、C的位置有几种情况？ 当 A、B、C三点在 一条直线上时，线段 AB、BC的垂直平分线 l1、l2 互相平行，它们没有交点，不能画出经过A、B、C三点的圆． 两种 · B · A · C l1 l2 A、B、C三点在一条直线上 新知探究 三个已知点A、B、C的位置有几种情况？ 当A、B、C三点不在 一条直线上时，l1与l2相交于 点O，因为OA＝OB＝OC，所以 以点O为圆心，OA为半径可以 确定一个圆，这个圆经过 A、B、C三点． 两种 l1 O A B C l2 画一个圆，使它经过三个已知点A、B、C，这样的圆能画多少个？ A、B、C三点不在一条直线上 新知归纳 不在同一条直线上的三点确定一个圆. 前提条件 有且只有 三点确定一个圆. 概念学习 C A B O 因为三角形的三个顶点不共线，所以它们可以确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆． 外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形，外心是三角形三边的垂直平分线的交点． 外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离即为外接圆的半径. 概念学习 如图，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形． C A B O 辨析：三角形的外接圆有几个？ 圆的内接三角形又有多少？ 三角形的外接圆有且只有一个，但圆的内接三角形却有无数个. 例题讲解 例1 尺规作图：如图，已知△ABC，作△ABC的外接圆． 作法： ① 分别作AB，BC的垂直平分线l1、l2， l1与l2的交点为O． ② 以点O为圆心，OA长为半径作圆． ⊙O 即为所求． l1 l2 A O B C 返回 C 1. 一个三角形的外心在它的内部，则这个三角形一定是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 举一反三 10 返回 2. D 如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 举一反三 返回 3. A 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 举一反三 新知巩固 1．通过例题中的作图我们知道，当△ABC是锐角三角形时，外心 O 在三角形的内部．当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，外心 O 在什么位置？分别作出它们的外接圆，验证你的猜想． A B C C A B ┐ A B C ●O ●O ●O 新知归纳 锐角三角形的外心在三角形的内部； 直角三角形的外心在斜边的中点处，斜边即为外接圆的直径，因 此外接圆半径等于斜边长度的一半； 钝角三角形的外心在三角形的外部，且位于钝角所对边的另一侧． 新知巩固 2．问题引入中的残缺青铜镜，你能用直尺和圆规确定它的圆心并画出它所在的圆吗？ 解：如图所示： (1)在圆弧上任取三点 A、B、C； (2)作线段 AC、 BC 的垂直平分线， 其交点 O 即为圆心． ⊙O 即为它所在的圆． ● B ● C O ● ● A 概念引入 　　一般地，如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆（circumcircle of polygon），这个多边形叫作圆的内接多边形（innerpolygon of circle）． 探究交流 任意四边形都有外接圆吗? 解：任意四边形不一定都有外接圆．理由如下：根据“不在同一条直线上的三点确定一个圆．”可知：对于任意四边形，经过它的三个顶点可以确定一个圆，但第四个顶点不一定在这个圆上．只有当四边形四个顶点都在同一个圆上时，才称该四边形有外接圆． 例题讲解 例2 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，经过点A，B，D三点作⊙O，试说明点C在⊙O上． O 解：如图，过A，B，D三点作⊙O．连接OA，OB，OD，OC. ∵ OA＝OB＝OD， ∴ ∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA， ∴ ∠AOD＝180°－2∠OAD， ∠AOB＝180°－2∠OAB， ∵ ∠BAD＝90°，∴ ∠OAD＋∠OAB＝90°， ∴ ∠AOD＋∠AOB＝180°－2∠OAD＋180°－2∠OAB ＝360°－2(∠OAD＋∠OAB) ＝360°－2×90°＝180°， ∴ B，O，D三点共线．∴ OB＝OD＝BD． ∵ ∠BCD＝90°，∴ OC＝BD＝OB，∴ 点C在⊙O上． A B D C ┐ ┐ ● 四点共圆 返回 4. 已知直角三角形两条边的长分别是3和4，则其外接圆的半径是________． 举一反三 返回 5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，则经画图操作可知：△ABC外心的坐标应是_____________． (－2，－1) 举一反三 返回 6. 4 若过平面直角坐标系中的三个点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，m)能确定一个圆，则m≠________． 举一反三 7. “连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图①为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图②为另一件连弧纹镜(残件)的示意图． (1)若将图②中的连弧纹镜补全， 则该铜镜应为“________连弧纹镜”； 七 举一反三 返回 解：如图所示，即为所求． (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图②中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．(保留作图痕迹，不写作法) 举一反三 返回 8. [镇江一模]如图，A，O两点在网格中小正方形的顶点处，每个小正方形的边长均为1，在此网格中再找两个格点(即小正方形的顶点)B，C，使点O为△ABC的外心，则BC的长度是(　　) A 举一反三 返回 9. D 如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB＝AC，连接OB，记∠C＝α，∠CBO＝β，则α，β满足的关系式为(　　) 举一反三 25 返回 10. 12 无锡期末如图，E是△ABC的外心，P，Q分别是AB，AC的中点，连接EP，EQ，交BC于F，D两点．若BF＝5，DF＝3，CD＝4，则△FAD的周长为________． 举一反三 26 返回 11. 如图，AB＝4，C为线段AB上的一个动点(不与点A，B重合)，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，则在点C运动的过程中，△CDE的外接圆面积的最小值为________． 返回 举一反三 27 12. 解：△ABC是等腰三角形． 证明：如图，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F. ∵AD是△ABC的角平分线，∴DE＝DF. 又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. 如图，已知AD既是△ABC的中线，又是△ABC的角平分线． (1)判断△ABC的形状，并证明你的结论； 举一反三 28 举一反三 解：AD过△ABC外接圆的圆心O. 证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC. 又∵BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线． ∴AD过△ABC外接圆的圆心O. (2)AD是否过△ABC外接圆的圆心O，并证明你的结论． 返回 举一反三 30 课堂小结 3.2 确定圆的条件 核心定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 三角形外接圆与外心：外心是三边中垂线交点 三类三角形外心位置规律 核心作图方法：利用垂直平分线找圆心 残圆找圆心→圆弧取三点，作中垂线找交点定圆心 谢谢观看 THANKS 或2 A．3 B．2 C．4 D． A．2β－α＝90° B．2β－α＝180° C．β＋α＝90° D．2α－β＝90° 在Rt△BDE与Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)． ∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形． $