3.1.2 弦、弧和圆心角（课件）--2026-2027学年苏科版数学九年级上册

# 苏科版数学九年级上册 3.1.2 弦、弧和圆心角 专项练习 ## 一、知识梳理（先填空，再做题） 1. 顶点在______的角叫做圆心角，它两边与圆的交点之间的部分就是它所对的______。 2. 把整个圆周分成 360 等份，每一份的弧叫做______的弧，记作 1°；n° 的圆心角所对的弧的度数就是______。 3. 圆心角的度数与它所对弧的度数______，但弧的度数不等于弧的______。 4. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______，所对的弦也______。 5. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量都______。 6. 一条弦把圆分成两条弧，因此一条弦对应______条弧，但对应______个圆心角（小于平角的）。 ## 二、圆心角与弧的度数 1. ⊙O 中，圆心角∠AOB＝60°，则弧 AB 的度数是______，它是______（填“优弧”或“劣弧”）。 2. 若弧 CD 的度数为 120°，则它所对圆心角∠COD 的度数是______。 3. 一条弧的度数为 200°，则它所对圆心角的度数是______，这条弧是______弧。 4. 度数为 180° 的弧叫做______，它所对的弦是圆的______。 5. 圆心角由 60° 增大到 120°，它所对的弧的度数将怎样变化？ ## 三、相等关系的判断 1. 在⊙O 中，弦 AB＝弦 CD，则弧 AB 与弧 CD 有什么关系？∠AOB 与∠COD 呢？ 2. 在⊙O 中，∠AOB＝∠COD，则弦 AB 与弦 CD 有什么关系？说明依据。 3. 已知⊙O₁ 与⊙O₂ 是等圆，弧 AB（在⊙O₁ 中）与弧 CD（在⊙O₂ 中）的度数相等，那么弦 AB 与弦 CD 相等吗？为什么？ 4. 在⊙O 中，弧 AB＝弧 BC，则弦 AB 与弦 BC 是否相等？∠AOB 与∠BOC 呢？ ## 四、计算与说理 1. 点 A、B、C 依次在⊙O 上，∠AOB＝70°，∠BOC＝50°，求∠AOC 的度数与弧 AC 的度数。 2. 一个圆被三条半径分成三段弧，这三段弧的度数之比为 1∶2∶3，求这三个圆心角的度数。 3. 在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，且弧 AB＝弧 CD，求证：AB＝CD。 4. 在⊙O 中，∠AOB＝∠COD，AB＝6 cm，求 CD 的长，并说明理由。 5. 一条弦把圆分成度数为 2∶3 的两条弧，求这两条弧的度数，并判断哪一条是劣弧。 ## 五、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 相等的圆心角所对的弧相等　B. 在同圆中，相等的弦所对的弧相等　C. 度数相等的两条弧是等弧　D. 弧的度数就是弧长 2. 把圆周分成 360 等份，每一份的弧叫做（　　） A. 半圆　B. 1° 的弧　C. 优弧　D. 劣弧 3. 在⊙O 中，若∠AOB＝∠COD，则下列结论不一定成立的是（　　） A. 弧 AB＝弧 CD　B. AB＝CD　C. 点 O 到 AB、CD 的距离相等　D. 弧 AB 与弧 CD 都是劣弧 4. 一条弦所对的弧有（　　） A. 1 条　B. 2 条　C. 3 条　D. 无数条 5. 下列命题中，真命题是（　　） A. 长度相等的两条弧是等弧　B. 度数相等的两条弧是等弧　C. 在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等　D. 弦相等则弧一定相等 ## 六、诊断纠错：下面的解法对不对？错的说明错在哪，并写出正确结果 1. 解：因为∠AOB＝∠COD，所以弧 AB＝弧 CD。 2. 解：因为弧 AB 的度数为 90°，弧 CD 的度数为 90°，所以弧 AB 与弧 CD 是等弧。 3. 解：因为弧 AB 的度数为 60°，所以弧 AB 的长度为 60。 ## 七、易错提醒与方法小结 - 说“相等的圆心角所对的弧相等”，前面必须加“在同圆或等圆中”，否则大小不同的两个圆里，同样的圆心角所对的弧长并不相等。 - 弧的度数讲的是“占圆周的多少份”，弧长讲的是“有多长”，二者单位不同，不能混为一谈。 - 一条弦对应两条弧、两个圆周角，答题时要先说明取的是哪一条弧，否则容易漏解。 - 用圆心角定理证题，先写“在同圆中”，再写“因为∠AOB＝∠COD”，最后写“所以弧 AB＝弧 CD、AB＝CD”，一步都不能省。 - 等弧的定义是“在同圆或等圆中能够互相重合的弧”，只凭度数相等或长度相等都不能判定等弧。 - 圆心角的度数等于它所对弧的度数，这一条是把“角”与“弧”互相转化的桥梁，计算题几乎都要用到。 ## 参考答案 一、1. 圆心；弧　2. 1°；n°　3. 相等；长度　4. 相等；相等　5. 相等　6. 两；两 二、1. 60°；劣弧　2. 120°　3. 200°；优弧　4. 半圆；直径　5. 也由 60° 变为 120°，度数扩大为原来的 2 倍 三、1. 弧 AB＝弧 CD，∠AOB＝∠COD。依据：在同圆中，相等的弦所对的弧相等、所对的圆心角相等　2. AB＝CD。依据：在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等　3. 相等。因为在等圆中，度数相等的弧所对的弦相等　4. AB＝BC，∠AOB＝∠BOC，因为在同圆中相等的弧所对的弦、圆心角都相等 四、1. ∠AOC＝70°＋50°＝120°，弧 AC 的度数为 120°　2. 圆心角之和为 360°，三个圆心角依次为 60°、120°、180°　3. 因为在同圆中弧 AB＝弧 CD，所以它们所对的圆心角相等，即∠AOB＝∠COD，再由同圆中相等的圆心角所对的弦相等，得 AB＝CD　4. CD＝6 cm，因为在同圆中相等的圆心角所对的弦相等　5. 两条弧的度数之和为 360°，故分别为 144° 和 216°，其中 144° 的弧小于半圆，是劣弧 五、1. B　2. B　3. D　4. B　5. C 六、1. 错，缺少“在同圆或等圆中”这一前提。正确：在同圆或等圆中，若∠AOB＝∠COD，则弧 AB＝弧 CD　2. 错，度数相等不等于等弧，还必须在同圆或等圆中。正确：若两弧在同一个圆中，则它们是等弧　3. 错，把弧的度数与弧长混为一谈。正确：弧 AB 的度数为 60°，但弧长不等于 60 > 建议限时 30 分钟完成第二至第四题组；每道题先在图上标出圆心角与对应的弧，再判断“角—弧—弦”三者中哪一组相等，最后补上“在同圆或等圆中”这一前提。 --- 全文约 1614 字（按 Word 统计口径，含字母和数字），七类板块：概念梳理、圆心角与弧度数、相等关系判断、计算与说理、诊断纠错、选择、易错小结，答案与解析附后，可直接打印。本课的主线只有一句：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者“一相等则全相等”，凡是缺了前提的结论都错。 苏科版（新教材）数学九年级上册 3.1.2 弦、弧和圆心角 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第3章 圆 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 问题情境 圆是曲线，我们如何研究它？ 我们可以通过线段与角来研究圆的几何性质． ∠AOB的大小在变化；线段AB的长度也在变化 画圆过程中，哪些几何元素在变化？ 思考：圆中有多少条弦？直径是弦吗？弦一定是直径吗？ 圆中有无数条弦，其中直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径． 概念讲解 连接圆上任意两点的线段叫作弦 (chord)． 如图，AC是⊙O的弦． 经过圆心的弦叫作直径 (diameter)． 如图，AB是⊙O的直径． 1.弦的定义： A C O ● B 新知巩固 如图,点A,B,C,D在⊙O上．在图中画出以这四点中的两点为端点的弦． O ● C ● B ● A ● 解：有6条弦，分别为线段AB，AC，AD，BC，BD，CD． D ● 1＋2＋3＋4＋⋯＋n－1＝ 延伸：若圆上有n个点，以其中的两点为端点的弦共有多少条？ 概念讲解 圆上任意两点间的曲线段叫作圆弧， 简称弧(arc)，用符号“⌒”表示． 如图，以A，C为端点的弧，记作“”， 读作“弧AC”． 2.弧的定义： O ● C ● A ● 概念讲解 O ● 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成长度相等的两条弧，每条弧都叫作半圆． 大于半圆的弧叫作优弧 (major arc)， 小于半圆的弧叫作劣弧 (minor arc)． 如图，是优弧，是劣弧． C ● 劣弧通常用两个大写字母表示，优弧通常用三个大写字母表示. B ● A ● 弧分为3类. P M N 概念讲解 O ● 3.圆心角的定义： B A 顶点在圆心的角叫作圆心角(central angle)． 如图，∠AOB是圆心角． 辨析：如图，∠PMN是不是圆心角？为什么？ 不是，角的顶点不在圆心． ● O A B C 新知巩固 1．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是 ( ) A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OCB B 2．图中共有___条弧，其中劣弧是__________，优弧是____________ 6 · O A B C 第1题 第2题 一条弦对的弧有两条. 概念讲解 4.同心圆、等圆的定义： 圆心相同，半径不相等的两个圆叫作同心圆 (concentric circles)． 半径相等的两个圆叫作等圆 (equal circle)． ● O ● ● 获取新知 同圆或等圆的半径相等． 同一个圆中，所有半径长度相等，等圆的所有半径也相等．由此，我们得到如下结论： 这是圆的几何性质中最基础的公理，也是圆中相关证明与计算的根本依据． 例题讲解 例2 如图，点A，B和点C，D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，∠AOB＝∠COD．∠C与∠D相等吗？为什么？ 解：∠C与∠D相等．理由如下： ∵ ∠AOB＝∠COD， ∴ ∠AOB＋∠AOC＝∠COD＋∠AOC． 即 ∠BOC＝∠AOD． ∵ OB＝OA，OC＝OD（同圆的半径相等）， ∴ △BOC≌△AOD． ∴ ∠C＝∠D． ● ● O A B D C △AOD 绕点O 旋转后可以与△BOC 重合． 返回 1. 盐城期末在⊙O中，最长的弦是6 cm，则⊙O的半径为(　　) A．9 cm B．6 cm C．3 cm D．1.5 cm C 举一反三 12 返回 2. A 如图，是圆O弦的是(　　) A．线段AB B．线段AC C．线段AE D．线段DE 举一反三 返回 3. A 下列说法正确的有(　　) ①弦是直径；②弧是半圆；③半圆是圆中最长的弧；④直径是圆中最长的弦；⑤半径相等的圆是等圆； ⑥优弧一定比劣弧长． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 举一反三 新知巩固 1．如图，OA，OB 是 ⊙O 的半径，C，D 分别是 OA，OB 的中点． AD 与 BC 相等吗？为什么？ A B C D O 解：AD与BC相等．理由如下： ∵ C，D分别是OA，OB的中点， ∴ OC＝OA， OD＝OB， ∵ OA＝OB（同圆的半径相等）， ∴ OC＝OD． 在△AOD和△BOC中，， ∴ △AOD≌△BOC (SAS)， ∴ AD＝BC． 新知巩固 2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D， CD＝4，OD＝3．求AB的长． A B C D O ● 解：连接OC． ∵ CD⊥AB，∴ ∠ODC＝90° 在Rt△ODC中，由勾股定理，得 OC2＝OD2＋CD2＝32＋42＝25．解得 OC＝5． ∵ AB是⊙O的直径， ∴ AB＝OA＋OB＝2OC（同圆的半径相等） ∴ AB＝2×5＝10． 答：AB的长为10． 新知探究 如图，用直尺和圆规分别作顶点都在⊙O上的等腰三角形和正方形． ● O 解：等腰三角形的作法： 1．在圆周上任意取一点 A ； 2．以 A 为圆心、小于直径的任意长为半径画弧， 交⊙O于两点 B、C ； 3．连接线段 AB、AC、BC ； △ABC 即为所求的等腰三角形． A ● C ● B ● 新知探究 正方形的作法： 1．作直径 AB ； 2．过 O 作AB的垂线，交⊙O于C，D两点； 3．依次连接 A，C，B，D ； 四边形 ACBD 即为所求的正方形． 如图，用直尺和圆规分别作顶点都在⊙O上的等腰三角形和正方形． A B ● O C ● D ● 新知巩固 1．在图中，画出⊙O的两条直径，依次连接这两条直径的端点得到一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由． A B C D O ● 解：矩形．理由如下： 如图，AC、BD是⊙O的两条直径，顺次连接 AB、BC、CD、DA． ∵ OA＝OC，OB＝OD（同圆的半径相等）， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． ∵ AC＝BD， ∴ 四边形ABCD为矩形． 返回 4. 如图，AB为⊙O的直径，点C，E在圆上，CO的延长线交BE于点D，则图中的线段是弦的是_______________，是直径的是________， 是半径的是_________________．图中的弧是劣弧的是_________________________，是优弧的是______________________________． 线段AB，BE 线段AB 线段OA，OB，OC AC，BC，BE，AE，CE ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ CBE，CEB，ABC，ABE，BCE ︵ ︵ ︵ ︵ 举一反三 返回 5. 如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为________． 30° 举一反三 返回 6. 40° 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝________． 举一反三 7. 南通期末如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D，连接AB，CD.求证：AB∥CD. 举一反三 返回 举一反三 返回 8. C 如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与点M，N重合，当点P在弧MN上由M到N移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2＋PB2的值(　　) A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 举一反三 返回 9. D 如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB．已知∠DOB＝72°，则∠E等于(　　) A．36° B．30° C．18° D．24° 举一反三 26 返回 10. 如图，过A，C，D三点的圆的圆心为点E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠θ的度数是________． 18° 举一反三 27 返回 11. 如图，⊙O中，直径为MN，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°.若AB＝1，则⊙O的半径为________． 举一反三 28 课堂小结 3.1 圆的相关概念（2） 圆的相关概念：弦、直径、弧（优弧、劣弧、半圆）、 圆心角、同心圆、等圆 性质：同圆或等圆半径相等 应用：①证明线段/角相等：全等三角形； ②计算半径的长度：勾股定理，矩形的性质 谢谢观看 THANKS 证明：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝(180°－∠O)． ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝(180°－∠O)．∴∠OCD＝∠OAB.∴AB∥CD. $