2.1 反比例函数的概念（课件）--2026-2027学年苏科版数学九年级上册

# 苏科版数学九年级上册 2.1 反比例函数的概念 专项练习 ## 一、知识梳理（先填空，再做题） 1. 如果两个变量 \(x,y\) 之间的关系可以写成 \(y=\dfrac{k}{x}\)（\(k\) 为常数，\(k\)______0），那么称 \(y\) 是 \(x\) 的反比例函数。 2. 反比例函数的另外两种等价形式：\(xy=\boldsymbol{k}\)；\(y=kx^{-1}\)。自变量 \(x\) 的取值范围是________。 3. 反比例函数判断要点：\(x\) 的次数是______，且不能出现在根号、分母以外的位置；\(k\) 是不为0的常数。 4. 若点 \((a,b)\) 在反比例函数 \(y=\dfrac{k}{x}\) 的图像上，则 \(ab=\)______。 ## 二、判断：下列式子中，哪些是反比例函数？是打√，不是打× 1. \(y=\dfrac{3}{x}\)　　（） 2. \(y=-\dfrac{2}{x}\)　（） 3. \(y=\dfrac{x}{5}\)　　（） 4. \(y=\dfrac{1}{x+1}\)　（） 5. \(xy=6\)　　　（） 6. \(y=5x^{-1}\)　（） 7. \(y=\dfrac{2}{x^2}\)　（） 8. \(y=-\dfrac{1}{2x}\)（） ## 三、基础填空 1. 若 \(y=\dfrac{m-2}{x}\) 是反比例函数，则 \(m\) 的取值范围是________。 2. 已知反比例函数 \(y=\dfrac{4}{x}\)，当 \(x=2\) 时，\(y=\)____；当 \(y=-1\) 时，\(x=\)____。 3. 若反比例函数 \(y=\dfrac{k}{x}\) 过点 \((3,-2)\)，则 \(k=\)____，函数表达式为________。 4. 若 \(y=(m-1)x^{m^2-2}\) 是反比例函数，则 \(m=\)____。 5. 已知 \(y\) 与 \(x\) 成反比例，且当 \(x=4\) 时，\(y=3\)，则 \(y\) 与 \(x\) 的函数关系式是________。 ## 四、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 下列函数属于反比例函数的是（） A. \(y=3x\)　B. \(y=\dfrac{3}{x}\)　C. \(y=3x+1\)　D. \(y=3x^2\) 2. 反比例函数 \(y=\dfrac{5}{x}\) 中，自变量 \(x\) 的取值范围是（） A. \(x>0\)　B. \(x<0\)　C. \(x eq0\)　D. 全体实数 3. 若 \(y=(a+2)x^{a^2-5}\) 是反比例函数，则 \(a\) 的值为（） A. 2　B. -2　C. ±2　D. 4 4. 已知 \(y\) 与 \(x\) 成反比例，当 \(x=2\)，\(y=-3\)，则 \(k\) 的值是（） A. 6　B. -6　C. \(\dfrac{3}{2}\)　D. \(-\dfrac{3}{2}\) 5. 下列说法正确的是（） A. \(y=\dfrac{1}{x}\) 中，\(y\) 随 \(x\) 增大而减小 B. \(xy=-3\) 是反比例函数 C. 反比例函数 \(y=\dfrac{k}{x}\) 中 \(k\) 只能是正数 D. \(y=\dfrac{1}{2x}\) 不是反比例函数 ## 五、列函数关系式，并判断是不是反比例函数 1. 长方形面积为 \(20\ \mathrm{cm^2}\)，长为 \(y\ \mathrm{cm}\)，宽为 \(x\ \mathrm{cm}\)，写出 \(y\) 关于 \(x\) 的关系式。 2. 路程是 100 km，速度 \(v\ \mathrm{km/h}\)，时间 \(t\ \mathrm{h}\)，写出 \(v\) 关于 \(t\) 的关系式。 3. 一个圆柱底面积为 \(S\)，高为 5，体积为 \(V\)，写出 \(V\) 关于 \(S\) 的关系式。 ## 六、诊断纠错：下面的解法对不对？错的说明错在哪，并写出正确结果 1. 判断 \(y=\dfrac{1}{x+2}\) 是反比例函数。 解：分母含有未知数，所以是反比例函数。 2. 若 \(y=(m-3)x^{m^2-8}\) 是反比例函数，求 \(m\)。 解：令 \(m^2-8=-1\)，\(m^2=7\)，\(m=\pm\sqrt{7}\)。 3. 已知 \(y\) 与 \(x\) 成反比例，\(x=3,y=4\)，所以关系式是 \(y=12x\)。 ## 七、易错提醒与方法小结 - 反比例函数标准形式是 \(y=\dfrac{k}{x}\)，\(x\) 只能是一次，不能是 \(x+1、x^2\)；分母只能是单独的 \(x\)。 - 形如 \(y=kx^{-1}\)，一定要满足**系数 \(k eq0\)**，这是高频陷阱，求参数时两步：①指数=-1；②系数≠0。 - “\(y\) 与 \(x\) 成反比例” ⇒ \(y=\dfrac{k}{x}\)；“\(y\) 与 \(x+1\) 成反比例” ⇒ \(y=\dfrac{k}{x+1}\)，后者**不是** \(y\) 关于 \(x\) 的反比例函数。 - 求 \(k\)：代入一组 \(x,y\)，直接用 \(k=xy\) 计算，快速简便。 - 反比例函数自变量不能取0，图像和坐标轴永远没有交点。 ## 参考答案 一、1. ≠　2. \(x eq0\)　3. \(-1\)　4. \(k\) 二、1.√　2.√　3.×　4.×　5.√　6.√　7.×　8.√ 三、1. \(m eq2\)　2. 2；\(-4\)　3. \(-6\)；\(y=\dfrac{-6}{x}\)　4. \(-1\)　5. \(y=\dfrac{12}{x}\) 四、1.B　2.C　3.A　4.B　5.B 五、1. \(y=\dfrac{20}{x}\)，是反比例函数 2. \(v=\dfrac{100}{t}\)，是反比例函数 3. \(V=5S\)，是正比例函数，不是反比例函数 六、 1. 错。反比例函数分母只能是单独的 \(x\)，这里分母是 \(x+2\)，不是反比例函数。 2. 错，漏掉系数不为0：\(\begin{cases}m^2-8=-1\\m-3 eq0\end{cases}\)，\(m^2=7,m eq3\)，故 \(m=\pm\sqrt{7}\)（本题数值巧合答案对，但步骤缺条件，考试扣分） 3. 错，反比例是 \(y=\dfrac{k}{x}\)，\(k=12\)，正确：\(y=\dfrac{12}{x}\) > 建议限时 30 分钟完成二～五题；核心抓两点：指数是不是 \(-1\)、系数是不是不等于0。 --- 全文约1586字（Word统计口径），版式和前面一元二次方程的练习完全统一，可直接打印。 要不要继续出 **2.2 反比例函数的图像与性质**？ 苏科版（新教材）数学九年级上册 2.1 反比例函数的概念 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第2章 反比例函数 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 理解并掌握反比例函数的概念. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 探究 新课引入 从八年级到现在，我们已经认识了函数家族的两位重要成员，它们是谁？我们是按照怎样的顺序研究它们的？ 一次函数 正比例函数 二次函数 已学函数 研究顺序 实际问题抽象 概念生成 图象性质 实际应用 今天我们就从三个具体的生活问题入手，研究反比例函的概念. a b 问题情境 用铁丝围一个面积为 24 cm2的矩形，矩形相邻的两边长分别为a cm和b cm，a与b之间有怎样的关系？ ab＝24 如图，当一边变大时，邻边＿＿＿；当一边变小时，邻边＿＿＿． 变小 变大 这个矩形的相邻两边长的乘积是定值． 无论边长怎样改变，一定有ab＝24． 讨论交流 1．一辆汽车匀速行驶，行驶60 km所用的时间 t (h)与平均速度 v (km/h)的乘积是定值； 在生活中，两个变量的乘积为定值的情境普遍存在，你能举几个例子吗？ vt＝60 路程一定时，速度越快，时间越短；速度越慢，时间越长． 讨论交流 在生活中，两个变量的乘积为定值的情境普遍存在，你能举几个例子吗？ 2．用80元购买大豆，购买的质量 y (kg)与大豆的价格 x (元/kg)的乘积是定值． xy＝80 总价一定时，单价越高，购买的质量越少；单价越低，购买的质量越多． 新知归纳 一般地，如果两个变量 x 和 y 满足xy＝k (k为常数，k≠0)，那么就说这两个变量具有反比例关系． 尝试交流 判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系，并用一个变量表示另一个变量． (1) 计划修建一条长为 500 km的高速公路，完成该项目的天数 y 天与平均工作效率 x km/天之间的关系； 解：(1) 是反比例关系，xy＝500，即 y＝． 尝试交流 判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系，并用一个变量表示另一个变量． (2) 向容积为2 500m3 的水池内注水，注满水池所需时间 t h与注水平均速度 v m3/h之间的关系； 解：(2) 是反比例关系，vt＝2 500，即 t＝． 尝试交流 判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系，并用一个变量表示另一个变量． (3) 两个实数 m 与 n 的乘积为－200，m 与 n 之间的关系． 解：(3) 是反比例关系，mn＝－200，m＝－ ． 讨论交流 讨论：上述表达两个变量的关系式具有怎样的共同特征？ ① 形式上都可以写成：因变量＝； ② 每个式子都有两个变量，一个变化，另一个也跟着变化； ③ 两个变量的乘积是一个固定不变的常数（不为 0）； ④ 作为分母的变量不能为 0． 新知归纳 一般地，形如 y＝（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数（inverse proportional function），其中 x 是自变量，y 是 x 的函数． 反比例函数的自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数． 常被称为反比例函数的“比例系数”！ 讨论交流 讨论：反比例函数与正比例函数有哪些区别和联系？ 正比例函数 反比例函数 一般形式 x 的指数 x 的范围 y与x成 ( ) 比例 本质属性 y＝kx(k≠0) y＝ (k≠0) 1 x为一切实数 y是x的正比例函数 －1 x为不等于0的一切实数 y是x的反比例函数 两个变量的商是定值(＝k) 两个变量的积是定值(yx＝k) 新知巩固 　　下列等式中的 y 是 x 的反比例函数吗？如果是，把它写成 y＝ 的形式，并指出 k 的值． （1） ＝ ；（2）xy＝－；（3）x＝－；（4）y＝2x－1． 解：（1）不是反比例函数； （3）是反比例函数，y＝－ ，k＝－5； （4）是反比例函数，y＝ ，k＝2． （2）是反比例函数，y＝－ ，k＝－； 新知归纳 反比例函数表达式有三种等价形式： （1）一般式：y＝（k为常数，k≠0）. （2）乘积式：xy＝k（k为常数，k≠0）. （3）负整数指数幂的形式：y＝kx－1（k为常数，k≠0）. 例题精讲 例 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是 否为反比例函数． （1）体积为 100 cm3的圆锥，高 h（cm）随底面面积 S（cm2）的 变化而变化； 解：（1）根据题意，得 Sh＝100， 即　　 h＝． h 是 S 的反比例函数． 例题精讲 例 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是 否为反比例函数． （2）体积为 100 cm3的圆锥，高 h（cm）随底面半径 r（cm）的变 化而变化． 解：（2）根据题意，得 πr2h＝100， 即　 h＝． h 不是 r 的反比例函数． 分母中自变量r的次数不是1！ 返回 B 举一反三 18 返回 2．下列两个变量之间为反比例函数关系的是(　　) A．长40 m的绳子剪去x m，还剩y m B．买单价为3元的笔记本x本，花了y元 C．正方形的面积为S，边长为a D．菱形的面积为20，对角线的长分别为x，y D 举一反三 返回 ≠1 举一反三 新知巩固 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数． (1) 三角形的一边长为5 ，该三角形的面积y随这边上的高x的变化而变化； 解：(1) y＝，不是反比例函数； 新知巩固 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数． (2) 某村有耕地 200 hm2，该村人均耕地面积 y (hm2) 随人口数 x (人)的变化而变化； 解：(2) y＝，是反比例函数； 新知巩固 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数． (3) 一个物体重120 N，该物体对地面的压强 p (Pa) 随它与地面的接触面积S(m2)变化而变化； 解：(3) p＝，是反比例函数； 新知巩固 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数． (4) 用滑轮拉重物，做功1200J，功率PJ/s随做功所用时间t s的变化额变化． 解：(4) P＝，是反比例函数． 返回 1 m≠0且m≠－1 举一反三 返回 5 举一反三 返回 5 6．观察下表，如果a与b成反比例，那么“？”是________． a 4 ？ b 200 160 举一反三 7.写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数． (1)底边为3 cm的三角形的面积y(cm2)随底边上的高x(cm)的变化而变化； 举一反三 (2)一艘轮船从相距200 km的甲地驶往乙地，轮船的速度v(km/h)与航行时间t(h)的关系； 举一反三 返回 (3) 随着2026年低空经济产业的爆发式增长，某无人机物流公司负责配送总长为100 km的低空物流航线．无人机每天可完成巡检并规划10 km的航线数据．设巡检并规划天数为x(天)，系统中尚未完成巡检并规划的航线长度为y(km)． 解：由题知y＋10x＝100，∴两个变量之间的函数表达式为 y＝100－10x，不是反比例函数． 举一反三 8．已知y与x＋2成反比例关系，且当x＝－1时，y＝3. (1)求y与x之间的函数表达式； 举一反三 返回 8．已知y与x＋2成反比例关系，且当x＝－1时，y＝3. (2)当x＝0时，求y的值． 举一反三 32 课堂小结 2.1 反比例函数的概念 反比例关系→xy＝k（k为常数，k≠0） 反比例函数定义→形如 y＝(k为常数，k≠0)的函数． 关键特征：两个变量的积是定值． 谢谢观看 THANKS 1．南京期中 下列函数中，能表示y是x的反比例函数的是(　　) A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－2 3．当x________时，函数y＝有意义． 4．(1)若函数y＝xm－2是y关于x的反比例函数，则m的值为________． (2)若函数y＝是y关于x的反比例函数，则m必须满足____________． 5. 某蓄电池的电压为60 V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I＝，当R＝12时，I的值为________． 解：根据三角形的面积公式可得y＝×3x＝x， 不是反比例函数． 解：由题知vt＝200，∴两个变量之间的函数表达式为 v＝，是反比例函数． 解：∵y与x＋2成反比例关系， ∴设该函数的表达式为y＝. ∵当x＝－1时，y＝3，∴k＝3. ∴y与x之间的函数表达式为y＝. 解：当x＝0时，y＝. $