31.2.1 平行线分线段成比例（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十一章 相似 31.2.1 平行线分线段成比例 知识点一 平行线分线段成比例定理 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等. 2）若将AB称为上，BC称为下，AC称为全，上述的比例式可用形象的语言简述为：等. 即学即练 例1（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知线段、、，求作线段，使得的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，在中，，则下列比例式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点二 平行线分线段成比例定理推论 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 即学即练 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，，与相交于点，则下列结论中正确的个数是（     ） ①；②；③；④；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，已知，直线与边分别交于点D，E，直线与边分别交于点M，N，，下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，已知，，，则的长为（     ） A．3 B．9 C．12 D．18 4．（26-27九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，为边上的中点，点为边上一点，交于点，当时，则___． 知识点三 利用平行证三角形相似定理 定理 定义 举例 判定定理1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 如图1，若DE//BC，则△ADE∽△ABC.我们称图1为“A 型”. 如图 2，若直线ED 交在 AB，AC的反向延长线上，且ED//BC，则 △ADE∽△ABC，我们称图2为“X”型 图1 图2 即学即练 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 2．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，，垂足为B，，垂足为D，与相交于点O．求证：． 题型01 由平行判断成比例线段正误 典｜例｜精｜析 例1（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，直线，直线分别交于点，，，直线分别交于点，，，与相交于点．若直线之间的距离相等，，则下列比例式中，不成立的是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2022·云南大理·模拟预测）如图，四边形中，P为对角线上一点，过点P作，交于点E，过点P作，交于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 题型02 由平行截线求相关线段的长 典｜例｜精｜析 例2（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·北京·期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·上海普陀·期中）如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．如果，，，那么的长是__________． 3．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）已知点、分别在的边、上，且，如果，，那么的长为__________． 题型03 由平行截线求相关线段的比值 典｜例｜精｜析 例3．（26-27九年级上·河南平顶山·期中）如图，直线，直线，，对应刻度尺上的刻度读数分别是，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·二模）如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 3．（2026·浙江台州·二模）如图，在中，，点D和点E分别是和上一点．将沿折叠得，点F落在边上，若，，则的值为_________． 题型04 利用“A 型”或“X型”模型求线段的长 当“A型”或“X型”在几何图形中出现时，我们可以利用平行线分线段成比例定理及推论建立有关线段的比例式，把线段的长代入比例式，通过解方程求出线段的长. 典｜例｜精｜析 例4（26-27九年级上·湖南郴州·阶段检测）图1是某班级摆放绿植的花架，其侧面示意图如图2所示，已知，若，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点M．下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏盐城·中考真题）小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广东清远·三模）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·四川·期中）△中，，，点是直线上一点，且，过点作边的平行线，交直线于点，则的长为_______． 题型05 作平行线/垂直构造成比例线段 当几何图形中所求线段的比与已知条件没有明确的联系时，可以过某一点作平行线，分离图形，构造出“A 型”或“X型”，得出与已知和未知线段相关联的成比例线段，从而解决问题.有效构建，准确识别是处理此类问题的关键. 典｜例｜精｜析 例5．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026九年级上·河北·专题练习）如图，是的中线． ①若点为的中点，射线交于点，则的值为____________： ②若点为上的一点，且，射线交于点，则的值为____________ 2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为___． 3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，点D、E分别在的边、上，若，点G在上，，连接并延长交于点F，则________． 4．（2026·吉林长春·中考真题）如图，，直线与这三条平行线分别交于点，，．若直线与，与之间的距离分别为1和2，且，则的长是________． 5．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于点． (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图4，是的外角的平分线，求证：． 题型06 利用平行判定相似 典｜例｜精｜析 例6．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 3．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． “A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】 如图1，在中，， ．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足 证明：， ∴… … ． 将式子两边同时除以，得．即． 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度． 任务： (1)材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________． (2)补全【基本模型拓展】的证明过程． (3)在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 相似 31.2.1 平行线分线段成比例 知识点一 平行线分线段成比例定理 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等. 2）若将AB称为上，BC称为下，AC称为全，上述的比例式可用形象的语言简述为：等. 即学即练 例1（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 2．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知线段、、，求作线段，使得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系，找出符合即的图形． 【详解】解：A、选项中，即，不符合题意； B、选项中，即，即，符合题意； C、选项中，即，不符合题意； D、选项中，即，不符合题意． 3．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，在中，，则下列比例式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一进行判定即可． 【详解】解：已知，根据平行线分线段成比例定理： A：，正确； B：，错误； C：，错误； D：，错误． 【点睛】分清对应线段，平行截得的上、下两段的比相等，不要把对应边弄颠倒． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行可判定，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 知识点二 平行线分线段成比例定理推论 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 即学即练 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，，与相交于点，则下列结论中正确的个数是（     ） ①；②；③；④；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】已知，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴正确的结论有①、②、③、⑤，共4个． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，已知，直线与边分别交于点D，E，直线与边分别交于点M，N，，下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形相似的判定与性质，平行线分线段成比例定理逐一判断即可，注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，注意对应线段的位置关系，避免交叉比例错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A选项不正确，不符合题意； ∵， ∴， ， ，即， ∵， ， ，B选项正确，符合题意； ∵， ∴， ， ∵， ∴仅当时，成立，故C选项不一定正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵不一定成立， ∴不一定成立，故D选项不一定正确，不符合题意． 3．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，已知，，，则的长为（     ） A．3 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（26-27九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，为边上的中点，点为边上一点，交于点，当时，则___． 【答案】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理，先由为中点得出为中点，再结合已知比例关系求解． 【详解】解：过点作交于点 ∴， 为边上的中点， ∴， ∴ 在中， ． 知识点三 利用平行证三角形相似定理 定理 定义 举例 判定定理1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 如图1，若DE//BC，则△ADE∽△ABC.我们称图1为“A 型”. 如图 2，若直线ED 交在 AB，AC的反向延长线上，且ED//BC，则 △ADE∽△ABC，我们称图2为“X”型 图1 图2 即学即练 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行计算即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设直尺上表示数字1的点为B，表示数字3的点为A，表示数字10 的点为C，如图，∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴点P表示的数是， 故选：C． 2．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，，垂足为B，，垂足为D，与相交于点O．求证：． 【答案】证明：， ， ． 【分析】根据“平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似”，证明即可． 【详解】略 题型01 由平行判断成比例线段正误 典｜例｜精｜析 例1（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，直线，直线分别交于点，，，直线分别交于点，，，与相交于点．若直线之间的距离相等，，则下列比例式中，不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合已知条件直线之间的距离相等，逐一分析每个选项是否成立． 【详解】解：，且之间的距离相等， ． ， ，故选项正确； ，， ， ，故选项正确； ， 选项错误； ， ， , ， ，故选项正确． 变｜式｜巩｜固 1．（2022·云南大理·模拟预测）如图，四边形中，P为对角线上一点，过点P作，交于点E，过点P作，交于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意，A选项错误，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故C选项正确，不符合题意． 2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【答案】B 【分析】利用时，或，逐一判断即可． 【详解】解：当时，或，由此可得： A：∵，， ∴， ∴，， ∴，故A错误； B：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 题型02 由平行截线求相关线段的长 典｜例｜精｜析 例2（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·北京·期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段 成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴，， ∴， 解得：． 2．（26-27九年级上·上海普陀·期中）如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．如果，，，那么的长是__________． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例，可得，代入解方程即可解答． 【详解】解：， ， ， 解得， 经检验，是方程的解． 3．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）已知点、分别在的边、上，且，如果，，那么的长为__________． 【答案】 【分析】设，，则，由可得对应线段成比例列比例求出，再计算的长度即可． 【详解】解：设，，则， ∵ ∴，即， ∵ ∴，解得， ∴． 题型03 由平行截线求相关线段的比值 典｜例｜精｜析 例3．（26-27九年级上·河南平顶山·期中）如图，直线，直线，，对应刻度尺上的刻度读数分别是，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是，，，可以求出，，根据平行线分线段成比例定理即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是，，， ，， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线等分线段定理得，由已知得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 2．（2026·广东广州·二模）如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·浙江台州·二模）如图，在中，，点D和点E分别是和上一点．将沿折叠得，点F落在边上，若，，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】过点A作于点H，则；证明与平行，由平行线分线段成比例定理得到，设，可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∵， ∴； ∵， ∴与平行， ∴， 设， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 题型04 利用“A 型”或“X型”模型求线段的长 当“A型”或“X型”在几何图形中出现时，我们可以利用平行线分线段成比例定理及推论建立有关线段的比例式，把线段的长代入比例式，通过解方程求出线段的长. 典｜例｜精｜析 例4（26-27九年级上·湖南郴州·阶段检测）图1是某班级摆放绿植的花架，其侧面示意图如图2所示，已知，若，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理，由三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式代入数值求解． 【详解】解：， ． 把，，代入，得 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点M．下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 2．（2026·江苏盐城·中考真题）小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理可证是的中位线，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∵小正方形的边长为， ∴， ∴． 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据平行线分线段成比例定理得出，解分式方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴线段的长为． 4．（2026·广东清远·三模）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 5．（26-27九年级上·四川·期中）△中，，，点是直线上一点，且，过点作边的平行线，交直线于点，则的长为_______． 【答案】6或 【分析】分点P在边上和点P在边的延长线上两种情况，分别画出图形，利用平行线分线段成比例定理进行解答即可． 【详解】解：如图1，当点P在边上时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 如图2，当点P在边的延长线上时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为6或． 题型05 作平行线/垂直构造成比例线段 当几何图形中所求线段的比与已知条件没有明确的联系时，可以过某一点作平行线，分离图形，构造出“A 型”或“X型”，得出与已知和未知线段相关联的成比例线段，从而解决问题.有效构建，准确识别是处理此类问题的关键. 典｜例｜精｜析 例5．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作交于点，根据平行线分线段成比例，进行求解即可. 【详解】解：作交于点， 则， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴. 变｜式｜巩｜固 1．（2026九年级上·河北·专题练习）如图，是的中线． ①若点为的中点，射线交于点，则的值为____________： ②若点为上的一点，且，射线交于点，则的值为____________ 【答案】 【分析】①如图：过点D作交于点，再利用平行线分线段成比例定理和中线性质结合点为的中点的条件，推出与的比例关系． ②依据平行线分线段成比例定理和已知的，推导出与的比例关系． 【详解】解：①如图：过点D作交于点， ∴， ∵是的中线．， ∴， ∴，即， ∵点为的中点， ∴， ，即， ， ， ． ②由①可得：， ∵，， ∴，， ∴，， ． 2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为___． 【答案】 【详解】解：如图作垂直于竖直线， 设相邻两条竖格线间的距离为， ∵练习纸中的竖格线平行且间距相等， ∴，， ∴， ∴. ∵， ∴． 3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，点D、E分别在的边、上，若，点G在上，，连接并延长交于点F，则________． 【答案】 【分析】过点作，利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴． 4．（2026·吉林长春·中考真题）如图，，直线与这三条平行线分别交于点，，．若直线与，与之间的距离分别为1和2，且，则的长是________． 【答案】 【分析】过点A作交直线b于点E，交直线c于点F，则可得出，，利用平行线分线段成比例定理，即可得出，代入数值计算即可． 【详解】解：过点A作交直线b于点E，交直线c于点F， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ， 即， ∴． 5．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于点． (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图4，是的外角的平分线，求证：． 【答案】(1)证明：， ，，， 平分， ， ， ， ． (2) (3)证明：过点作，交于点，如图， ，， 是的平分线， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，即可证明． （2）根据（1）得到，则可推出，由平行线分线段成比例定理得到，据此可得答案； （3）过点作，交于点，由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，由平行线分线段成比例定理得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）解：平分，，， ． ， ． ； 是的中点， ， ， ， ， ． （3）略 题型06 利用平行判定相似 典｜例｜精｜析 例6．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【答案】 【分析】由，容易证明，则，由平行可判定，则，因此，计算出的值 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； (2)的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【答案】 证明：过点C作，交于点M． 则， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∴①， ∵， ∴， ∴②， 由①和②可知，． 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先证明，列出比例式：，结合中点可得，再证明，列出比例式：，从而可得结论． 【详解】略 3．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． “A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】 如图1，在中，， ．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足 证明：， ∴… … ． 将式子两边同时除以，得．即． 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度． 任务： (1)材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________． (2)补全【基本模型拓展】的证明过程． (3)在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． 【答案】(1)依据1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 依据2：相似三角形的对应边成比例． (2) 解： ①， ， ②， ∴， (3)10 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质回答； （2）可得，得，可得，得，得，即得； （3）先证明，得；再证明，得．得，得，将代入解得． 【详解】（1）解：材料中的“依据1”是指平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； “依据2”是相似三角形的对应边成比例． 故答案为：平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例． （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴①； ∵， ∴， ∴②． ①+②，得， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $