上海市南洋中学2026-2027学年高二上学期期中学习能力诊断测数学试卷

2621高二年级数学学科期中学习能力诊断测试题 (满分150分，考试时间120分钟) 命题人：张瑜 审题人：吕琪 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.直线Z:x-V3y-1=0与直线12：x-1=0的夹角为 2.圆锥的轴截面是一个腰长为1的等腰直角三角形，则圆锥侧面积大小为 ,焦点在x轴上的椭圆方程为二+亡-1，其焦距为6，两个焦点为、乃，弦 a 16 AB过点E,则△ABF的周长为 4.已知点A,B分别是直线2x+y-2=0与直线4x+2y+1=0上的点，则4B的 取值范围是 5.已知直线1的一个方向向量为ā=L,-2,0),平面的一个法向量为n=(m,3,6, 且1/1a,则m= 6.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中OA=√5， 则三角形AB'C的面积为 (第6题图) (第7题图) 7.小明在参加魔方实践课时制作了一个工艺品，如图所示该工艺品可以看成 是：一个球被一个棱长为65的正方体的六个面所截后剩余的部分，球心与正 方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为6π，则原来这个球的表面积是 第1页共4页 8.已知正四棱柱ABCD-AB,C,D的底面边长为2，若AC与底面ABCD所成角 的大小为60°，则AB与平面ACC4所成角的大小为 9.在正三棱锥P-ABC中，O是三角形ABC的中心，且PA=AB=2,则 PO.PA= 10.现有甲、乙两个形状完全相同的四棱台容 器如图所示，已知4B=6,4B=2现按一定的 速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱 台高度的一半时，用时7分钟，如果按照相同 的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时，用时 分钟. 11. 已知W是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的 棱长分别为2、2、√7，则PM.P的取值范围为 12.已知圆M:(x-6)2+y-7)2=20,点A(2,5)在圆M上，点P(p,0)在x轴上， 圆M上存在不同的两点B、C使得PA+PB=PC,则实数p的取值范围是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.已知直线a+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行，则实数a的 值为()A.-2 B.2 C.-1 D.2或-1 14.若过点(3,1)总可以作两条直线与圆(x-2k)2+(y-k)2=k相切，则k的取 值范围是()A.(0,2)B.(1,2)C.（-o,1)U(2,+o)D.(（0,1)U(2,+o) 15.曲线y=1+√4-x2,x∈[-2,2]与直线y=k(x-2)+4有两个交点，则实数k 范围是( )点@受 B.C.) 第2页共4页 16.设点P为正四面体A-BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四 个顶点的距离组成的集合记为M,若集合M中的元素有且只有2个，则符合条件 的点P有（)A.14个 B.10个 C.6个 D.4个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫等 功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲 珑夺目.如图1所示的平行四边形ABCD由六个正三角形构成，将它沿虚线折起 来，可得到图2所示的六面体形状的香囊.若AB=2. (1)求图2中六面体的表面积； (2)求二面角P-EF-P'的大小. 图1 图2 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知圆C:x2+y2-8y+12=0直线1：+y+2a=0 (1)若直线1与圆C相离，求实数a的取值范围； 01 (2)若直线1与圆C相交，求弦的中点的轨迹方程。 19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，在长方体ABCD-A'B'CD'中， AB=1,AD=2,A'=4,E、F分别是棱BC、CC上的点， 且CF=AB=2CE. B 第3页共4页 (1)求异面直线EF与A'D所成角的大小： (2)在线段A'D上是否存在一点G,使得直线BG与平面A'ED所成角的大小 为30°，若存在，指明点G的位置；若不存在，说明理由。 20.（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形， AD⊥DC,AB/IDC,AB=2,AD=CD=1,点E是PB的中点. (1)棱PB上是否存在一点F,使得PD/平面FAC,若存在，请指明点F的位 置；若不存在，请说明理由； (2)证明：平面EAC⊥平面PBC; (3)若直线PB与平面PAC所成角的大小为csi血5，求三棱锥P-A0C配的体积 3 A B 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 把圆弧G:e-与+护-号x<0)和右半个搭圆G:对+f-1(:20)合 成的封闭曲线Γ称为“果圆”，T与x轴左右交点依次记为4、A,与y轴上下 交点依次记为B、B,过椭圆的右焦点F的直线1与T交于P、两点 (1)当直线I与x轴垂直时，求△4PQ的面积； (2)当P、2两点都在半椭圆C,时，弦长P2是否存在最大值与最小值？若存 在，求出其最大值与最小值并说明理由；若不存在，也请说明理由： (3)当点P在第一象限时，求△AP?的面积的最大值. 第4而共4页