2026-2027学年人教版九年级数学上册期中检测模拟试题（一）

2026-2027学九年级上册数学期中试卷（一） 范围：人教版新教材第二十五章~第二十八章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.保护环境，人人有责，下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称图形又是中 心对称图形的是( 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 有害垃圾 Food Waste Recyclable Residual Waste Hazardous Waste 2.抛物线y=2(x-4)2-3的顶点坐标是( A.(4,-3) B.(-4,-3) C.(4,3) D.(-4,3) 3.将抛物线y=x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线是( A.y=x2-1 B.y=3x2+1 C.y=x-1)2 D.y=x+1)2 4.2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技 术的多样性和创新性.某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分 组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人.若每组共需进行15 场比赛，则根据题意下列方程正确的为( A.2x(x-1)=15 B.2xx+1)=15 C.x(x-1)=15 D.x(x+1)=15 5.利用判别式判断方程16x2-24x+9=0根的情况为( A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 1/5 6.关于x的一元二次方程m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项是0，则m的值( A.1 B.1或2 C.2 D.±1 7若关于x的方程6x2-3x-=0有实数根，则实数k的取值范围是( A.k≠0 B.k≥-1且k≠0 C.k≥-1 D.k>-1且k≠0 8.己知点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是 A. 0女 B.2十 -101234 D.014 9.在同一直角坐标系中，当k>0时，反比例函数y=和一次函数y=6x+2的图象大致是 10.点M(x1,y),N(x2,y2)在二次函数y=x2-2ax+c(a,c为常数)图象上，若x1<x2,则下列说 法正确的是( ) A.当x1<a时，y1>y2 B.当x1>a时，y1<y2 C.当x2<a时，y1<y3 D.当x2>a时，y1>y2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.在平面直角坐标系中，点P(3,-2)关于原点对称的点的坐标是 12.飞机着陆后滑行的距离S)关于滑行时间t(s)的函数解析式是S=-1.5t+60t,飞机着陆后 滑行m才能停下来. 13.m是方程2x2+3x-1=0的根，则式子4m+6m+2018的值为 14.反比例函数y=x>0)的图象如图所示，写出一个符合要求的整数k的值： ·A(2,2) 2/5 15,苍南队在浙BA训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线y=一×+x+子 篮球出手 8 至入筐过程中的水平距离OA长为 米。 l6.定义新运算a*b”:对于任意实数a,b,都有a*b=ab+l,其中等式右边是通常的加法和 乘法运算.例如：3*4=3×4+1=13.若关于x的方程x*kx+1)=0有两个实数根，则实数k 的取值范围是 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分)解下列方程： (1)x2+2x-5=0: (2)2x(2x+5)=(x-1)(2x+5). 18.(本小题10分)某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为64元，在成本价的基 础上经过两次价格调整后售价定为100元. (1)若每次价格调整的增长率相同，求这个增长率： (②)经过一段时间的销售发现，当这款运动鞋每双降价x元时，平均每天售出的数量（双）可以表 示为10x+200.若公司希望平均每天获得的利润达到7750元，且优惠力度最大，求这款运动鞋 每双的售价应该定为多少？ 3/5 19.(本小题10分)如图，点O是等边△ABC内的一点.∠BOC=,将△BOC绕点C按顺时针 旋转60°得到△ADC,连接OD. (1)当a=100时，∠0DA=；当a=120时，∠0DA=; (2)若=150°，OB=5,0C=6.求0A的长. 20.(本小题8分)如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A(1,4),B(4,)两 点 (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)直接写出当x>0时，kx+b<"的解集： (3)P是x轴上一动点，试确定点P的位置，使PA+PB的值最小，并求出它的坐标. A(1,4) B(4,n) 4/5 21.(本小题12分) 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测 画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O,守门员位于点A,OA的延长线与球门 线交于点B,且点A,B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.水平距离s与离 地高度h的鹰眼数据如表： s/m 9 12 15 18 21 h/m 4.2 4.8 5 4.8 4.2 图1 图2 (1)根据表中数据预测足球落地时，s= 1m; (2)求h关于s的函数解析式： (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6时，视为防守 成功.若一次防守中，守门员位于足球正下方时，s=24,请问这次守门员能否防守成功？试 通过计算说明. 5/52026-2027学九年级上册数学期中试卷（一) 范围：人教版新教材第二十五章~第二十八章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.保护环境，人人有责，下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称图形又是中 心对称图形的是() 厨余垃圾 可回收物 Food Waste Recyclable 0 其他垃圾 有害垃圾 Residual Waste Hazardous Waste 【答案】D 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解， 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合. 【详解】 A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意： B既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意： C既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意： 1/13 D.既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意. 故选：D 2.抛物线y=2(x-4)2-3的顶点坐标是() A.(4,-3) B.(-4,-3) C.(4,3) D.(-4,3) 【答案】A 【分析】根据顶点式函数表达式即可写出. 此题主要考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟知二次函数的详解式特点. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是(4，-3). 故选：A。 3.将抛物线y=x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线是() 1. A.y=x2-1 1 B.y=x2+1 C.y=x-1)2 D.y=(x+1)2 【答案】A 【分析】根据“上加下减的规律进行解答即可.本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌 握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键. 【详解】解：将抛物线y=x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：y=x2-1, 故选：A. 4.2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技 术的多样性和创新性某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分 组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人.若每组共需进行15 场比赛，则根据题意下列方程正确的为() A.2x(x-1)=15 B.xx+1)=15 C.x(x-1)=15 D.x(x+1)=15 【答案】A 【分析】根据每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制， 则每个机器人参加区一1)场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程. 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键. 2/13 【详解】解：根据题意可得x区-1)=15， 故选：A。 5.利用判别式判断方程16x2-24x+9=0根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式公式，计算判别式的值，再根据判别式与根的关系判断 方程根的情况.本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握△=b2-4ac及其与根的 关系是解题的关键. 【详解】 判别式4=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=576-576=0, “方程有两个相等的实数根， 故选：A 6.关于x的一元二次方程m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项是0，则m的值() A.1 B.1或2 C.2 D.±1 【答案】C 【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)中a、b、c分别是二次项系数、 一次项系数、常数项. 本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0 的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中x叫二次项，bx叫一次项，c 是常数项.其中，b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项. 【详解】解：由题意，得 m2-3m+2=0且m-1≠0， 解得m=2, 故选：C 7.若关于x的方程kx2-3x-?=0有实数根，则实数k的取值范围是() A.k≠0 B.k≥-1且k≠0 C.k≥-1 D.k>-1且k≠0 3/13 【答案】C 【分析】时论：当k=0时，方程化为-3x-=0,方程有一个实数解：当k≠0时，△=(-3- 4化·(-)≥0，然后求出两个种情况下的k的公共部分即可 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系： 当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时， 方程无实数根. 【详解】解：当k=0时，方程化为-3x-是=0，解得x=一 当k≠0时，4=(-3)2-4k·(-)≥0， 解得k≥-1， 所以k的范围为k≥-1. 故选：C 8.已知点P(a一3,2-a)关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是 () A. 0女 B.22 -101234 C. 0234 D.0134 【答案】C 【分析】 此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握不等式组的解法是解题关键 直接利用关于原点对称点的性质得出关于a的不等式组进而求出答案， 【详解】 解：：点Pa-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限， ÷点P(a-3,2-a)在第二象限， 8a8 解得：a<2. 则a的取值范围在数轴上表示正确的是 :10134 故选：C 4/13 9.在同一直角坐标系中，当k>0时，反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是() 【答案】C 10.点M(x1,y1),N(x2,y2)在二次函数y=x2-2ax+c(a,c为常数)图象上，若x1<x2,则下列说 法正确的是() A.当x1<a时，y1>y2 B.当x1>a时，y1<y2 C.当x2<a时，y1<y2 D.当x3>a时，y1>y2 【答案】B 【分析】由详解式可得二次函数的对称轴为直线x=,进而得到抛物线开口向上，当x<a时， y随x的增大而减小，当x>a时，y随x的增大而增大，据此逐项判断即可求解 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 【详解】解：点M(1,y),N(区2，y2)在二次函数y=x2-2ax+c(ac为常数)图象上， 若x1<X,三次函数y=x-2x十c的对称轴为直线x一安a, 1>0, 抛物线开口向上，当x<a时，y随x的增大而减小，当x>a时，y随x的增大而增大， A、当x1<a时，无法得知x与a的大小关系，故无法判断y1、y的大小，该选项错误，不合题 意 B、当x1>a时，x2>x1>a,所以y2>y1,该选项正确，符合题意； C、当x3<a时，x1<x2<a,所以y1>y2,该选项错误，不合题意； D、当x2>a,无法得知x1与a的大小关系，故无法判断y、y的大小，该选项错误，不合题意. 故选：B 5/13 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.在平面直角坐标系中，点P(3,-2)关于原点对称的点的坐标是 【答案】(-3,2) 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P飞，y),关于原点的对称点是（一x,一y),然后直接 作答即可.本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以 结合平面直角坐标系的图形 【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点P(3,-2)关于原点0中心对称的点的坐标为(-3,2) 故答案为：（-3,2) 12.飞机着陆后滑行的距离S)关于滑行时间t(s的函数详解式是S=-1.5t+60t,飞机着陆后 滑行m才能停下来. 【答案】600 【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值 本题考查了二次函数的应用.解题时，利用配方法求得t=20时，s取最大值. 【详解】解：由题意， S=-1.5t2+60t, =-1.5(-40t+400-400) =-1.5t-20)2+600, 即当飞机着陆后滑行600m才能停下来时，飞机才能停下来。 故答案为：600 13.m是方程2x2+3x-1=0的根，则式子4m2+6m+2018的值为· 【答案】2020 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=代入已知方程后即可求得所求代数式的值. 本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使 方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立 【详解】解：把x=m代入2x2+3x-1=0,得 2m2+3m-1=0, 则2m2+3m=1. 所以4m2+6m+2018=2(2m2+3m)+2018=2+2018=2020. 6/13 故答案为：2020. 14.反比例函数y=上（区>0）的图象如图所示，写出一个符合要求的整数k的值： ·A(2,2) 0 【答案】1/（答案不唯一） 15苍南队在浙BA训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线y-一x2+x+子篮球出于 3 16 8 至入筐过程中的水平距离OA长为米。 【答案】4 【分析】将y=3代入二次函数的详解式可得x=2或x=4,再根据二次函数的对称轴为直线 x=3,然后根据篮球框在抛物线的对称轴的右侧即可得. 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键. 【详解】解：由题意，将y=3代入抛物线y=一x+x+得：-x2+x+3。 2 解得x=2或x=4, 抛物线的对称轴为直线x= b 三2×(16 =3 :篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且4>3， ,篮球出手至入筐过程中的水平距离OA长为4米， 故答案为：4. 7/13 16.定义新运算a*b:对于任意实数a,b,都有a*b=ab+1,其中等式右边是通常的加法和 乘法运算.例如：3*4=3×4+1=13.若关于x的方程x*x+1)=0有两个实数根，则实数k 的取值范围是 【答案】k≤且k≠0 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判 别式列不等式组求解. 本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程x2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式△=b2一4ac:当根的判别式>0，方程有两个不相等的实数根；当根的判别式=0， 方程有两个相等的实数根：当根的判别式<0，方程没有实数根. 【详解】解：x*kx+1)=0, .xkx+1)+1=0, 整理可得x2+x+1=0, 又：关于x的方程x*区+1)=0有两个实数根， k≠0 2-4k×1≥0 解得：k≤且k≠0， 故答案为：k≤且k≠0. 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 解下列方程： (1)x2+2x-5=0: (2)2x(2x+5)=(X-1)2x+5) 【详解】(1)x2+2x-5=0, x2+2x+1=6, .(区+1)2=6， x+1=±V6, 解得x1=-1-√6，x2=1+V6; (2)2x(2x+5)=(K-1)2x+5), 8/13 ÷(2x+5)(2x-x+1)=0, ∴(2x+5)x+1)=0, ÷2x+5=0或x+1=0, 解得x,—1,x=一 【分析】 (1)根据配方法解一元二次方程： (②)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解题的关键。 18.(本小题10分) 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为64元，在成本价的基础上经过两次价 格调整后售价定为100元. (1)若每次价格调整的增长率相同，求这个增长率： (2)经过一段时间的销售发现，当这款运动鞋每双降价x元时，平均每天售出的数量（双）可以表 示为10x+200.若公司希望平均每天获得的利润达到7750元，且优惠力度最大，求这款运动鞋 每双的售价应该定为多少？ 【答案】解：(1)设这个增长率为x, 64(1+x)2=100, X1=0.25=25%,X3=-2.25(舍去)， 答：这个增长率为25%： (2)(100-x-64)(10x+200)=7750, 解得：x1=5,x2=11, :要求优惠力度最大， ∴x=5不符合题意，应舍去， 即售价为100-11=89（元）， 答：这款运动鞋每双的售价应该定为89元： 【分析】 (1)设这个增长率为x,根据“在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元”列出方程 求解即可： (2)根据利润=（原来售价-降价一成本价）×销售量列出方程求解即可. 9/13 本题主要考查了一元二次方程的应用，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键 19.(本小题10分) 如图，点O是等边△ABC内的一点.∠BOC=a,将△BOC绕点C按顺时针旋转60°得到△ADC, 连接OD. (1)当a=100时，∠0DA=;当a=120时，∠ODA=: (2)若o=150°，OB=5,OC=6.求0A的长. 【详解】(1)~△BOC绕点C按顺时针旋转60°得到△ADC ∴∠OCD=60°，OC=CD, ∴△ODC是等边三角形， ∠ODC=60°， :∠ADC=∠BOC=a=100°， ∠AD0=∠ADC-∠ODC=100°-60°=40°， 当∠ADC=∠BOC=a=120时，∠AD0=∠ADC-∠ODC=120°-60°=60° 故答案分别为40°、60°， (2)由(1)可知，当∠ADC=∠BOC=a=150时，∠AD0=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°， AD=OB=5,OD=DC=OC=6, .OA=√AD2+D02=√52+6=V6. 【分析】 (I)根据条件可以证明△ODC是等边三角形，利用LADO=∠ADC-ODC即可得出. (2)根据已知条件可以证明∠ADC=90°，利用勾股定理可以解决. 本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用旋转不变性是解题的 关键. 10/13 20.(本小题10分) 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A(1,4),B(4,)两点. A(1,4) B(4,n) (1)求反比例函数和一次函数的详解式： (2)直接写出当x>0时，kx+b<四的解集： (3)P是x轴上一动点，试确定点P的位置，使PA+PB的值最小，并求出它的坐标， 【答案】 ()解：把A(1,4)代入y=受得m=4. :反比例函数的详解式为y=是 把B(4,n代入y=,得n=1, .B(4,1).把A(1,4),B(4,1)代入y=kx+b, 解得化-5 ·.一次函数的详解式为y=-x+5. (2)根据图象，得0<x<1或x>4. (3)作点B关于x轴的对称点B',连接AB',交x轴于点P,此时PA+PB=PA+PB'=AB最小. .B(4,1), .B(4,-1). 设直线AB的详解式为y=px+q, 解得 17 直线AB的详解式为y=一x+号 31 11/13 令y=0,得-x+=0, 解得x=品 ∴点卫的坐标为（侣，0） 21.(本小题12分) 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测 画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O,守门员位于点A,OA的延长线与球门 线交于点B,且点A,B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.水平距离s与离 地高度h的鹰眼数据如表： s/m 12 15 18 h/m 4.2 4.8 4.8 4.2 A 图1 图2 (1)根据表中数据预测足球落地时，s= 1m; (2)求h关于s的函数详解式： (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6时，视为防守 成功.若一次防守中，守门员位于足球正下方时，s=24,请问这次守门员能否防守成功？试 通过计算说明， 【详解】 解：(1)由表格可知，8=9时和s=21时，h相等，8=12时，8=18时，h相等， 抛物线关于8=15对称， :当s=0时，h=0, 8=30时，h=0, 故答案为：30. (2)由(1)知，抛物线关于g=15对称，设h=a(s-15)2+5, 把(12,4.8)代入上述详解式， 12/13 “a(12-15)2+5=4.8,解得a=-石 h=-8-15y+5, 即h=一2+ (3)不能防守成功， 理由如下：当8=24m时，h=-2+号8一右×242+号×24=3.2m), 3.2>2.6, 这次守门员不能防守成功. 【分析】 (1)根据抛物线的对称轴可直接得出结论： (2)根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入(12,4.8)可求出参数，由此可解答： (3)根据s的值，求出h,再与最大防守高度2.6m比较即可， 本题考查二次函数的实际应用，理解题意，掌握抛物线的性质是解题的关键 13/13 2026-2027学九年级上册数学期中试卷（一） 范围：人教版新教材第二十五章~第二十八章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.保护环境，人人有责，下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 【详解】 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 2.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】根据顶点式函数表达式即可写出． 此题主要考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟知二次函数的详解式特点． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：． 3.将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】根据“上加下减”的规律进行解答即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线是：， 故选：． 4.世界人形机器人运动会于月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环每两个人形机器人之间都只进行一场比赛制，每组个机器人若每组共需进行场比赛，则根据题意下列方程正确的为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】根据每组个机器人，采用分组单循环每两个人形机器人之间都只进行一场比赛制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 【详解】解：根据题意可得， 故选：． 5.利用判别式判断方程根的情况为(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A  【分析】根据一元二次方程根的判别式公式，计算判别式的值，再根据判别式与根的关系判断方程根的情况．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握及其与根的关系是解题的关键． 【详解】 判别式， 方程有两个相等的实数根， 故选：． 6.关于的一元二次方程的常数项是，则的值(    ) A. B. 或 C. D. 【答案】C  【分析】一元二次方程是常数且中、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由题意，得 且， 解得， 故选：． 7.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 【答案】C  【分析】讨论：当时，方程化为，方程有一个实数解；当时，，然后求出两个种情况下的的公共部分即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：当时，方程化为，解得； 当时，， 解得， 所以的范围为． 故选：． 8.已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握不等式组的解法是解题关键． 直接利用关于原点对称点的性质得出关于的不等式组进而求出答案． 【详解】 解：点关于原点对称的点在第四象限， 点在第二象限， ， 解得：． 则的取值范围在数轴上表示正确的是：． 故选：． 9.在同一直角坐标系中，当时，反比例函数和一次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  10.点，在二次函数为常数图象上，若，则下列说法正确的是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B  【分析】由详解式可得二次函数的对称轴为直线，进而得到抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，据此逐项判断即可求解． 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：点，在二次函数为常数图象上， 若，二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， A、当时，无法得知与的大小关系，故无法判断、的大小，该选项错误，不合题意； B、当时，，所以，该选项正确，符合题意； C、当时，，所以，该选项错误，不合题意； D、当，无法得知与的大小关系，故无法判断、的大小，该选项错误，不合题意． 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是      ． 【答案】  【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，然后直接作答即可．本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形． 【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点关于原点中心对称的点的坐标为． 故答案为：． 12.飞机着陆后滑行的距离关于滑行时间的函数详解式是，飞机着陆后滑行        才能停下来． 【答案】  【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出最大时对应的值． 本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得时，取最大值． 【详解】解：由题意， ， ， 即当飞机着陆后滑行才能停下来时，飞机才能停下来． 故答案为：． 13.是方程的根，则式子的值为       ． 【答案】  【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程后即可求得所求代数式的值． 本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【详解】解：把代入，得 ， 则． 所以． 故答案为：． 14.反比例函数的图象如图所示，写出一个符合要求的整数的值：          ． 【答案】答案不唯一  15.苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为        米 【答案】  【分析】将代入二次函数的详解式可得或，再根据二次函数的对称轴为直线，然后根据篮球框在抛物线的对称轴的右侧即可得． 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 【详解】解：由题意，将代入抛物线得：， 解得或， 抛物线的对称轴为直线， 篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且， 篮球出手至入筐过程中的水平距离长为米， 故答案为：． 16.定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算例如：若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是        ． 【答案】且  【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解． 本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当根的判别式，方程有两个不相等的实数根；当根的判别式，方程有两个相等的实数根；当根的判别式，方程没有实数根． 【详解】解：， ， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解下列方程： ； ． 【详解】， ， ， ， 解得； ， ， ， 或， 解得． 【分析】 根据配方法解一元二次方程； 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解题的关键． 18.本小题分 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为元． 若每次价格调整的增长率相同，求这个增长率； 经过一段时间的销售发现，当这款运动鞋每双降价元时，平均每天售出的数量双可以表示为若公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，求这款运动鞋每双的售价应该定为多少？ 【答案】解：设这个增长率为， ， ，舍去， 答：这个增长率为； ， 解得：，， 要求优惠力度最大， 不符合题意，应舍去， 即售价为元， 答：这款运动鞋每双的售价应该定为元．  【分析】 设这个增长率为，根据“在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为元”列出方程求解即可； 根据利润原来售价降价成本价销售量列出方程求解即可． 本题主要考查了一元二次方程的应用，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 19.本小题分 如图，点是等边内的一点，将绕点按顺时针旋转得到，连接． 当时，______；当时，______； 若，，求的长． 【详解】绕点按顺时针旋转得到 ，， 是等边三角形， ， ， ， 当时， 故答案分别为、． 由可知，当时，， ，， ． 【分析】 根据条件可以证明是等边三角形，利用即可得出． 根据已知条件可以证明，利用勾股定理可以解决． 本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用旋转不变性是解题的关键． 20.本小题分 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． 求反比例函数和一次函数的详解式； 直接写出当时，的解集； 是轴上一动点，试确定点的位置，使的值最小，并求出它的坐标． 【答案】 (1) 解：把A(1，4)代入，得m＝4． ∴反比例函数的详解式为． 把B(4，n)代入，得n＝1， ∴B(4，1)．把A(1，4)，B(4，1)代入y＝kx+b， 得 解得 ∴一次函数的详解式为y＝-x+5．  (2)根据图象，得0＜x＜1或x＞4．  (3)作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于点P，此时PA+PB＝PA+PB′＝AB′最小． ∵B(4，1)， ∴B′(4，-1)． 设直线AB′的详解式为y＝px+q， ∴ 解得 ∴直线AB′的详解式为． 令y＝0，得， 解得． ∴点P的坐标为．  21.本小题分 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面如图和截面示意图如图，攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线水平距离与离地高度的鹰眼数据如表： 根据表中数据预测足球落地时， ______； 求关于的函数详解式； 当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【详解】 解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等， 抛物线关于对称， 当时，， 时，， 故答案为：． 由知，抛物线关于对称，设， 把代入上述详解式， ，解得， ， 即； 不能防守成功， 理由如下：当时，， ， 这次守门员不能防守成功． 【分析】 根据抛物线的对称轴可直接得出结论； 根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答； 根据的值，求出，再与最大防守高度比较即可． 本题考查二次函数的实际应用，理解题意，掌握抛物线的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学九年级上册数学期中试卷（一） 范围：人教版新教材第二十五章~第二十八章 时间：90分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.保护环境，人人有责，下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(     ) A. B. C. D. 2.抛物线的顶点坐标是(     ) A. B. C. D. 3.将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线是(     ) A. B. C. D. 4.世界人形机器人运动会于月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环每两个人形机器人之间都只进行一场比赛制，每组个机器人若每组共需进行场比赛，则根据题意下列方程正确的为(     ) A. B. C. D. 5.利用判别式判断方程根的情况为(     ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6.关于的一元二次方程的常数项是，则的值(     ) A. B. 或 C. D. 7.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是(     ) A. B. 且 C. D. 且 8.已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是(     ) A. B. C. D. 9.在同一直角坐标系中，当时，反比例函数和一次函数的图象大致是(     ) A. B. C. D. 10.点，在二次函数为常数图象上，若，则下列说法正确的是(     ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是       ． 12.飞机着陆后滑行的距离关于滑行时间的函数解析式是，飞机着陆后滑行        才能停下来． 13.是方程的根，则式子的值为       ． 14.反比例函数的图象如图所示，写出一个符合要求的整数的值：          ． 15.苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为        米 16.定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算例如：若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是        ． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分解下列方程： ； ． 18.本小题分某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为元． 若每次价格调整的增长率相同，求这个增长率； 经过一段时间的销售发现，当这款运动鞋每双降价元时，平均每天售出的数量双可以表示为若公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，求这款运动鞋每双的售价应该定为多少？ 19.本小题分如图，点是等边内的一点，将绕点按顺时针旋转得到，连接． 当时，______；当时，______； 若，，求的长． 20.本小题分如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． 求反比例函数和一次函数的解析式； 直接写出当时，的解集； 是轴上一动点，试确定点的位置，使的值最小，并求出它的坐标． 21.本小题分 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面如图和截面示意图如图，攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线水平距离与离地高度的鹰眼数据如表： 根据表中数据预测足球落地时， ______； 求关于的函数解析式； 当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $