31.1 图形的相似（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十一章 相似 31.1 图形的相似 课标要点 1.通过实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比。 2.了解比例线段的概念，能识别成比例线段。 3.掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；能利用性质解决简单问题。 学习重难点 重点： 1.相似图形、比例线段、相似多边形的概念。 2.相似多边形的性质（对应角相等，对应边成比例）及其简单应用。 难点： 1.准确理解 “对应” 的含义，在复杂图形中找准相似多边形的对应边、对应角。 2.比例线段的有序性，会根据线段长度判断成比例线段、进行简单比例计算。 知识点 相似图形 1. 定义 形状相同的图形叫做相似图形。 2. 性质 （1）相似图形只关注图形的形状是否相同，与图形的大小、位置、放置角度无关； （2）两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的； （3）全等图形是特殊的相似图形（相似比为1:1）。 3. 判定方法 判断两个图形是否相似，核心是看它们的形状是否完全相同，若存在形状差异则不相似。 特别提醒 1. 相似图形的大小不一定相等，大小相等的相似图形为全等图形； 2. 观察图形时要忽略颜色、线条粗细、放置方向等无关因素，仅关注形状特征。 随学随练 1．下列各组图形属于相似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形， 项中一个是四边形，一个是三角形，形状不同，不是相似图形； 项中一个是五边形，一个是六边形，形状不同，不是相似图形； 项中一个是平行四边形，一个是正方形，对应角不相等，形状不同，不是相似图形； 项中两个图形形状相同，大小不同，是相似图形． 2．下列两个图形，一定相似的是（     ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个等边三角形 D．两个直角三角形 【答案】C 【分析】利用相似图形对应角相等、对应边成比例的判定条件，结合各选项图形的性质判断． 【详解】解：∵两个等腰三角形的顶角、两个直角三角形除直角外的锐角均不一定对应相等， ∴A、D中两个图形对应角不一定全部相等，不一定相似， ∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴B中两个图形不一定相似， ∵等边三角形的各内角均为，且各边相等， ∴C中两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，一定相似． 3．如图所示的各组图形中，是相似图形的是______（填序号）． 【答案】②③ 【分析】明确相似图形的判定依据：形状相同，大小可以不同，对应角相等、对应边成比例．依次分析每组的两个图形：先判断形状是否完全一致，再看对应元素的特征是否匹配．如果两个图形满足形状相同，那么这组图形是相似图形． 【详解】①中两个圆形脸部，一个是微笑的上扬嘴形，一个是难过的下弯嘴型，形状不一致，不是相似图形； ②中的两个正五边形，形状完全相同，仅大小不同，符合相似图形的要求； ③中的两个标志，内部的斜向图案朝向虽有差异，但整体形状细节一致，是相似图形． 因此是相似图形的是②③． 知识点 成比例线段 1. 定义 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 2. 比例的基本性质 （1）基本性质：若，则ad=bc（a、b、c、d均不为0）；反之，若ad=bc，则； （2）合比性质：若，则； （3）等比性质：若（b+d+…+n≠0），则。 3. 注意事项 （1）四条线段的单位要统一，计算时先将线段长度换算为同一单位再求比值； （2）线段的比有顺序性，a、b、c、d是成比例线段与a、d、c、b是成比例线段的含义不同。 特别提醒 1. 判断四条线段是否成比例，可先将四条线段按长度大小排序，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等；2. 若，则b叫做a、c的比例中项，此时满足b2=ac。 随学随练 1．下列各组线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据成比例线段的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：对于选项A：，， ∵， ∴A不符合题意； 同理，选项B中，不符合题意； 选项C中，，，不符合题意； 选项D中，， ∵， ∴D符合题意． 2．下列a，b，c，d四条线段不成比例的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】把a，b，c，d四条线段按从小到大排序后，再根据线段成比例的定义分别对A、B、C、D各选项的线段进行判断即可得答案． 【详解】解：A．把，，，按从小到大排序为： ，， ，， ∵，， ∴， ∴，， ，成比例，故A错误． B．把，，，按从小到大排序为： ，， ， ， ∵，， ∴， ∴，， ， 成比例，故B错误． C．把，，，按从小到大排序为： ， ，，， ∵，， ∴， ∴， ，，不成比例，故C正确． D．把，，，按从小到大排序为：，， ，， ∵，， ∴， ∴，， ，，成比例，故D错误． 3．已知为成比例线段，其中，则的长度为__________． 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义得到线段之间的关系，代入已知边长计算即可． 【详解】解：∵ 为成比例线段， ∴ ，即， ∵， ∴． 知识点 相似多边形 1. 定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 2. 相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比。 3. 性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似多边形的周长比等于相似比； （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方。 4. 判定方法 判定两个多边形相似，需要同时满足两个条件：①边数相同；②对应角相等，对应边成比例，两个条件缺一不可。 特别提醒 1. 仅对应角相等的两个多边形不一定相似，例如任意两个矩形； 2. 仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，例如任意两个菱形； 3. 相似比具有顺序性，如多边形A与多边形B的相似比为k，则多边形B与多边形A的相似比为。 随学随练 1．如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵， ∴． 2．两个相似多边形的面积比为，其中较大的多边形的周长为，则较小的多边形的周长为______． 【答案】 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求得相似比，再根据相似多边形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴相似比为， ∴周长比为， ∵较大的多边形的周长为， ∴较小的多边形的周长为． 3．如图四边形四边形，依据所标数据，解答下列问题． (1)求的度数． (2)求边x，y的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据相似图形对应角相等，即可求解； （2）根据相似图形对应边成比例，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴． （2）解：∵四边形四边形， ∴，即， ∴，． 拓展 比例线段的有序性与等积式互化规律 四条线段成比例具有严格顺序性，a,b,c,d成比例是a:b=c:d，不能随意调换顺序；核心等价关系：a:b=c:d ad=bc。 规律延伸：同一组等积式可以写出多组不同比例式，写比例式的技巧 —— 等积式两边同做内项、外项轮换；比例中项是特殊成比例线段，=ac中，b是a,c的比例中项，比例中项不分顺序。 打通比例式、等积式转化套路，为后续相似三角形计算、黄金分割铺垫代数运算模型，避免比例列式顺序出错。 活学活用 1．已知有三条长度分别为，，的线段，请再添加一条线段，使这四条线段成比例，则所添线段的长度为____________． 【答案】或或 【分析】根据成比例线段的性质，分四种情况讨论计算即可． 【详解】解：设所添加线段的长度为， 情况1：x与1，4，8成比例，顺序为x，1，4，8， ∴， 解得； 情况2：x与1，4，8成比例，顺序为1，x，4，8， ∴， 解得； 情况3：x与1，4，8成比例，顺序为1，4，x，8， ∴， 解得； 情况4：x与1，4，8成比例，顺序为1，4，8，x， ∴， 解得， 综上所述，所添线段的长度为或或． 2．若，则的值为________； 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质， 由比例关系设参数，代入表达式化简即可． 【详解】解：由，设，（）， ∴． 故答案为：． 3．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求． 【答案】(1)12，8，24 (2)24 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k,然后求解即可； （2）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：设 ，则， ∵， ∴， 解得，， 所以，，，； （2）解：∵线段x是线段、c的比例中项， ∴， ∴． 题型 相似图形识别辨析 解题贴士 判断相似图形只看形状是否相同，与大小、位置、摆放方向无关；全等图形是相似比为 1 的特殊相似图形，形状不一样的图形一定不相似。 ▌例1下列图形中，不是相似图形的有（     ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】B 【详解】解：图1，形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故该图形是相似图形； 图2，形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故该图形是相似图形； 图3，形状不相同，不符合相似图形的定义，故该图形不是相似图形； 图4，形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故该图形是相似图形； 综上，不是相似图形的只有1组． ▌例2《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号．如图，用放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（   ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似变换，解题的关键是掌握相似的定义． 根据相似变换进行求解即可． 【详解】解：放大前后两个图形之间属于相似变换， 故选：C． ▌对点练1-1．以下选项中，与图中所给图形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，关键是掌握相似图形的形状必须完全相同，大小不一定相同．根据相似图形的定义解答即可． 【详解】 解：与图中所给图形相似的是． 故选：D． ▌对点练1-2如图，图形①②③分别和图形_________是相似图形（填序号）． 【答案】⑥④⑤ 【分析】需逐一分析每个图形与其他图形的形状是否相同． 【详解】解：分析图形①：图形①与图形⑥形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 分析图形②：图形②与图形④形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 分析图形③：图形③与图形⑤形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 综上，图形①和图形⑥是相似图形，图形②和图形④是相似图形，图形③和图形⑤是相似图形． 故答案依次为：⑥、④、⑤． 【点睛】本题考查了相似图形的知识点，解题关键是理解相似图形形状相同、大小可不同的特点，通过观察图形的形状来判断是否为相似图形． ▌对点练1-3将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是_____．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 【答案】（1）（2）（4） 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，根据题意可得图形甲和图形乙相似，再由相似图形对应角相等，对应边的长成比例即可得到答案． 【详解】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙， ∴图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故答案为：（1）（2）（4）． 题型 相似多边形判定 解题贴士 多边形相似需要同时满足两个条件：对应角相等、对应边成比例，二者缺一不可；只用角相等或者只用边成比例，都不能判定多边形相似。 ▌例1下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】D 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项是否一定相似． 【详解】解：A．两个等腰直角三角形的内角均为、、，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故A不符合题意； B．两个等边三角形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故C不符合题意； D．两个等腰梯形的底角不一定相等，各边比例也不一定相同，不一定满足相似条件，故不一定相似，故D符合题意． ▌例2如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． ▌对点练1-1下面矩形中，和矩形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的矩形相似，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且四个角都是直角，根据所有的直角都相等，对应边成比例，符合定义． ▌对点练1-2在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． 【详解】解：∵， ∴A选项中的矩形与矩形相似． 故选：A． ▌对点练1-3如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影多边形与原正多边形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 题型 判断四条线段是否成比例 解题贴士 先统一四条线段的长度单位，再把线段长度从小到大排序，检验前两条的比是否等于后两条的比，注意成比例线段具有顺序性。 ▌例1下列各组线段的长度成比例的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，验证最短与最长线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，判断是否为成比例线段． 【详解】解：各组线段单位统一且已按从小到大排列，分别计算得： A、，不成比例； B、，不成比例； C、，成比例； D、，不成比例． ▌例2下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】只需要判断最短的线段与最长的线段的乘积是否等于剩余两条线段的乘积即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． ▌对点练1-1如果，，，，那么（     ） A．a，b，c，d成比例 B．a，c，d，b成比例 C．a，c，b，d成比例 D．a，b，d，c成比例 【答案】B 【分析】分析四个数据，判断能否满足两内项之积等于两外项之积，再将其写成比例式形式即可． 【详解】解：，，，， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即，，，成比例． ▌对点练1-2下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】用最长与最短线段的乘积和中间两线段的乘积是否相等，判断线段是否成比例． 【详解】解：A．∵， ∴、、、不成比例； B．∵， ∴、、、成比例； C．∵， ∴、、、不成比例； D．∵， ∴、、、不成比例． ▌对点练1-3下列各组线段的长度，成比例的是（     ） A．1，3，3，6 B．2，3，4，5 C．，，， D．，，2，3 【答案】C 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，若最小与最大线段的乘积等于中间两线段的乘积，则该组线段成比例． 【详解】解：A． 排序得，，，，，，，不成比例． B． 排序得，，，，，，，不成比例． C． 排序得，，，，，，，成比例． D． 排序得，，，，，，，不成比例． 题型 利用比例线段求线段长 解题贴士 找准比例中的对应线段，列出正确比例式，再转化为等积式计算；求出结果后结合线段长度为正数检验，避免出现负值。 ▌例1已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 【答案】A 【分析】由比例中项的定义列等式，结合线段长度为正求解． 【详解】解：∵是、的比例中项， ∴． ∵线段，， ∴． ∴或（不符合题意，舍去）． 故线段． ▌例2若长度分别为2，3，x，6的四条线段依次成比例，则x的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据比例线段的定义列出比例式，再求出解即可． 【详解】解：∵2，3，，6是依次成比例的线段， ∴， ∴， 解得． ▌对点练1-1若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 【答案】C 【分析】根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解． ▌对点练1-2在比例尺是的游览图上，某隧道长约，那么它的实际长度约为______m． 【答案】1200 【分析】本题考查了比例线段，理解比例尺的定义是解题关键．根据比例尺列方程计算即可． 【详解】解：设实际长度约为，即， 则， 解得 即实际长度约为， 故答案为：1200． ▌对点练1-3在的地图上，某城市A与另一个城市B的距离是cm，那么城市A与B的实际距离为___________千米． 【答案】120 【分析】根据实际距离图上距离比例尺．代值计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： （厘米）， 12000000厘米千米． 故答案为：120． 【点睛】此题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题． 题型 比例式与等积式互化 解题贴士 比例式转化等积式遵循 “交叉相乘”；由等积式写比例式时，等号同侧的两个数可以同时作为内项或者外项，写出多种比例式。 ▌例1如果线段是、的比例中项，且，则___________． 【答案】4 【详解】根据比例中项的概念，得，再利用比例的基本性质计算得到的值． 【解答】解：是、的比例中项， ， 又， ， 解得． 又为线段的长度， 舍去； 即． ▌例2已知线段，，则线段，的比例中项是______________． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义，可得比例中项的平方等于两条已知线段的乘积，结合线段长度为正数确定最终结果． 【详解】解：设线段，的比例中项为， ， ，， ， 线段的长度为正数， ． ▌对点练1-1已知线段，线段c是a，b的比例中项，那么c的值为___． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项． 【详解】解：线段c是a、b的比例中项， ， 解得：， 又线段的长度是正数， ． 故答案为：． ▌对点练1-2若线段，，则、的比例中项_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查了比例的性质．根据比例中项的定义，c 是 a 和 b 的比例中项，则，代入数据计算即可． 【详解】解：∵线段，，c 是 a、b 的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：6 ▌对点练1-3已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段，掌握线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．根据比例中项的定义，若线段b是线段a、c的比例中项，即．即可求解 【详解】解∶若线段b是线段a、c的比例中项， 即， ． 解得． 故答案为∶． 题型 比例的性质 解题贴士 运用比例基本性质、合比、等比性质时，注意分母不能为 0；使用等比性质时，要先判断所有分母之和不等于 0，再代入化简求值。 ▌例1若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． ▌例2如果，那么下列各式中正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用比例的基本性质验证等式变形，结合比例的意义判断具体取值的正误． 【详解】解：∵， ∴， ∴A错误，B正确； ∵满足的取值不唯一，且时， ∴C、D错误． ▌对点练1-1若，则（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． ▌对点练1-2若，则________． 【答案】/ 【分析】根据比例性质，设，，代入中求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． ▌对点练1-3如果，则___________． 【答案】 【分析】根据已知等式分别求出，，的值，再代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， 将，，代入得． 题型 相似多边形性质计算 解题贴士 找准相似多边形的对应角、对应边，对应角直接相等，对应边的比值等于相似比；计算时看清相似比的前后顺序，不要颠倒。 ▌例1如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的性质得到，进而求出的度数． 【详解】解：四边形四边形， ． 四边形的内角和为， ． ▌例2如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“相似多边形的对应边成比例”即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得． ▌对点练1-1已知矩形矩形，，，则的长为_________． 【答案】 3 【分析】利用相似多边形对应边成比例的性质，结合已知的对应边数量关系建立比例式，求解未知边长． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴两个矩形的对应边成比例，即 ∵ ∴ 将代入上述比例式，得 解得． ▌对点练1-2已知五边形五边形，若，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据相似多边形对应边成比例的性质，利用已知对应边求出相似比，即可得到所求对应边的比值． 【详解】解：∵ 五边形五边形， ∴ 对应边成比例，可得， 将，代入得：． ▌对点练1-3如图，四边形四边形，求x，y的值和的度数． 【答案】，， 【分析】根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， 由图可得,， ∴，． 基础通关 1．已知线段a、b、c、d依次成比例，其中线段，，，那么线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵线段、、、成比例， ∴. 将，，代入上式，得， ； . 2．用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（     ） A．周长 B．各边的长度 C．面积 D．各内角大小 【答案】D 【详解】解：用放大镜观察三角形相当于相似变换. ∵相似变换仅改变图形大小，不改变形状， ∴各内角大小不变. ∴各边长度、周长、面积均会按比例放大. 故答案为. 3．已知四条线段和d是成比例线段，则线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即，则这四条线段成比例．据此得到，进而得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵四条线段，，和是成比例线段， ∴， ∴， ∴． 4．已知，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵（）， ∴等式两边同时除以6，得 . 5．下面几组图形中，相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形状相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【详解】解：选项C中的图形是相似图形． 6．下列各组线段中，能成比例的是（     ） A．4，2，5，10 B．1，2，3，4 C．2，3，6，8 D． 【答案】A 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴该组线段能成比例； B、∵， ∴该组线段不能成比例； C、∵， ∴该组线段不能成比例； D、∵， ∴该组线段不能成比例。 7．下列各组线段中，不成比例的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果其中最小的和最大的两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、由于，所以成比例，不符合题意； B、由于，所以不成比例，符合题意； C、由于，所以成比例，不符合题意； D、由于，所以成比例，不符合题意． 8．若（a，b都不为0），则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵（，都不为0）， ∴， ∴选项A错误，选项B正确，其他选项无法判断． 9．在一幅比例尺为的地图上量得桂林到南宁的距离为厘米，则桂林到南宁的实际距离是______千米． 【答案】 400 【分析】根据比例尺的定义建立等量关系求出实际距离的厘米数，再通过长度单位换算得到以千米为单位的结果. 【详解】解：设桂林到南宁的实际距离为厘米，由题意，得， 解得； ∵千米厘米， ∴厘米千米. 10．已知线段，，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义可得，代入、的数值计算即可，线段长度为正，直接得结果． 【详解】解：∵ 是、的比例中项， ∴ ， 代入，得：， 计算得， 解得． 11．已知，那么______． 【答案】 【分析】将所求分式拆分变形，代入已知比例即可计算． 【详解】解：． 12．将一张矩形纸片对折后得到的两个矩形与原矩形相似，则原矩形较长边与较短边的比为______． 【答案】 【详解】解：设原矩形的较长边为，较短边为，由题意得： ，即， ∴． 13．若两个相似多边形的相似比为，较小的多边形面积为5，求较大的多边形面积． 【答案】 45 【分析】根据相似多边形面积比等于相似比的平方的性质，结合已知的较小多边形面积计算较大多边形面积． 【详解】解： ∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积比为， 设较大多边形的面积为， ∵较小多边形的面积为5， ∴， 解得， ∴较大的多边形面积为． 14．如图，在某县地图上，以三个村庄A，B，C为顶点构成的三角形的三边长分别为，，．已知该地图标明的比例尺为，求每两个村庄之间的实际距离． 【答案】 ，两村庄的实际距离为，，两村庄的实际距离为，，两村庄的实际距离为 【分析】根据比例尺的定义，实际距离等于图上距离除以比例尺，分别计算三组村庄的实际距离后换算单位即可得到结果． 【详解】解：设，，的实际距离分别为，，， ∵比例尺为，图上距离，， ∴， 解得， ， 同理可得，解得， ，解得， ， ， 答：，两村庄实际距离为，，两村庄实际距离为，，两村庄实际距离为． 15．判断下列长度的各组线段是不是成比例线段： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是成比例线段 (2)是成比例线段 (3)不是成比例线段 (4)是成比例线段 【分析】判断四条线段是否成比例，可通过计算最小与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积． 【详解】（1）解：最短线段，最长线段，则， 另两条，则，故不是成比例线段； （2）解：最短线段，最长线段，则， 另两条，则，故是成比例线段； （3）解：最短线段，最长线段，则， 另两条，则，故不是成比例线段； （4）解：最短线段，最长线段，则， 另两条，则，故是成比例线段． 素养提升 1．已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知等式变形为比例式，结合平行线分线段成比例定理及尺规作图中先作已知线段的原则进行判断． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵用平行线分线段成比例作线段的核心逻辑是：两条从同一点出发的射线，先在射线上依次截取全部已知的定长线段，再作平行线，最后截出的未知线段是作图的结果，不能一开始就去画还没求出来的， ∴选项错误， 根据平行线分线段成比例定理，图中对应线段成比例，满足，符合题意． 2．若，且，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求分式变形为含的形式，代入已知比例值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 3．如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质得到，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．如果（a，b，c，d，e，f均为正数），那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知多个比值相等，可设参数k表示各量，代入各选项验证． 【详解】解：∵， ∴设，，，，，（均为正数）， ∵，，， ∴选项 A，B，C中结论均正确，不符合题意， ∵， ∴ 选项D中结论错误，符合题意． 5．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（     ） A．6 B．8 C．4 D．12 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，比例中两个外项的积等于两个内项的积，对各选项逐一验证即可得到答案． 【详解】解：添加6时，所有组合中不存在两个数的积等于另外两个数的积，选项A不符合要求． 添加8时，所有组合中不存在两个数的积等于另外两个数的积，选项B不符合要求． 添加4时，所有组合中不存在两个数的积等于另外两个数的积，选项C不符合要求． 添加12时， ，满足比例的基本性质，可组成比例 ， 选项D符合要求． 6．如图，四边形与四边形相似，且A、B、C、D分别与、、、对应，则的度数是__________． 【答案】 【详解】解：由已知，， ∴． 7．在与中，已知，且的周长为，则的周长为______． 【答案】24 【分析】由三边对应成比例，可得两个三角形的周长比等于相似比，代入的周长即可计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 即的周长的周长， ∵的周长为 ∴ 的周长为． 8．已知，则_________． 【答案】或 【分析】设，再整理，分和两种情况进行作答． 【详解】解：设， 则①， ②， ③， 得，， 当时，原式， 当时，，则， 原式． 故答案为：或． 9．已知线段a、b、c，且． (1)求的值为 ； (2)若线段a、b、c满足，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用比例的性质进行求解即可； （2）设比例系数为，用表示、、，结合三线段长度和求解，进而得的值. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设（），则，，， ∵， ∴，解得， ∴. 10．如图，六边形与六边形相似．求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 【答案】(1)； (2)，； (3)，，， 【分析】（1）对应边的比就是相似比； （2）利用相似多边形对应角相等，可求出结果； （3）利用相似多边形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵六边形与六边形相似，与是对应边， ∴ ，即相似比为． （2）解：∵六边形与六边形相似， ∴，， 又∵，， ∴，． （3）解：∵六边形与六边形相似， ∴． 由，，得， ∴． 由，，得， ∴． 由，，得， ∴． 由，，得， ∴． 即，，，． 【点睛】本题主要考查相似多边形性质，熟记相似多边形的性质是解题的关键． 迁移创新 1．数学活动课上，老师布置了一个任务：在长为6，宽为2的矩形纸片内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，甲同学的设计方案如图①，乙同学的设计方案如图②．请你判断选择谁的方案剪下的两个矩形的周长之和最大，并说明理由． 【答案】解：选择乙同学的设计方案． 理由如下：如答图①，设甲同学的设计方案中剪下的小矩形的宽， 原矩形的长与宽之比为， ， ， ， 甲同学的设计方案中两个矩形的周长之和为． 如答图②，设，同理可得剪下的两个矩形的周长之和为． ， ， 当时，两个矩形的周长之和最大，最大值为． ， 选择乙同学的设计方案剪下的两个矩形的周长之和最大． 【分析】先算出原矩形长宽比为，利用相似矩形边长比例，再分别设未知数写出甲、乙方案两个小矩形的边长，进而求出甲方案周长之和恒为16，同理求出乙方案周长表达式，结合自变量范围算出乙的最大周长，最后比较大小，得到乙方案剪下矩形的周长之和更大． 【详解】略 2．综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段AB，CD的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下四个命题（a，b，c，d都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 （1）该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，通过查阅资料知③，④也是真命题，但在证明上他遇到了困难．请你帮助甲同学从③和④中选择一个证明它是真命题； 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求b的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【答案】 （1）③④都真命题． ③证明：∵， ． ∵， ． ④证明：∵， ． ． ． （2）； （3）18． 【分析】本题主要考查了比例线段、比例的性质、三角形的周长等知识点，熟练掌握比例的性质是解题的关键 ． （1）根据比例的性质即可解答； （2）由四个数a，b，c，d成比例，得到，求得，然后代入相关数值计算即可； （3）由，根据比例的性质得到．求得，再结合题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）四个数a，b，c，d成比例， ∴． ∴， ∵，，且， ． ． （3）∵， ∴． ∴． ∵的周长与的周长的差为6， ， ． ．即的周长为18． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 相似 31.1 图形的相似 课标要点 1.通过实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比。 2.了解比例线段的概念，能识别成比例线段。 3.掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；能利用性质解决简单问题。 学习重难点 重点： 1.相似图形、比例线段、相似多边形的概念。 2.相似多边形的性质（对应角相等，对应边成比例）及其简单应用。 难点： 1.准确理解 “对应” 的含义，在复杂图形中找准相似多边形的对应边、对应角。 2.比例线段的有序性，会根据线段长度判断成比例线段、进行简单比例计算。 知识点 相似图形 1. 定义 形状相同的图形叫做相似图形。 2. 性质 （1）相似图形只关注图形的形状是否相同，与图形的大小、位置、放置角度无关； （2）两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的； （3）全等图形是特殊的相似图形（相似比为1:1）。 3. 判定方法 判断两个图形是否相似，核心是看它们的形状是否完全相同，若存在形状差异则不相似。 特别提醒 1. 相似图形的大小不一定相等，大小相等的相似图形为全等图形； 2. 观察图形时要忽略颜色、线条粗细、放置方向等无关因素，仅关注形状特征。 随学随练 1．下列各组图形属于相似图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列两个图形，一定相似的是（     ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个等边三角形 D．两个直角三角形 3．如图所示的各组图形中，是相似图形的是______（填序号）． 知识点 成比例线段 1. 定义 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 2. 比例的基本性质 （1）基本性质：若，则ad=bc（a、b、c、d均不为0）；反之，若ad=bc，则； （2）合比性质：若，则； （3）等比性质：若（b+d+…+n≠0），则。 3. 注意事项 （1）四条线段的单位要统一，计算时先将线段长度换算为同一单位再求比值； （2）线段的比有顺序性，a、b、c、d是成比例线段与a、d、c、b是成比例线段的含义不同。 特别提醒 1. 判断四条线段是否成比例，可先将四条线段按长度大小排序，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等；2. 若，则b叫做a、c的比例中项，此时满足b2=ac。 随学随练 1．下列各组线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．下列a，b，c，d四条线段不成比例的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．已知为成比例线段，其中，则的长度为__________． 知识点 相似多边形 1. 定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 2. 相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比。 3. 性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似多边形的周长比等于相似比； （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方。 4. 判定方法 判定两个多边形相似，需要同时满足两个条件：①边数相同；②对应角相等，对应边成比例，两个条件缺一不可。 特别提醒 1. 仅对应角相等的两个多边形不一定相似，例如任意两个矩形； 2. 仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，例如任意两个菱形； 3. 相似比具有顺序性，如多边形A与多边形B的相似比为k，则多边形B与多边形A的相似比为。 随学随练 1．如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 2．两个相似多边形的面积比为，其中较大的多边形的周长为，则较小的多边形的周长为______． 3．如图四边形四边形，依据所标数据，解答下列问题． (1)求的度数． (2)求边x，y的长． 拓展 比例线段的有序性与等积式互化规律 四条线段成比例具有严格顺序性，a,b,c,d成比例是a:b=c:d，不能随意调换顺序；核心等价关系：a:b=c:d ad=bc。 规律延伸：同一组等积式可以写出多组不同比例式，写比例式的技巧 —— 等积式两边同做内项、外项轮换；比例中项是特殊成比例线段，=ac中，b是a,c的比例中项，比例中项不分顺序。 打通比例式、等积式转化套路，为后续相似三角形计算、黄金分割铺垫代数运算模型，避免比例列式顺序出错。 活学活用 1．已知有三条长度分别为，，的线段，请再添加一条线段，使这四条线段成比例，则所添线段的长度为____________． 2．若，则的值为________； 3．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求． 题型 相似图形识别辨析 解题贴士 判断相似图形只看形状是否相同，与大小、位置、摆放方向无关；全等图形是相似比为 1 的特殊相似图形，形状不一样的图形一定不相似。 ▌例1下列图形中，不是相似图形的有（     ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 ▌例2《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号．如图，用放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（   ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 ▌对点练1-1．以下选项中，与图中所给图形相似的是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，图形①②③分别和图形_________是相似图形（填序号）． ▌对点练1-3将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是_____．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 题型 相似多边形判定 解题贴士 多边形相似需要同时满足两个条件：对应角相等、对应边成比例，二者缺一不可；只用角相等或者只用边成比例，都不能判定多边形相似。 ▌例1下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 ▌例2如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 ▌对点练1-1下面矩形中，和矩形相似的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影多边形与原正多边形相似的是（   ） A． B． C． D． 题型 判断四条线段是否成比例 解题贴士 先统一四条线段的长度单位，再把线段长度从小到大排序，检验前两条的比是否等于后两条的比，注意成比例线段具有顺序性。 ▌例1下列各组线段的长度成比例的是（     ） A． B． C． D． ▌例2下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， ▌对点练1-1如果，，，，那么（     ） A．a，b，c，d成比例 B．a，c，d，b成比例 C．a，c，b，d成比例 D．a，b，d，c成比例 ▌对点练1-2下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 ▌对点练1-3下列各组线段的长度，成比例的是（     ） A．1，3，3，6 B．2，3，4，5 C．，，， D．，，2，3 题型 利用比例线段求线段长 解题贴士 找准比例中的对应线段，列出正确比例式，再转化为等积式计算；求出结果后结合线段长度为正数检验，避免出现负值。 ▌例1已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm ▌例2若长度分别为2，3，x，6的四条线段依次成比例，则x的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-1若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 ▌对点练1-2在比例尺是的游览图上，某隧道长约，那么它的实际长度约为______m． ▌对点练1-3在的地图上，某城市A与另一个城市B的距离是cm，那么城市A与B的实际距离为___________千米． 题型 比例式与等积式互化 解题贴士 比例式转化等积式遵循 “交叉相乘”；由等积式写比例式时，等号同侧的两个数可以同时作为内项或者外项，写出多种比例式。 ▌例1如果线段是、的比例中项，且，则___________． ▌例2已知线段，，则线段，的比例中项是______________． ▌对点练1-1已知线段，线段c是a，b的比例中项，那么c的值为___． ▌对点练1-2若线段，，则、的比例中项_____． ▌对点练1-3已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么______． 题型 比例的性质 解题贴士 运用比例基本性质、合比、等比性质时，注意分母不能为 0；使用等比性质时，要先判断所有分母之和不等于 0，再代入化简求值。 ▌例1若，则的值为（     ） A． B． C． D． ▌例2如果，那么下列各式中正确的是（     ）． A． B． C． D． ▌对点练1-1若，则（     ） A． B．1 C． D． ▌对点练1-2若，则________． ▌对点练1-3如果，则___________． 题型 相似多边形性质计算 解题贴士 找准相似多边形的对应角、对应边，对应角直接相等，对应边的比值等于相似比；计算时看清相似比的前后顺序，不要颠倒。 ▌例1如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． ▌例2如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-1已知矩形矩形，，，则的长为_________． ▌对点练1-2已知五边形五边形，若，，则的值为________．▌对点练1-3如图，四边形四边形，求x，y的值和的度数． 基础通关 1．已知线段a、b、c、d依次成比例，其中线段，，，那么线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 2．用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（     ） A．周长 B．各边的长度 C．面积 D．各内角大小 3．已知四条线段和d是成比例线段，则线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 4．已知，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 5．下面几组图形中，相似的是（     ） A． B． C． D． 6．下列各组线段中，能成比例的是（     ） A．4，2，5，10 B．1，2，3，4 C．2，3，6，8 D． 7．下列各组线段中，不成比例的是（     ） A． B． C． D． 8．若（a，b都不为0），则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 9．在一幅比例尺为的地图上量得桂林到南宁的距离为厘米，则桂林到南宁的实际距离是______千米． 10．已知线段，，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 11．已知，那么______． 12．将一张矩形纸片对折后得到的两个矩形与原矩形相似，则原矩形较长边与较短边的比为______． 13．若两个相似多边形的相似比为，较小的多边形面积为5，求较大的多边形面积． 14．如图，在某县地图上，以三个村庄A，B，C为顶点构成的三角形的三边长分别为，，．已知该地图标明的比例尺为，求每两个村庄之间的实际距离． 15．判断下列长度的各组线段是不是成比例线段： (1)； (2)； (3)； (4)． 素养提升 1．已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（     ） A． B． C． D． 2．若，且，则的值为（      ） A． B． C． D． 3．如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 4．如果（a，b，c，d，e，f均为正数），那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 5．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（     ） A．6 B．8 C．4 D．12 6．如图，四边形与四边形相似，且A、B、C、D分别与、、、对应，则的度数是__________． 7．在与中，已知，且的周长为，则的周长为______． 8．已知，则_________． 9．已知线段a、b、c，且． (1)求的值为 ； (2)若线段a、b、c满足，求c的值． 10．如图，六边形与六边形相似．求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 迁移创新 1．数学活动课上，老师布置了一个任务：在长为6，宽为2的矩形纸片内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，甲同学的设计方案如图①，乙同学的设计方案如图②．请你判断选择谁的方案剪下的两个矩形的周长之和最大，并说明理由． 2．综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段AB，CD的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下四个命题（a，b，c，d都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 （1）该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，通过查阅资料知③，④也是真命题，但在证明上他遇到了困难．请你帮助甲同学从③和④中选择一个证明它是真命题； 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求b的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $