第1章 直角三角形的边角关系 单元 练习 2026-2027学年北师大版数学九年级下册

九年级数学（北师大版）下学期考点精练

第1章 直角三角形的边角关系

本专练分为锐角三角函数概念与网格求值、特殊角三角函数值与实数运算、解直角三角形基础与斜化直模型、仰角俯角与方向角实际建模、坡度坡角与堤坝道路工程决策、底部不可达测高与现代科技测量、锐角三角函数与动点最值综合七个专题。

 

专题1　锐角三角函数的概念与网格求值

1. （锐角三角函数的定义与相似放大不变性）在 中，，已知两直角边长分别为 ，．（1）求 、、 的值；（2）若将 的三边长同时扩大为原来的 倍，得到 ，求 、、 的值，并据此阐述锐角三角函数的本质特征．

 

 

2. （正方形网格中的锐角三角函数与等角转化）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 均在小正方形的顶点（格点）上．（1）求 的值；（2）求 与 的值．

3. （等腰三角形中的锐角三角函数（化斜为直））如图，在等腰 中，，．（1）求 和 的值；（2）求 的面积．

4.                 （钝角三角形中求高与双解探究）如图，在 中，已知 ，，且 ．（1）求 中 边上的高 的长；（2）分类探究：求边 的长（提示：高 可能在 内部或外部）；（3）在上述两种情况下，求 的值，并说明其是否为一个定值．

专题2　特殊角的三角函数值与实数混合运算

5.                 （特殊角三角函数值的实数混合运算）计算：．

 

 

 

6.                 （非负数性质与特殊角方程综合）已知 均为锐角，且满足 ．（1）求锐角 和 的度数；（2）若 是某个三角形的两个内角，求第三个内角的度数；（3）在 中，，，边 ．过点 作 于点 ，求高 、边 的长及 的面积．

 

 

 

 

7.                 （几何创新探究：15°与75°特殊角三角函数推导）如图，在 中，，．延长 到点 ，使得 ，连接 ．（1）求证：；（2）利用该几何图形，推导并求出 的精确值；（3）求 与 的值．

 

 

 

专题3　解直角三角形的基础模型与斜三角形化直

8.                 （直角三角形知二求三基础运算）在 中，， 所对的边分别为 ．（1）已知 ，，求 的长及 的度数；（2）已知 ，，求 的长及 的度数．

 

 

 

 

 

 

9.                 （双直角“背靠背”模型（作高化斜为直））如图，在锐角 中，，， 边上的高 ．（1）求边 与 的长；（2）求边 的长及 的面积．

 

 

 

10.             （双直角“母子型（公共直角边）”模型）如图，点 在同一直线上， 于点 ．已知 ，，．（1）求直角边 的长；（2）求边 与 的长．