专题06二次根式同步培优讲义2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题06二次根式同步培优讲义 ✺知识框架 1.基础概念：二次根式的定义，二次根式有意义的条件，二次根式的双重非负性. 2.核心性质：二次根式两条基本性质）2 与的辨析。 3.最简二次根式，同类二次根式。 4.二次根式运算：二次根式乘法、除法，分母有理化，二次根式加减，二次根式混合运算。 5.二次根式综合应用：化简求值，参数求解，裂项规律计算，依托非负性的代数式与几何培优。 ✺学习目标 1.理解二次根式的概念，能够确定被开方数中字母的取值范围，掌握二次根式的双重非负性。 2.熟练运用二次根式的性质进行化简，准确区分）2 与的适用条件和运算结果。 3.会识别最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式乘、除、加、减的运算法则。 4.规范完成二次根式的混合运算，掌握分母有理化方法，能够利用整体代换技巧化简求值。 5.结合二次根式的非负性与题干隐含条件，解决参数计算、代数式综合以及简单几何类培优问题。 ✺题型归纳 题型1.二次根式的识别 题型2.求二次根式的值 题型3.求二次根式中的参数 题型4.二次根式有意义的条件 题型5.利用二次根式的性质化简 题型6.复合二次根式的化简 题型7.二次根式的乘、除运算 题型8.二次根式的乘除混合运算 题型9.最简二次根式的判断 题型10.化为最简二次根式 题型11.已知最简二次根式求参数 题型12.同类二次根式 题型13.二次根式的加减运算 题型14.二次根式的混合运算 题型15.分母有理化 题型16.已知字母的值，化简求值 题型17.已知条件式，化简求值 题型18.比较二次根式的大小 题型19.二次根式的应用 题型20.实数的混合运算 题型21.新定义下的实数运算 题型22.实数运算的实际应用 题型23.与实数运算相关的规律题 题型24.课堂小练 ✺知识清单 一、二次根式的概念 形如(a≥0)的式子叫做二次根式，√为二次根号。 1.有意义的条件：被开方数 a≥0；若二次根式位于分母，则还要求分母不为0。 2.双重非负性：≥0，且a≥0。 常用结论：若几个非负数的和为0，则每一个非负数的值都为0。 二、二次根式的性质 1.）2=a(a≥0）） 2.=｜a｜= 辨析要点：）2要求a≥0；对任意实数都成立，化简时优先保留绝对值，再根据字母范围去绝对值符号。 三、最简二次根式 同时满足以下两个条件： 1.被开方数不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 四、同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式之后，如果被开方数相同，则称它们为同类二次根式； 只有同类二次根式才可以合并，合并方式与合并同类项一致。 五、二次根式乘除运算法则 1.乘法：·=(a≥0,b≥0) 逆用：=·(a≥0,b≥0)常用于根式化简。 2.除法：= (a≥0,b>0) 逆用： = (a≥0,b>0) 六、分母有理化 将分母中的根号化去，常用有理化因式： 的有理化因式是；+的有理化因式是 － 七、二次根式的加减运算 先把各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；不是同类二次根式，不能合并。 八、二次根式的混合运算 运算顺序与整式运算保持一致：先乘方，再乘除，最后加减；有括号优先计算括号内的式子；平方差、完全平方公式可以直接使用。 化简思路：优先化为最简二次根式，再选择合并、公式变形或者整体代换。 ✺题型精讲 题型1.二次根式的识别 1．下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．请写出一个系数为正整数的二次根式________． 3．观察下面表中的式子，写出第n个式子(用含n的代数式表示)，并问这个式子一定是二次根式吗？为什么？ 题型2.求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 2．当时，二次根式的值为________． 3．材料一：若a是正整数，a除以3的余数为1，则称a是“三拖一数”．例如：13是正整数，且，则13是“三拖一数”． 材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数材字为d，规定：． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)判断：124，1838是不是“三拖一数”？并说明理由； (2)若四位正整数p是“三拖一数”，p的千位数字的2倍与个位数字的和等于9，百位数字与十位数字的和等于8，是有理数，求所有满足条件的p． 题型3.求二次根式中的参数 1．下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知为正整数，且是整数，那么的最小值是_______． 3．定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：对于1，4，9这三个数， ，，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 题型4.二次根式有意义的条件 1．下列四个数，二次根式中不可取的数是（     ） A． B． C． D． 2．在实数范围内，当______时，有意义． 3．已知，求． 题型5.利用二次根式的性质化简 1．化简的结果是（     ） A．3 B． C． D．9 2．化简：________． 3．先化简，再求值：，其中． 下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮： 解：原式 ； 小芳： 解：原式 (1)_____的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____； (3)先化简，再求值：，其中． 题型6.复合二次根式的化简 1．已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 2．若，则的值为_______． 3．先阅读下面解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b（），使，则 ； 例：化简： 请用上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 题型7.二次根式的乘、除运算 1．计算（     ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： (1)； (2) 题型8.二次根式的乘除混合运算 1．计算：的结果是（     ） A． B． C．1 D．9 2．计算______． 3．计算： (1)； (2)． 题型9.最简二次根式的判断 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．二次根式、、、（是正整数）中，最简二次根式是________． 3．判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型10.化为最简二次根式 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．化简：_________． 3．将下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)． 题型11.已知最简二次根式求参数 1．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 题型12.同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 3．已知是最简二次根式，且与可以合并，求与的乘积． 题型13.二次根式的加减运算 1．在表中填上适当的数，使每一行、每一列、每一条对角线上的3个数的和都是0，则填在0右侧的数为（     ） 0 A． B． C． D． 2．化简：－＋＝________． 3．计算（解方程）题： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型14.二次根式的混合运算 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算______． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式， (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：．求的值． 题型15.分母有理化 1．下列各数中，与互为倒数的是（     ） A． B． C． D． 2．把的分母有理化，结果是_______． 3．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，我们还可以将其进一步化简： ． ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 题型16.已知字母的值，化简求值 1．已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 2．设，其中，，则的值为_____． 3．已知，，求． 题型17.已知条件式，化简求值 1．若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 2.已知，那么的值是_____． 3．已知， (1)直接写出，，的值； (2)求代数式的值． 题型18.比较二次根式的大小 1．比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 2．比较大小：______．(填“”“”或“”) 3．不用计算器比较大小 (1)与 (2)与 (3)与 (4)与 题型19.二次根式的应用 1．在一个大正方形上，按如图所示的方式粘贴面积分别为18，12的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（） A． B．8 C． D．12 2．幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值________． 3．车辆在高速行驶过程中，影响刹车距离的主要因素是刹车前汽车的行驶速度和路面的摩擦系数，研究表明：晴天汽车在干燥的柏油路面上行驶的刹车距离s（单位：m）与刹车前的行驶速度v（单位：km/h）可以由公式来确定；雨天汽车在柏油路面上行驶时，公式为． (1)若晴天某汽车的刹车距离为32m，求该车刹车前的行驶速度． (2)若要保持刹车距离仍然为32m，则雨天刹车前的车速应比晴天减少多少？（结果保留整数，参考数据：） 题型20.实数的混合运算 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算： ______． 3．计算：． 题型21.新定义下的实数运算 1．十六世纪的数学家试图求解方程时，陷入了困境．在实数范围内，任何实数的平方都为非负数，这意味着该方程在实数领域内无解．为了突破这一局限，数学家们大胆引入了一个全新的概念——虚数，定义：，其中是虚数单位，如．虚数与实数结合形成复数，复数的形式为，其中叫实部，叫虚部，如复数中，2是实部，3是虚部，那么的实部为（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么我们规定，例如：因为，所以，若，那么______． 3．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：，所以与互为“对偶式”． (1)的“对偶式”是__________，的“对偶式”是__________． (2)已知，其中． ①的“对偶式”的值是__________． ②利用“对偶式”的相关知识，方程中的值是__________． 题型22.实数运算的实际应用 1．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为___． 3．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 题型23.与实数运算相关的规律题 1．将，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之和是（     ） A． B． C． D． 2．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对2500只需进行________次操作后变为1． 3．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． ✺课堂小练 一、单选题 1．当时，二次根式的值是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若，则的值为（     ） A． B．2 C． D． 二、填空题 5．已知：，则x的值______． 6．化简： ______． 7．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算818的结果为_____． 8．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数，具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 （1）__________； （2）按此规律，若（a，b为正整数），__________． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)． 10．阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是________，________． (2)若，求的值． 11．【定义】有理数的“加乘”运算，记作． 有理数“加乘法则” 同号两数相“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同相“加乘”，仍得． 例如：；；； ；；． 【应用】 (1)______；______；______． (2)计算：． 【拓展】 (3)显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明． 12．探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06二次根式同步培优讲义 ✺知识框架 1.基础概念：二次根式的定义，二次根式有意义的条件，二次根式的双重非负性. 2.核心性质：二次根式两条基本性质）2 与的辨析。 3.最简二次根式，同类二次根式。 4.二次根式运算：二次根式乘法、除法，分母有理化，二次根式加减，二次根式混合运算。 5.二次根式综合应用：化简求值，参数求解，裂项规律计算，依托非负性的代数式与几何培优。 ✺学习目标 1.理解二次根式的概念，能够确定被开方数中字母的取值范围，掌握二次根式的双重非负性。 2.熟练运用二次根式的性质进行化简，准确区分）2 与的适用条件和运算结果。 3.会识别最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式乘、除、加、减的运算法则。 4.规范完成二次根式的混合运算，掌握分母有理化方法，能够利用整体代换技巧化简求值。 5.结合二次根式的非负性与题干隐含条件，解决参数计算、代数式综合以及简单几何类培优问题。 ✺题型归纳 题型1.二次根式的识别 题型2.求二次根式的值 题型3.求二次根式中的参数 题型4.二次根式有意义的条件 题型5.利用二次根式的性质化简 题型6.复合二次根式的化简 题型7.二次根式的乘、除运算 题型8.二次根式的乘除混合运算 题型9.最简二次根式的判断 题型10.化为最简二次根式 题型11.已知最简二次根式求参数 题型12.同类二次根式 题型13.二次根式的加减运算 题型14.二次根式的混合运算 题型15.分母有理化 题型16.已知字母的值，化简求值 题型17.已知条件式，化简求值 题型18.比较二次根式的大小 题型19.二次根式的应用 题型20.实数的混合运算 题型21.新定义下的实数运算 题型22.实数运算的实际应用 题型23.与实数运算相关的规律题 题型24.课堂小练 ✺知识清单 一、二次根式的概念 形如(a≥0)的式子叫做二次根式，√为二次根号。 1.有意义的条件：被开方数 a≥0；若二次根式位于分母，则还要求分母不为0。 2.双重非负性：≥0，且a≥0。 常用结论：若几个非负数的和为0，则每一个非负数的值都为0。 二、二次根式的性质 1.）2=a(a≥0）） 2.=｜a｜= 辨析要点：）2要求a≥0；对任意实数都成立，化简时优先保留绝对值，再根据字母范围去绝对值符号。 三、最简二次根式 同时满足以下两个条件： 1.被开方数不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 四、同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式之后，如果被开方数相同，则称它们为同类二次根式； 只有同类二次根式才可以合并，合并方式与合并同类项一致。 五、二次根式乘除运算法则 1.乘法：·=(a≥0,b≥0) 逆用：=·(a≥0,b≥0)常用于根式化简。 2.除法：= (a≥0,b>0) 逆用： = (a≥0,b>0) 六、分母有理化 将分母中的根号化去，常用有理化因式： 的有理化因式是；+的有理化因式是 － 七、二次根式的加减运算 先把各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；不是同类二次根式，不能合并。 八、二次根式的混合运算 运算顺序与整式运算保持一致：先乘方，再乘除，最后加减；有括号优先计算括号内的式子；平方差、完全平方公式可以直接使用。 化简思路：优先化为最简二次根式，再选择合并、公式变形或者整体代换。 ✺题型精讲 题型1.二次根式的识别 1．下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当时，无意义，故此选项不合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、，该代数式无意义，故此选项不合题意； D、的根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意． 2．请写出一个系数为正整数的二次根式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一个系数为正整数的二次根式形如，其中系数k为正整数，被开方数a为非负数，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题意得一个系数为正整数的二次根式为（答案不唯一）． 3．观察下面表中的式子，写出第n个式子(用含n的代数式表示)，并问这个式子一定是二次根式吗？为什么？ 【答案】是二次根式，理由见解析． 【分析】根据形如（a≥0）是二次根式，可得答案． 【详解】解：第n个式子是，一定是二次根式， 理由如下：的被开方数是非负数， ∴是二次根式． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用了二次根式的定义：形如（a≥0）是二次根式． 题型2.求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 2．当时，二次根式的值为________． 【答案】 【分析】将的值代入二次根式计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．材料一：若a是正整数，a除以3的余数为1，则称a是“三拖一数”．例如：13是正整数，且，则13是“三拖一数”． 材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数材字为d，规定：． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)判断：124，1838是不是“三拖一数”？并说明理由； (2)若四位正整数p是“三拖一数”，p的千位数字的2倍与个位数字的和等于9，百位数字与十位数字的和等于8，是有理数，求所有满足条件的p． 【答案】(1) 124是“三拖一数”，1838不是“三拖一数”， 理由如下： 124是“三拖一数” 1838不是“三拖一数” (2)所有满足条件的p的值为1717、4081、4531． 【分析】(1)根据“三拖一数”的定义即可一一判定； (2) 任意四位正整数p，设p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，则p=1000a+100b+10c+d，根据题意可知：2a+d=9，b+c=8，化简整理可得p=4500+99b+9c-498d+b+cd，若p为“三拖一数”，则b+cd必须为“三拖一数”，可设b+cd=3k+1（且k为整数），则k=，分类讨论可确定d=7、a=1或d=1、a=4，再根据是有理数，则是有理数的完全平方数，列出情况分类讨论即可确定满足条件的p． 【详解】（1）略 （2）解：任意四位正整数p，设p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，则p=1000a+100b+10c+d， 根据题意可知：2a+d=9，b+c=8 p是“三拖一数”且能被3整除， 是“三拖一数”， 设（且k为整数）， ， 当时 ，，， 当时 ，，（舍）， 当时 ，，， 因为有理数，则是有理数的完全平方数， ， 当，， ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=； ，时，=（舍）； 当，， ，时，=； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； 综上，所有满足条件的p的值为1717、4081、4531． 【点睛】本题考查了新定义运算，列代数式，二次根式的求值问题，应用了分类讨论的思想，理解题意，逐条件分析是解决本题的关键． 题型3.求二次根式中的参数 1．下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式；     B．是二次根式；     C．的根指数是3，不是二次根式； D．当时，不是二次根式． 故选B． 2．已知为正整数，且是整数，那么的最小值是_______． 【答案】 【分析】是整数，说明为完全平方数，根据完全平方数的质因数性质即可求出最小正整数． 【详解】解：∵是整数，为正整数， ∴是完全平方数． 对分解质因数得，完全平方数的所有质因数的指数都为偶数，此时中和的指数都是，为奇数， ∴至少需要包含质因数和各一个，才能使所有质因数指数为偶数， 计算得，即的最小值是． 3．定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：对于1，4，9这三个数， ，，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】(1) 4，16，25是“漂亮数”； ∵，，，且8，10，20均为整数， ∴这三个数符合“漂亮数”的定义，是“漂亮数” (2) 【分析】（1）根据“漂亮数”的定义，计算三个数两两乘积的算术平方根，判断是否均为整数即可； （2）先由“漂亮数”的定义得到三个算术平方根的表达式，结合确定最小与最大算术平方根，再根据倍数关系列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵正整数9，25，m是“漂亮数”， ∴，，均为整数， 计算得，，， ∵m是正整数，且，均为整数， ∴是整数， ∵， ∴， ∴，， ∴最小算术平方根为15，最大算术平方根为， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的3倍， ∴， ∴， ∴． 题型4.二次根式有意义的条件 1．下列四个数，二次根式中不可取的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，由此可列关于的不等式求解． 【详解】解：对于二次根式， 由其有意义的条件得， 解得， 选项当中，取时二次根式无意义， 在、、、四个数中，不可取的数是． 2．在实数范围内，当______时，有意义． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式,解出即可得x的取值范围. 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ，解得： ， ∴x的取值范围为. 3．已知，求． 【答案】或 【分析】由二次根式的性质得出，求出，再求出b，最后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 题型5.利用二次根式的性质化简 1．化简的结果是（     ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】由二次根式性质化简后计算绝对值即可． 【详解】解：． 2．化简：________． 【答案】 【详解】解：． 3．先化简，再求值：，其中． 下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮： 解：原式 ； 小芳： 解：原式 (1)_____的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)， 【分析】（1）根据二次根式性质，进行判断即可； （2）因为，利用此性质即可判断； （3）可化为，利用进行化简，再进一步计算求值即可． 【详解】（1）答：小亮的解法错误； （2）解：∵， ∴当时， ； （3）解：， ， 当时， 原式 ． 题型6.复合二次根式的化简 1．已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 【答案】C 【分析】根据和是整数可得是整数，再结合为正整数即可得． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 又∵为正整数， 的最小值为21， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键． 2．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据给出的二次根式乘法法则，将被开方数分解为完全平方数与非负因数的乘积，再进行化简即可得到结果． 【详解】解：． 3．先阅读下面解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b（），使，则 ； 例：化简： 请用上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型7.二次根式的乘、除运算 1．计算（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．计算：________． 【答案】/ 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的性质化简，再根据运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8.二次根式的乘除混合运算 1．计算：的结果是（     ） A． B． C．1 D．9 【答案】B 【详解】解：． 2．计算______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） 解： ． 题型9.最简二次根式的判断 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：和的被开方数含分母，均不是最简二次根式． 的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式． 的被开方数不含分母且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式． 2．二次根式、、、（是正整数）中，最简二次根式是________． 【答案】 【详解】解：中，是能开得尽方的因数，则不是最简二次根式； 是最简二次根式； 中，被开方数含有分母，则不是最简二次根式； 中，是能开得尽方的因式，则不是最简二次根式． 3．判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)不是 【详解】（1）解：因为被开方数含分母， 所以不是最简二次根式； （2）解：因为被开方数可分解为，各因式的指数都为， 所以是最简二次根式； （3）解：因为被开方数含因式，它的指数不为， 所以不是最简二次根式； （4）解：因为被开方数可分解为，其中因式的指数为， 所以不是最简二次根式． 题型10.化为最简二次根式 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴A不是最简二次根式； ∵的被开方数含分母， ∴B不是最简二次根式； ∵，被开方数不含分母且无开得尽方的因式， ∴C是最简二次根式； ∵， ∴D不是最简二次根式. 2．化简：_________． 【答案】 【详解】解：． 3．将下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再化简得到最简二次根式； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再化简得到最简二次根式． 【详解】（1）解：根据题意可知，，则， ． （2）解：根据题意可知，，则，， ． 题型11.已知最简二次根式求参数 1．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出n的取值范围，再结合最简二次根式的定义，从最小的整数开始验证，找到满足条件的最小n． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， ∵n为整数， ∴n的最小整数值为3， 当时，，的被开方数1是能开得尽方的数，不是最简二次根式， 当时，，的被开方数3不含能开得尽方的因数，是最简二次根式， ∴n的最小值为4． 2．若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意符合条件的整数均可） 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需不含能开得尽方的因数，被开方数不含有分母，且被开方数非负，据此找出符合要求的整数即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，为整数， ∴，且不含能开得尽方的因数， 当时，，满足条件，因此符合题意． 3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 题型12.同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简各选项二次根式，再比较被开方数是否与的被开方数相同． 【详解】解：A、，被开方数为，不符合要求； B、，被开方数为，符合要求； C、，被开方数为，不符合要求； D、为最简二次根式，被开方数为，不符合要求． 2．若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵与最简二次根式可以合并， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 3．已知是最简二次根式，且与可以合并，求与的乘积． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程求出的值，然后根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ． 题型13.二次根式的加减运算 1．在表中填上适当的数，使每一行、每一列、每一条对角线上的3个数的和都是0，则填在0右侧的数为（     ） 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用右上到左下的对角线和为0求出第一行第三列的数，再结合第三列的和为0计算0右侧的数即可. 【详解】解：设0右侧的数为， ∵右上到左下的对角线上3个数的和为0， ∴第一行第三列的数为， ∵第三列3个数的和为0， ∴. 2．化简：－＋＝________． 【答案】4 【分析】先将每个二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式即可 【详解】解：原式 3．计算（解方程）题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ，； （4）解： ． 题型14.二次根式的混合运算 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 2．计算______． 【答案】 【分析】运用完全平方差公式展开原式，结合二次根式的性质与乘法法则化简计算 【详解】解： ． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式， (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：．求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）最简二次根式为同类二次根式的条件是被开方数相同，因此可得，求出，再根据平方根的定义计算即可得出结果； （2）由（1）可得，再结合新定义的运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴的平方根为； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型15.分母有理化 1．下列各数中，与互为倒数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数，解答即可． 【详解】解：∵ 互为倒数的两数乘积为1， ∴ 的倒数为． 2．把的分母有理化，结果是_______． 【答案】/ 【详解】解： ． 3．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，我们还可以将其进一步化简： ． ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）给分子分母同乘分母的有理化因式，结合平方差公式化简； （2）先将每一项分母有理化，再通过裂项相消抵消中间项，得到化简结果． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 题型16.已知字母的值，化简求值 1．已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 两边平方得； 展开得，整理得， ∴ . 2．设，其中，，则的值为_____． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质化简进而求出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．已知，，求． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 题型17.已知条件式，化简求值 1．若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2.已知，那么的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数的符号是解答此题的关键．先化简，再分同正或同负两种情况作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴x、y同号， 当，时，原式； 当，时，原式； 故答案为：． 3．已知， (1)直接写出，，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，，3 (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减乘除运算法则分别计算，乘法可以利用平方差公式计算； （2）利用完全平方公式将所求代数式变形为，再代值计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ； （2）解：，， ． 题型18.比较二次根式的大小 1．比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式大小比较，先求出与的平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即前者大， 故选：A． 2．比较大小：______．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】采用作差法计算两数的差值，根据差值的正负判断两数的大小关系． 【详解】解：∵比较两数大小可通过计算两数的差，根据差的正负判断大小． ∴计算与的差值． ∵ ∴，且分母． ∴上述差值． ∴． 3．不用计算器比较大小 (1)与 (2)与 (3)与 (4)与 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）计算与的大小关系即可； （2）计算与的大小关系即可； （3）先求出，则，再根据即可得； （4）分三种情况：①，②，③，计算与1的大小关系即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴． （2）解：∵ ， ∴， 又∵，， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （4）解：①当时，， ∴， ∴； ②当时，则； ③当时，， ∴， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，． 题型19.二次根式的应用 1．在一个大正方形上，按如图所示的方式粘贴面积分别为18，12的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（） A． B．8 C． D．12 【答案】A 【分析】先求出大正方形的面积，再由割补法求解空白部分的面积． 【详解】解：由图得，大正方形的边长为：， 空白部分的面积为：． 2．幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．车辆在高速行驶过程中，影响刹车距离的主要因素是刹车前汽车的行驶速度和路面的摩擦系数，研究表明：晴天汽车在干燥的柏油路面上行驶的刹车距离s（单位：m）与刹车前的行驶速度v（单位：km/h）可以由公式来确定；雨天汽车在柏油路面上行驶时，公式为． (1)若晴天某汽车的刹车距离为32m，求该车刹车前的行驶速度． (2)若要保持刹车距离仍然为32m，则雨天刹车前的车速应比晴天减少多少？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1) (2)减少 【分析】（1）将晴天刹车距离代入公式即可求解； （2）将雨天刹车距离代入公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴或（舍去） ∴该车刹车前的行驶速度为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型20.实数的混合运算 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 2．计算： ______． 【答案】 【分析】根据立方根的定义先化简，再进行加法运算即可． 【详解】解：． 3．计算：． 【答案】 【详解】解： . 题型21.新定义下的实数运算 1．十六世纪的数学家试图求解方程时，陷入了困境．在实数范围内，任何实数的平方都为非负数，这意味着该方程在实数领域内无解．为了突破这一局限，数学家们大胆引入了一个全新的概念——虚数，定义：，其中是虚数单位，如．虚数与实数结合形成复数，复数的形式为，其中叫实部，叫虚部，如复数中，2是实部，3是虚部，那么的实部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，根据题目给出的虚数定义和运算法则，展开计算得到结果后，根据实部的定义即可求解． 【详解】解：， ， 原式， 复数中，为实部， 的实部为， 故选：A． 2．如果，那么我们规定，例如：因为，所以，若，那么______． 【答案】81 【分析】根据新定义规则将有序数对转化为乘方等式求出a，再代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题中规定，由可得， .∵， ∴； 将代入待求式，得． 3．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：，所以与互为“对偶式”． (1)的“对偶式”是__________，的“对偶式”是__________． (2)已知，其中． ①的“对偶式”的值是__________． ②利用“对偶式”的相关知识，方程中的值是__________． 【答案】(1)； (2)①8；② 【分析】（1）根据“对偶式”的定义即可解答； （2）①根据平方差公式得到，据此求出的值即可得到答案；可建立方程组，解方程组得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，的“对偶式”是； 的“对偶式”是； （2）解：①由题意得，的“对偶式”是； ∵ ， ， ∴， ∴的“对偶式”的值是8； ②由已知和（2）①得 得， ∴， ∴， ∴． 题型22.实数运算的实际应用 1．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 2．在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为___． 【答案】3.2 【分析】结合题意，根据乘方的性质，首先计算得该经济开发区的实际面积，在根据实数的性质计算，即可得到答案. 【详解】根据题意，该经济开发区的实际面积 ∵， ∴该经济开发区的实际面积． 故答案为：3.2. 【点睛】本题考查了实数的知识；解题的关键是熟练掌握实数运算的性质，从而完成求解. 3．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2) 证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）略 （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 题型23.与实数运算相关的规律题 1．将，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知，第排有个数，数字按、、、的顺序循环排列，周期为，计算出与分别是第几个数，即可确定对应的数值． 【详解】解：由图可知，第排有个数，且数字按、、、的顺序循环排列，周期为， ∵表示第排第个数，前排共有（个）数， ∴是第（个）数， ∵， ∴表示的数为， ∵表示第排第个数，前排共有（个）数， ∴是第（个）数， ∵， ∴表示的数为， ∴两数之和为． 2．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对2500只需进行________次操作后变为1． 【答案】 【分析】根据题目给定的操作规则，逐步对进行操作，直到得到结果，统计操作次数即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，对任意正整数，每次操作得到，其中表示不大于的最大整数，逐步操作如下： 第次操作：； 第次操作：； 第次操作：； 第次操作：； 操作次后得到，因此操作次数为． 3．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3)，过程见解析 【分析】（1）根据题干中提供的信息进行解答即可； （2）根据题目中的式子找出一般规律即可； （3）将变形为，然后再根据解析（2）中得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：由题目中的例子可知， 第6个等式为：； （2）解：； ； ； …… 用n（n为正整数）表示的等式为：． （3）解： ． ✺课堂小练 一、单选题 1．当时，二次根式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的代入求值，将给定x的值代入二次根式后化简即可得到结果； 【详解】解：∵ ， ∴ 把代入， 得 ． 2．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】先将各组二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数是否相同． 【详解】解：A选项： ∵，， ∴被开方数不同，不是同类二次根式． B选项： ∵， ∴化简后被开方数为7，与的被开方数相同，是同类二次根式． C选项： ∵与均为最简二次根式，且被开方数不同， ∴不是同类二次根式． D选项： ∵， ∴与的被开方数不同，不是同类二次根式． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加法运算法则、二次根式的乘除法运算法则、二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：、与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项正确，符合题意． 4．若，则的值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据的取值范围判断绝对值内式子和二次根式底数的正负，再化简计算. 【详解】解：∵. ∴，. ∴，. ∴原式. 二、填空题 5．已知：，则x的值______． 【答案】 【分析】两个根号里的式子都要非负，联立不等式组，取公共解． 【详解】解：二次根式有意义的条件 由，得 由，得 同时满足两个条件的． 6．化简： ______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，先计算零指数幂，再化简二次根式，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算818的结果为_____． 【答案】 【分析】按照新运算的定义，将对应数值代入公式，结合二次根式化简规则计算即可． 【详解】解：根据题中定义的新运算规则，将，代入运算式． ∴ 8．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数，具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 （1）__________； （2）按此规律，若（a，b为正整数），__________． 【答案】 89 【分析】（1）根据题意可得规律（n为大于等于2的正整数），据此可得答案； （2）根据（1）的规律可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ……， 以此类推可知，（n为大于等于2的正整数） ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 10．阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是________，________． (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)0 【分析】（1）根据分母有理化可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式是，； （2）解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴． 11．【定义】有理数的“加乘”运算，记作． 有理数“加乘法则” 同号两数相“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同相“加乘”，仍得． 例如：；；； ；；． 【应用】 (1)______；______；______． (2)计算：． 【拓展】 (3)显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明． 【答案】(1)；； (2) (3)结论：不成立． 举例：当，，时， ， ， ∵， ∴． 【分析】（1）根据有理数的“加乘”运算，进行计算，即可； （2）根据有理数的“加乘”运算，进行计算，即可； （3）举出例子，根据新定义分别算出和的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：； ； ． （2）解： ． （3）略 12．探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)，； (3) 【分析】（1）根据示例填写即可； （2）观察示例可知，当算术平方根符号内的式子为正时，去掉算术平方根符号的形式与原式相同；当算术平方根符号内的式子为负时，去掉算术平方根符号的形式与原式符号相反； （3）根据（2）所得规律分别表示出算式中的算术平方根，再运用有理数加法运算律计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $