精品解析：吉林长春市农安县第一中学2026-2027学年 九年级上学期数学期中试题

农安一中教育集团九年级上学期数学学科期中学情调研 教师寄语：愿你眼里有风景，心中有方向，一切付出皆有回报！ 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，∴不是最简二次根式． ∵的被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 是的立方根，不是二次根式， ∵的被开方数均为整数，且不含能开得尽方的因数，∴为最简二次根式． 2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】∵二次根式有意义，要求被开方数为非负数， ∴可得不等式， 解得． 3. 如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，结合已知比例计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等实数根的条件，利用判别式建立关于k的不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：． 5. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　） A. 800sinα米 B. 800tanα米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题. 【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=， ∴AB=， 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 6. 如图，公园内有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设原正方形空地的边长为，则剩余空地的长方形的长为，宽为，再根据长方形的面积计算即可得出结果． 【详解】解：设原正方形空地的边长为，则剩余空地的长方形的长为，宽为， 由题意可得． 7. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定， ∴无法判定，故选项符合题意． 8. 如图，矩形的对角线相交于点O，，点E为上一点，连接，F为的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而求出，利用勾股定理得出，最后利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 为的中点， 是的中位线， ， ， 为的中点，， ． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如果，那么______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，则，（其中），再代入进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， 设，（其中）， 则， 故答案为： 10. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，代入待求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 11. 如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要查了相似三角形的性质．根据，可得，从而得到，进而得到，再由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵相似比为， ∴， 故答案为： 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ，  ， 与是以点为位似中心的位似图形，  ，， ∴， ∴，  ，   的面积是4，  ，  ． 13. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使它与的相似比等于，则点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】以原点为位似中心的位似变换，位似图形与原图形的相似比为时，原图形上一点的对应点坐标为或，分两种情况计算即可． 【详解】解：∵ 以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形可在原点同侧或异侧． ∴ 当与在原点同侧时，的横坐标为，纵坐标为，即． ∴ 当与在原点异侧时，的横坐标为，纵坐标为，即． 因此点的坐标为或． 14. 如图，点为的边延长线上的一点，连结，交于点，交于点，且．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的12倍．上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质；根据平行四边形的性质推出，，可以证明①说法正确；由平行线分线段成比例分别求得，，可以证明②说法正确；设，利用相似三角形的判定和性质求得，，可以证明④说法正确；根据现有条件不能说明，③说法错误． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，①说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，②说法正确； 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是的面积的12倍，④说法正确； 根据现有条件不能说明，③说法错误； 故答案为：①②④． 三、解答题 15. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）． （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 长春2027年第33届世界大学生冬季运动会的会徽主体形态是中国书法草书“长”字的抽象变形，吉祥物为“吉冰”“吉雪”．将三张分别印有会徽（记为A）、“吉冰”（记为B）、“吉雪”（记为C）图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中任意取出1张卡片记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用画树状图（或列表）的方法，求取出的两张卡片图案相同的概率． 【答案】取出的两张卡片图案相同的概率为 【解析】 【分析】根据有放回的抽取规则列出所有等可能结果，进而求出取出的两张卡片图案相同的概率． 【详解】解：列表为： 第一次 第二次 共有种等可能情况，其中，取出的两张卡片图案相同的情况有种，故取出的两张卡片图案相同的概率． 18. 净月潭景区2024年接待游客100万人次，2026年接待游客144万人次．求这两年该景区接待游客人数的年平均增长率． 【答案】 这两年该景区接待游客人数的年平均增长率为． 【解析】 【分析】设年平均增长率为, 利用两年后游客数的等量关系列一元二次方程求解． 【详解】 解：设这两年该景区接待游客人数的年平均增长率为， 根据题意，得， ， ， 解得，， ∵年平均增长率大于0， ∴不符合题意，舍去， 答：这两年该景区接待游客人数的年平均增长率为． 19. 如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）四边形是矩形， ， ． 又， ． 又， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，得，只需再证明即可得证； （2）利用三角形的相似，求得，再根据正切函数的定义，计算即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：连接， 在中， ， 由勾股定理： 由（1）得， ． 把 ，代入得， 解得， ， 是直角三角形． 在中， 代入： ． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找一点D，连结，使； （2）在图②中的边上找一点E，连结，使； （3）在图③中的边上找一点F，连结，使． 【答案】（1）如图，点D为所求作： （2）如图，点E为所求作： （3）如图，点F为所求作： 【解析】 【分析】（1）连结格点与点，交于点，连接、，利用矩形的判定与性质即可得解； （2）连结格点与点，交于点，连接，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质，得出，进一步得出，最后利用等边对等角即可得解； （3）连结格点与点，交于点，取格点，连接，利用全等三角形的判定与性质，得出，进一步得出，利用三角形的内角和定理得出，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，最后根据正切的定义即可得解． 【小问1详解】 解：由图可知，， 四边形是矩形， ∴对角线、相互平分，， ∴． 【小问2详解】 解：由图可知，，，，，， 在中，． ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：由图可知，，，， ， ． ， ， ， ． 又， ， ， ， 在中，． 21. 如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上． （1）________，_________． （2）改善后的滑梯会加长多少米？（结果保留根号） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理结合已知条件得出，，进一步得出，；利用等边对等角以及三角形的内角和定理得出，，根据正切的定义得出； （2）由（1）可知，，，再利用勾股定理得出的长度，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 在中，，， ，， ， 解得（负值舍去）， ， ． 在中，， ，． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， 在中，， ． 答：改善后的滑梯会加长米． 22. 对于任意一个实数，具有非负性，即“”这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题． 例如： （1）填空：_____； （2）填空：的最小值为_____； （3）请用作差法比较与的大小，并写出解答过程． 【答案】（1）， （2） （3）解： ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由，再配方即可； （2）由，再利用非负数的性质可得答案； （3）由，再利用非负数的性质可得答案． 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： ， ∴的最小值为2． 【小问3详解】 略 23. 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第88页的部分内容． 如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点G，求证：，证明：连接． （1）请根据素材提示，结合图①，写出完整的证明过程． （2）结论应用： 在平行四边形中，对角线交于点O，E为边的中点，交于点F． ①如图②，若为正方形，且，则的长为 ： ②如图③，连接交于点G，若四边形的面积为，则的面积为 ． 【答案】（1）证明：分别是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①的长为；②的面积为4 【解析】 【分析】（1）由题意可得是的中位线，则，可得，证明即可； （2）①由正方形和勾股定理的性质先求出的长，进而得到的长，再求出，由（1）的结论计算即可；②设平行四边形的面积为，由平行四边形的性质和中点得到，再由（1）得：，进而得到，同理，，即可得答案． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 ①如下图，连接， 四边形是正方形，且， ，且对角线互相平分， 是的中点， 在中，由勾股定理得：， ， 是的中点， 是的中位线， ，， ， 由（1）结论可知：， ； ②如下图，连接， 四边形是平行四边形， 是的中点， 设平行四边形的面积为， 是的中点，是的中点， ， 由（1）得：， ， 同理，， 四边形的面积，即， 解得， 的面积为4． 24. 如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点B运动．过点P作交折线于点D，以为边在右侧作正方形．点P的运动时间为t秒． （1）当点D在边上时，正方形的边长为_________（用含t的代数式表示）． （2）当点E落在边上时，求t的值． （3）当点D在边上时，作射线交边于点G， ①求证：． ②连结．当时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）①证明：由题意可得如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②或 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，则有是等腰直角三角形，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）①由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； ②由题意可分当点E在内部时，设与交于点O，当点E在外部时，设与交于点O，然后画出图形，进而根据相似三角形的性质与判定进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即正方形的边长为； 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①略 ②解：由题意可分：当点E在内部时，设与交于点O，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则有， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点E在外部时，设与交于点O，如图所示： 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴设，则有， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 农安一中教育集团九年级上学期数学学科期中学情调研 教师寄语：愿你眼里有风景，心中有方向，一切付出皆有回报！ 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　） A. 800sinα米 B. 800tanα米 C. 米 D. 米 6. 如图，公园内有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的对角线相交于点O，，点E为上一点，连接，F为的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如果，那么______ 10. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 11. 如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则______． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 13. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使它与的相似比等于，则点的坐标为________． 14. 如图，点为的边延长线上的一点，连结，交于点，交于点，且．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的12倍．上述结论中，正确结论的序号是________． 三、解答题 15. 计算： （1）． （2） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）． （2）． 17. 长春2027年第33届世界大学生冬季运动会的会徽主体形态是中国书法草书“长”字的抽象变形，吉祥物为“吉冰”“吉雪”．将三张分别印有会徽（记为A）、“吉冰”（记为B）、“吉雪”（记为C）图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中任意取出1张卡片记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用画树状图（或列表）的方法，求取出的两张卡片图案相同的概率． 18. 净月潭景区2024年接待游客100万人次，2026年接待游客144万人次．求这两年该景区接待游客人数的年平均增长率． 19. 如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找一点D，连结，使； （2）在图②中的边上找一点E，连结，使； （3）在图③中的边上找一点F，连结，使． 21. 如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上． （1）________，_________． （2）改善后的滑梯会加长多少米？（结果保留根号） 22. 对于任意一个实数，具有非负性，即“”这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题． 例如： （1）填空：_____； （2）填空：的最小值为_____； （3）请用作差法比较与的大小，并写出解答过程． 23. 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第88页的部分内容． 如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点G，求证：，证明：连接． （1）请根据素材提示，结合图①，写出完整的证明过程． （2）结论应用： 在平行四边形中，对角线交于点O，E为边的中点，交于点F． ①如图②，若为正方形，且，则的长为 ： ②如图③，连接交于点G，若四边形的面积为，则的面积为 ． 24. 如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点B运动．过点P作交折线于点D，以为边在右侧作正方形．点P的运动时间为t秒． （1）当点D在边上时，正方形的边长为_________（用含t的代数式表示）． （2）当点E落在边上时，求t的值． （3）当点D在边上时，作射线交边于点G， ①求证：． ②连结．当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $