一 有理数·数轴、相反数、绝对值与有理数大小比较　专题复习讲义· 2026～2027学年人教版数学七年级上册

一 有理数·数轴、相反数、绝对值与有理数大小比较 2026~2027学年　人教版　七年级上册　专题复习讲义 第一章　有理数　专题二　（学生版） 目录导航 一、知识与方法 2 二、题型一　数轴上的点与数的互译 9 三、题型二　相反数与多重符号化简 11 四、题型三　绝对值与到原点的距离 12 五、题型四　大小比较与不计算判结构 15 六、A、三要素辨识·落点基础 17 七、B、改一格刻度·迁移辨析 18 八、C、错因反推·两侧找全 19 九、D、真题考向·逐项研析 19 十、E、一条数轴·三问收口 21 十一、课堂检测 23 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法 图0 知识点一　数轴的三要素与点与数的互译 1．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴；三样缺一样，同一个点就读不出唯一的数。 2．原点是 0 所在的位置，正方向通常取向右，单位长度说的是「一格代表多少」，同一条数轴上处处相同。 3．为什么三样都要有：原点定 0 在哪，正方向定哪边为正，单位长度定一格读几；少一样，读数就有第二种可能。 4．反例两则：「画出带箭头的直线就是数轴」不成立，还缺原点与单位长度；「单位长度必须是 1」不成立，一格可以规定代表 2、3 或别的长度。 5．换一个条件：把单位长度由 1 改成 2，原点与正方向都不动，点的位置一点没挪，原来读 ＋2 的点改读 ＋4。 6．举例（如图示1）：原点左边第 3 格是 −3，原点处是 0，右边第 2 格是 ＋2；分数也有唯一位置，− 落在 −1 与 0 正中间。 图示1 易错提醒：读数前先认清原点、正方向、单位长度；改刻度不改点的位置，改的是读数。 知识点二　相反数与 0 的边界 1．只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数是 0。 2．在数轴上看，互为相反数的两个点分居原点两侧、到原点距离相等；0 与 0 落在同一个点，是特例。 3．为什么 0 单独交代：0 没有正负号可改，改了还是 0；把 0 的相反数规定为 0，「每个数都有相反数」这句话才处处成立。 4．反例两则：「互为相反数的两个数一定一正一负」不成立，0 与 0 既不是一正也不是一负；「一个数的相反数一定比它小」不成立，−5 的相反数是 5，比 −5 大。 5．换一个条件：把 −4 换成它的相反数 ＋4，点从原点左边第 4 格翻到右边第 4 格，符号变了，到原点的远近没变。 6．举例：−3 与 ＋3、＋ 与 − 各成一对；在 −4，−2，0，＋2，＋4 这五个数里，成对的是 −4 与 ＋4、−2 与 ＋2，0 只有自己一个，凑不成两个数。 图示2 易错提醒：「相反数」只改符号，不改它离原点多远；说到「一定」时，先拿 0 这个特例试一试。 知识点三　多重符号的化简 1．一个数前面添上「−」，表示取这个数的相反数；添上「＋」，仍是原来那个数。 2．括号外有「−」时，先看清括号里是正数还是负数，再只改符号，不改动它到原点的距离。 3．为什么这样化简：−(−5) 读作「−5 的相反数」，得 5；−(＋5) 读作「＋5 的相反数」，得 −5。每一步只做一件事，把括号里那个数换成它的相反数。 4．反例两则：「带「−」号的数一定是负数」不成立，−(−5)＝5 是正数；「−0 没有意义」不成立，−0＝0。 5．换一个条件：把 −(−3) 括号里的 −3 换成 ＋3，得到 −(＋3)＝−3；结果由 3 变成 −3，两次结果互为相反数，绝对值相等。 6．举例：−(−7)＝7，−(＋7)＝−7，−0＝0，＋(−4)＝−4；要比较含有化简式的一组数，先化简再摆位置，才不会把 −(−4) 当成负数。 图示3 易错提醒：括号外的「−」是「取相反数」，不是「让数变小」；化简后再读数，别照抄原式。 知识点四　绝对值与到原点的距离 1．一个数在数轴上对应的点到原点的距离，叫这个数的绝对值；用两条竖线把这个数夹起来表示，如 |−4|＝4。 2．距离只讲远近、不讲方向，所以绝对值不会是负数：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 3．为什么 |−4| 与 |＋4| 都等于 4：两个点分别在原点左右各 4 格，格数一样，远近就一样。 4．反例两则：「绝对值等于它本身的数一定是正数」不成立，|0|＝0 也等于它本身，可 0 不是正数；「绝对值等于 5 的数只有 5」不成立，−5 到原点也是 5 格。 5．换一个条件：把 − 换成它的相反数 ＋，点从左边翻到右边，离原点仍是 个单位长度，绝对值不改变。 6．举例（如图示4）：点 P 在 −4、点 Q 在 ＋4，两点到原点都是 4 格；|−|＝，分数照样按到原点的远近读，不用管它写没写小数点。 图示4 易错提醒：绝对值只给距离、不给方向；绝对值是 0 的数只有 0，绝对值最小的数也是 0。 知识点五　绝对值相等的两解与找全 1．到原点距离等于某个正数的点，原点左右各一个，这两个数互为相反数；距离等于 0 时，两点合到原点，只剩 0 一个数。 2．距离小于 0 的情形一个点也没有，因为距离不会是负数。 3．为什么最多两个：数轴是一条直线，从原点出发只有左右两个方向，每个方向上离原点同样远的位置各只有一个。 4．反例两则：「绝对值等于 6 的数只有 6」不成立，漏了 −6；「距离不超过 2 的整数点只有 4 个」不成立，−2、−1、0、＋1、＋2 共 5 个，容易漏掉 0。 5．换一个条件：把「距离等于 3」改成「距离等于 0」，解的个数由 2 变 1；再改成「距离不超过 2 且表示整数」，解的个数变成 5。 6．找全的办法：先分左右两个方向，每个方向各数一次，再单独核对原点；「不超过」含两端，「小于」不含端点，整数点只能落在整数刻度上。 图示5 易错提醒：看到「距离」「绝对值」先想左右两侧；解的个数由条件里的边界决定，不由数字大小决定。 知识点六　有理数大小比较·数轴法 1．在数轴上，右边的数总比左边的大；正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。 2．把几个数按在数轴上的位置从左到右排好，最左的最小、最右的最大，位置定了大小就定了。 3．为什么不必通分：数轴法只看位置，整数、分数、化简后未定型的式子都能各占一个位置；先化简，再摆位置。 4．反例两则：「 比 1 大，所以 − 比 −1 大」不成立，图上 − 在 −1 左边；「分数总比整数小」不成立，− 就比 −5 大。 5．换一个条件：把 − 换成它的相反数 ＋，它从 0 左边跳到 0 右边，但最左端的 −4 没动，最小数不改变。 6．举例（如图示6）：−4、−、−1、0、＋2、＋3 从左到右排好，最大 ＋3、最小 −4；比较 − 与 − 时也不必化小数，看谁离 −1 更近即可。 图示6 易错提醒：改了一个数，先看它有没有动到所求的那一端；没动到，结论就不变，别急着整条重排。 知识点七　两个负数比大小与不计算判结构 1．两个负数比大小，绝对值大的反而小；换成数轴上的话，就是离原点更远的那个更小。 2．两个负数都在 0 左边，更靠右的那个更大，也就是离 0 更近的那个更大。 3．为什么不计算也能判： 差 到 1， 差 到 1， 更小，说明 更贴近 1，于是 − 更贴近 −1、更靠左，− > −。 4．反例两则：「 比 大，所以 − 也比 − 大」不成立，正数的大小关系不能直接搬到负数上；「绝对值大的数就大」不成立，−7 的绝对值比 −4 大，−7 反而更小。 5．换一个条件：把两个负数都换成各自的相反数，两个都变正数，大小关系正好反过来。 6．举例：−3 > −5，− > −；−|−3| 化简后落在原点左边，−(−3) 化简后落在右边，光看位置就知道前者小，中间的具体数值算不算出来都不影响判断。 图示7 易错提醒：两个负数比大小，先看谁离 0 近；「不计算」的题目靠位置和符号，不靠通分或化小数。 二、题型一　数轴上的点与数的互译 例1 如图1，数轴上每格表示 1 个单位长度，点 A 在原点左边第 3 格，点 B 在原点右边第 2 格，点 C 正好在原点处。写出 A、B、C 三点表示的数，并回答哪个点离原点最远。 图1 变式1-1 在图1-1 的数轴上描出表示 −4、−、0、＋3 的四个点，并回答其中离原点最近的点与最远的点各表示什么数。 图1-1 变式1-2 把图1 的数轴的单位长度由 1 改成 2，原点与正方向都不变。原来表示 ＋2 的点，现在表示（　　）；原来表示 −3 的点，现在表示（　　）；这时原点右边第 3 格表示（　　）。 图1-2 1．数轴上原点右边的点表示的数一定是（　　）。 A．正数　　B．负数　　C．0　　D．整数 2．关于数轴，下列说法中正确的是（　　）。 A．只要画出带箭头的直线就是数轴 B．单位长度可以自己规定，但同一条数轴上必须处处相同 C．正方向只能向右，不能另行规定 D．数轴上只能标出整数 3．在数轴上，表示 −5 的点在表示 −2 的点的（　　）。 A．左边　　B．右边　　C．同一位置　　D．无法确定 4．数轴上点 M 在原点左边、离原点 4 个单位长度；点 N 在原点右边、离原点 4 个单位长度。M、N 表示的数分别是（　　）与（　　）；它们到原点的距离（　　）（填「相等」或「不相等」）。 三、题型二　相反数与多重符号化简 例2 化简 −(−5)、−(＋5)、−(−3)、−0，并回答：化简结果中，正数有（　　）个，负数有（　　）个；哪两个数互为相反数（　　）。 图2 变式2-1 把例2 里的 −(−5) 换成 −(−)，化简结果是（　　）；再把括号里的 − 换成 ＋，化简结果是（　　）；两次结果的绝对值（　　）（填「相同」或「不同」）。 图2-1 变式2-2 下列说法中，正确的是（　　）。 A．带「−」号的数一定是负数 B．互为相反数的两个数一定一正一负 C．0 的相反数是 0 D．一个数的相反数一定比它小 变式2-3 在 −4，−2，0，＋2，＋4 中：(1) 与 ＋4 互为相反数的是（　　）；(2) 再写出一组互为相反数的数（　　）；(3) 这五个数中，互为相反数的数对共有（　　）对；(4) 把 0 换成 ＋1 后，互为相反数的数对共有（　　）对。 解答： 1．−(＋6) 化简的结果是（　　）。 A．＋6　　B．−6　　C．　　D．− 2．下列各组数中，互为相反数的是（　　）。 A．−3 与 −(−3)　　B．＋5 与 5　　C．− 与 −　　D．0 与 −1 3．一个数的相反数是它本身，这个数是（　　）；它在数轴上对应的点是（　　）。 4．先化简再回答：−(−7)＝（　　），−(＋7)＝（　　）；其中与 −7 互为相反数的是（　　）（填化简后的数）。 四、题型三　绝对值与到原点的距离 例3 如图3，数轴上点 P 表示 −4，点 Q 表示 ＋4。回答：点 P 到原点的距离是（　　）个单位长度，点 Q 到原点的距离是（　　）个单位长度；|−4|＝（　　），|＋4|＝（　　）；这两个数的绝对值（　　）（填「相等」或「不相等」）。 图3 变式3-1 把例3 里的 −4 换成 −：它在原点（　　）边（填「左」或「右」），到原点的距离是（　　）个单位长度，|−|＝（　　）；若把 − 换成它的相反数，绝对值（　　）（填「改变」或「不改变」）。 图3-1 变式3-2 数轴上每格表示 1 个单位长度。 (1) 到原点距离等于 3 的点，在原点右边的那个表示的数是（　　）。 (2) 写出另一个到原点距离等于 3 的点表示的数：（　　）。 (3) 这样的点共有（　　）个。 (4) 把「到原点距离等于 3」改成「到原点距离等于 0」，这样的点有（　　）个，表示的数是（　　）；再改成「到原点距离不超过 2 且表示整数」，这样的点有（　　）个。 解答： 图3-2 1．|−9|＝（　　）；|0|＝（　　）；绝对值最小的有理数是（　　）。 2．绝对值等于 5 的数是（　　）。 A．5　　B．−5　　C．5 与 −5　　D．0 3．绝对值是 的数有（　　）个，它们是（　　）。 4．下列说法中，正确的是（　　）。 A．绝对值等于它本身的数一定是正数 B．绝对值等于 5 的数只有 5 C．0 的绝对值是 0 D．负数的绝对值是负数 五、题型四　大小比较与不计算判结构 例4 如图4，数轴上从左到右依次标着 −4，−，−1，0，＋2，＋3 六个点。不计算，直接回答：这六个数中最大的是（　　），最小的是（　　）；− 与 −1 中较大的是（　　）；把 − 换成它的相反数后，六个数中最小的数（　　）（填「改变」或「不改变」）。 图4 变式4-1 不把分数化成小数，比较 − 与 − 的大小：这两个数都在 −1 的（　　）边（填「左」或「右」）；离 −1 越近的点越靠（　　）（填「左」或「右」），表示的数越（　　）（填「大」或「小」）； 比 （　　）（填「大」或「小」），所以 − 离 −1 更近；因此 −（　　）−（填「>」「<」或「=」）。 图4-1 变式4-2 给出五个数：−5，−，0，＋2，−(−3)。 (1) 化简 −(−3)，结果是（　　）。 (2) 这五个数中，写出一个比 − 大的数：（　　）。 (3) 把五个数按从小到大的顺序排好：（　　）；排在正中间的是（　　）。 (4) 把 −(−3) 改成 −(＋3)，从小到大的顺序变成（　　）；这时最大的数是（　　）。 解答： 图4-2 1．在横线上填「>」「<」或「=」：−3（　　）−2；−（　　）0；|−4|（　　）＋4。 2．在横线上填「>」或「<」：−6（　　）−4；−（　　）−。 3．不计算，判断下列各组数的大小关系（填「>」或「<」）：−|−3|（　　）−(−3)；−(−2)（　　）0。 4．某天四个城市的最低气温分别是 −6 ℃、−2 ℃、0 ℃、− ℃，其中气温最低的是（　　）℃，最高的是（　　）℃。 六、A、三要素辨识·落点基础 1．关于数轴，下列说法正确的是（　　）。 A．数轴是一条射线　　B．原点右边的点都表示正数 C．单位长度必须是 1 cm　　D．数轴上不能表示分数 2．− 的相反数是（　　）。 A．＋　　B．−　　C．＋　　D．− 3．|−| 的值是（　　）。 A．−　　B．＋　　C．−　　D．＋ 4．化简：−(−8)＝（　　）；−(＋8)＝（　　）。 5．0 的相反数是（　　），0 的绝对值是（　　），0 在数轴上对应的点是（　　）。 6．下列各组数中，相等的是（　　）。 A．−(−4) 与 −4　　B．|−4| 与 ＋4　　C．−|−4| 与 ＋4　　D．＋(−4) 与 ＋4 7．数轴上，表示 −7 的点与表示 −3 的点中，更靠右的是表示（　　）的点，它到原点的距离是（　　）个单位长度。 8．下列说法中，正确的是（　　）。 A．|＋6|＝−6　　B．|−6|＝6　　C．|0| 不存在　　D．|−6| 是正负 6 9．在 −3，0，＋2，− 中，最小的数是（　　），最大的数是（　　）。 10．若两个数互为相反数，它们在数轴上对应的两个点（　　）。 A．都在原点右边　　B．都在原点左边　　C．到原点的距离相等　　D．一定重合在原点 11．写出一个比 −2 大、又比 0 小的负整数：（　　）。 12．比较大小：−（　　）−（填「>」或「<」）。 七、B、改一格刻度·迁移辨析 1．把 −4 换成它的相反数，它在数轴上的位置由原点（　　）边移到（　　）边，到原点的距离（　　）（填「改变」或「不改变」）。 2．数轴上点 A 表示 −3。若把原点向右平移 3 个单位长度（正方向与单位长度都不变），点 A 在新数轴上表示的数是（　　）。 3．把 − 的分子与分母同时扩大到原来的 2 倍，得到 −。这两个数在数轴上对应的点（　　）（填「重合」或「不重合」），它们的相反数（　　）（填「相同」或「不同」）。 4．数轴的单位长度由 1 改成 3 后，原来表示 −2 的点，现在表示（　　）；原来表示 ＋1 的点，现在表示（　　）。 5．不计算，先比较 − 与 −：较大的是（　　）。再把两个数都换成各自的相反数，较大的是（　　）。 6．把「到原点距离等于 4 的点」改成「到原点距离等于 0 的点」，点的个数由（　　）个变成（　　）个。 7．数轴上点 A 表示 ＋2，点 B 与点 A 到原点的距离相等、且不与 A 重合，则点 B 表示的数是（　　）；A、B 两点表示的数（　　）（填「互为相反数」或「相等」）。 8．若把 −(−3) 中括号里的 −3 换成 ＋3，化简结果由（　　）变成（　　）；两次结果的绝对值（　　）（填「相等」或「不相等」）。 9．在数轴上，点 M 表示 −5。从点 M 向右数 5 个单位长度正好到达原点；若改从点 M 向右数 3 个单位长度，到达的点表示的数是（　　）。 10．一组数按从小到大排列为 −4，−1，0，＋2，＋5。若把其中的 −4 换成它的相反数，这组数中最小的数变成（　　），最大的数变成（　　）。 八、C、错因反推·两侧找全 1．小明说：「因为 |−5| 比 |−3| 大，所以 −5 比 −3 大。」这句话（　　）（填「对」或「不对」）；正确的大小关系是 −5（　　）−3（填「>」或「<」）；他错在（　　）（填「绝对值算错」或「把两个负数的比较法则用反了」）。 2．小华把 |−| 写成 −。这个结果（　　）（填「对」或「不对」）；正确结果是（　　）；他错在（　　）（填「忘了绝对值不可能是负数」或「把分子分母写反了」）。 3．小丽说：「绝对值等于 6 的数只有 6。」这句话（　　）（填「对」或「不对」）；绝对值等于 6 的数共有（　　）个；她漏掉的是（　　）。 4．小刚把 −(−4) 化简成 −4。这个结果（　　）（填「对」或「不对」）；正确结果是（　　）；他错在（　　）（填「把取相反数做成了照抄」或「把 4 抄成了 5」）。 5．不计算，只看符号与位置判断：−|−2|（　　）−(−2)（填「>」或「<」）；前者化简后是（　　）数、后者是（　　）数（填「正」或「负」）。 6．不计算，判断 −、−、− 中最大的是（　　），最小的是（　　）。 7．「带负号的数一定是负数」这句话（　　）（填「成立」或「不成立」）；写出一个反例：（　　）。 8．「绝对值等于它本身的数一定是正数」这句话（　　）（填「成立」或「不成立」）；反例是（　　）。 9．到原点距离不超过 2 的整数点共有（　　）个，其中表示的数最大的是（　　），最小的是（　　）。 10．数轴上点 P 到原点的距离是 3，点 Q 到原点的距离也是 3，且 P、Q 不重合。P、Q 表示的数分别是（　　）与（　　）；若把「距离是 3」改成「距离是 0」，这样的两个点（　　）（填「还有」或「没有」）。 九、D、真题考向·逐项研析 1．（2026年·广东·中考）5 的相反数是（　　）。 A．5　　B．−5　　C．　　D．− 2．（2026年·河南焦作·七年级上期末）下列各数中，绝对值最大的数是（　　）。 A．−3　　B．−2　　C．0　　D．1 3．（2026年·广东深圳·七年级上期末）如图5，数轴的单位长度为 1，如果点 B 和点 C 表示的数互为相反数，则点 A 表示的数是（　　）。 A．−2　　B．−3　　C．−4　　D．−5 图5 4．（2026年·四川内江·中考）2 的相反数是（　　）。 A．−2　　B．2　　C．　　D．− 5．（2026年·湖南岳阳·七年级上期末）已知点 A 是数轴上的一点，它到原点的距离为 3，把点 A 向左平移 7 个单位后，再向右平移 5 个单位得到点 B，则点 B 到原点的距离为（　　）。 A．3 或 7　　B．3 或 5　　C．1 或 3　　D．1 或 5 6．绝对值等于 5 的数是（　　）与（　　）；若改成绝对值等于 0，这样的数有（　　）个。 7．在横线上填「>」「<」或「=」：−（　　）−；|−|（　　）。 8．下列说法中，正确的是（　　）。 A．绝对值等于它本身的数一定是正数 B．一个数的相反数一定比它小 C．|0|＝0，且 0 的相反数是 0 D．绝对值最小的数是 1 9．数轴上 A、B、C 三点从左到右依次表示 −、0、＋2。不计算，回答：三点中表示负数的是点（　　），绝对值最大的是点（　　）；若把点 A 换成它的相反数，三点从左到右的顺序变为（　　）。 10．不计算，只看符号与位置：−(−6)（　　）−|−6|（填「>」「<」或「=」）；|−6|（　　）|＋6|（填「>」「<」或「=」）。 十、E、一条数轴·三问收口 1．一条东西向的街道以邮局为原点，向东为正方向，每格 100 m。书店在邮局西边 300 m，文具店在邮局东边 200 m，学校在邮局东边 400 m。 (1) 在数轴上分别写出书店、文具店、学校对应的数（单位：100 m）。 (2) 三处中，哪一处离邮局最远？最远处到邮局的距离是多少米？ (3) 若把原点改设在文具店（正方向、单位长度都不变），书店对应的数变成多少？ 解答： 2．给出六个数：−6，−(−2)，0，−2，−，＋6。 (1) 先化简 −(−2)，再把六个数中互为相反数的数对全部写出来。 (2) 六个数中，绝对值等于 2 的数共有几个？把它们写出来。 (3) 把 −(−2) 改成 −(＋2)：互为相反数的数对变成几对？绝对值等于 2 的数还是几个？ 解答： 3．数轴上每格表示 1 个单位长度。 (1) 到原点距离等于 4 的点表示的数是什么？把两种可能都写出来。 (2) 到原点距离小于 3 的整数点共有几个？把它们全部写出来。 (3) 若把「到原点距离小于 3」改成「到原点距离不超过 2」，点的个数改变吗？把改变后的点全部写出来。 解答： 4．五个城市某日最低气温（℃）记录为：−8，−3，0，＋2，−。 (1) 把这五个温度按从低到高排列。 (2) 把它们分别标在数轴上，离 0 最远的是哪个温度？ (3) 若把 − 改成它的相反数，从低到高的顺序变成什么？最低气温改变了吗？ 解答： 5．数轴上点 A 表示 −5，点 B 表示 ＋3，点 C 与点 A 关于原点对称。 (1) 点 C 表示的数是多少？ (2) A、B、C 三点中，哪一点到原点的距离最大？哪一点最小？ (3) 若把点 B 表示的数换成它的相反数，三点中到原点距离最大的变成哪一点？ 解答： 6．数轴上每格 1 个单位长度，点 P 到原点的距离是 3。 (1) 点 P 表示的数可能是多少？把两种可能都写出来。 (2) 点 Q 与点 P 表示的数互为相反数，点 Q 到原点的距离是多少？ (3) 若把「点 P 到原点的距离是 3」改成「点 P 到原点的距离不超过 2，且点 P 表示整数」，点 P 共有几种可能？把这些数按从小到大写出来；此时点 Q 与点 P 是否一定不重合（填「一定不重合」或「不一定」）？ 解答： 十一、课堂检测 1．数轴上原点左边第 2 格的点表示（　　），原点右边第 5 格的点表示（　　）。 2．化简：−(−9)＝（　　）；−|−9|＝（　　）。 3．在横线上填「>」「<」或「=」：−7（　　）−4；|−7|（　　）|−4|。 4．绝对值等于 的数是（　　）与（　　）。 5．下列说法中，正确的是（　　）。 A．数轴上左边的数总比右边的大 B．0 的相反数与 0 的绝对值都是 0 C．绝对值等于 2 的数只有 ＋2 D．两个负数中，绝对值大的那个数也大 6．写出一个比 − 小、又比 −2 大的数：（　　）。 7．数轴上点 A 表示 ＋4，点 B 与 A 到原点的距离相等且不与 A 重合，则点 B 表示（　　）；A、B 两点之间相隔（　　）个单位长度。 8．把 − 换成它的相反数，它在数轴上由原点（　　）边移到（　　）边，绝对值（　　）（填「改变」或「不改变」）。 9．不计算，判断 −(−3)（　　）−|−3|（填「>」「<」或「=」）。 10．某仓库以地面层为 0 层，地上楼层记为正、地下楼层记为负，每层高度相同。图书室在 ＋3 层，车库在 −2 层，设备间与图书室到 0 层的层数相同、且不在同一侧。 (1) 设备间在几层？ (2) 三处中，哪一处离 0 层最远？把三处按离 0 层从近到远排列。 (3) 若把 0 层改设在车库（正方向、每层高度都不变），图书室记作几层？ 解答： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一 有理数·数轴、相反数、绝对值与有理数大小比较 2026~2027学年　人教版　七年级上册　专题复习讲义 第一章　有理数　专题二　（教师版） 目录导航 一、知识与方法 2 二、题型一　数轴上的点与数的互译 9 三、题型二　相反数与多重符号化简 12 四、题型三　绝对值与到原点的距离 15 五、题型四　大小比较与不计算判结构 18 六、A、三要素辨识·落点基础 22 七、B、改一格刻度·迁移辨析 24 八、C、错因反推·两侧找全 26 九、D、真题考向·逐项研析 28 十、E、一条数轴·三问收口 31 十一、课堂检测 33 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法 图0 知识点一　数轴的三要素与点与数的互译 1．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴；三样缺一样，同一个点就读不出唯一的数。 2．原点是 0 所在的位置，正方向通常取向右，单位长度说的是「一格代表多少」，同一条数轴上处处相同。 3．为什么三样都要有：原点定 0 在哪，正方向定哪边为正，单位长度定一格读几；少一样，读数就有第二种可能。 4．反例两则：「画出带箭头的直线就是数轴」不成立，还缺原点与单位长度；「单位长度必须是 1」不成立，一格可以规定代表 2、3 或别的长度。 5．换一个条件：把单位长度由 1 改成 2，原点与正方向都不动，点的位置一点没挪，原来读 ＋2 的点改读 ＋4。 6．举例（如图示1）：原点左边第 3 格是 −3，原点处是 0，右边第 2 格是 ＋2；分数也有唯一位置，− 落在 −1 与 0 正中间。 图示1 易错提醒：读数前先认清原点、正方向、单位长度；改刻度不改点的位置，改的是读数。 知识点二　相反数与 0 的边界 1．只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数是 0。 2．在数轴上看，互为相反数的两个点分居原点两侧、到原点距离相等；0 与 0 落在同一个点，是特例。 3．为什么 0 单独交代：0 没有正负号可改，改了还是 0；把 0 的相反数规定为 0，「每个数都有相反数」这句话才处处成立。 4．反例两则：「互为相反数的两个数一定一正一负」不成立，0 与 0 既不是一正也不是一负；「一个数的相反数一定比它小」不成立，−5 的相反数是 5，比 −5 大。 5．换一个条件：把 −4 换成它的相反数 ＋4，点从原点左边第 4 格翻到右边第 4 格，符号变了，到原点的远近没变。 6．举例：−3 与 ＋3、＋ 与 − 各成一对；在 −4，−2，0，＋2，＋4 这五个数里，成对的是 −4 与 ＋4、−2 与 ＋2，0 只有自己一个，凑不成两个数。 图示2 易错提醒：「相反数」只改符号，不改它离原点多远；说到「一定」时，先拿 0 这个特例试一试。 知识点三　多重符号的化简 1．一个数前面添上「−」，表示取这个数的相反数；添上「＋」，仍是原来那个数。 2．括号外有「−」时，先看清括号里是正数还是负数，再只改符号，不改动它到原点的距离。 3．为什么这样化简：−(−5) 读作「−5 的相反数」，得 5；−(＋5) 读作「＋5 的相反数」，得 −5。每一步只做一件事，把括号里那个数换成它的相反数。 4．反例两则：「带「−」号的数一定是负数」不成立，−(−5)＝5 是正数；「−0 没有意义」不成立，−0＝0。 5．换一个条件：把 −(−3) 括号里的 −3 换成 ＋3，得到 −(＋3)＝−3；结果由 3 变成 −3，两次结果互为相反数，绝对值相等。 6．举例：−(−7)＝7，−(＋7)＝−7，−0＝0，＋(−4)＝−4；要比较含有化简式的一组数，先化简再摆位置，才不会把 −(−4) 当成负数。 图示3 易错提醒：括号外的「−」是「取相反数」，不是「让数变小」；化简后再读数，别照抄原式。 知识点四　绝对值与到原点的距离 1．一个数在数轴上对应的点到原点的距离，叫这个数的绝对值；用两条竖线把这个数夹起来表示，如 |−4|＝4。 2．距离只讲远近、不讲方向，所以绝对值不会是负数：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 3．为什么 |−4| 与 |＋4| 都等于 4：两个点分别在原点左右各 4 格，格数一样，远近就一样。 4．反例两则：「绝对值等于它本身的数一定是正数」不成立，|0|＝0 也等于它本身，可 0 不是正数；「绝对值等于 5 的数只有 5」不成立，−5 到原点也是 5 格。 5．换一个条件：把 − 换成它的相反数 ＋，点从左边翻到右边，离原点仍是 个单位长度，绝对值不改变。 6．举例（如图示4）：点 P 在 −4、点 Q 在 ＋4，两点到原点都是 4 格；|−|＝，分数照样按到原点的远近读，不用管它写没写小数点。 图示4 易错提醒：绝对值只给距离、不给方向；绝对值是 0 的数只有 0，绝对值最小的数也是 0。 知识点五　绝对值相等的两解与找全 1．到原点距离等于某个正数的点，原点左右各一个，这两个数互为相反数；距离等于 0 时，两点合到原点，只剩 0 一个数。 2．距离小于 0 的情形一个点也没有，因为距离不会是负数。 3．为什么最多两个：数轴是一条直线，从原点出发只有左右两个方向，每个方向上离原点同样远的位置各只有一个。 4．反例两则：「绝对值等于 6 的数只有 6」不成立，漏了 −6；「距离不超过 2 的整数点只有 4 个」不成立，−2、−1、0、＋1、＋2 共 5 个，容易漏掉 0。 5．换一个条件：把「距离等于 3」改成「距离等于 0」，解的个数由 2 变 1；再改成「距离不超过 2 且表示整数」，解的个数变成 5。 6．找全的办法：先分左右两个方向，每个方向各数一次，再单独核对原点；「不超过」含两端，「小于」不含端点，整数点只能落在整数刻度上。 图示5 易错提醒：看到「距离」「绝对值」先想左右两侧；解的个数由条件里的边界决定，不由数字大小决定。 知识点六　有理数大小比较·数轴法 1．在数轴上，右边的数总比左边的大；正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。 2．把几个数按在数轴上的位置从左到右排好，最左的最小、最右的最大，位置定了大小就定了。 3．为什么不必通分：数轴法只看位置，整数、分数、化简后未定型的式子都能各占一个位置；先化简，再摆位置。 4．反例两则：「 比 1 大，所以 − 比 −1 大」不成立，图上 − 在 −1 左边；「分数总比整数小」不成立，− 就比 −5 大。 5．换一个条件：把 − 换成它的相反数 ＋，它从 0 左边跳到 0 右边，但最左端的 −4 没动，最小数不改变。 6．举例（如图示6）：−4、−、−1、0、＋2、＋3 从左到右排好，最大 ＋3、最小 −4；比较 − 与 − 时也不必化小数，看谁离 −1 更近即可。 图示6 易错提醒：改了一个数，先看它有没有动到所求的那一端；没动到，结论就不变，别急着整条重排。 知识点七　两个负数比大小与不计算判结构 1．两个负数比大小，绝对值大的反而小；换成数轴上的话，就是离原点更远的那个更小。 2．两个负数都在 0 左边，更靠右的那个更大，也就是离 0 更近的那个更大。 3．为什么不计算也能判： 差 到 1， 差 到 1， 更小，说明 更贴近 1，于是 − 更贴近 −1、更靠左，− > −。 4．反例两则：「 比 大，所以 − 也比 − 大」不成立，正数的大小关系不能直接搬到负数上；「绝对值大的数就大」不成立，−7 的绝对值比 −4 大，−7 反而更小。 5．换一个条件：把两个负数都换成各自的相反数，两个都变正数，大小关系正好反过来。 6．举例：−3 > −5，− > −；−|−3| 化简后落在原点左边，−(−3) 化简后落在右边，光看位置就知道前者小，中间的具体数值算不算出来都不影响判断。 图示7 易错提醒：两个负数比大小，先看谁离 0 近；「不计算」的题目靠位置和符号，不靠通分或化小数。 二、题型一　数轴上的点与数的互译 例1 如图1，数轴上每格表示 1 个单位长度，点 A 在原点左边第 3 格，点 B 在原点右边第 2 格，点 C 正好在原点处。写出 A、B、C 三点表示的数，并回答哪个点离原点最远。 【答案】A 表示 −3，B 表示 ＋2，C 表示 0；A 点离原点最远 【解析】先认三要素：原点定 0，正方向向右，每格 1 个单位长度。于是原点左边的点表示负数、右边的点表示正数：A 在左边第 3 格即 −3，B 在右边第 2 格即 ＋2，C 在原点即 0。离原点远近只看格数，A 是 3 格、B 是 2 格、C 是 0 格，所以 A 最远。两个典型错法：把「左边第 3 格」读成 ＋3（只数格数忘了方向）；把 C 读成「没有数」（原点是数轴上实实在在的一个点，它表示 0）。图1 里原点、正方向箭头、等距刻度齐全，三样缺一样都读不出唯一的数。 图1 变式1-1 在图1-1 的数轴上描出表示 −4、−、0、＋3 的四个点，并回答其中离原点最近的点与最远的点各表示什么数。 【答案】描点见图1-1；离原点最近的是 0，最远的是 −4 【解析】定位逐个来：−4 在原点左边第 4 格；− 在原点与 −1 正中间；0 就是原点本身；＋3 在原点右边第 3 格。四个点到原点的距离依次是 4、、0、3 个单位长度，所以最近的是 0、最远的是 −4。常见错法有两处：把 − 描到 −1 与 −2 之间（把它当成带分数），以及凭「负数总比正数离原点远」下结论（− 就比 ＋3 近得多）。图1-1 上分数点的位置按 个格精确落在 −1 与 0 的中点，不是随手估的。 图1-1 变式1-2 把图1 的数轴的单位长度由 1 改成 2，原点与正方向都不变。原来表示 ＋2 的点，现在表示（　　）；原来表示 −3 的点，现在表示（　　）；这时原点右边第 3 格表示（　　）。 【答案】＋4；−6；＋6 【解析】单位长度说的是「一格代表多少」，改的是读数，不是点的位置。原来 ＋2 在原点右边第 2 格，每格改作 2 后读作 ＋4；原来 −3 在左边第 3 格，改后读作 −6；原点右边第 3 格是 3 个 2，读作 ＋6。三个空都靠数格子得到。典型错法：只把 ＋2 换成 ＋4，却把 −3 写成 −5（把每格 2 当成只多 1）；或者以为点会跟着挪位置（图1-2 上下两条数轴的点完全对齐，动的是刻度不是点）。这题练的正是「只改一个条件，其余不动，结论怎么变」。 图1-2 1．数轴上原点右边的点表示的数一定是（　　）。 A．正数　　B．负数　　C．0　　D．整数 【答案】A 【解析】原点把数轴分成两侧，正方向向右，所以原点右边的点都大于 0，是正数，选 A。B 项把方向看反；C 项 0 只在原点这一个点上，右边不含原点；D 项右边也有 ＋0.5 这样的正分数，不一定是整数。四个选项都落在「原点右边是什么数」这件事上。 2．关于数轴，下列说法中正确的是（　　）。 A．只要画出带箭头的直线就是数轴 B．单位长度可以自己规定，但同一条数轴上必须处处相同 C．正方向只能向右，不能另行规定 D．数轴上只能标出整数 【答案】B 【解析】数轴要有原点、正方向、单位长度三样，B 说的是单位长度可以规定、但定了就不能中途改，正确。A 项缺原点与单位长度，光有箭头读不出数；C 项正方向是人为规定的，通常取向右，不是「只能」；D 项分数、小数都能在数轴上找到位置，图1-1 里的 − 就是例子。三个干扰项分别漏了三要素里的一样。 3．在数轴上，表示 −5 的点在表示 −2 的点的（　　）。 A．左边　　B．右边　　C．同一位置　　D．无法确定 【答案】A 【解析】−5 比 −2 小，数轴上越往左数越小，所以 −5 在 −2 左边，选 A。B 项把「数小」当成「靠右」；C 项把两个不同的数当成同一个点；D 项忽略了数轴上每个数都有唯一确定的位置。也可从离原点看：−5 离原点 5 格，比 −2 的 2 格更靠左。 4．数轴上点 M 在原点左边、离原点 4 个单位长度；点 N 在原点右边、离原点 4 个单位长度。M、N 表示的数分别是（　　）与（　　）；它们到原点的距离（　　）（填「相等」或「不相等」）。 【答案】−4；＋4；相等 【解析】左右两侧由方向定符号，4 格由单位长度定大小：M 是 −4，N 是 ＋4。两点到原点都是 4 格，距离相等。这题把「数的符号不同」和「到原点的距离相同」摆在一起，正是后面学相反数与绝对值时要反复用的那张图。错法集中在把 M 写成 ＋4（忘了左边为负），或认为一正一负距离就不等。 三、题型二　相反数与多重符号化简 例2 化简 −(−5)、−(＋5)、−(−3)、−0，并回答：化简结果中，正数有（　　）个，负数有（　　）个；哪两个数互为相反数（　　）。 【答案】5，−5，3，0；正数 2 个，负数 1 个；5 与 −5 互为相反数 【解析】一个数前面添上「−」，做的就是取这个数的相反数，只改符号、不改它离原点多远。−(−5) 是 −5 的相反数，得 5；−(＋5) 是 ＋5 的相反数，得 −5；−(−3) 得 3；−0＝0，因为 0 的相反数就是它自己。所以正数是 5 与 3 共 2 个，负数只有 −5 共 1 个，0 两头都不算。5 与 −5 只有符号不同，互为相反数。两处最易错：看见两个负号就随手抄一个，把 −(−5) 写成 −5；以及认为 −0 没有意义。图2 把四个式子用箭头接到数轴上的落点，可以看出化简只是换个读法，点的位置没被创造出来。 图2 变式2-1 把例2 里的 −(−5) 换成 −(−)，化简结果是（　　）；再把括号里的 − 换成 ＋，化简结果是（　　）；两次结果的绝对值（　　）（填「相同」或「不同」）。 【答案】＋；−；相同 【解析】括号外的「−」只做一件事：把括号里那个数换成它的相反数。− 的相反数是 ＋；＋ 的相反数是 −。两个结果到原点都是 个单位长度，绝对值相同。典型错法：把 −(−) 算成 −（负号个数数错），或化简时连分子分母一起颠倒写成 ＋（把取相反数做成了别的变形）。图2-1 把两次结果画在同一条数轴上，两点关于原点对称，离原点一样远。 图2-1 变式2-2 下列说法中，正确的是（　　）。 A．带「−」号的数一定是负数 B．互为相反数的两个数一定一正一负 C．0 的相反数是 0 D．一个数的相反数一定比它小 【答案】C 【解析】A 项不成立：−(−5)＝5 带着负号却是正数，可见要看化简后的结果，不能只看写法。B 项不成立：0 与 0 互为相反数，既不是一正也不是一负。C 项正是规定，正确。D 项不成立：−5 的相反数是 5，5 比 −5 大。三个干扰项错在同一处——把「相反数」当成「一定变小」，或漏掉 0 这个特例。 变式2-3 在 −4，−2，0，＋2，＋4 中：(1) 与 ＋4 互为相反数的是（　　）；(2) 再写出一组互为相反数的数（　　）；(3) 这五个数中，互为相反数的数对共有（　　）对；(4) 把 0 换成 ＋1 后，互为相反数的数对共有（　　）对。 【答案】(1) −4；(2) −2 与 ＋2；(3) 2；(4) 2 【解析】第(1)问定解：只改符号，＋4 的相反数是 −4。第(2)问找一解：−2 与 ＋2 也满足。第(3)问找全并证无遗漏：五个数逐个配对，−4 与 ＋4、−2 与 ＋2 各成一对；0 的相反数是它自己，这里只有一个 0，凑不成两个数，所以共 2 对。核对办法是每个数最多用一次，五个数里用掉四个，剩下 0 无处可配，说明没有第三对。第(4)问只改一个条件重新分析：把 0 换成 ＋1，＋1 的相反数 −1 不在这组数里，而 −4 与 ＋4、−2 与 ＋2 两对都没被触动，仍是 2 对。换掉的恰好是原来不成对的那个数，结论不变；改条件后必须逐项重新数，不能因为「换了一个数」就凭感觉改答案。 1．−(＋6) 化简的结果是（　　）。 A．＋6　　B．−6　　C．　　D．− 【答案】B 【解析】括号外的「−」取 ＋6 的相反数，得 −6，选 B。A 项漏看了外面的负号；C 项把 6 写成 ，连数的大小都改了，不是只改符号；D 项大小和符号一起改。三个干扰项都在「取相反数只改符号」这一条上各错一步。 2．下列各组数中，互为相反数的是（　　）。 A．−3 与 −(−3)　　B．＋5 与 5　　C．− 与 −　　D．0 与 −1 【答案】A 【解析】A 项：−(−3)＝3，与 −3 只有符号不同，互为相反数，选 A。B 项 ＋5 与 5 是同一个数的两种写法，不是两个数。C 项两个负分数离原点分别是 与 个单位长度，远近不同，不能配对。D 项 0 的相反数是 0，不是 −1。四个选项都必须先化简或先比距离才判得出来。 3．一个数的相反数是它本身，这个数是（　　）；它在数轴上对应的点是（　　）。 【答案】0；原点 【解析】只有 0 满足：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，都变了；0 的相反数还是 0。它在数轴上就是原点。易错成写「1 和 −1」——那是把「相反数」与「两个数互为相反数」混了，问的是「一个数的相反数是它本身」。 4．先化简再回答：−(−7)＝（　　），−(＋7)＝（　　）；其中与 −7 互为相反数的是（　　）（填化简后的数）。 【答案】7；−7；7 【解析】−(−7) 取 −7 的相反数得 7；−(＋7) 取 ＋7 的相反数得 −7。−7 的相反数是 7，所以第三空填 7，不是 −7。常见错法是把第三空填成 −(−7) 这个式子（题目要的是化简后的数），或把 −(＋7) 当成 ＋7 的另一种写法（正号省不省都不改变它是正数，但外面还有个负号）。 四、题型三　绝对值与到原点的距离 例3 如图3，数轴上点 P 表示 −4，点 Q 表示 ＋4。回答：点 P 到原点的距离是（　　）个单位长度，点 Q 到原点的距离是（　　）个单位长度；|−4|＝（　　），|＋4|＝（　　）；这两个数的绝对值（　　）（填「相等」或「不相等」）。 【答案】4；4；4；4；相等 【解析】从哪个条件入手：题眼是「到原点的距离」，距离只讲远近、不讲方向。为什么选数轴：在图3 上数格子，P、Q 各离原点 4 格，一眼可见。哪一步最易错：把 |−4| 写成 −4（把绝对值当成照抄原数），或写成「正负 4」（把绝对值当成两个值）。怎样确认合理：绝对值不可能小于 0，两个结果都是 4，且都能在图上数出 4 格。多解与找全：这里没有多解，但要点明一条边界——互为相反数的两个数绝对值相等；反过来绝对值相等的两个数不一定互为相反数，也可能是同一个数（|＋4| 与 |＋4|）。 图3 变式3-1 把例3 里的 −4 换成 −：它在原点（　　）边（填「左」或「右」），到原点的距离是（　　）个单位长度，|−|＝（　　）；若把 − 换成它的相反数，绝对值（　　）（填「改变」或「不改变」）。 【答案】左；；；不改变 【解析】分数在数轴上照样按大小定位：− 比 −1 更靠近原点，落在原点与 −1 之间，所以在原点左边；它到原点是 个单位长度，绝对值就是 ，不带负号。换成相反数 ＋ 后，点从左边翻到右边，离原点的远近没变，绝对值仍是 。两处典型错法：把 |−| 写成 −（没去掉负号），或写成 （把分子分母颠倒）。图3-1 用同样长的线段标出两个点到原点的距离，说明取相反数只翻方向、不改距离。 图3-1 变式3-2 数轴上每格表示 1 个单位长度。 (1) 到原点距离等于 3 的点，在原点右边的那个表示的数是（　　）。 (2) 写出另一个到原点距离等于 3 的点表示的数：（　　）。 (3) 这样的点共有（　　）个。 (4) 把「到原点距离等于 3」改成「到原点距离等于 0」，这样的点有（　　）个，表示的数是（　　）；再改成「到原点距离不超过 2 且表示整数」，这样的点有（　　）个。 【答案】(1) ＋3；(2) −3；(3) 2；(4) 1 个、0；5 个 【解析】从哪个条件入手：题眼是「到原点的距离」，数轴是一条直线，从原点出发只有左右两个方向。为什么选这个办法：每个方向上离原点 3 格的位置各只有一个，右边是 ＋3、左边是 −3，两侧各数一次即可，不必列式。哪一步最易错：只写 ＋3 漏掉 −3；第(4)问把「距离等于 0」还当成两个点。怎样确认合理：把两点在图3-2 上标出，检查它们到原点都是 3 格且分居两侧；距离改成 0 时，左右两点重合到原点，只剩 1 个。多解时怎样说明找全：两个方向、每个方向一个位置，最多两个，两个都找到就没有遗漏了。第(4)问最后一句：距离不超过 2 的整数点是 −2、−1、0、＋1、＋2，共 5 个。条件一改，解的个数从 2 变 1 再变 5——决定个数的是条件的边界，不是数字大小。 图3-2 1．|−9|＝（　　）；|0|＝（　　）；绝对值最小的有理数是（　　）。 【答案】9；0；0 【解析】−9 到原点 9 格，绝对值是 9；0 就在原点，绝对值是 0。任何数到原点的距离都不小于 0，而 0 自己取到了 0，所以绝对值最小的有理数是 0。易错成填 1：那是把「最小的正整数」搬了过来。 2．绝对值等于 5 的数是（　　）。 A．5　　B．−5　　C．5 与 −5　　D．0 【答案】C 【解析】到原点 5 格的位置左右各一个，是 5 与 −5，选 C。A 项漏了左侧，B 项漏了右侧，D 项把「等于 5」看成了「等于 0」。三个干扰项对应三种真实错法，读完选项就能反查自己漏了哪一侧。 3．绝对值是 的数有（　　）个，它们是（　　）。 【答案】2；＋ 与 − 【解析】绝对值只给距离、不给方向，所以左右两侧各有一个：＋ 与 −。易错处是只写正数那一个，或把负号写进分母（写成 ），分数前面写负号才是规范写法。 4．下列说法中，正确的是（　　）。 A．绝对值等于它本身的数一定是正数 B．绝对值等于 5 的数只有 5 C．0 的绝对值是 0 D．负数的绝对值是负数 【答案】C 【解析】C 正确。A 项反例是 0，|0|＝0 也等于它本身，可 0 不是正数；B 项漏了 −5；D 项违背「距离不带方向」，绝对值不可能是负数。三个干扰项分别踩在漏 0、漏左侧、符号看错上。 五、题型四　大小比较与不计算判结构 例4 如图4，数轴上从左到右依次标着 −4，−，−1，0，＋2，＋3 六个点。不计算，直接回答：这六个数中最大的是（　　），最小的是（　　）；− 与 −1 中较大的是（　　）；把 − 换成它的相反数后，六个数中最小的数（　　）（填「改变」或「不改变」）。 【答案】＋3；−4；−1；不改变 【解析】从哪个条件入手：题干已经给出「从左到右依次」，位置定了大小就定了。为什么选数轴法：右边的数总比左边大，读位置即可，不必通分。哪一步最易错：由 比 1 大直接推出 − 比 −1 大——两个负数里绝对值大的反而小，图上 − 明明白白在 −1 左边。怎样确认合理：把六个数按图上的左右顺序各读一遍，最大在最右、最小在最左。改一个条件后怎么重新分析：把 − 换成 ＋，它从 0 左边跳到 0 右边，但 −4 仍稳稳在最左端，所以最小数还是 −4，填「不改变」。这提醒我们：动了某一个数，不必然改动所求的那一端，先看它有没有动到关键位置。 图4 变式4-1 不把分数化成小数，比较 − 与 − 的大小：这两个数都在 −1 的（　　）边（填「左」或「右」）；离 −1 越近的点越靠（　　）（填「左」或「右」），表示的数越（　　）（填「大」或「小」）； 比 （　　）（填「大」或「小」），所以 − 离 −1 更近；因此 −（　　）−（填「>」「<」或「=」）。 【答案】右；左；小；小；> 【解析】这是一步就能支撑判断的题，不用通分、不用化小数。 差 到 1， 差 到 1； 比 小，说明 更贴近 1，于是 − 更贴近 −1。两个数都在 −1 的右边，从右边贴近 −1 就是往左靠，所以 − 更小，− > −。典型错法：看见 比 大就照搬成 − 比 − 大（忘了两个负数绝对值大的反而小）；或把「离 −1 近」当成「大」。图4-1 把 −1、−、−、0 按真实位置画出，并标出到 −1 的两小段距离，位置一摆结论自明。 图4-1 变式4-2 给出五个数：−5，−，0，＋2，−(−3)。 (1) 化简 −(−3)，结果是（　　）。 (2) 这五个数中，写出一个比 − 大的数：（　　）。 (3) 把五个数按从小到大的顺序排好：（　　）；排在正中间的是（　　）。 (4) 把 −(−3) 改成 −(＋3)，从小到大的顺序变成（　　）；这时最大的数是（　　）。 【答案】(1) ＋3；(2) 0 或 ＋2 或 ＋3（写一个即可）；(3) −5 < − < 0 < ＋2 < ＋3；0；(4) −5 < −3 < − < 0 < ＋2；＋2 【解析】从哪个条件入手：先化简 −(−3)＝3，再排位置，多重符号不化简就一定排错。为什么选数轴法：五个数里既有分数又有化简式，摆到数轴上左右顺序一眼可见。哪一步最易错：把 −(−3) 当 −3 塞进负数堆；或以为分数总比整数小，把 − 排到 −5 左边。怎样确认合理：把化简后的数代回数轴，逐对检查相邻两个都满足「右边大」。怎样说明找全：五个数各占一个位置、无重复，排完正好五个，正中间是 0。第(4)问只改一个式子：−(−3) 变 −(＋3)，＋3 变 −3，它从最右端跳到 −5 与 − 之间，最大数随之由 ＋3 变成 ＋2，整条顺序都要重排。这正是「改一个条件，重新分析」：先确认哪几个没动，再看动的是哪一格，最后重排全部。图4-2 上下两条数轴分别画出改动前后的五个点。 图4-2 1．在横线上填「>」「<」或「=」：−3（　　）−2；−（　　）0；|−4|（　　）＋4。 【答案】<；<；= 【解析】第一空：−3 在 −2 左边，填 <。第二空：负数都小于 0，填 <。第三空：|−4|＝4，与 ＋4 是同一个数，填 =。三空分别考「两个负数比大小」「负数与 0」「绝对值化简」，设问都是真卷里常用的填符号形式。 2．在横线上填「>」或「<」：−6（　　）−4；−（　　）−。 【答案】<；> 【解析】第一空：6 比 4 大，两个负数里绝对值大的反而小，−6 < −4。第二空：在数轴上 − 比 − 更靠近 0，靠右的数大，所以 − > −；也可以不计算，只比较 与 谁离 1 更远， 离 1 更远、离 0 更近，绝对值反而小。易错成两空都填 <：那是把「绝对值大」和「数大」当成一回事。 3．不计算，判断下列各组数的大小关系（填「>」或「<」）：−|−3|（　　）−(−3)；−(−2)（　　）0。 【答案】<；> 【解析】第一组：−|−3| 化简后是 −3（先读绝对值 3，再加外面的负号），−(−3) 化简后是 3，负数小于正数，填 <。第二组：−(−2)＝2，大于 0，填 >。两问都不必算出中间数值也能判：一个化简后落在原点左边、一个落在右边，符号和位置已经决定了大小。 4．某天四个城市的最低气温分别是 −6 ℃、−2 ℃、0 ℃、− ℃，其中气温最低的是（　　）℃，最高的是（　　）℃。 【答案】−6；0 【解析】− 在数轴上落在 −4 与 −5 正中间，比 −6 靠右、比 −2 靠左；四个温度从左到右是 −6、−、−2、0，所以最低 −6 ℃、最高 0 ℃。易错处是把 − 当成「分子 9 比 6 大，所以它最小」——比较负数要看它在数轴上的位置，不是看分子。 六、A、三要素辨识·落点基础 1．关于数轴，下列说法正确的是（　　）。 A．数轴是一条射线　　B．原点右边的点都表示正数 C．单位长度必须是 1 cm　　D．数轴上不能表示分数 【答案】B 【解析】数轴向两端无限延伸，是直线不是射线，A 错；正方向取向右时原点右边都是正数，B 对；单位长度可以按规定取 1、2 或别的长度，只要同一条数轴上处处相同，C 错；分数在数轴上也有唯一位置，图1-1 的 − 就是，D 错。 2．− 的相反数是（　　）。 A．＋　　B．−　　C．＋　　D．− 【答案】A 【解析】取相反数只改符号，分子分母不动，得 ＋，选 A。B 项把分子分母颠倒又留了负号；C 项既颠倒又改号；D 项照抄原数。四个选项都是这个分数的变形，专抓「把取相反数做成别的变形」的同学。 3．|−| 的值是（　　）。 A．−　　B．＋　　C．−　　D．＋ 【答案】B 【解析】绝对值就是到原点的距离，去掉负号读大小，得 ＋，选 B。A 项没去掉负号；C、D 两项把分子分母颠倒。绝对值不可能是负数，光这一条就能先排掉 A、C。 4．化简：−(−8)＝（　　）；−(＋8)＝（　　）。 【答案】8；−8 【解析】−(−8) 取 −8 的相反数得 8；−(＋8) 取 ＋8 的相反数得 −8。两个式子只差括号里的符号，结果恰好互为相反数。易错成两空都写 8（没看见括号里一个是负数、一个是正数）。 5．0 的相反数是（　　），0 的绝对值是（　　），0 在数轴上对应的点是（　　）。 【答案】0；0；原点 【解析】三空都落在同一个特殊点上：0 的相反数是它本身，绝对值是到原点的距离 0，它在数轴上就是原点。把三件事一起填，是为了防止把「0 既不是正数也不是负数」误推成「0 没有相反数」或「0 没有绝对值」。 6．下列各组数中，相等的是（　　）。 A．−(−4) 与 −4　　B．|−4| 与 ＋4　　C．−|−4| 与 ＋4　　D．＋(−4) 与 ＋4 【答案】B 【解析】A 项 −(−4)＝4，与 −4 互为相反数，不相等。B 项 |−4|＝4，与 ＋4 相等，选 B。C 项 −|−4|＝−4，比 ＋4 小。D 项 ＋(−4)＝−4，也不等于 ＋4。四个选项都要先化简再比，干扰项分别是「漏外负号」「绝对值外还有负号」「正号不改变括号内符号」。 7．数轴上，表示 −7 的点与表示 −3 的点中，更靠右的是表示（　　）的点，它到原点的距离是（　　）个单位长度。 【答案】−3；3 【解析】−3 比 −7 大，在数轴上更靠右；它离原点 3 格。易错成填 −7、7：那是把「绝对值大」当成「靠右」，−7 虽然离原点 7 格，却在更左边。 8．下列说法中，正确的是（　　）。 A．|＋6|＝−6　　B．|−6|＝6　　C．|0| 不存在　　D．|−6| 是正负 6 【答案】B 【解析】B 正确：−6 到原点 6 格。A 项把绝对值写成负数，距离不可能带负号；C 项 0 就在原点，|0|＝0；D 项绝对值是一个确定的距离，不会同时给出正负两个值。三个干扰项都是把「距离」读成了带方向的数。 9．在 −3，0，＋2，− 中，最小的数是（　　），最大的数是（　　）。 【答案】−3；＋2 【解析】按数轴上从左到右排：−3、−、0、＋2，所以最小 −3、最大 ＋2。易错处是把 − 当成比 −3 更小（分数不是整数就一定更靠左），或把 0 当成最小的数。 10．若两个数互为相反数，它们在数轴上对应的两个点（　　）。 A．都在原点右边　　B．都在原点左边　　C．到原点的距离相等　　D．一定重合在原点 【答案】C 【解析】互为相反数的两个数分居原点两侧（0 与 0 是特例），到原点距离相等，选 C。A、B 都忽略了一左一右；D 只有两个数都是 0 时才重合，一般情形不成立。选项 C 也正是绝对值的几何意义。 11．写出一个比 −2 大、又比 0 小的负整数：（　　）。 【答案】−1 【解析】比 −2 大且比 0 小的整数只有 −1。写成 − 错在不是整数，写成 0 错在不小于 0。这类开放填空答案唯一时也要把两个边界都守住。 12．比较大小：−（　　）−（填「>」或「<」）。 【答案】> 【解析】 比 小，两个负数里绝对值小的反而大，所以 − > −。在数轴上 − 更靠近 0、位置更靠右。易错成填 <：直接把正分数的大小关系搬到了负数上。 七、B、改一格刻度·迁移辨析 1．把 −4 换成它的相反数，它在数轴上的位置由原点（　　）边移到（　　）边，到原点的距离（　　）（填「改变」或「不改变」）。 【答案】左；右；不改变 【解析】取相反数只翻方向：−4 从左边第 4 格翻到右边第 4 格，离原点仍是 4 格。三空依次考符号、位置、距离，只有第一样变了。易错在第三空填「改变」：把「数变了」和「距离变了」混为一谈。 2．数轴上点 A 表示 −3。若把原点向右平移 3 个单位长度（正方向与单位长度都不变），点 A 在新数轴上表示的数是（　　）。 【答案】−6 【解析】原点向右挪 3 格后，原来在 −3 的点相对新原点要向左再数 3 格，共 6 格，读作 −6。点本身没动，动的是读数的起点。典型错法：写成 0（以为新原点正好落在点 A 上，其实新原点落在原来的 0 处向右 3 格，即原 ＋3 的位置），或写成 −3（没重数格子）。 3．把 − 的分子与分母同时扩大到原来的 2 倍，得到 −。这两个数在数轴上对应的点（　　）（填「重合」或「不重合」），它们的相反数（　　）（填「相同」或「不同」）。 【答案】重合；相同 【解析】分子分母同时扩大相同倍数，数的大小没变，− 与 − 是同一个数，在数轴上落在同一点；同一个数的相反数当然也相同。易错成「不重合」：把写法不同当成了数不同。 4．数轴的单位长度由 1 改成 3 后，原来表示 −2 的点，现在表示（　　）；原来表示 ＋1 的点，现在表示（　　）。 【答案】−6；＋3 【解析】每格由 1 变 3：左边第 2 格读作 −6，右边第 1 格读作 ＋3。两空都按「格数 × 每格代表多少」得到。和变式1-2 一样，改的是刻度不是点的位置，别把点也跟着挪。 5．不计算，先比较 − 与 −：较大的是（　　）。再把两个数都换成各自的相反数，较大的是（　　）。 【答案】−；＋ 【解析】一步就够： 差 到 1， 差 到 1， 更小，所以 更贴近 1、− 更贴近 −1，在数轴上更靠左，− 较大。换成相反数后两个都变正数，正数里离原点远的就大，＋ 较大。同一组数只改符号，大小关系正好反转，不必通分、不必化小数。 6．把「到原点距离等于 4 的点」改成「到原点距离等于 0 的点」，点的个数由（　　）个变成（　　）个。 【答案】2；1 【解析】距离等于 4 时左右各一个，共 2 个；距离等于 0 时两点重合到原点，只剩 1 个。条件里那个数从 4 变成 0，解的个数跟着从 2 变 1，这是绝对值问题里最该盯住的边界。 7．数轴上点 A 表示 ＋2，点 B 与点 A 到原点的距离相等、且不与 A 重合，则点 B 表示的数是（　　）；A、B 两点表示的数（　　）（填「互为相反数」或「相等」）。 【答案】−2；互为相反数 【解析】到原点同样远又不重合，只能在原点另一侧，所以 B 是 −2；＋2 与 −2 只有符号不同，互为相反数。易错在把「距离相等」当成「数相等」，于是把 B 也写成 ＋2，忘了题目还要求不重合。 8．若把 −(−3) 中括号里的 −3 换成 ＋3，化简结果由（　　）变成（　　）；两次结果的绝对值（　　）（填「相等」或「不相等」）。 【答案】3；−3；相等 【解析】−(−3) 取 −3 的相反数得 3；换成 −(＋3) 后取 ＋3 的相反数得 −3。两次结果互为相反数，到原点都是 3 格，绝对值相等。只改了括号里一个符号，结果的方向翻了、远近没变。 9．在数轴上，点 M 表示 −5。从点 M 向右数 5 个单位长度正好到达原点；若改从点 M 向右数 3 个单位长度，到达的点表示的数是（　　）。 【答案】−2 【解析】从 −5 往右数格：−4、−3、−2，数 3 格落在 −2。整题只在数轴上数格子，不写任何运算式。易错成 −8（把「向右」当成往左）或 ＋3（只记住了数了几格，忘了起点在原点左边）。 10．一组数按从小到大排列为 −4，−1，0，＋2，＋5。若把其中的 −4 换成它的相反数，这组数中最小的数变成（　　），最大的数变成（　　）。 【答案】−1；＋5 【解析】−4 换成 ＋4 后，五个数是 −1，0，＋2，＋4，＋5，最小变成 −1，最大仍是 ＋5。只动了一个数，最小端跟着动、最大端没动——改条件后要分别看两端，不能凭「换了一个数」就以为两端都变。 八、C、错因反推·两侧找全 1．小明说：「因为 |−5| 比 |−3| 大，所以 −5 比 −3 大。」这句话（　　）（填「对」或「不对」）；正确的大小关系是 −5（　　）−3（填「>」或「<」）；他错在（　　）（填「绝对值算错」或「把两个负数的比较法则用反了」）。 【答案】不对；<；把两个负数的比较法则用反了 【解析】|−5|＝5、|−3|＝3，绝对值确实 5 大，这一步他没算错；错在把「绝对值大」直接当成「数大」。两个负数里绝对值大的反而小，所以 −5 < −3。这类错因反推题的价值在于：先承认他对的那一步，再精确指出翻错的是哪一步。 2．小华把 |−| 写成 −。这个结果（　　）（填「对」或「不对」）；正确结果是（　　）；他错在（　　）（填「忘了绝对值不可能是负数」或「把分子分母写反了」）。 【答案】不对；；忘了绝对值不可能是负数 【解析】|−|＝，是 − 到原点的距离。小华的结果带着负号，等于把「距离」写成了负数，所以错在忘了绝对值不可能是负数；分子分母他并没有写反。分清「算错数」和「用错概念」，才谈得上订正。 3．小丽说：「绝对值等于 6 的数只有 6。」这句话（　　）（填「对」或「不对」）；绝对值等于 6 的数共有（　　）个；她漏掉的是（　　）。 【答案】不对；2；−6 【解析】到原点 6 格的位置左右各一个，是 6 与 −6。她只看了正方向那一侧，漏掉 −6。这类漏解在数轴上一眼能补：从原点出发朝两个方向各数 6 格即可。 4．小刚把 −(−4) 化简成 −4。这个结果（　　）（填「对」或「不对」）；正确结果是（　　）；他错在（　　）（填「把取相反数做成了照抄」或「把 4 抄成了 5」）。 【答案】不对；4；把取相反数做成了照抄 【解析】−(−4) 是取 −4 的相反数，应得 4。小刚的结果和括号里的数一模一样，说明他根本没做「取相反数」这一步，只是照抄。数字并没有抄错，错在漏了运算本身。 5．不计算，只看符号与位置判断：−|−2|（　　）−(−2)（填「>」或「<」）；前者化简后是（　　）数、后者是（　　）数（填「正」或「负」）。 【答案】<；负；正 【解析】−|−2|＝−2，是负数；−(−2)＝2，是正数。负数一定小于正数，所以填 <，中间的具体数值其实不必算出来也判得了。这类题练的是先看符号定位置，别一上来就动笔算。 6．不计算，判断 −、−、− 中最大的是（　　），最小的是（　　）。 【答案】−；− 【解析】三个数的绝对值依次是 、、，其中 最大、 最小；两个负数比大小的法则对多个数同样成立：绝对值最大的数最小，绝对值最小的数最大。所以最大 −、最小 −。不必通分，看谁离 0 最近即可。 7．「带负号的数一定是负数」这句话（　　）（填「成立」或「不成立」）；写出一个反例：（　　）。 【答案】不成立；−(−3)（化简后是 3，是正数） 【解析】反例就是 −(−3)：它带着负号，化简后却是 3。绝对化说法只要找到一个反例就不成立。写 −5 作反例不算，因为它确实是负数，没能推翻这句话。 8．「绝对值等于它本身的数一定是正数」这句话（　　）（填「成立」或「不成立」）；反例是（　　）。 【答案】不成立；0 【解析】|0|＝0，绝对值等于它本身，可 0 既不是正数也不是负数。把这句话补成「绝对值等于它本身的数是非负数」才成立，那里面就含 0。反例专挑边界上的数，这是判绝对化命题最省事的办法。 9．到原点距离不超过 2 的整数点共有（　　）个，其中表示的数最大的是（　　），最小的是（　　）。 【答案】5；＋2；−2 【解析】把整数点从 −2 数到 ＋2：−2、−1、0、＋1、＋2，共 5 个。「不超过」含两端，−2 与 ＋2 都要算进去。易错成 4 个（漏了 0）或 3 个（只数了非负的那些）。 10．数轴上点 P 到原点的距离是 3，点 Q 到原点的距离也是 3，且 P、Q 不重合。P、Q 表示的数分别是（　　）与（　　）；若把「距离是 3」改成「距离是 0」，这样的两个点（　　）（填「还有」或「没有」）。 【答案】＋3 与 −3（顺序可互换）；没有 【解析】距离是 3 的位置只有左右两个，P、Q 又不重合，只能一个 ＋3、一个 −3。改成距离是 0 时，两个位置都合到原点，再也找不出两个不重合的点，所以填「没有」。改一个条件，解的个数从 2 变 0，这就是分类边界。 九、D、真题考向·逐项研析 1．（2026年·广东·中考）5 的相反数是（　　）。 A．5　　B．−5　　C．　　D．− 【答案】B 【解析】A 项就是 5 本身，符号没改；B 项只把符号改成负号，正确；C 项把 5 写成 ，连数的大小都改了；D 项大小和符号一起改。真卷第 1 题的四个选项全都围着「只改符号」这一件事，C、D 专门拦住把相反数做成别的变形的同学。故选 B。 2．（2026年·河南焦作·七年级上期末）下列各数中，绝对值最大的数是（　　）。 A．−3　　B．−2　　C．0　　D．1 【答案】A 【解析】|−3|＝3、|−2|＝2、|0|＝0、|1|＝1，3 最大，故选 A。B 项的 2 来自「只看数本身，见 −2 比 −3 大就以为 −2 的绝对值也大」的错法；C 项把 0 误当成绝对值最大（它的绝对值其实最小）；D 项以为正数一定绝对值大。四个选项都从「绝对值＝到原点的距离」长出来，读完能反查自己是不是把「数大」与「绝对值大」混了。 3．（2026年·广东深圳·七年级上期末）如图5，数轴的单位长度为 1，如果点 B 和点 C 表示的数互为相反数，则点 A 表示的数是（　　）。 A．−2　　B．−3　　C．−4　　D．−5 【答案】B 【解析】B、C 相距 4 个单位且互为相反数，说明原点正在 B、C 正中间：B 在原点左边 2 格表示 −2，C 在右边 2 格表示 ＋2。A 在 B 左边 1 格，所以 A 表示 −3，选 B。A 项 −2 是 B 自己的数（把 A 与 B 看混）；C 项 −4 是从 B 往左多数了 1 格；D 项 −5 是把 B、C 相距的 4 格直接当成 A 离原点的格数。四个干扰都落在这张图的具体位置上，是数形结合题的典型布坑方式。图5 按原卷解析给出的数据参数化绘制：B、C 互为相反数且相距 4 格，A 在 B 左侧 1 格。 图5 4．（2026年·四川内江·中考）2 的相反数是（　　）。 A．−2　　B．2　　C．　　D．− 【答案】A 【解析】A 项只改符号，正确；B 项是原数；C 项把 2 写成 ，大小变了；D 项大小与符号一起变。与第 1 题同一考向但换了数与选项结构：第 1 题正确项在 B，本题在 A，正确项位置不集中。中考第 1 题把「相反数」与「把数写成分数形式」放进同一组选项，专抓看见负号就随手打勾的同学。 5．（2026年·湖南岳阳·七年级上期末）已知点 A 是数轴上的一点，它到原点的距离为 3，把点 A 向左平移 7 个单位后，再向右平移 5 个单位得到点 B，则点 B 到原点的距离为（　　）。 A．3 或 7　　B．3 或 5　　C．1 或 3　　D．1 或 5 【答案】D 【解析】从哪个条件入手：「到原点的距离为 3」的点有左右两个，先别只取一个。为什么用数格子：题面只讲数轴上的位置移动，在图上逐格走最稳。A 若在 ＋3，向左数 7 格到 −4、再向右数 5 格到 ＋1，B 到原点距离 1；A 若在 −3，向左数 7 格到 −10、再向右数 5 格到 −5，B 到原点距离 5。所以是 1 或 5，选 D。哪步最易错：只走 A＝＋3 这一支，得 1 就收笔。怎样确认合理：两支都在图上走到底，两个落点都是整数点。怎样说明找全：到原点 3 格的点只有左右两个，两支走完就是全部。A 项 3 或 7 是忘了移动直接抄原距离，B 项 3 或 5 是只走一支又抄了原距离，C 项 1 或 3 是另一支只走了向左那一段。 6．绝对值等于 5 的数是（　　）与（　　）；若改成绝对值等于 0，这样的数有（　　）个。 【答案】5；−5；1 【解析】绝对值等于一个正数，原点左右各一个；等于 0 时两侧合到原点，只剩 1 个；绝对值不可能等于负数，那种情形一个也没有。三句话把「解的个数随条件怎么变」说全，不用逐个试数。 7．在横线上填「>」「<」或「=」：−（　　）−；|−|（　　）。 【答案】>；= 【解析】第一空：两个负数比大小， 比 小，绝对值小的反而大，所以填 >；在数轴上 − 在 − 右边，通分并不是必需的。第二空：绝对值就是去掉符号读距离，|−|＝，填 =。两空分别考比大小与绝对值，设问用的都是真卷标准话语。 8．下列说法中，正确的是（　　）。 A．绝对值等于它本身的数一定是正数 B．一个数的相反数一定比它小 C．|0|＝0，且 0 的相反数是 0 D．绝对值最小的数是 1 【答案】C 【解析】A 项反例是 0；B 项反例是 −5 的相反数 5，比 −5 大；C 项两句都对；D 项绝对值最小的数是 0，1 是「绝对值最小的正整数」才会出现的数。三个干扰项都把「一定」「最小」用在了没写全前提的地方，判这类题先找边界上的 0。 9．数轴上 A、B、C 三点从左到右依次表示 −、0、＋2。不计算，回答：三点中表示负数的是点（　　），绝对值最大的是点（　　）；若把点 A 换成它的相反数，三点从左到右的顺序变为（　　）。 【答案】A；A；B、C、A 【解析】位置已给定就不必算：A 在 0 左边，是负数；三点到原点分别是 格、0 格、2 格，A 最远，绝对值最大。把 A 换成它的相反数 ＋，它由最左端跳到最右端，B、C 两点没动，重排时先摆好没动的 B、C，再把 A 放到它该在的位置，顺序就是 B、C、A。 10．不计算，只看符号与位置：−(−6)（　　）−|−6|（填「>」「<」或「=」）；|−6|（　　）|＋6|（填「>」「<」或「=」）。 【答案】>；= 【解析】第一组：−(−6) 化简后是正数 6，−|−6| 化简后是负数 −6，正数大于负数，填 >。第二组：互为相反数的两个数到原点一样远，绝对值相等，填 =。两问都不必把中间数值算到底也能判：符号和到原点的距离已经决定了结果。 十、E、一条数轴·三问收口 1．一条东西向的街道以邮局为原点，向东为正方向，每格 100 m。书店在邮局西边 300 m，文具店在邮局东边 200 m，学校在邮局东边 400 m。 (1) 在数轴上分别写出书店、文具店、学校对应的数（单位：100 m）。 (2) 三处中，哪一处离邮局最远？最远处到邮局的距离是多少米？ (3) 若把原点改设在文具店（正方向、单位长度都不变），书店对应的数变成多少？ 【答案】(1) 书店 −3，文具店 ＋2，学校 ＋4；(2) 学校最远，400 m；(3) −5 【解析】从哪个条件入手：先定原点、正方向、每格代表多少，三问全靠这三条。为什么选数轴：题目通篇是「在谁哪边多远」的位置语言，摆到数轴上比列式子直接。哪步最易错：把书店写成 ＋3（忘了西边为负）；第(3)问错把书店与文具店只当相隔 1 格，写成 −1。怎样确认合理：书店在 −3、文具店在 ＋2，两点在图上相隔 5 格，改以文具店为原点后书店在它西边 5 格，即 −5，对应 500 m，与街道上的实际位置对得上。改一个条件怎么重新分析：只换了原点，另两处位置没动，先确认不动的，再重算动的这一处。 2．给出六个数：−6，−(−2)，0，−2，−，＋6。 (1) 先化简 −(−2)，再把六个数中互为相反数的数对全部写出来。 (2) 六个数中，绝对值等于 2 的数共有几个？把它们写出来。 (3) 把 −(−2) 改成 −(＋2)：互为相反数的数对变成几对？绝对值等于 2 的数还是几个？ 【答案】(1) −(−2)＝2；数对：−6 与 ＋6、−2 与 2，共 2 对；(2) 2 个：−2 与 2；(3) 1 对；仍是 2 个（两个都是 −2） 【解析】从哪个条件入手：先化简 −(−2)＝2，不化简就会把它当负数配错对。为什么逐项配对：互为相反数要求「只有符号不同」，逐个拿去和别的数核对最不容易漏。哪步最易错：漏掉 −2 与 2 这一对（注意力都放在 −6 与 ＋6 上）；或把 − 当成 −2 的配对。怎样确认找全：每个数最多用一次，六个数里用掉四个，剩下 0 与 − 都配不上，说明恰好 2 对。第(3)问只改一个式子：−(−2) 变 −(＋2)，2 变 −2，于是 −2 与 2 这一对消失，数对剩 1 对；但绝对值等于 2 的数仍是 −2 与 −2 两个，个数没变。同一处改动，一个量变了、一个量没变，必须逐问重新数，不能凭「改过了」就一起改答案。 3．数轴上每格表示 1 个单位长度。 (1) 到原点距离等于 4 的点表示的数是什么？把两种可能都写出来。 (2) 到原点距离小于 3 的整数点共有几个？把它们全部写出来。 (3) 若把「到原点距离小于 3」改成「到原点距离不超过 2」，点的个数改变吗？把改变后的点全部写出来。 【答案】(1) ＋4 与 −4；(2) 5 个：−2，−1，0，＋1，＋2；(3) 不改变，仍是 −2，−1，0，＋1，＋2 共 5 个 【解析】从哪个条件入手：题眼是「到原点的距离」，且第(2)(3)问限定了整数点，只能在整数刻度上数。为什么这样数：距离小于 3 的整数点从 −2 到 ＋2，一个一个摆出来就是全部；距离不超过 2 的整数点，同样是 −2 到 ＋2。哪步最易错：漏掉 0，或把「小于 3」误读成含 3，于是多写 ±3。怎样确认合理：两组点逐个对照，位置完全一样，个数自然一样。第(3)问的价值在于：条件的说法换了，边界却没换（题目限定了整数点），结论就不变——这正是「改一个条件，重新分析」里最容易被想当然的一种。若去掉「整数点」这个前提，两种说法就不再落在同一批点上，本题不展开。 4．五个城市某日最低气温（℃）记录为：−8，−3，0，＋2，−。 (1) 把这五个温度按从低到高排列。 (2) 把它们分别标在数轴上，离 0 最远的是哪个温度？ (3) 若把 − 改成它的相反数，从低到高的顺序变成什么？最低气温改变了吗？ 【答案】(1) −8 < − < −3 < 0 < ＋2；(2) −8；(3) −8 < −3 < 0 < ＋2 < ＋；最低气温不改变 【解析】从哪个条件入手：− 要先在数轴上定位，它落在 −2 与 −3 正中间。为什么用数轴：五个温度里混着分数，摆位置比凭印象排更稳。哪步最易错：因为 比 3 小，就把 − 当成比 −3 更小、排到 −3 左边；其实两个负数绝对值大的反而小，−3 的绝对值是 3，比 大，所以 −3 更靠左。怎样确认合理：按图上的左右顺序逐对读一遍，相邻两个都满足右边更大。第(3)问只动一个数：− 换成 ＋，它从 0 左边跳到 0 右边、并排在 ＋2 之后，但 −8 仍在最左端，最低气温没有改变。 5．数轴上点 A 表示 −5，点 B 表示 ＋3，点 C 与点 A 关于原点对称。 (1) 点 C 表示的数是多少？ (2) A、B、C 三点中，哪一点到原点的距离最大？哪一点最小？ (3) 若把点 B 表示的数换成它的相反数，三点中到原点距离最大的变成哪一点？ 【答案】(1) ＋5；(2) A 与 C 并列最大（都是 5 个单位长度），B 最小（3 个单位长度）；(3) 仍是 A 与 C，不改变 【解析】从哪个条件入手：C 与 A 关于原点对称，就是 A 的相反数，所以 C 是 ＋5。为什么看距离：到原点的远近由绝对值定，A、C 各 5 格、B 是 3 格，最大的是 A 与 C 两点并列，最小的是 B。哪步最易错：把「关于原点对称」当成「在同一点」，或只肯写一个最大值（其实有两个点并列）。怎样确认合理：把三点在数轴上摆好，原点两侧各数一次格数。第(3)问改一个条件：B 由 ＋3 换成 −3，方向翻了，但离原点仍是 3 格，所求的「到原点距离」一点没变，所以答案仍是 A 与 C。这问练的是先判断改动会不会影响所求量，再决定要不要重算。 6．数轴上每格 1 个单位长度，点 P 到原点的距离是 3。 (1) 点 P 表示的数可能是多少？把两种可能都写出来。 (2) 点 Q 与点 P 表示的数互为相反数，点 Q 到原点的距离是多少？ (3) 若把「点 P 到原点的距离是 3」改成「点 P 到原点的距离不超过 2，且点 P 表示整数」，点 P 共有几种可能？把这些数按从小到大写出来；此时点 Q 与点 P 是否一定不重合（填「一定不重合」或「不一定」）？ 【答案】(1) ＋3 或 −3；(2) 3；(3) 5 种：−2，−1，0，＋1，＋2；不一定 【解析】从哪个条件入手：距离只给远近，先分左右两侧；第(3)问又限定了整数点，只能在整数刻度上数。为什么这样找全：整数点从 −2 到 ＋2 一个不跳地数完，共 5 个，两端是 −2 与 ＋2、中间含 0。哪步最易错：第(1)问只写 ＋3；第(3)问漏掉 0，或把「不超过」当成不含端点。怎样确认合理：把五种可能逐个在数轴上摆好，检查每个到原点都不超过 2 格。第(3)问末空是全题的收口：0 的相反数还是 0，所以 P 取 0 时 Q 与 P 重合，「一定不重合」不成立，填「不一定」。把「0 的相反数是它本身」用到综合情境里，才算是真把这个边界学透。 十一、课堂检测 1．数轴上原点左边第 2 格的点表示（　　），原点右边第 5 格的点表示（　　）。 【答案】−2；＋5 【解析】左边为负、右边为正，每格 1 个单位长度，所以是 −2 与 ＋5。两空把方向和格数各查一遍。 2．化简：−(−9)＝（　　）；−|−9|＝（　　）。 【答案】9；−9 【解析】−(−9) 取 −9 的相反数得 9；−|−9| 先读绝对值 9，再加外面的负号得 −9。两个式子只差一个竖线，结果一正一负。 3．在横线上填「>」「<」或「=」：−7（　　）−4；|−7|（　　）|−4|。 【答案】<；> 【解析】第一空：7 比 4 大，两个负数里绝对值大的反而小，−7 < −4。第二空：|−7|＝7、|−4|＝4，7 > 4。同一组数，比「数」和比「绝对值」结论正好相反。 4．绝对值等于 的数是（　　）与（　　）。 【答案】＋；− 【解析】到原点 格的位置左右各一个。写负的那个时，负号要放在整个分数前面，不要写进分母。 5．下列说法中，正确的是（　　）。 A．数轴上左边的数总比右边的大 B．0 的相反数与 0 的绝对值都是 0 C．绝对值等于 2 的数只有 ＋2 D．两个负数中，绝对值大的那个数也大 【答案】B 【解析】B 正确。A 项方向说反，数轴右边的数总比左边大；C 项漏了 −2；D 项说反，两个负数里绝对值大的反而小。三个干扰项分别错在方向、漏解、法则。 6．写出一个比 − 小、又比 −2 大的数：（　　）。 【答案】−1（答案不唯一） 【解析】在数轴上落在 −2 与 − 之间的数都行，如 −1、−。写成 0 错在比 − 大，写成 −3 错在比 −2 小。开放填空也要同时守住两条边界。 7．数轴上点 A 表示 ＋4，点 B 与 A 到原点的距离相等且不与 A 重合，则点 B 表示（　　）；A、B 两点之间相隔（　　）个单位长度。 【答案】−4；8 【解析】B 只能在原点另一侧，是 −4；在数轴上从 −4 数到 ＋4 共 8 格。第二空靠数格子得到，不必写任何运算式。易错成 0 或 4（只看了原点一侧）。 8．把 − 换成它的相反数，它在数轴上由原点（　　）边移到（　　）边，绝对值（　　）（填「改变」或「不改变」）。 【答案】左；右；不改变 【解析】取相反数只翻方向、不改离原点的远近，所以由左边到右边、绝对值仍是 。三空分别查符号、位置、距离。 9．不计算，判断 −(−3)（　　）−|−3|（填「>」「<」或「=」）。 【答案】> 【解析】−(−3) 化简后是正数，−|−3| 化简后是负数，正数大于负数，填 >。中间数值算不算出来都不影响判断。 10．某仓库以地面层为 0 层，地上楼层记为正、地下楼层记为负，每层高度相同。图书室在 ＋3 层，车库在 −2 层，设备间与图书室到 0 层的层数相同、且不在同一侧。 (1) 设备间在几层？ (2) 三处中，哪一处离 0 层最远？把三处按离 0 层从近到远排列。 (3) 若把 0 层改设在车库（正方向、每层高度都不变），图书室记作几层？ 【答案】(1) −3 层；(2) 图书室与设备间并列最远；车库、图书室与设备间（后两处并列）；(3) ＋5 层 【解析】三问依次练「关于 0 对称」「按离 0 远近排序」「改原点重读位置」。第(1)问：与 ＋3 离 0 层一样远又不在同一侧，只能是 −3 层。第(2)问：车库离 0 层 2 层，另两处各 3 层，所以车库最近、图书室与设备间并列最远。第(3)问：车库在 −2、图书室在 ＋3，两点在楼层数轴上相隔 5 层；改以车库为 0 层后，图书室在它上面 5 层，记作 ＋5 层。易错成 ＋1 层（只数了从 0 层到图书室的 3 层，没算上车库那一侧），或 −5 层（把方向看反）。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $