第五章 解一元二次方程 复习与小结 导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

第五章 一元一次方程 复习与小结

学习目标：

1. 系统梳理一元一次方程的概念、等式性质、解法步骤及实际应用模型，构建本章知识框架。

2. 熟练解一元一次方程，能根据实际问题中的等量关系列方程并求解，提升数学建模能力。

3. 通过辨析、纠错与跨学科情境练习，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，感受数学的应用价值。

【一】知识框架

请根据本章所学内容，完成下列知识梳理：

1. 一元一次方程的定义：只含有______个未知数，未知数的次数都是______，等号两边都是______的方程。

2. 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍______。

3. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个______的数，结果仍相等。

4. 解一元一次方程的一般步骤：去分母→______→移项→______→系数化为1。

5. 列方程解应用题的一般步骤：审→设→______→解→______→答。

【二】自主复习

阅读指导：回顾教材第五章内容，独立完成下列任务：

1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ）

A. x² - 2x = 1    B. 2x + 3y = 5    C. 3(x - 1) = 2x    D. 1÷x + 2 = 0

2. 若 x = -2 是方程 3x + a = 1 的解，则 a = ______。

3. 方程 2x - 6 = 0 的解是 x = ______。

4. 解方程 (x - 1)÷2 - (2x + 1)÷3 = 1 时，去分母后正确的是（ ）

A. 3(x - 1) - 2(2x + 1) = 1    B. 3(x - 1) - 2(2x + 1) = 6

C. 2(x - 1) - 3(2x + 1) = 6    D. 2(x - 1) - 3(2x + 1) = 1

我的疑惑：

【三】合作探究

任务1：解法辨析与纠错

小明在解方程 (2x - 1)÷3 - (x + 2)÷2 = 1 时，给出了如下解答过程：

解：去分母，得 2(2x - 1) - 3(x + 2) = 1。 ………… 第一步

去括号，得 4x - 2 - 3x + 6 = 1。 ………… 第二步

移项，得 4x - 3x = 1 + 2 - 6。 ………… 第三步

合并同类项，得 x = -3。 ………… 第四步

思考交流：

（1）小明的解答从第______步开始出现错误，错误的原因是______。

（2）请写出正确的解答过程。

任务2：配套问题

某车间有28名工人，每人每天可以生产螺栓12个或螺母18个。1个螺栓需要配2个螺母。为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺栓？

 

思考交流：

（1）本题的等量关系是什么？请用文字表述。

（2）设安排x名工人生产螺栓，请列出方程并求解。

（3）若将“1个螺栓配2个螺母”改为“2个螺栓配3个螺母”，方程应如何调整？

任务3：行程问题

2026年暑期，某地理兴趣小组在野外考察中测得A、B两地的直线距离为15 km。小组成员甲从A地出发，以4 km/h的速度向B地方向步行；同时，乙从B地出发，以3 km/h的速度向A地方向步行。

（1）请列方程求出两人出发后多少小时相遇。

（2）出发后多少小时两人相距5 km？（提示：分相遇前和相遇后两种情况讨论）

【四】精讲点拨

例1 解方程：(3x - 1)÷4 - (5x + 1)÷6 = 1 - (x + 2)÷3。

点拨：去分母时，方程两边同乘12，注意不含分母的项“1”也要乘12，且分子是多项式时要加括号。去括号时注意括号前是“-”号，括号内各项都要变号。

例2 某商店将一件商品按标价的八折出售，仍可获利20%。若该商品的进价为200元，求标价。

点拨：设标价为x元，则售价为0.8x元，利润为0.8x - 200。根据“利润 = 进价×利润率”列方程：0.8x - 200 = 200×20%。

【五】总结提升

1. 解一元一次方程时，去分母和去括号最容易出现哪些错误？如何避免？

2. 列方程解应用题的关键是什么？配套问题、工程问题、销售问题中常见的等量关系分别有哪些？

3. 检验方程的解时，除了检验是否是方程的解，还要注意什么？

【六】当堂检测

1. 若关于x的方程 (m - 2)x|m-1| + 5 = 0 是一元一次方程，则m的值为（ ）

A. 2    B. 0    C. 0或2    D. 1

2. 方程 (x + 1)÷2 - (2x - 1)÷3 = 1 的解是 x = ______。

3. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有兽六首四足，禽四首二足。上有七十六首，下有四十六足。问禽、兽各几何？”其大意是：一种野兽有6个头4只脚，一种鸟有4个头2只脚。现有野兽和鸟共76个头、46只脚，问野兽和鸟各有多少？