第五章《一元一次方程》 导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学单元学案以“一元一次方程”为核心，围绕概念理解、解法掌握及应用能力培养目标，构建“概念理解-性质探究-解法掌握-应用拓展”的递进式学习路径，通过知识点梳理与分层题型训练的任务关联，形成完整知识建构体系。 亮点在于融入全运会奖牌、汉服绒花制作等现实情境的应用问题设计，结合“美好方程”“五好关联方程”等创新题型，培养学生抽象能力、运算能力与模型意识。每题型设置基础巩固与拓展提升题组，既夯实基础又促进深度学习，为教师单元复习提供系统教学资源与精准指导。

第五章 一元一次方程 【人教2024版】 【知识点总结】 一、基本概念 1 ．等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子 2 ．方程的概念：含有未知数的等式 3 ．一元一次方程的概念：（1）只含有 1 个未知数； （2）未知数的最高次数为 1 次； （3）等式两边都是整式. 二、等式的性质：若a = b ，（1）a + c = b + c 、a - c = b- c （2）ac = bc 、 = ，（c≠0）. （3）a=b,b=c,则a=c 特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为 0的数. 三、解一元一次方程 1 ．去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号） 2 ．去括号（带着符号计算，不要漏乘） 3 ．移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要） 4 ．合并同类项 5 ．系数化为 1（系数不能为 0 ，若未知数的系数含有字母则需要讨论） 四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为 x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 五、一元一次方程的应用 一元一次方程解应用题的类型有： （1） 探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价－进价，利润率 = × 100%； （4）工程问题 (①工作量＝人均效率×人数×时间； ②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和、差、倍、分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题，等。 题型一、方程的相关概念 1．（24-25七年级上·山西太原·开学考试）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 2．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·北京·随堂练习）在， ， ，， ，中等式有：___________方程有：___________（填序号） 4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 5．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）“比的相反数大的数与的差是”用等式表示为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·广东广州·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27七年级上·全国·单元测试）下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 8．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·全国·单元复习）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号） 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）填表： x 0 1 当_______时，，所以方程的解是_______． 11．（24-25七年级下·北京·开学考试）已知方程，则在，，中，______是方程的解． 题型二、一元一次方程的相关概念 12．（25-26七年级上·广西贺州·期末）某班一个学习小组分发新购数学作业本，若每人发本，剩余本；若每人发本，还缺本．设学习小组人数为，可列一元一次方程：，已知是该方程的解，则参数的值为（   ）． A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·浙江金华·期末）小慧同学用尝试检验法估计关于的方程的解，部分数据如表所示，则下列可能是该方程的解的是（    ） 1 2 3 1 5 A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·浙江台州·期末）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 15．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下列各式中，，，，，，为一元一次方程的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 16．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③ ；④；⑤； ⑥；⑦．其中______是方程，______是一元一次方程． 题型三、等式的性质 17．（26-27七年级上·江苏常州·开学考试）如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 18．（25-26七年级上·河南郑州·期末）若，则下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）将变形一次得到，则此次变形是给等式两边加（　　） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）在将等式变形时，嘉淇的变形过程如下： 解：因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） 下列对嘉淇的变形过程的判断和论述正确的是（   ） A．第一步变形错误，化简结果应该是 B．第二步变形错误，化简结果应该是 C．第一步第二步都有错误，最终化简结果应该是 D．第一步和第二步都没有错误 21．（25-26七年级下·浙江温州·期末）小州用烧杯装不同体积的某液体，测得烧杯和液体的总质量（单位：g）与液体体积（，单位：）的关系满足．若用与表示，则__________． 22．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）若，则_______． 23．（25-26七年级上·四川德阳·阶段检测）洛书，源起华夏，是承载着古老智慧的数学结晶（图1），其数字排列构成一个三阶幻方（图2）．观察图1，图2，根据三阶幻方的特征，推导图3中的值为____________． 题型四、解一元一次方程 24．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）解方程： 25．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）． 26．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在解方程时，三位同学提出了不同的思路和方法： (1)请在三种思路方法中选择你最喜欢的一种： ；（填写编号①②③中的一个）简述选择的理由： ； (2)请写出完整的解题过程． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列解方程的过程是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)， ， ， ． (2)， ， ， ， ． 28．（2026·河北沧州·模拟预测）在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… (1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 29．（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 (1)请用材料中介绍的方法解方程：． (2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． (3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 题型五、一元一次方程的应用 30．（26-27七年级上·安徽淮南·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 31．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义：若一个关于x的一元一次方程的解与另一个关于y的一元一次方程的解满足，则称这两个方程为“五好关联方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以它们是“五好关联方程”． (1)判断方程与方程是否为“五好关联方程”，并说明理由； (2)若方程与方程是“五好关联方程”，求a的值； (3)已知方程与方程是“五好关联方程”，，且m、n均为正数，求m的值． 32．（25-26七年级上·山西太原·期末）近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己的方式重新建立与历史的连接．绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱．某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花．已知每名匠人每天可以制作簪杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作．若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套，手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？ 33．（25-26七年级上·河南信阳·期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套． (1)如何安排生产可使每天生产的产品配套？ (2)该厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起合作，恰好完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，应怎样安排参与制作茶具的具体人数？ 34．（25-26七年级下·重庆·开学考试）一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 35．（2026·安徽·模拟预测）为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？ 36．（21-22七年级上·广西河池·期末）列方程解题：某电子商场计划购进A、B两种充电宝共1000个，它们的进价、售价如下图所示： 型号 进价（元/个） 售价（元/个） A 25 30 B 45 60 (1)若进货款恰好为39000元时，求A型充电宝的数量； (2)若商场销售完所进充电宝时利润为11000元，求B型充电宝的数量． 37．（25-26七年级上·北京·期末）列方程解下列问题：十一晋元中学拟定于年月日举办“智启未来数创无限”主题数学文化节，需要准备九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个作为奖励每种玩具都要有，其中华容道的单价比九连环的单价贵元，买个华容道和个九连环共需要元． (1)九连环和华容道的单价分别是多少元？ (2)若某超市的魔方有两种类型，学校只能从中选择一种类型．价格如表： 魔方类型 正阶魔方 异形魔方 单价 元 元 若学校用元去购买这三种数学玩具，且九连环和魔方的数量是相同的，应该选择哪种类型的魔方比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 38．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，汾阳市教育体育局持续推动全民阅读行动，扎实建设“书香校园”，不断丰富阅读内涵、拓展育人载体，使书香氛围日益浓厚、阅读品牌持续擦亮．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，每题必答，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分80分，他答对了几道题? 39．（25-26七年级上·四川泸州·期末）在“川超”联赛（四川省城市足球联赛）川南赛区的角逐中，泸州窖香队完赛8场．根据联赛积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该队累计斩获14分，且胜场场次恰好是负场场次的2倍．请问泸州窖香队在本次赛事中的胜、平、负场次各为多少？ 40．（25-26七年级上·江苏南京·期末）电信公司电话费有两个套餐方案可供顾客选择． 套餐1：月租20元，每分钟元； 套餐2：月租40元，每分钟k元． (1)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (2)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (3)若每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ 41．（25-26七年级上·山东临沂·期末）小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 42．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）为了增强公民节约意识，市电力局制定了以下用电收费标准：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按基本电费0.53元收费，超过100度至150度的部分，每度电费要比基本电费增加20；超过150度的部分，每度电费要比基本电费增加50．李明家上月付电费103.88元、那么请你算一算，李明家上月用电多少度？ 43．（25-26七年级上·浙江金华·期末）【提出问题】 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”．根据以下素材，探索小明家水费与用水量情况． 下表是“阶梯收费”标准，其中水费=自来水费+污水处理费，每月水费以整数立方米水量计费． 收费标准 年用水量 水费（元） 自来水费（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 不超过 2.6 1.65 0.95 第二阶梯 超过但不超过的部分 3.95 3.0 第三阶梯 超过的部分 7.8 6.85 【理解问题】 若1月至11月累计用水量为，12月用水量为，则12月水费为（元）． 【解决问题】 任务1：已知2025年11月用水量在第一阶梯，且水费为65元，求11月污水处理费多少元? 任务2：2025年12月用水量，若第一阶梯用水量比第二阶梯少，用的代数式表示12月水费． 任务3：2025年12月水费70.9元，用水量，求小明家2025年全年水费多少元? 44．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）一支舰艇护航编队匀速前往距离海里的海上平台（以下简称“平台”），编队出发小时后，平台派出一艘补给船进行一次海上补给任务，编队和补给船在同一航线上相向而行．已知补给船以最高速度匀速前行，是编队现行速度的倍，小时后相遇． (1)求护航编队的速度； (2)护航编队始终保持原有速度匀速航行，相遇后，补给船立即调头随编队同向而行（调头时间忽略不计），同时开展补给任务，时间持续小时，补给完成时该船还剩余燃料单位．随后，补给船可选择加入编队一同前往平台，也可选择以最高速度单独返回．已知补给船的燃料消耗速度为单位/小时（为补给船的速度，单位：海里/小时）． ①若补给船选择单独返回平台，则其回到平台时剩余燃料为 单位； ②若补给船选择加入编队同行小时后，再以最高速度返回平台，到达平台时燃料刚好用完，求的值． 45．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）甲、乙、丙是三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小军和小明分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小军过乙站100米后与小明相遇．然后两人保持原速继续前进，小军到达丙站后立即返回，经过乙站后300米又追上小明．问：甲、丙两站的距离是多少米？ 46．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 47．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）扬州是中国历史文化名城，物产丰饶，其中“绿杨春”茶叶尤为著名．现有、两名农户种植茶叶，农户种植了8亩“绿杨春”茶叶，农户种植了12亩“绿杨春”茶叶，农户平均每亩“绿杨春”制成的茶叶重量是农户每亩制成茶叶重量的（制作茶叶的过程中的损耗忽略不计）．农户制成绿杨春茶叶，农户制成绿杨春茶叶，今年制成“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶两种产品共计千克．两种产品的销售规格如下表： 每盒净重（） 每盒售价（元） 绿杨春茶叶 绿杨春茶叶 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶各多少千克? (2)若销售这两种茶叶共盒，销售额为元，求销售“绿杨春”的盒数； (3)若张华第一次销售这两种茶叶共盒，第二次销售时对所有剩下的“绿杨春”茶叶打八折促销．两次销售完后，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多元．求第一次销售“绿杨春”多少盒? 48．（25-26七年级上·浙江金华·期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市出租车、滴滴快车的收费标准见下表（该市规定它们行驶的平均速度为40公里/时）． （出租车） 滴滴快车 起步价：8元（适用于行驶2.5公里以内）； 超公里费：超过起步里程（2.5公里）后， 每公里的费用2.5元/公里： 空驶费：当行驶距离超过5公里时，超出 部分加收的空驶费． 例如：20公里的费用为： 元 起步价：12元； 里程费：15公里以内，每公里2元： 远途费：超过15公里，超过部分每公里加收1元； 时长费：每分钟0.4元． 例如：20公里的费用为： 元 （温馨提示：以40公里/小时的行驶速度计算） (1)若乘坐这两种交通工具的里程数都是10公里，则出租车费用为 元：滴滴快车费用为 元． (2)已知甲乙两地的里程数超过15公里．从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省6元，求甲乙两地间的里程数． (3)滴滴快车对第一次下单的乘客有立减6.2元的优惠活动．如果有位顾客第一次下单，按他乘坐的里程数计算，乘出租车和滴滴快车的收费相同，求这位顾客乘车的里程数（精确到0.1公里）． 49．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我市某中学组织七年级师生秋游，由王老师和王林、李宏两同学到客车租赁公司洽谈租车事宜，下面两图是洽谈时的场景， 请根据图中场景解答下列问题： (1)你知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元? (2)求七年级师生的总人数； (3)从经济角度考虑，该如何设计租车方案，并说明理由． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 【人教2024版】 【知识点总结】 一、基本概念 1 ．等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子 2 ．方程的概念：含有未知数的等式 3 ．一元一次方程的概念：（1）只含有 1 个未知数； （2）未知数的最高次数为 1 次； （3）等式两边都是整式. 二、等式的性质：若a = b ，（1）a + c = b + c 、a - c = b- c （2）ac = bc 、 = ，（c≠0）. （3）a=b,b=c,则a=c 特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为 0的数. 三、解一元一次方程 1 ．去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号） 2 ．去括号（带着符号计算，不要漏乘） 3 ．移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要） 4 ．合并同类项 5 ．系数化为 1（系数不能为 0 ，若未知数的系数含有字母则需要讨论） 四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为 x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 五、一元一次方程的应用 一元一次方程解应用题的类型有： （1） 探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价－进价，利润率 = × 100%； （4）工程问题 (①工作量＝人均效率×人数×时间； ②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和、差、倍、分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题，等。 题型一、方程的相关概念 1．（24-25七年级上·山西太原·开学考试）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 2．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程，由此逐项分析即可得解，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 3．（26-27七年级上·北京·随堂练习）在， ， ，， ，中等式有：___________方程有：___________（填序号） 【答案】 、、； 、． 【分析】本题考查了等式和方程，用等号表示相等关系的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程；解决本题的关键是根据等式和方程的定义进行判断． 【详解】解：用等号表示相等关系的式了叫等式， 等式有：、、； 含有未知数的等式是方程， 方程有：、． 故答案为：、、； 、． 4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 5．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）“比的相反数大的数与的差是”用等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程，首先列出表示比的相反数大的数的代数式，再根据该数与的差为，列出等式即可． 【详解】解：的相反数是 ， 比的相反数大的数是 ， 该数与的差为． 故选：B． 6．（25-26七年级上·广东广州·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据题意找到等量关系并列出方程是解题的关键．先根据题目条件，用含未知数的代数式分别表示出金牌数和银牌数，再根据总奖牌数列出方程． 【详解】解：设铜牌数为枚，则金牌数为枚，银牌数为枚，由题意可得 ， 故选：C． 7．（26-27七年级上·全国·单元测试）下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【答案】D 【分析】此题考查了列方程，逐一分析各选项的等量关系，判断是否与方程相符． 【详解】A．总费用为元，付30元找回6元，方程为，不符合题意； B．黑兔数量x是白兔的3倍多6只，方程为，不符合题意； C．科技书比故事书多6本，方程为，不符合题意； D．舞蹈小组人数是书法小组的3倍少6人，方程为，符合题意． 故选：D． 8．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮， 由题意得． 故选：． 9．（25-26七年级上·全国·单元复习）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号） 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当时，①的左边，右边，左边右边，所以不是①的解； 当时，②的左边，右边，左边右边，所以是②的解； 当时，③的左边，右边，左边右边，所以不是③的解； 当时，④的左边，右边，左边右边，所以是④的解； 当时，⑤的左边，右边，左边右边，所以是⑤的解； 当时，⑥的左边，左边右边，所以是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）填表： x 0 1 当_______时，，所以方程的解是_______． 【答案】填表见详解 ； 【分析】本题考查了“代数式求值”“方程的定义”的知识点，正确计算出求值结果，并理解方程的定义是解题关键． 先根据表中x的取值，分别代入两个代数式中，求出对应的值并填表，再观察表中当两个代数式的值相同时，表中对应的x的取值，根据方程的定义，这个x的取值即为方程的解． 【详解】解：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 故填表如下： x 0 1 1 3 0 由表可知，当时，，即方程的解为． 故答案为： ；． 11．（24-25七年级下·北京·开学考试）已知方程，则在，，中，______是方程的解． 【答案】，， 【分析】本题考查了方程的解，将，，分别代入原方程的左边，验证是否等于右边，即可求解． 【详解】解：将代入方程，，等式成立，因此是方程的解． 将代入方程，得到，等式同样成立，故也是方程的解． 将代入方程，得到，等式成立，所以同样是方程的解． 故答案为：，，． 题型二、一元一次方程的相关概念 12．（25-26七年级上·广西贺州·期末）某班一个学习小组分发新购数学作业本，若每人发本，剩余本；若每人发本，还缺本．设学习小组人数为，可列一元一次方程：，已知是该方程的解，则参数的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，理解题意是解题的关键． 已知是该方程的解，代入方程，即可求出参数的值． 【详解】解：将代入中，得：， 解得． 故选：B． 13．（25-26七年级上·浙江金华·期末）小慧同学用尝试检验法估计关于的方程的解，部分数据如表所示，则下列可能是该方程的解的是（    ） 1 2 3 1 5 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据表格数据判断与的大小关系变化，确定方程解的取值范围，再匹配选项得出答案． 【详解】解：∵当时，，，此时； 当时，，，此时； ∴方程的解在的范围内； ∵选项中只有满足； 故选：C． 14．（24-25七年级上·浙江台州·期末）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．把代入，得到关于的方程，然后解方程求出的值，再把代入各选项判断即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 当时，选项A的值为2，不符合题意，舍去； 选项B的值为，不符合题意，舍去； 选项C的值为，符合题意； 选项D的值为，不符合题意，舍去； 故选：C． 15．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下列各式中，，，，，，为一元一次方程的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：是一元一次方程， 不含未知数，不是一元一次方程， 是一元一次方程， 是一元一次方程， 是一元一次方程， 是一元一次方程， 是代数式，不是一元一次方程， 所以一元一次方程有5个， 故选：C． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③ ；④；⑤； ⑥；⑦．其中______是方程，______是一元一次方程． 【答案】 ②④⑤⑦ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查了方程的定义以及一元一次方程的定义，正确理解方程的定义和一元一次方程的定义是解决问题的关键．含有未知数的等式叫方程；若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程． 【详解】解：根据方程的定义得：②④⑤⑦是方程， 根据一元一次方程的定义得：④⑤是一元一次方程. 故答案为：②④⑤⑦；④⑤． 题型三、等式的性质 17．（26-27七年级上·江苏常州·开学考试）如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由第一个天平平衡得：小大大小， 化简得：大小． 第二个天平左边：小大小小小． 故虚线框里要放个小白球． 18．（25-26七年级上·河南郑州·期末）若，则下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ，无法得到； 故只有选项D错误； 故选：D． 19．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）将变形一次得到，则此次变形是给等式两边加（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，通过比较变形前后等式的左右两边变化，即可求解． 【详解】解：∵原等式为，变形后为， ∴左边从变为，增加，右边从变为，增加（即）， ∴此次变形是给等式两边加． 故选：D． 20．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）在将等式变形时，嘉淇的变形过程如下： 解：因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） 下列对嘉淇的变形过程的判断和论述正确的是（   ） A．第一步变形错误，化简结果应该是 B．第二步变形错误，化简结果应该是 C．第一步第二步都有错误，最终化简结果应该是 D．第一步和第二步都没有错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质解答即可． 【详解】解：∵， 两边加，得（第一步正确）， ∴，即， ∴（第二步错误）． 故选：B． 21．（25-26七年级下·浙江温州·期末）小州用烧杯装不同体积的某液体，测得烧杯和液体的总质量（单位：g）与液体体积（，单位：）的关系满足．若用与表示，则__________． 【答案】 【分析】利用等式的基本性质，将用含和的代数式表示出来即可． 【详解】解：已知， 移项得， 等式两边同除以（），得． 22．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）若，则_______． 【答案】 49 【分析】本题考查代数式求值，等式的性质和有理数的平方运算，运用整体思想找到所求代数式与已知代数式的关系是解题关键． 利用等式的性质，根据已知条件求出 的值，然后平方计算即可． 【详解】由 ，得 ， 所以 ． 故答案为： 49． 23．（25-26七年级上·四川德阳·阶段检测）洛书，源起华夏，是承载着古老智慧的数学结晶（图1），其数字排列构成一个三阶幻方（图2）．观察图1，图2，根据三阶幻方的特征，推导图3中的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，有理数的加法等知识，根据条件发现规律是解题关键．先观察出幻方的规律是幻方的每一行，每一列，每一条对角线的三个数字之和相等，据此即可求解． 【详解】解：通过观察可得幻方的每一行，每一列，每一条对角线的三个数字之和相等． 如图， 由题意得， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 题型四、解一元一次方程 24．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）解方程： 【答案】 【分析】利用等式的性质解一元一次方程，逐步化简即可得到方程的解； 【详解】解：， 等式两边同时加，得， ∴， 等式两边同时除以，得． 25．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）． 【答案】 【分析】整理后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的解法求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得． 26．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在解方程时，三位同学提出了不同的思路和方法： (1)请在三种思路方法中选择你最喜欢的一种： ；（填写编号①②③中的一个）简述选择的理由： ； (2)请写出完整的解题过程． 【答案】(1) 选①，去分母是解一元一次方程的常用方法，可将分数转换成整数，简化运算； 选②，可直接进行分数运算； 选③，利用整体的思想，合并同类项、系数化为，可将运算简化； (2) 选①， 解：， ， ； 选②， 解：， ， ； 选③， 解：令， 则方程可转化为：， ， ∴， ， ． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，关键是熟练应用恰当的方法解方程； （1）选择喜欢的方法并说明理由； （2）根据选择写出完整的解方程过程即可． 【详解】（1）略 （2）略 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列解方程的过程是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)， ， ， ． (2)， ， ， ， ． 【答案】(1)不正确， (2)不正确， 【分析】本题考查解一元一次方程的过程，涉及去括号和去分母的操作． （1）在去括号时符号处理错误； （2）在去分母时没有将常数项乘以公分母，需要根据方程性质正确求解． 【详解】（1）解：方程的去括号过程错误． 正确过程为：， ， ， ； （2）解：方程的去分母过程错误． 正确过程为： 两边同时乘以4 ：， ， ， ， ． 28．（2026·河北沧州·模拟预测）在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… (1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 【答案】(1) ；； (2) 【分析】（1）根据分数的基本性质和等式的基本性质，分析两人的变形过程即可得到对应结果． （2）解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 变形为，是将分子分母同时扩大为原来的倍． 原方程变形为，是将等式两边同时乘或，也可同时除以得到， 因此对应结果为，或，． （2）解：选择嘉嘉的解法进行计算 原方程变形得： 两边同乘6去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 若选择淇淇的解法，过程如下： 原方程变形得： 两边同乘12去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得：． 29．（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 (1)请用材料中介绍的方法解方程：． (2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． (3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，原方程变为，按照材料中介绍的方法求解即可； （2）令，则原方程变为，根据题意求得，据此求解即可； （3）将方程两边同除以2026可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：令，原方程变为， 解得，即， 解得； （2）解：令，则原方程变为， ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， 解得； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2026变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程的解为． 题型五、一元一次方程的应用 30．（26-27七年级上·安徽淮南·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）根据“美好方程”求出的解为，再把变形为，即可得到． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“美好方程”其中一个解为n， ∴另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为7， ∴或， 解得或． （3）解：解方程得：， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴的解是， ∵， ∴， ∴， 解得． 31．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义：若一个关于x的一元一次方程的解与另一个关于y的一元一次方程的解满足，则称这两个方程为“五好关联方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以它们是“五好关联方程”． (1)判断方程与方程是否为“五好关联方程”，并说明理由； (2)若方程与方程是“五好关联方程”，求a的值； (3)已知方程与方程是“五好关联方程”，，且m、n均为正数，求m的值． 【答案】(1) 解：不是“五好关联方程”，理由如下： 方程的解为：， 方程的解为：， ，． ， 不是“五好关联方程”； (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用“五好关联方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“五好关联方程”的定义判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“五好关联方程”的定义列出关于a的方程，解答即可; （3）分别求得两个方程的解，利用“五好关联方程” 的定义列出关于m，n的方程，根据得出结果即可． 【详解】（1）略 （2）由得，由得， 由题意：， 或， 或； （3）由得，由得， 由题意：， ， ， ，整理得：． m为正数， 为正数， ，解得：． 32．（25-26七年级上·山西太原·期末）近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己的方式重新建立与历史的连接．绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱．某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花．已知每名匠人每天可以制作簪杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作．若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套，手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？ 【答案】安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花． 【分析】先设出制作簪杆的匠人人数，用总匠人人数表示出制作绒花的匠人人数，再根据配套关系（每天生产的绒花数量是簪杆数量的3倍）列出一元一次方程，最后通过解方程得到结果． 【详解】解：设手工坊安排名匠人制作簪杆，则安排名匠人制作绒花． 根据题意列方程得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 则制作绒花的匠人人数为(名)． 答：手工坊应该安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花． 33．（25-26七年级上·河南信阳·期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套． (1)如何安排生产可使每天生产的产品配套？ (2)该厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起合作，恰好完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，应怎样安排参与制作茶具的具体人数？ 【答案】(1)人生产茶杯，则人生产茶壶 (2)先安排人工作小时，再增加人（共人）一起工作小时，可完成任务 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设人生产茶杯，则人生产茶壶，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． （2）设先安排人做，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设人生产茶杯，则人生产茶壶，根据题意得， 解得： ∴人生产茶壶， 答：人生产茶杯，则人生产茶壶； （2）解：设先安排人做，根据题意得， 解得： 答：先安排人工作小时，再增加人（共人）一起工作小时，可完成任务． 34．（25-26七年级下·重庆·开学考试）一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 【答案】该组工人一共有16人 【分析】设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1，先分别求得卸A、B两列火车的货物的总工作量，再根据题意得到卸完火车货物的工作量是火车的2倍，进而列方程求解即可． 【详解】解：设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1， 他们上午10点到，共2.5小时，全组人一起卸A火车的货物的工作量为， 从到14点，共1.5小时，一半人卸A火车的货物的工作量为， 则卸A火车的货物的总工作量为； 从到14点，共1.5小时，一半人卸火车的货物的工作量为， 火车的货物剩余工作量为， 故卸B火车的货物的总工作量为， 因为卸完火车所需时间是火车的2倍，每人每小时的工作效率相同， 所以卸完火车货物的工作量是火车的2倍． 所以， 解得， 答：该组工人一共有16人． 35．（2026·安徽·模拟预测）为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？ 【答案】2小时 【分析】设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，列出一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，得 ， 解得， 答：小辰参与标注的时间是2小时． 36．（21-22七年级上·广西河池·期末）列方程解题：某电子商场计划购进A、B两种充电宝共1000个，它们的进价、售价如下图所示： 型号 进价（元/个） 售价（元/个） A 25 30 B 45 60 (1)若进货款恰好为39000元时，求A型充电宝的数量； (2)若商场销售完所进充电宝时利润为11000元，求B型充电宝的数量． 【答案】(1)300个 (2)600个 【分析】（1）设商场购进A型充电宝x个，则购进B型充电宝个，根据“进货款恰好为39000元”建立一元一次方程求解； （2）设商场购进B型充电宝a个，则购进A型充电宝个，根据“利润为11000元” 建立一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设商场购进A型充电宝x个，则购进B型充电宝个， 由题意得： 解得：． 答：当进货款恰好为39000元，A型充电宝有300个； （2）解：设商场购进B型充电宝a个，则购进A型充电宝个，由题意得： 解得：． 答：当利润为11000元时，B型充电宝有600个． 37．（25-26七年级上·北京·期末）列方程解下列问题：十一晋元中学拟定于年月日举办“智启未来数创无限”主题数学文化节，需要准备九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个作为奖励每种玩具都要有，其中华容道的单价比九连环的单价贵元，买个华容道和个九连环共需要元． (1)九连环和华容道的单价分别是多少元？ (2)若某超市的魔方有两种类型，学校只能从中选择一种类型．价格如表： 魔方类型 正阶魔方 异形魔方 单价 元 元 若学校用元去购买这三种数学玩具，且九连环和魔方的数量是相同的，应该选择哪种类型的魔方比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 【答案】(1)九连环的单价是元，华容道的单价是元 (2)应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方个 ，理由如下： 设购买九连环和魔方的数量都是个，则可购买华容道个， 若购买正阶魔方，则， 解得：， 即购买九连环和魔方个，这与购买九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个不符合； 若购买异形魔方，则， 解得：， ， 购买九连环个，华容道个，异形魔方个符合题意； 答：应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方40个． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． (1)设九连环的单价是元，则华容道的单价是元，根据买个华容道和个九连环共需要元列方程可解得答案； (2)设购买九连环和魔方的数量都是个，则可购买华容道个，分两种情况列方程可得答案． 【详解】（1）解：设九连环的单价是元，则华容道的单价是元， 买个华容道和个九连环共需要元， ， 解得：， ， 答：九连环的单价是元，华容道的单价是元； （2）解：略． 38．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，汾阳市教育体育局持续推动全民阅读行动，扎实建设“书香校园”，不断丰富阅读内涵、拓展育人载体，使书香氛围日益浓厚、阅读品牌持续擦亮．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，每题必答，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分80分，他答对了几道题? 【答案】他答对了18道题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，根据答对一题得5分，答错或不答一题扣5分，设他答对了道题，由此列式求解即可． 【详解】解：设他答对了道题， ， 解得：， 答：他答对了18道题． 39．（25-26七年级上·四川泸州·期末）在“川超”联赛（四川省城市足球联赛）川南赛区的角逐中，泸州窖香队完赛8场．根据联赛积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该队累计斩获14分，且胜场场次恰好是负场场次的2倍．请问泸州窖香队在本次赛事中的胜、平、负场次各为多少？ 【答案】胜4场，平2场，负2场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．可设负场场次为，根据等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设负场为x，胜场为，平场为． ． 解得， 答：胜4场，平2场，负2场． 40．（25-26七年级上·江苏南京·期末）电信公司电话费有两个套餐方案可供顾客选择． 套餐1：月租20元，每分钟元； 套餐2：月租40元，每分钟k元． (1)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (2)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (3)若每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ 【答案】(1)无论通话时间多长，套餐1更划算 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． （1）先写出两套餐费用表达式，令费用相等求出x，因x为负无意义，判断套餐1费用始终更低，故选套餐1； （2）列出两套餐费用，令其相等算出分界时间200分钟，按x小于、等于、大于200分钟分别判断选哪种套餐； （3）设费用表达式，令相等求临界x，分三种情况讨论套餐选择． 【详解】（1）解：当时，且通话时间， 套餐1费用：，套餐2费用：， 令：， ∴在实际情况中，恒成立， 答：当时，无论通话时间多长，套餐1更划算； （2）解：当时， 套餐1费用：，套餐2费用：， 令：， 解得， 当分钟时，，选套餐1； 当分钟时，，两套餐费用相同； 当分钟时，，选套餐2； （3）解：一般情况（k为任意正数）， 套餐1：，套餐2：， 令，即， 解得， 分三种情况讨论： ①当时，，选套餐1； ②当时，临界时间， 若，选套餐1； 若，两套餐费用相同； 若，选套餐2． 41．（25-26七年级上·山东临沂·期末）小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 【答案】(1)100 (2)6 (3)方式二 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设游乐项目折扣为a折，用方式二付款160元，据此列出方程并解方程即可； （3）分别计算出两种方式的费用，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，用方式一实际付款（元） 故答案为：100 （2）解：设游乐项目折扣为a折， 根据题意得，， 解得，， 答：a的值为6． （3）解：方式一：设花费220元能体验原价y元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价240元游乐项目， 方式二：设花费220元能体验原价z元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价300元游乐项目， 所以，方式二能体验更多金额的游乐项目． 42．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）为了增强公民节约意识，市电力局制定了以下用电收费标准：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按基本电费0.53元收费，超过100度至150度的部分，每度电费要比基本电费增加20；超过150度的部分，每度电费要比基本电费增加50．李明家上月付电费103.88元、那么请你算一算，李明家上月用电多少度？ 【答案】度 【分析】先分别求出当用电150度时的费用，从而得出李明家上月用电超过150度，设李明家上月用电x度，根据电费列出方程求解即可． 【详解】当用电150度时，费用为(元)， 因为， 故李明家上月用电超过150度， 设李明家上月用电x度， 则， 解得， 答：李明家上月用电174度． 43．（25-26七年级上·浙江金华·期末）【提出问题】 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”．根据以下素材，探索小明家水费与用水量情况． 下表是“阶梯收费”标准，其中水费=自来水费+污水处理费，每月水费以整数立方米水量计费． 收费标准 年用水量 水费（元） 自来水费（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 不超过 2.6 1.65 0.95 第二阶梯 超过但不超过的部分 3.95 3.0 第三阶梯 超过的部分 7.8 6.85 【理解问题】 若1月至11月累计用水量为，12月用水量为，则12月水费为（元）． 【解决问题】 任务1：已知2025年11月用水量在第一阶梯，且水费为65元，求11月污水处理费多少元? 任务2：2025年12月用水量，若第一阶梯用水量比第二阶梯少，用的代数式表示12月水费． 任务3：2025年12月水费70.9元，用水量，求小明家2025年全年水费多少元? 【答案】任务1：23.75元 任务2：当时，水费为元；当时，水费为元 任务3：679.3元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用． 任务1：利用第一阶梯水费单价求出11月用水量，再结合污水处理费单价计算污水处理费． 任务2：根据“第一阶梯用水量比第二阶梯少”的条件，分12月用水量仅跨第一、第二阶梯和跨三个阶梯两种情况，分别推导水费的代数式． 任务3：通过设未知数列方程求出12月中第一阶梯用水量，进而得到前11个月累计用水量，再计算全年水费． 【详解】任务1：解：已知11月用水量在第一阶梯，水费单价为2.6元．11月用水量为． 11月污水处理费为（元）． 答：11月污水处理费为23.75元． 任务2：解：设12月用水量中第一阶梯部分为，第二阶梯部分为．由题意得． 情况一：12月用水量仅跨越第一、第二阶梯，即且． 将代入，得，． 由得， 由得， 解得． 此时12月水费为元，其中 ． 情况二：12月用水量跨越第一、第二、第三阶梯，即． 则， 第三阶梯部分为（）． 此时12月水费为 元，其中． 任务3：解：设12月用水量中第一阶梯部分为，则第二阶梯部分为． 根据题意列方程． 去括号得． 移项合并同类项得． 解得．前11个月累计年用水量为． 前11个月水费为（元）． 全年水费为（元）． 答：小明家2025年全年水费为元． 44．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）一支舰艇护航编队匀速前往距离海里的海上平台（以下简称“平台”），编队出发小时后，平台派出一艘补给船进行一次海上补给任务，编队和补给船在同一航线上相向而行．已知补给船以最高速度匀速前行，是编队现行速度的倍，小时后相遇． (1)求护航编队的速度； (2)护航编队始终保持原有速度匀速航行，相遇后，补给船立即调头随编队同向而行（调头时间忽略不计），同时开展补给任务，时间持续小时，补给完成时该船还剩余燃料单位．随后，补给船可选择加入编队一同前往平台，也可选择以最高速度单独返回．已知补给船的燃料消耗速度为单位/小时（为补给船的速度，单位：海里/小时）． ①若补给船选择单独返回平台，则其回到平台时剩余燃料为 单位； ②若补给船选择加入编队同行小时后，再以最高速度返回平台，到达平台时燃料刚好用完，求的值． 【答案】(1)护航编队的速度为海里/小时 (2)①；②的值为 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是找到恰当的相等关系列方程； （1）根据相遇时两船的路程和是列方程求解即可； （2）①根据剩余燃料等于原燃料减消耗的燃料即可求得； ②根据剩余燃料等于原燃料减消耗的燃料列方程即可求得． 【详解】（1）解：设护航编队的速度为海里/小时 答：护航编队的速度为海里/小时． （2）①解：∵， ∴， ∴回到平台时剩余燃料为单位， 故答案为：； ②解： 答：的值为． 45．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）甲、乙、丙是三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小军和小明分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小军过乙站100米后与小明相遇．然后两人保持原速继续前进，小军到达丙站后立即返回，经过乙站后300米又追上小明．问：甲、丙两站的距离是多少米？ 【答案】600米 【分析】设甲、乙两站距离为米，由乙到甲、丙距离相等得乙丙也为米，甲丙距离为米．先求出第一次相遇两人各自走的路程，再求出第一次相遇到第二次追上两人走的路程，根据速度不变，相同时间内路程成正比例，列方程求解得到，即可算出甲丙两站的距离． 【详解】解：设甲、乙两站的距离为米，则乙、丙两站的距离也为米，甲、丙两站的距离为米． 第一次相遇时，小军走的路程为米．小明走的路程为米． 从第一次相遇到第二次追上时，小军走的路程为米， 可知这段路程是第一次相遇时小军路程的2倍．两人速度保持不变，因此这段时间小明走的路程也为第一次相遇时小明路程的2倍． 小明从第一次相遇到被追上，实际走了（米）． 列方程得： 解得 则甲、丙两站的距离为（米） 答：甲、丙两站的距离是600米． 46．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 【答案】从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题目中的数量关系，设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，列出方程求解． 【详解】解：设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，由题意得 ， 解得． 则乙团队抽调的人数为(人)． 答：从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶． 47．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）扬州是中国历史文化名城，物产丰饶，其中“绿杨春”茶叶尤为著名．现有、两名农户种植茶叶，农户种植了8亩“绿杨春”茶叶，农户种植了12亩“绿杨春”茶叶，农户平均每亩“绿杨春”制成的茶叶重量是农户每亩制成茶叶重量的（制作茶叶的过程中的损耗忽略不计）．农户制成绿杨春茶叶，农户制成绿杨春茶叶，今年制成“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶两种产品共计千克．两种产品的销售规格如下表： 每盒净重（） 每盒售价（元） 绿杨春茶叶 绿杨春茶叶 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶各多少千克? (2)若销售这两种茶叶共盒，销售额为元，求销售“绿杨春”的盒数； (3)若张华第一次销售这两种茶叶共盒，第二次销售时对所有剩下的“绿杨春”茶叶打八折促销．两次销售完后，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多元．求第一次销售“绿杨春”多少盒? 【答案】(1)“绿杨春”茶叶有千克，“绿杨春”茶叶有千克 (2)“绿杨春”茶叶有盒 (3)第一次销售“绿杨春”茶叶 盒 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，寻找题目中的等量关系列方程求解是解题关键． （1）设农户每亩产茶重量为千克，根据“、总产量 千克”列方程，分别求出、的产量； （2）设销售茶叶的盒数为，根据“总盒数、总销售额元”列方程求解； （3）先确定、的总存量，设第一次销售的盒数为，分别表示出第一次、第二次的销售额，根据“第二次销售额第一次销售额元”列方程． 【详解】（1）解：设农户每亩制成茶叶的重量为千克，则农户每亩制成茶叶的重量为千克． 根据总产量可列方程：， 化简得：，解得， 故茶叶的重量为：千克，茶叶的重量为：千克． 答：“绿杨春”茶叶有千克，“绿杨春”茶叶有千克． （2）解：设销售茶叶的盒数为，则销售茶叶的盒数为， 根据销售额列方程：， 化简得：，解得． 答：“绿杨春”茶叶有盒． （3）解：根据题意，两种茶叶总盒数为： 茶叶总盒数为（盒）， 茶叶总盒数为（盒）， 设第一次销售茶叶的盒数为，则第一次销售茶叶的盒数为， 剩余的茶叶的盒数为，剩余的茶叶的盒数为， 可得第一次的销售额为：， 第二次的销售额为：， 根据题意可列方程： ， 化简可得： ， ， 解得． 答：第一次销售“绿杨春”茶叶 盒． 48．（25-26七年级上·浙江金华·期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市出租车、滴滴快车的收费标准见下表（该市规定它们行驶的平均速度为40公里/时）． （出租车） 滴滴快车 起步价：8元（适用于行驶2.5公里以内）； 超公里费：超过起步里程（2.5公里）后， 每公里的费用2.5元/公里： 空驶费：当行驶距离超过5公里时，超出 部分加收的空驶费． 例如：20公里的费用为： 元 起步价：12元； 里程费：15公里以内，每公里2元： 远途费：超过15公里，超过部分每公里加收1元； 时长费：每分钟0.4元． 例如：20公里的费用为： 元 （温馨提示：以40公里/小时的行驶速度计算） (1)若乘坐这两种交通工具的里程数都是10公里，则出租车费用为 元：滴滴快车费用为 元． (2)已知甲乙两地的里程数超过15公里．从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省6元，求甲乙两地间的里程数． (3)滴滴快车对第一次下单的乘客有立减6.2元的优惠活动．如果有位顾客第一次下单，按他乘坐的里程数计算，乘出租车和滴滴快车的收费相同，求这位顾客乘车的里程数（精确到0.1公里）． 【答案】(1)30.5；38 (2)20公里 (3)0.8公里或12.0公里或20.6公里 【分析】（1）分别计算出两种车的里程数都是10公里的费用即可； （2）设甲乙两地相距公里，根据“乘坐出租车比滴滴快车节省6元”列出方程并解答； （3）设这位顾客乘车的里程数为公里，分、、和 四种情况，分别列出方程解答即可． 本题主要考查了有理数四则混合运算的应用以及一元一次方程的实际应用，找到等量关系并正确列出方程求解即可． 【详解】（1）解：出租车： （元）； 滴滴： （元）； 故答案为：30.5；38； （2）设甲乙两地相距公里． 出租车：， 滴滴：， 根据题意得， 解得， 答：甲乙两地间的里程数为20公里； （3）设这位顾客乘车的里程数为公里， ①当时， 出租车费用为8元， 滴滴费用为元， 根据题意得， 解得； ②当时， 出租车费用为元， 滴滴费用为元， 根据题意得， 解得（舍）； ③当时， 出租车费用为元， 滴滴费用为元， 根据题意得， 解得； ④ 当时， 出租车费用为元， 滴滴费用为元， 根据题意得， 解得， 答：所求的里程数为0.8公里或12.0公里或20.6公里． 49．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我市某中学组织七年级师生秋游，由王老师和王林、李宏两同学到客车租赁公司洽谈租车事宜，下面两图是洽谈时的场景， 请根据图中场景解答下列问题： (1)你知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元? (2)求七年级师生的总人数； (3)从经济角度考虑，该如何设计租车方案，并说明理由． 【答案】(1)200元，300元 (2)240人 (3)租60座1辆，租45座4辆租车费用最少 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用． （1）设座的客车每辆每天的租金为元，则座的客车每辆每天的租金为元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设租座的客车辆，则租座的客车辆，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （3）根据至少人乘坐，且租金最低，根据租60座1辆，租45座4辆租车费用最少，即可求解． 【详解】（1）解：设座的客车每辆每天的租金为元，则座的客车每辆每天的租金为元，根据题意得 解得： ∴座的客车每辆每天的租金为元； 答：座的客车每辆每天的租金为元，则座的客车每辆每天的租金为元； （2）解：设租座的客车辆，则租座的客车辆，根据题意得， 解得： ∴七年级师生的总人数为人； （3）解：方案一：租45座需要辆租车费用为元 方案二：租座4辆租车费为元 方案三：租60座1辆，租45座4辆租车费用最少 租金为元． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $