精品解析：黑龙江省佳木斯市第二中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一数学 考试说明：满分 150 分，考试时间 120 分钟． 1．答题前，考生务必将姓名、考号写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码． 2．选择题部分，每小题选出答案后，考生必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．非选择题各题的答案，必须书写在答题卡规定的区域，规定区域外答题不得分． 4．保持答题卡清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（共 58 分） 一、单选题：（每小题 5 分，8 题共 40 分） 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知是全集，，是的两个子集，则图中阴影部分表示（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知幂函数 ，若 ， 且 都有 成立，则 的值为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 已知函数，若是上的减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得部分分，错选不得分，全对得 6 分，3 题共 18 分．） 9. 已知是一次函数，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 D. 定义在上的函数满足，则 第Ⅱ卷（共 92 分） 三、填空题：（每题 5 分，3 题共 15 分） 12. 已知函数，则 ______． 13. 已知函数 满足，则函数的解析式为 ______． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式 的解集是 ______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分） 15. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 解答下列各题: （1）当时，求函数的最小值，并求此时的值： （2）已知正数满足． （i）求的最大值： （ii）求的最小值． 18. 已知函数． （1）若，求该函数在上的最大值和最小值； （2）若在上不单调，求实数 的取值范围； （3）求该函数在上的最小值． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，满足， （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若对，都有对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一数学 考试说明：满分 150 分，考试时间 120 分钟． 1．答题前，考生务必将姓名、考号写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码． 2．选择题部分，每小题选出答案后，考生必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．非选择题各题的答案，必须书写在答题卡规定的区域，规定区域外答题不得分． 4．保持答题卡清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（共 58 分） 一、单选题：（每小题 5 分，8 题共 40 分） 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，得 . 2. 已知是全集，，是的两个子集，则图中阴影部分表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由韦恩图可知，阴影部分区域内的元素既属于集合，又属于集合. 根据集合交集的定义，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为与的交集，记作 . 所以图中阴影部分表示的集合为 . 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对A，取，则，故A错误； 对B，，因为，， 所以，所以，故B错误； 对C，取，则，故C错误； 对D，由于，则，所以，故D正确. 4. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性的性质求解. 【详解】由题知，当时，， 当时，，， 函数是奇函数， . 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于函数，由可得，解得， 故函数的定义域为， 令，内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 而外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知函数的增区间为. 6. 已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知-1,2是方程的两实数根，根据韦达定理求出a，c的值，再将a，c的值代入待求不等式，解不等式即可. 【详解】因为的解集是， 所以-1,2是方程的两实数根，且， 由韦达定理，得，所以， 所以不等式， 即，解得. 故选：A 7. 已知幂函数 ，若 ， 且 都有 成立，则 的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，解出，再根据在为增函数，即可求解. 【详解】由题意得：令，即，解得或， 又， 且 都有 ， 所以在为增函数，所以. 8. 已知函数，若是上的减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】是上的减函数， ，解得， 故实数的取值范围为. 二、多选题：（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得部分分，错选不得分，全对得 6 分，3 题共 18 分．） 9. 已知是一次函数，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】设一次函数，已知 ，解得：，， 所以. A正确，把代入解析式，得，B正确，把代入解析式，得，C正确，，D错误. 10. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】是奇函数，A错； 是偶函数，且在上是减函数，B对； 是偶函数，且在上是增函数，C错； 是偶函数，且在上是减函数，D对. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AC 【解析】 【详解】A选项，因为的定义域为，所以中的， 则中的，即， 解得，即，则的定义域为，故选项A正确； B选项，， 所以函数的值域为，故选项B错误. C 选项，函数在区间上单调递减， 函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为在上单调递减，则，解得，故选项C正确； D 选项，因为，故， 解得，故选项D错误. 第Ⅱ卷（共 92 分） 三、填空题：（每题 5 分，3 题共 15 分） 12. 已知函数，则 ______． 【答案】13 【解析】 【详解】. 13. 已知函数 满足，则函数的解析式为 ______． 【答案】 【解析】 【详解】令R，则， 故， 故函数的解析式为. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式 的解集是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数的对称性结合单调性推出，解不等式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数， 函数图像关于轴对称，且在区间上是减函数， ，不等式等价于不等式， ，，，不等式两边同时平方得，， ，，. 不等式 的解集是. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分） 15. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的解法求解可得； （2）由绝对值的含义，去绝对值符号，求解不等式即可； （3）根据一元二次方程的解法求解可得； （4）将分式不等式化为整式不等式组，求解即可. 【小问1详解】 由，得， 解得或； 所以的解集为或； 【小问2详解】 由，得， 解得， 所以的解集为； 【小问3详解】 由，得， 解得， 所以的解集为； 【小问4详解】 由，得， 所以， 解得， 所以的解集为． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）通过代入得到集合的范围，通过并集和交集的概念计算即可 （2）利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围， （3）根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 当时，，因为， 则；. 【小问2详解】 若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得或（舍），即， 时，实数的取值范围为或． 【小问3详解】 若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，由，可得； 当时，(不同时取等号)，解得， 综上，实数的取值范围为． 17. 解答下列各题: （1）当时，求函数的最小值，并求此时的值： （2）已知正数满足． （i）求的最大值： （ii）求的最小值． 【答案】（1）最小值为，此时； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）变形得，利用基本不等式求解即可； （2）（i）直接利用基本不等式求解即可； （ii）变形得，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，此时； 【小问2详解】 （i）因为， 且，解得， 当且仅当，即时，等号成立, 所以的最大值为； （ii）因为 ， 当且仅当，即时，等号成立, 所以的最小值为. 18. 已知函数． （1）若，求该函数在上的最大值和最小值； （2）若在上不单调，求实数 的取值范围； （3）求该函数在上的最小值． 【答案】（1），； （2） （3）①当 ，； ②当 ，； ③当 ，． 【解析】 【分析】（1）分析函数在上的单调性，即可求得其最值； （2）求函数的对称轴，根据在上不单调，得对称轴与区间的关系，从而得到实数 的取值范围； （3）讨论函数的对称轴与的关系，分析函数在上的单调性，从而求得最小值. 【小问1详解】 当 时，，在 上单调递增； 所以 ，； 【小问2详解】 ，对称轴为； 因为在上不单调，所以 ； 解得 ，即 ； 【小问3详解】 由（2）知，函数的对称轴为， 所以①当，即时，在上单调递增，； ②当，即时，； ③当，即时， 在 上单调递减，． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，满足， （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若对，都有对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上为增函数， 证明如下：任取且， 则 因为，所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）求解含参奇函数的解析式，可优先利用 奇函数在原点处有定义则快速求得常数项参数，再结合已知函数值求解剩余参数；（2）用定义证明函数单调性，核心是作差后通过通分、因式分解变形，结合自变量的取值范围判断差的符号，进而确定函数的增减性；（3）双变量恒成立问题可分步消元：先对x求函数最值，将问题转化为单参数恒成立问题，再结合一次函数的端点最值性质求解参数范围. 【小问1详解】 函数是定义在[-3,3]上的奇函数，则，即，解得， 又因为，即， 解得，经检验可得， 符合题意.综上所述，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $