4.2.1.1 二次函数 y = ax² 的图象与性质 课件 2026--2027学年湘教版九年级数学上册

二次函数 y = ax² 的图象与性质 第四章 初中数学 1 经历“动手作图—观察猜想—代数说理—归纳推广”的过程，利用代数表达式论证轴对称性与增减变化，感悟数形结合与由特殊到一般的数学思想，发展几何直观与推理能力。 02 掌握用“列表、描点、连线”画二次函数 与 图象的规范方法；能准确说出 的开口方向、对称轴、最低点、最值及增减性，并能解决求对称点、比较函数值和由点求系数等问题。 01 03 在自主作图、辨错纠偏与合作交流中，养成规范画图、严谨说理与主动检验的学习习惯，体会数与形相互印证的逻辑美 学习目标 2 两点能定一条直线，能定二次函数的图象吗？ 问题 1 · 概念回顾 二次函数的一般形式是什么？各系数有什么要求？ 在 y = x² 中，a、b、c 分别等于多少？ 答：一般形式 y = ax² + bx + c（a≠0）；此处 a=1，b=0，c=0 温故知新 3 两点能定一条直线，能定二次函数的图象吗？ 问题 2 · 作图经验 画一次函数图象用描点法，三步骤：列表、描点、连线 两点确定一条直线 —— 那 y = x² 还能只取两个点吗？ 它的图象还会是一条直线吗？今天动手画一画来检验 温故知新 4 （1）已知正方形的边长为 ，面积为 ，请写出 与 之间的函数关系式。它属于什么函数？ （2）在求正方形面积的实际问题中，自变量 的取值范围是什么？ （3）追问：如果脱离几何背景，单纯研究数学函数 ，自变量 可以取哪些值？ 情境引新 温故知新 5 （1）已知正方形的边长为 ，面积为 ，请写出 与 之间的函数关系式。它属于什么函数？ （2）在求正方形面积的实际问题中，自变量 的取值范围是什么？ （3）追问：如果脱离几何背景，单纯研究数学函数 ，自变量 可以取哪些值？ 情境引新 温故知新 6 情境引新 01边长 x 的正方形面积 y = x²，是二次函数；实际问题中 x > 0 02作为抽象数学函数，x 可取任意实数（含负数、零、正数） 03研究任务：在坐标系中画出 y = x² 的完整图象，探究形状与规律 温故知新 7 列表、描点：图象藏着一根对称轴 y = x² 的对应值（取 0 及互为相反数） x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = x² 9 4 1 0 1 4 9 1 描点 A(3,9) 与 A'(-3,9)、B(2,4) 与 B'(-2,4)，成对关于 y 轴对称 一般地说理：任取点 P(t, t²)，其对称点 P'(-t, t²) 因为 (-t)² = t²，故 P' 必在图象上 → 图象关于 y 轴对称 2 3 探究新知 探究一： 8 连成光滑曲线：左降右升 光滑抛物线，切忌连成折线；原点 x=0 是增减性的分界点 探究新知 探究二： 连成光滑曲线：左降右升 01 x ≥ 0（右半支）：y 随 x 增大而增大 ——"右升" 02 x ≤ 0（左半支）：y 随 x 增大而减小 ——"左降" 03 抛物线是连续光滑曲线，两端无限自然延伸 探究新知 探究二： 连成光滑曲线：左降右升 ①描点 ②连线 探究新知 探究二： 性质归纳与推广到 01 开口与对称 02 顶点与最值 ①开口方向：向上（由 a>0 决定） ②对称轴：y 轴（直线 x = 0） ②因 ax² ≥ 0 恒成立，x=0 时取最 小值 0 ①分界点：原点 x = 0 探究新知 探究三： 性质归纳与推广到 03 增减性（分区间） ③顶点即最低点：原点 (0, 0) ①x ≤ 0：y 随 x 增大而减小（左降） ②x ≥ 0：y 随 x 增大而增大（右升） 探究新知 探究三： 课本例1：画出二次函数 的图象。 1 列表 2 描点连线 3 对称补全 典例精析 14 【解】列表：因为二次函数y=x2的图象关于y轴对称，因此列表时，自 变量x可以从原点的横坐标0开始取值 典例精析 15 1.描点和连线：画出图象在y轴右边的部分，如图（1）所示. 2.利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边 的点和原点顺次连接起来，这样就得到了y=1 2 x2的图象，如图（2）所示 典例精析 16 典例精析 17 变式1:小林在画二次函数 的图象时，在直角坐标系中只描出 、、 三个点，然后依次用直尺连成折线。他认为该函数的图象是由两条射线构成的“V”字形折线。你同意他的观点吗？请说明理由并给出改正方法。 典例精析 18 【解答与点拨】1.观点评判：不同意。二次函数的图象是连续光滑的曲线，绝不是折线或两条射线。 2.反例检验：在小林所画的线段上，当 时对应的纵坐标为 ；而在实际函数关系中，当 时，。两者明显矛盾，从而否定了折线猜想。 3.改正方法：适当增加取点个数用平滑曲线顺次连结，在原点（顶点）处圆润平缓转向，两端无限自然延伸。 典例精析 19 变式2（方法技巧——不计算比较函数值大小） 题目：已知点 、点 、点 都在二次函数 的图象上。不通过具体代入计算，试比较 的大小。 能否直接根据自变量大小关系 ，得出 ？为什么？ 典例精析 20 【解答与点拨】 易错分析：不能直接判断。因为 在 轴左侧，而 在 轴右侧，三点不在对称轴同侧，不能直接套用增减性。 解法一（对称转化法）：利用对称性，将 转化到 轴左侧的对称点 。在 轴左侧（），自变量满足 ，根据“左降”（ 随 增大而减小），可得：。 典例精析 21 解法二（轴距比较法）：在二次函数 图象上，离对称轴（ 轴）水平距离越远的点，函数图象越高，纵坐标越大。比较各点到 轴的距离：，故 。 典例精析 22 变式3:在同一平面直角坐标系中画出 、 与 的图象，观察并比较它们的共同点与不同点。 典例精析 23 【解答与点拨】 共同点：图象都是开口向上的抛物线，对称轴均为 轴，顶点及最低点均为原点 ，当 时都有最小值 ，且都具有“左降右升”的增减性。 不同点：图象的开口大小不同。系数 a 越大（如 a=2），开口越小、图象越陡峭；系数 a 越小（如 a=12），开口越大、图象越平缓。 典例精析 24 第1题（考查图象轴对称性质） 已知二次函数 的图象经过点 。 （1）写出点 关于 轴的对称点 的坐标； （2）判断点 是否在该二次函数的图象上，并用两种不同方法说明理由。 课堂练习 25 【答案与解析】 （1）。（2）点 在图象上。 方法一（代入法）：当 时，，等式成立，故点 在图象上； 方法二（对称性）：二次函数 的图象严格关于 轴对称，图象上任意一点关于 轴的对称点仍在图象上，故点 必在图象上。 课堂练习 26 第2题（考查增减性与增减分界点） 已知二次函数 。 （1）当 由 增大到 时，函数值 怎样变化？ （2）在 由 增大到 的全过程中，函数值 是否一直增大？请说明理由。 课堂练习 27 【答案与解析】 （1） 随 的增大而减小（左降）； 由 减小到 。 （2）不是一直增大。 理由：自变量区间跨越了原点分界点。当 时， 随 增大而减小（由 减到 ）；当 时， 随 增大而增大（由 增到 ）。全过程为“先减后增”，在 处取得最小值 。 课堂练习 28 第3题（考查待定系数法与纵坐标非负性） 已知二次函数 的图象经过点 。 （1）求 的值及函数表达式； （2）写出该函数图象的对称轴和最低点坐标； （3）该函数的图象能否经过纵坐标为 的点？为什么？ 课堂练习 29 【答案与解析】（1）将点 代入得：，函数表达式为 。 （2）对称轴为 轴（直线 ），最低点为原点 。 （3）不能。理由：因为 且任意实数 ，所以 恒成立，图象所有点的纵坐标均非负，故不可能经过纵坐标为 的点。 课堂练习 30 （1）作图方法：“列表 描点 连线”。巧用轴对称性（取非负自变量先画右半支，再对称补全左半支）；必须使用平滑曲线连接，顶点处圆润平缓，两端无限延伸。 （2）五大核心性质（）：开口向上；对称轴为 轴；顶点兼最低点为原点 ； 时取得最小值 ； 时左降， 时右升。 课堂小结 知识梳理 31 思考题：在同一条二次函数 的图象上： ① 若两个点到 轴的距离相等，它们的纵坐标有什么关系？为什么？ ② 若两个点到 轴的距离不相等，哪一个点的纵坐标更大？为什么？ 课堂小结 知识梳理 32 【答案与点拨】 ① 纵坐标相等。理由：到 轴距离相等说明横坐标相同或互为相反数，由 可知函数值必相等。 ② 到 轴距离越大的点，纵坐标越大。理由：到 轴距离为 ，距离越大则 越大，乘以正数 后的函数值 也越大。 课堂小结 知识梳理 33 $