4.2.1.2 二次函数 y = ax²（a＜0）的图象与性质（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

二次函数 y = ax² (a<0) 的 图象与性质 湘教·九年级上册 复习回顾 结合 y = x2 的图象，谈谈二次函数 y=ax2(a＞0)的图象具有哪些性质？ 新知探究 我们已经会画 的图象，能不能利用轴对称知识将它变换为二次函数 的图象呢？ 探究 在 的图象上任取一点 ，它关于 x 轴的对称点 Q 的坐标是 ，如图 4.2-4 所示. 从点 Q 的坐标看出，点 Q 在 的图象上. 图 4.2-4 由此可知， 的图象与 的图象关于x轴对称. P Q 图 4.2-4 P Q 沿着 x 轴翻折 图 4.2-4 P Q 思考 观察图4.2-4，函数 的图象还具有哪些性质？ 二次函数 的图象是一 条______， 它的_________， 图象的对称轴是______， 对称轴与图象的交点是原点_________. 曲线 开口向下 y 轴 (0， 0) 图 4.2-4 P Q 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增大而_______； 增大 图象在对称轴右边的部分， 函数值随自变量取值的增大而_______； 减小 函数图象“左升右降” 当 x ＝ 0 时，函数值最大，最大值为 0． 图 4.2-4 P Q 一般地，当 a < 0 时，y = ax2的图象都具有上述性质.于是我们画 y = ax²(a<0) 的图象时，可以先画出图象在 y 轴右边的部分，然后利用对称性，再画出图象在 y 轴左边的部分.在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤. y = ax2 (a < 0) 开口方向：________ 对称轴：________ 顶点坐标：________ 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而______，简称______； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而______，简称______. 向下 y 轴 (0，0) 减小 右降 增大 左升 解 列表： 自变量 x 从原点的横坐标 0 开始取值. x ··· 0 ··· y = x2 ··· 0 ··· 1 2 3 4 -1 -4 例2 画出二次函数 的图象. 描点和连线： 画出图象在 y 轴右边的部分． 利用对称性， 画出图象在 y 轴左边的部分. 这样就得到了 的图象. 图4.2-5 数学上我们把形如二次函数 y ＝ ax2 的图象这样的曲线叫作抛物线 ，简称为抛物线 y ＝ ax2． 一般地， 二次函数 y＝ ax2 的图象关于 y 轴对称， 抛物线 y＝ ax2 与它的对称轴的交点(0，0) 叫作抛物线 y ＝ ax2 的顶点. 1. 下列关于抛物线 y＝－x2 的说法，错误的是（ ） A. 关于 y 轴对称 B. 与抛物线 y＝x2 关于原点对称 C. 画抛物线 y＝－x2 时，只要先画出 y 轴右边的部分，然后利用对称性，再画出图象在y 轴左边的部分即可 D. 抛物线有一个最低点，其坐标为(0，0) 随堂诊断 D 2. 抛物线 y＝ 2x2，y ＝－2x2，y ＝ x2 的共同特征是 ( ) A. 开口都向上，且都关于 y 轴对称 B. 开口都向下，且都关于 x 轴对称 C. 顶点都是原点，且都关于 y 轴对称 D. 顶点都是原点，且都关于 x 轴对称 C 3. 若二次函数 y ＝ ax2 (a ≠ 0)的图象过点 P (2，－8)，则函数的表达式为___________，抛物线有最____点，当 x______时，y 随 x 的增大而增大． y＝－2x2　 高 ＜0 4. 如图，四个二次函数的图象分别对应：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④ y=dx2 .则a，b，c，d的大小关系为______________.(用“>”连接) a > b > d > c 二次函数 y = ax2中 a 的重要性 y = ax2 开口方向：由 a的正负决定 开口大小：由 |a|的大小决定 a > 0，开口向上 a < 0，开口向下 |a|越大，开口越小 |a|越小，开口越大 |a|相等，开口大小相同 练习 1. 画出二次函数 y=－2x2 的图象，并填空： (1) 抛物线的对称轴是___________，顶点坐标是____________. (2) 抛物线的开口向___________. (3) 抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而________；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而___________. (1) 抛物线的对称轴是___________，顶点坐标是____________. (2) 抛物线的开口向___________. (3) 抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而________；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而___________. y 轴 (0，0) 下 增大 减小 y =－ 2x2 2. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数 y = －0.3x2 及 y = －x2的图象，并比较它们的共同点与不同点. y＝－0.3x2 y＝－x2 解：画图如图所示． 相同点：开口都向下，对称轴都是 y 轴，顶点坐标都是(0，0)，都有最大值 0； 不同点：开口大小不同． 3. 已知函数 是关于 x 的二 次函数. (1) 求 m 的值. 解：根据题意，得 m2 + 3m－2=2，且 m + 3 ≠ 0. 解得 m1=－4，m2=1， 所以 m 的值为 －4或1. 3. 已知函数 是关于 x 的二 次函数. (2) 当 m 为何值时，该函数图象的开口向下？ 解：因为函数图象的开口向下，所以 m + 3 < 0， 所以 当 m 的值为 －4时，该函数图象的开口向下. 所以 m < －3， 3. 已知函数 是关于 x 的二 次函数. (3) 当 m 为何值时，该函数有最小值？ 解：因为函数有最小值，所以函数图象的开口向上，所以 m + 3 > 0， 所以 当 m 的值为 1 时，该函数有最小值. 所以 m > －3， 课堂小结 y = ax2 (a < 0) 开口方向：________ 对称轴：________ 顶点坐标：________ 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而______，简称______； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而______，简称______. 向下 y 轴 (0，0) 减小 右降 增大 左升 $