5.3 实际问题与一元一次方程 导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

第五章 5.3 实际问题与一元一次方程

学习目标：

1. 能分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列出一元一次方程解决配套问题、工程问题、销售问题等。

2. 经历“实际问题—数学模型—方程求解—检验反思”的建模过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

3. 通过跨学科的实际问题，感受数学的应用价值，提升分析问题和解决问题的能力。

【一】情景导入

2026年春季，我国某航天发射中心成功发射了一颗新型地球同步轨道卫星。工程技术人员在计算燃料消耗和轨道参数时，大量使用了方程模型。从日常购物到航天工程，从地理测绘到历史研究，方程都是解决实际问题的有力工具。今天我们就来学习如何用一元一次方程解决实际问题。

【二】自主阅读

阅读指导：自主阅读教材本节内容，独立完成下列任务：

1. 列方程解应用题的一般步骤是：审题→设未知数→找______→列方程→解方程→检验→作答。

2. 某商品进价为a元，售价为b元，则利润为______元，利润率为______（用含a、b的式子表示）。

3. 行程问题中，路程、速度、时间的关系是：路程 = ______。

4. 工程问题中，常把总工作量看作______，工作量 = ______×人数×时间。

我的疑惑：

【三】合作探究

任务1：配套问题

某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？

思考交流：

（1）题目中哪些量是已知的？哪些量是未知的？

（2）找出题目中的等量关系，并列出方程求解。

（3）若设生产螺母的工人为x名，所列方程与设生产螺栓的工人为x名时相同吗？

任务2：工程问题

整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？

思考交流：

（1）题目中的总工作量没有给出具体数值，应如何处理？

（2）两个阶段的工作量之和与总工作量之间有什么关系？

任务3：销售问题

某商店在2026年“五一”期间搞促销活动，将一件标价为600元的商品打八折出售，仍可获利20%。

思考交流：

（1）这件商品的进价是多少元？请列出方程并求解。

（2）若该商品打七折出售，是盈利还是亏损？盈亏多少元？

【四】精讲点拨

例1 某校七年级学生参加2026年春季研学活动，计划租用客车前往目的地。若每辆车坐45人，则有15人没有座位；若每辆车坐50人，则恰好空出一辆车。问共有多少名学生？计划租用多少辆车？

点拨：本题的关键是抓住学生人数不变这一等量关系。设租用x辆车，则学生人数可表示为45x + 15，也可表示为50(x - 1)，列出方程求解。

例2 一项工作，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。甲先做了2天后，乙加入一起做，问还需要多少天完成？

点拨：把总工作量看作单位1，甲的工作效率为1÷10，乙的工作效率为1÷15。设还需要x天完成，根据“甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 = 总工作量”列方程。

【五】总结提升

1. 列方程解应用题的关键是什么？

2. 配套问题、工程问题、销售问题中常见的等量关系分别有哪些？

3. 检验方程的解时，除了检验是否是方程的解，还要注意什么？

【六】当堂检测

1. 某商品进价为200元，标价为300元，若打x折出售，利润为40元，则可列方程为（ ）

A. 300x - 200 = 40    B. 300×0.1x - 200 = 40    C. 300 - 200x = 40    D. 200×0.1x = 40

2. 甲、乙两地相距360 km，一辆汽车从甲地开往乙地，速度为60 km/h，则汽车行驶______小时到达乙地。若汽车提前1小时出发，另一辆汽车从乙地以80 km/h的速度开往甲地，则两车相遇时，从甲地出发的汽车行驶了______小时。

3. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了一个“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”其大意是：几个人合伙买东西，如果每人出8钱，会多出3钱；如果每人出7钱，则还差4钱。问人数和物价各是多少？

（1）请列出方程求出人数和物价。

（2）若每人出9钱，会多出多少钱？

4. 2026年暑期，某地理考察小组在野外实习中，需要测量一条河流的宽度。他们在河的一岸选取点A，在另一岸选取点B，测得A、B两点之间的直线距离为120 m。小组成员小王从A点出发，以1.2 m/s的速度沿河岸向下游走；同时，小李从B点出发，以0.8 m/s的速度沿对岸向上游走。请画出两人运动路线的示意图，并列出方程求出两人出发后多少秒两人走过的路程之和等于120 m。