第10章 空间直线与平面章末大总结（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册

第10章 空间直线与平面 章末大总结 教学目标 ①熟练掌握画空间图形的基本技能，能够准确绘制直观图 ②学会运用平移法、三垂线法等方法，准确找出异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角，并能借助解三角形等知识进行角度的计算 ③能够灵活运用空间直线与平面的相关定理和性质，进行逻辑推理与证明 教学重难点 重点：空间角和平行，垂直关系的证明 难点：垂直关系的证明；二面角 知识点01公理1、2及其三推论、公理3 公理1：如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 公理2：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； ②图形语言： ③应用：确定平面的依据；判断两个平面是否重合；证明点线共面. 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． （1）推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 （2）推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面 公理3：①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ②符号语言和图形语言 ，且 【即学即练】给出下列命题：①书桌面是平面； ②平面与平面相交，它们只有有限个公共点；③如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. 正确的是 （填写序号）. 【答案】③ 【分析】对于①：根据平面的性质分析判断；对于②：根据公理2分析判断；对于③：根据公理3分析判断. 【详解】对于①：由平面性质知，平面具有无限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面，故①错误； 对于②：根据公理2可知，若两个平面有一个共点，则有过该点的唯一交线，可知有无限个公共点，且在一条直线上， 故②错误； 对于③：根据公理3可知，不共线的三个点确定一个平面， 因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，③正确. 故答案为：③. 知识点02 异面直线 1、异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 2、异面直线所成角： ①已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角(或夹角)． ②空间两条直线所成角的取值范围是. 【即学即练】如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．若，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】通过平移至与相交，作出异面直线所成的角即可求解. 【详解】解法1：如图，延长至点，使． 因为是直三棱柱，所以， 所以四边形是平行四边形，故， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角． 设，则， 从而，． 在中，，，， 所以， 所以． 解法2：如图，取的中点，连结． 由是直三棱柱得，， 由分别是，的中点得，， 所以，， 故四边形是平行四边形，所以， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角． 设， 则，，， 由余弦定理得． 故答案为： 知识点03直线与平面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 【即学即练】如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行. 【详解】因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. 知识点04直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线垂直于平面，记作，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 【即学即练】如图所示，正方体中，连接，，，．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】只需证明、，再结合线面垂直的判定定理即可得证. 【详解】平面，是在平面内的射影， 又，由三垂线定理得． 同理可证．又平面． 平面． 知识点05 直线与平面所成角 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 【即学即练】如图，正方体中，点为中点，则直线与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】借助正方体的性质，根据线面角的定义作出所求的角，然后在直角三角形中求解余弦值即可. 【详解】因为平面平面， 所以直线与平面所成角即与平面所成角，连接， 由正方体的性质可知平面，故是与平面所成角， 设正方体的棱长为2， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为： 知识点06 三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 【即学即练】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是PC上的一动点，当点满足 时，平面平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）    【答案】 【分析】由题意要得到平面平面，容易推得，只需垂直平面内的与相交的直线即可． 【详解】连接，   因为底面各边都相等，所以， 因为底面，底面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以． 所以当（或时，则PC与平面MBD内两条相交直线垂直，即有平面， 而平面，平面平面． 故答案为：（或等）． 知识点07 平面与平面平行 1、平面与平面平行的判定定理 （1）如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 2、平面与平面平行的性质定理 （1）如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）符号语言 （3）图形语言 【即学即练】如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 知识点08 二面角平面角 1、定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 2、二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. （4）面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； 【即学即练】如图，棱长为1的正方体中中，二面角的正切值为 ． 【答案】 【分析】根据正方体的几何性质可得即为所求的二面角的平面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】取的中点为，连接, 由于正方体中,, 故，， 故即为所求的二面角的平面角， 由于平面，平面，故， 因此, 故答案为： 知识点09 平面与平面垂直 1、平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， 2、平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . 【即学即练】如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由三角形中位线得线线平行，再说明线面平行即可； （2）根据线面垂直的判定定理，证得线面垂直，由面面垂直的判定定理说明面面垂直. 【详解】（1）因为M，N分别是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，所以， 因为底面，底面，所以， ,平面，平面， 平面， 平面， 平面平面． 知识点10 异面直线的距离 （1）定理： 对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）两条异面直线之间的距离定义：将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离； （3）异面直线的距离公式 如图，已知两条异面直线 、 所成的角为 ，它们的公垂线段 的长度为 ，在直线 、 上分别取：点 、 ，设 ，则 . （4）求异面直线距离的常用方法 ①直接法：找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度 ②转化为线面距离：过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面与a之间的距离即为异面直线的距离 ③转化为平行平面距离：过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离即为异面直线的距离 【即学即练】已知正方体的棱长为a，异面直线DB与之间的距离为 ． 【答案】a 【分析】利用异面直线距离的意义求解即得. 【详解】在正方体中，平面平面， 且平面，平面，因此平面与平面的距离为， 而平面，平面， 所以异面直线DB与之间的距离为面与平面的距离. 故答案为：    题型01平面及其基本性质 【典例1】如图，在直三棱柱ABC-中，E，F分别是，的中点，平面AEF与线段交于点G，则= . 【答案】/ 【分析】根据面面相交的性质，结合平行线的性质进行求解即可. 【详解】延长交于点，连接交一点，该点为点G， 因为F是的中点，，所以是的中点， 因为E是的中点，所以， 因此有， 于是有， 故答案为： 【变式1】如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为 . 【答案】 【分析】由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解. 【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得：， 将直观图还原为原图，如图所示，，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以原四边形的周长为. 故答案为： 【变式2】（1）三个平面可以把空间分成 个部分． （2）将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值 ． 【答案】 4，6，7，8 12 【分析】（1）通过分析三个平面不同的位置关系可确定结果； （2）利用（1）求出值即可. 【详解】（1）当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分； 当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线（一个平面与两个平行平面相交）时，可以把空间分为6个部分； 当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分； 当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分， 所以三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分. （2）将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题，相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题， 由（1）知，，所以. 故答案为：4，6，7，8；12 【变式3】在正方体中，平面与平面的交线是 所在的直线． 【答案】 【分析】利用平面基本事实推理即得. 【详解】在正方体中，平面，平面， 且直线，直线，因此直线平面， 同理直线平面，所以平面与平面. 故答案为：    【变式4】棱长为2的正方体中，点分别是线段的中点，则平面截正方体所得截面的面积为 .    【答案】 【分析】首先取的中点，连接，，，得到平面截正方体所得截面为菱形，再计算其面积即可. 【详解】取的中点，连接，，，如图所示：    由正方体的性质可知四边形为平行四边形，且， 所以四边形为菱形，过点. 所以平面截正方体所得截面为. ，， 所以面积为. 故答案为： 题型02 直线与直线、平面的位置关系（小题） 【典例1】如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： （1）直线与直线的位置关系是 ； （2）直线与直线的位置关系是 ； （3）直线与直线的位置关系是 ； （4）直线AB与直线的位置关系是 ． 【答案】 平行直线 异面直线 相交直线 异面直线 【分析】（1）通过四边形是平行四边形，证得平行关系；（2）利用异面直线判定方式进行判定；（3）两条直线交于一点；（4）利用异面直线判定方式进行判定. 【详解】（1）由，得四边形是平行四边形，则直线与直线是平行直线； （2）平面，交平面于，，则直线与直线是异面直线； （3）直线与直线交于，则直线与直线是相交直线； （4）平面，交平面于，，则直线与直线异面直线. 故答案为：平行直线；异面直线；相交直线；异面直线 【变式1】如图，四棱锥中，底面是梯形，，，且是的中点，是的中点，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】根据中位线性质可证明四边形是平行四边形，可得结论. 【详解】连接，如下图所示： 因为是的中点，是的中点，所以，且． 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以． 故答案为： 【变式2】若直线，为异面直线，、为直线上相异两点，、为直线上相异两点，则直线、直线的位置关系是 . 【答案】异面 【分析】利用反证法，即可判断. 【详解】若，不是异面直线，则，是共面直线， 则四点共面，所以，是共面直线， 这与，是异面直线相矛盾，所以，是异面直线. 故答案为：异面 【变式3】已知直线和平面，若，，则与的位置关系是 . 【答案】或 【分析】由线面的位置关系判断求解即可. 【详解】若，，如图：     ，  ， 则或. 故答案为：或 【变式4】已知直线和平面，若，且直线在平面内，则直线与平面的位置关系是 【答案】或. 【分析】利用线面平行的判定定理可推导出结论. 【详解】当时，由得； 当时，满足题中条件. 综上，直线与平面的位置关系是或. 故答案为：或. 题型03平行关系（证明） 【典例1】如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，连接，求证，即可由线面平行判定定理得证； （2）先由（1）得为异面直线与所成的角或其补角，再在中，由余弦定理即可得解. 【详解】（1）证明：连接交于，连接， 侧面为平行四边形，为的中点. 又点为的中点，， 又平面平面， 平面. （2）由（1）得为异面直线与所成的角或其补角. 在棱长均为2的正三棱柱中，，，， 在中，由余弦定理得， 异面直线与所成的角的余弦值为. 【变式1】如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为正方形，E，F分别为，的中点，求证：直线平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点G，利用线面平行的判定定理可得答案. 【详解】取的中点G，连接. 因为F为的中点，所以且， 因为底面为正方形，E为中点，所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以直线平面. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，需证明该线段与平面内的一条线段平行即可，即证明. （2）作出辅助线，确定异面直线所成的角，然后根据边角关系求出其余弦值. 【详解】（1）证明：取中点，连接、. 因为中点，为中点，故为中位线，得且. 又底面是正方形，为中点，故且. 所以且，所以四边形为平行四边形，故. 又平面平面，故平面. （2）取的中点，连接为的中位线，所以. 故异面直线与所成角等于与所成角，即. 在正方形中，且底面，故为直角三角形， 为中点，得. 由（1）知.为的斜边，， 故，所以. 又，所以. 在中，，由余弦定理得 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式3】如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，为中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取中点，连接，即证，由线面平行的判断定理即可得证； （2）由（1）得，则（或其补角）是异面直线与所成角或其补角，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】（1）取中点，连接， 为中点，且 又且， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面 （2）由（1）可知：，则（或其补角）是异面直线与所成角或其补角， 由题意 在梯形中，易得：， 在中，由余弦定理：， 异面直线与所成角的余弦值为. 【变式4】如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，且截面为平行四边形．    (1)求证：平面． (2)，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证明. （2）根据平行四边形的性质结合余弦定理可得结果. 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，平面，平面，   平面. 平面，平面平面， ，又平面，平面， 平面. （2）由（1）知， 与相似， 又，即， ，又， ，解得， ，， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， ， 与相似， ，又，可得， ∵， ∵． ∴由余弦定理得， ∴． 题型04 垂直关系（证明） 【典例1】如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且. (1)求证：平面； (2)求的长度. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先利用面面垂直的性质得到线面垂直进而得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）通过证明平面，得到，进而得到，通过比例结合即可求得. 【详解】（1）因为底面为直角梯形，且，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 过点可以作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面. （2）由（1）可知平面，平面，所以， 在梯形中，由，得， 所以， 所以， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以， 可得， 又因为，所以，即. 【变式1】如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】先证，然后结合正方形性质和线面垂直判定定理可证. 【详解】因为直三棱柱，平面， 又平面，， 又，平面，， 平面. 又平面，. 侧面为正方形，， 又，、平面， 平面. 【变式2】如图，已知立方体底面棱的中点，在直线上是否存在一点，使得？说明理由. 【答案】存在，理由见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理得出知平面，再延长交延长线于点即可求解. 【详解】如图，分别取中点， 因为平面， 所以平面，所以平面， 平面，所以， 因为平面， 所以平面，所以平面， 平面，所以， 又因为平面， 所以平面. 延长交延长线于点，由于平面， 所以，由于为的中点，故， 所以在直线上存在一点，， 使得. 【变式3】在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点， 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，的中点，连接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，进而由面面平行的性质定理得平面，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 【变式4】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点在棱上，且.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得，，再由线面垂直得到平面，连接，交于，连接，再结合几何知识可得，即可得证. 【详解】因为，所以， 所以，即. 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. 连接，交于，连接， 易得，， 所以，又因为，所以，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 题型05 异面直线所成角 【典例1】已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】取中点，则，所以即为异面直线与所成角，根据题干求出各边的长，利用余弦定理求解即可. 【详解】设中点为，连接，， 因为为线段中点，所以，则或其补角即为异面直线与所成角， 因为，，， 所以，，， 所以在中由余弦定理可得， 所以异面直线与所成角的正弦值为， 故答案为： 【变式1】已知，是正四面体棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】取中点，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】取中点，连接，由是的中点，得， 则是直线，所成的角或其补角，令正四面体的棱长为4， 由是的中点，得，， 在中，， 在中，. 故答案为： 【变式2】已知正四棱柱的底面边长为2，沿该棱柱的表面从点经过棱或棱上的一点到达点的最短距离为，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】设该棱柱的高为，利用点到达点的最短距离为，求得，过点作的平行线与交于点，或其补角就是AE与BD所成角，求解即可. 【详解】设该棱柱的高为，如图，若沿该棱柱表面从点经过棱上一点到达点的最短距离为，不满足题意； 从点经过棱上的一点到达点的最短距离为，解得. 因为，所以，所以， 过点作的平行线与交于点， 则或其补角就是AE与BD所成角，，， 所以. 故答案为：. 【变式3】如图，在直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为 ．    【答案】/0.25 【点睛】利用补形法，作一个全等的正三棱柱并与原几何体有公共面，从而可求得异面直线和所成角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】由题可知直三棱柱为正三棱柱，如图作一个全等的正三棱柱并与原几何体有公共面，连结， 则易知为异面直线所成角或其补角．    设， 则，，， 由余弦定理可得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式4】在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 . 【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的定义找到其对应平面角，再应用余弦定理求其余弦值. 【详解】如图，令E为的中点，连接、. 因为是的中点，则， 所以与所成的角即为与所成的角， 即（或其补角）， 由，，则，，， 在中，. 故答案为： 题型06 直线与平面所成角 【典例1】如图，在三棱锥中，，，，则与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】作，连接，设，借助勾股定理可得，从而得面，最后利用等体积法得点到平面的距离为，即可得解. 【详解】作，连接，设， 则， 因为，所以， 根据余弦定理， 所以，即， 又面， 所以面， 设点到平面的距离为与平面的所成角为， 由，即， ， 所以与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 【变式1】如图，在正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】连结，分别取的中点，连结，利用线面、面面垂直的判定及性质得到，设求出点到平面的距离，结合为的中点及线面角的定义求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】如图，连结，分别取的中点，连结，则， 因为四棱锥为正四棱锥，所以，故，． 又，从而，，且平面， 所以平面，平面，故平面平面， 过点作交于点，平面平面， 又平面，则平面． 由平面，平面，得， 结合，，平面，得平面， 由平面，所以， 设，则，，， 所以点到平面的距离． 因为为的中点，所以点到平面的距离， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 【变式2】如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则直线与面所成角的正弦值的范围为 . 【答案】 【分析】根据线面平行分析可知：点到平面的距离为定值，利用等体积法求点到平面的距离，再根据线面夹角的定义可得，结合的取值范围即可求解. 【详解】由题意可得：且， ∴为平行四边形，则，平面，平面， ∴平面，又∵P为线段上，则点到平面的距离为定值， 设点P到面的距离为h，为等边三角形，面积为， ∵，即，解得， 设直线与平面所成角为，则， ∵，则. 故答案为： 【变式3】如图，在正四面体中，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用最大角定理将线面角的最大值转化为二面角，再作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出其余弦值，最后结合同角三角函数的基本关系求出正弦值即可. 【详解】设二面角的平面角为， 由最大角定理知，当且仅当时取等号． 如图，取的中点O，连接， 在正四面体中，得到，由三线合一性质得， 同理可得，则是二面角的平面角． 设三棱锥的棱长为，则，由勾股定理得, 由余弦定理得， 而，得到，由同角三角函数的基本关系得， 解得（负根舍去），故，即的最大值为． 故答案为： 【变式4】已知在三棱锥中，平面，，若，与平面所成角为，则三棱锥的体积的最大值为 ． 【答案】 【分析】证明线面垂直可得出线面角，利用体积公式及基本不等式求最值即可. 【详解】如图， 由平面，平面， 所以，， 又，平面， 所以平面，又平面，故, 所以与平面所成角为， 在直角三角形中，, 在直角三角形中，， 所以 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 题型07 二面角 【典例1】已知正四面体的棱长为2，动平面交线段AB，AC（含端点）于点E，F，且平面平面．若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先确定棱锥的高平面，直线PO与平面PBC所成的角为，由最小角定理知，再构造二面角，并得到，并说明等号成立的条件，即可求解. 【详解】如图，设点P在平面上的射影为O， 因为平面ABC，且平面平面ABC，所以平面PEF． 设直线PO与平面PBC所成的角为，由最小角定理知． 取BC的中点D，连接OD，PD，则， 因为平面，平面，所以， ，且平面，所以平面PDO． 又平面PBC，所以平面平面PBC，是PO与平面PBC所成的角． 因为正四面体的棱长为2，点P在平面上的射影为O， 所以，， 所以， 所以．． 设平面平面，当且仅当时取等号． 因为平面，平面，所以， 若l与BC相交，则平面，矛盾，故． 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面， 所以，故， 所以E，F分别是AB，AC上靠近B，C的三等分点．故的最大值为． 故答案为： 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且．若为的中点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】作出平面与平面的交线，是进一步作出二面角的平面角的关键，确定二面角的平面角，然后根据边角关系求出其余弦值. 【详解】如图，过点作的平行线与直线交于点，连接，得三棱柱． 分别取的中点，连接． 因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，故． 因为，，所以， 因为为的中点，故， 因为，平面，所以平面， 因为平面，故． 又显然，从而平面， 因为平面，故，所以， 因为，平面， 所以平面，因为平面，故， 所以即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 设，则，，， 所以． 故答案为：. 【变式2】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为，则 . 【答案】 【分析】取的中点，过点作交于点，证明二面角的平面角就是，结合解三角形知识即可求解. 【详解】由四面体为鳖臑，且，得， 取的中点，过点作交于点，连接， 则，是二面角的平面角， 设，则，，，， 从而，，又， 在中，， 在中，，所以. 故答案为： 【变式3】如图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为 . 【答案】 【分析】由二面角的平面角定义作出所求角，解三角形，即可求得答案. 【详解】在正方形中，连接交于O点，连接， 则，即，又平面，平面， 故，而平面， 故平面，平面，则， 即得为二面角的平面角， 设正方体的棱长为2， 则， 故， 即二面角的正切值为， 故答案为： 【变式4】如图，已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，再根据题意求出的长度，由二面角的定义可得二面角的平面角为，代入计算，即可得到结果. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，， 由题意得平面，则为直线与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 则， 因为，所以，即二面角的大小为. 故答案为：. 题型08 异面直线距离 【典例1】已知正方体的棱长为a，异面直线与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】分别取，中点，，由等腰三角形三线合一性质可得，利用勾股定理证明，由异面直线间距离的定义可知所求距离为公垂线段的长度，即可得出答案． 【详解】解：分别取，中点，，连接，，，，，如图所示：   ， ， ， ， 满足， ， 由两条异面直线之间距离的定义可得直线与之间的距离即为公垂线段的长度， 又， 则， 故答案为：． 【变式1】在长方体中，，，，则异面直线和的距离为 【答案】 【分析】根据长方体的性质得出是异面直线和的公垂线；再根据异面直线间距离的定义即可求解. 【详解】 由长方体性质可得：，平面. 因为平面, 所以， 则是异面直线和的公垂线， 所以异面直线和的距离为 故答案为： 【变式2】和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线，而两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段．三棱锥的棱长都为1，则异面直线和的公垂线段的长度是 ． 【答案】 【分析】构造正方体，将公垂线段的长度转化为正方体的棱长，即可求解. 【详解】如图在正方体中取点，，，， 则， 设，可知正方体的棱长为. 取中点，中点，连接，则点为的中点， 由正方体的性质可知四边形为平行四边形， 所以且. 由正方体性质可知平面，平面， 又平面，平面， 所以，， 所以，， 所以为异面直线和的公垂线段， 所以异面直线和的公垂线段的长度为. 故答案为：. 【变式3】在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】3 【分析】将该四面体放置于长方体中，列方程求出长方体长宽高，再转化为求异面直线距离即可. 【详解】如图，将四面体放入长方体中，分别为矩形的中心， 设，，， 则，，， 得，，． 由图易知直线与异面，则线段长度的最小值即为求两异面直线距离， 即长方体的二平行平面间的距离. 故答案为：3 【变式4】已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是 ． 【答案】 【分析】由公垂线的定义求解． 【详解】因为分别与、垂直，， 故是与的公垂线， 故答案为： 题型09 空间直线与平面综合 【典例1】如图，已知平行六面体的底面是菱形且. (1)求证：； (2)假设，求二面角的平面角的余弦值； (3)当的值为多少时，平面？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过证明平面得到； （2）由（1）知，垂点为点，连接，则是二面角的平面角，根据题意求其余弦值即可； （3）易知时，平面，解法1、设与相交于点，可证平面得到平面，解法2、由平面，得到 ，同理可证，再根据线面垂直的判定即可证明. 【详解】（1）连接，其中和交于点，连接. 因为四边形是菱形， 所以. 又，所以， 所以. 因为，所以， 但平面， 所以平面. 又平面，所以. （2）由（1）知，垂点为点，连接，则是二面角的平面角. 在中，， 所以. 因为，所以， 所以， 所以，即. 作，垂足为. 所以是的中点，且， 所以. （3）当时，平面. 解法1  因为，所以. 又， 由此可推得. 所以三棱锥是正三棱锥. 设与相交于点. 因为，且， 所以. 又是正的边上的高和中线， 所以点是正的中心. 所以平面，即平面. 解法2  由（1）知，平面，因为平面，所以. 当时，平行六面体的六个面是全等的菱形. 同的证法可得. 又，平面， 所以平面. 【变式1】在平面四边形中，（如图），沿对角线将折起，使点在平面上的射影恰落在上（如图）． (1)求证：； (2)求二面角的平面角余弦值大小； (3)求和平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题证明平面BCD即可； （2）取AC中点为F，连接，连接FE，由题可得为二面角的平面角，然后设，用x表示相关边长，即可得答案； （3）由（1），可得为所求角，然后由题意及余弦定理可得答案. 【详解】（1）折叠后，由题可得平面，因平面， 则，又，平面，， 则平面BCD，又平面BCD，则； （2）由题可得为等边三角形，取AC中点为F，连接， 可得，又由（1），易得，结合平面， ，则平面，连接FE，因平面，则. 从而为二面角的平面角. 设，则，由题，则， 则，.又由题可得为等边三角形， 则，又平面，平面，可得， 则； （3）由（1），平面BCD，又平面， 则平面平面，从而C在平面ABD上的射影在DB上，则 为所求角.由平面，平面，可得， 则，又由（2）分析，可得，则， 则，从而，则， 从而. 【变式2】如图，圆锥顶点为，底面圆圆心为，其母线与底面所成的角为．和是底面圆圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为． (1)证明：平面与平面的交线平行于底面； (2)若圆锥母线长度为a，求面积的最大值. (3)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理，即可证明． （2）先根据圆锥的结构特征得，再求得，利用正弦函数的最值即可求解. （3）可证平面平面，则直线在面上的射影为，即，设，则，，在中，求得，最后利用二倍角余弦公式求解即可. 【详解】（1）由公理可知，两面相交必交于一条直线，设平面与平面的交线为， 则，平面，平面，所以平面， 又平面，平面与平面的交线为， 所以，又在底面上，在底面外，所以与底面平行， 即平面与平面的交线平行于底面； （2）由圆锥母线与底面所成的角为，可得， 故，当时，. （3）取的中点，连接，，则由等腰三角形性质得， 又，平面，所以平面， 因为底面，所以平面平面， 所以直线在面上的射影为，所以， 设，则，由题意，则， 而，，解得， 在中，， 所以. 【变式3】如图1，正的边长为是边上的高，分别是和边上的点，且满足，现将沿翻折成直二面角，如图2． (1)试判断翻折后直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求二面角的大小； (3)若异面直线与所成角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)平面，理由见解析 (2) (3)． 【分析】（1）通过题目所给比例条件，证明，可证明平面； （2）作出二面角的平面角，在直角三角形中，求出二面角的平面角的正切值，可求其大小. （3）由题意可得（或其补角）是异面直线与所成的角，利用余弦定理可求得，进而由余弦定理可得，求解即可. 【详解】（1）平面；理由如下： 在中，因为分别是上的点，且满足，所以． 因为平面平面， 所以平面． （2）过点作于点，连接． 因为， 所以是二面角的平面角． 所以，即， 又，平面． 所以平面，又平面，所以， 又，平面． 所以平面，又平面，所以． 所以是二面角的平面角． 在中，， 所以． 在中，． 所以． 即二面角的大小为． （3）因为，所以（或其补角）是异面直线与所成的角． 因为， 所以． 又， 所以 ． 所以． 所以． 解得． 【变式4】如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再由四边形，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则； （2）在上取点Q，使得，设，连接，，可证得或其补角为异面直线BD与PC所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可； （3）设，连接，则由线面平行的性质可得，从而可找出点的位置. 【详解】（1）连接，因为是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，所以. 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以 （2）在上取点Q，使得，设，连接，， 因为，所以， 在中，，所以， 所以或其补角为异面直线BD与PC所成的角，因为，所以， 又， ， 在中，由余弦定理得, 所以异面直线BD与PC所成角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又，所以. 所以线段PD上存在点N，使得平面，且， ． 1．如图，在三棱锥中，，平面平面，则与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】数形结合，设点到平面的距离为与平面所成角为，取．再设,则，再由墙角公式可得. 【详解】设点到平面的距离为与平面所成角为，取． 设，如图9， 则． 由墙角公式得． 故， 故． 故答案为： 2．如图，直三棱柱中，所有棱长均为1，点E为棱 上任意一点，则直线与直线BE所成角的范围是 . 【答案】 【分析】由异面直线定义得为直线与直线BE所成角，接着求出当E与重合和E与重合时，直线与直线BE所成角即可得解. 【详解】由直三棱柱，所以， 所以为直线与直线BE所成角， 当E与重合时，直线与直线BE所成角为0， 当E与重合时，直线与直线BE所成角为， 所以直线与直线BE所成角的范围是. 故答案为：. 3．在长方体中，点E为棱上任意一点，点F为底面（除点外）上一点，请给出一个点F的位置，使得，点F可以是 . 【答案】（不唯一） 【分析】先确定平面，再根据线面垂直确定点的位置. 【详解】如图： 因为是长方体，所以平面. 因为点E为棱上任意一点，当点时，平面， 所以. 所以为上的任意一点. 故答案为：（不唯一） 4．如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是 . 【答案】 【分析】首先求出，，即可得到原四边形中，的值，即可求出原四边形的面积. 【详解】根据斜二测画法的定义知在直观图中是等腰直角三角形，所以， 根据勾股定理，，又因为是的中点， 所以，可得在原四边形中，，， 故原四边形的面积. 故答案为：. 5．如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，将，，分别沿折起；使三点重合于点G，则在四面体中，与平面垂直的一个平面为 . 【答案】平面（或平面） 【分析】根据正方形性质可得相应线线垂直，从而根据线面、面面垂直的判定定理即可得到结论. 【详解】在正方形ABCD中，， 故在四面体中，， 平面，故平面， 而平面，故平面平面， 同理平面平面， 故答案为：平面（或平面） 6．如图，在四面体中，分别为棱与上的点，且，.为棱的中点，则点到平面的距离的比为 .    【答案】. 【分析】，到平面的距离分别为三棱锥与的以为底的高，把高之比转化为体积之比； 【详解】 ； 又， . 所以点到平面的距离的比为. 故答案为：1：4. 7．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则点到线段的距离为 .    【答案】 【分析】首先说明，故只需求出的长度即可. 【详解】    取中点，由立方体的性质知，，， ， 所以， 则，故所求为. 故答案为：. 8．直二面角的棱上有一点，在平面内各有一条射线，，，若与成，与成，则 ． 【答案】． 【分析】利用直二面角的特点作出相应的图形，再结合其性质，求解对应的边长，最后由边长特征求出角的余弦值即可. 【详解】    如图14，由直二面角，作，，则； 设，因为与成，与成， 则，,, 则,则为等腰三角形， 设，． 当点在的延长线上时，此时为钝角，. 故答案为：. 9．如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在棱，上，满足，点Q在正方体的内部或表面，且平面，则点Q组成的图形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】在上取点，使得，证得平面平面，得到点的轨迹组成的图形为，在等腰三角形中，求得底边上的高，即可求解. 【详解】在上取点，使得， 分别连结， 因为，可得，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 由且，可得， 又由且，所以， 在正方体中，可得，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 同理可证平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因此点的轨迹组成的图形为， 在等腰三角形中，， 可得底边上的高为， 所以面积为， 故答案为：. 10．在正方体中，过点作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，共有 个截面；试写出满足条件的一个截面： ． 【答案】 3 平面，平面或平面（写出其中一个即可）． 【分析】根据线面角定义，正方体的对称性可知平面，平面或平面符合题意. 【详解】将12条棱分成三类：平行，相交，异面，考虑正三棱锥（如图11）． 故答案为：3；平面，平面或平面（写出其中一个即可）. 11．在三棱锥中，且，底面是等边三角形，平面平面，若，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出平面与平面所成角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，过点作，垂足为，   平面平面，且平面平面平面， 作，则，则平面， 作于，平面，， 又，平面平面， 平面， 为平面与平面所成二面角的平面角． 且， 作于，由是等边三角形， 得． 故选：D. 12．正方体的棱长为1，点分别在线段上，且满足平面，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得平面，平面，平面与平面之间的距离为，可得为异面直线和距离时最小，进而可求范围. 【详解】连接，由正方形可得， 又平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以，同理可证， 又，平面，所以平面， 同理可证平面，所以平面平面， 记平面平面，因为正方体的棱长为1， 所以，所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以到平面的距离为，同理可得到平面的距离为， 又， 所以平面与平面之间的距离为， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以， 若为异面直线和的距离时，即，， 所以，又，平面，所以平面， 所以，符合平面， 所以平面，所以此时的长为， 所以此时，为异面直线和的距离，故此时最小， 即，当与点重合，与点重合时，最大，最大值为1， 所以线段长度的取值范围为. 故选：B. 13．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）由正方形得，根据线面平行的判定得到平面，再根据线面平行的性质即可得到； （2）先面面垂直的性质证得，结合，可得,,即可证得平面； （3）取的中点，通过证是平行四边形得到，证得； 再由勾股定理逆定理得到，证得平面，得，即可得，进而证得平面，即可证得. 【详解】（1）由正方形，得， 又∵平面，平面，∴∥平面， ∵平面，平面平面， ∴ （2）由正方形，得, ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面， 又∵平面，∴， 由（1）知，∴，， 又，平面， ∴平面； （3）取的中点，连接，则， 又，所以四边形是平行四边形. ∴，∴. 由，得，，∴. ∵，，平面， ∴平面. ∵平面，∴. 由正方形，得∥，∴, ∵，平面，∴平面, ∵平面，∴ 14．如图，在三棱柱中，侧面，，，，． (1)在棱（不包含端点）上确定一点的位置，使得，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)点在的中点处，理由见解析 (2)． 【分析】（1）根据线面垂直的判定和性质推导出的位置. （2）先确定二面角的平面角，然后根据垂直关系求出其余弦值即可. 【详解】（1）如图，由因为平面，平面，． 若，因为平面， 则平面，平面，故． 同理平面，平面，故． 所以的充要条件为． 取的中点，连结，则的充要条件为． 易知点在的中点处（点在处舍去）． （2）如图，过点作，使， 则四边形为平行四边形，所以且． 因为，所以． 又，所以平面． 又因为，所以即为二面角的平面角． 由平面，平面，得，故， 所以， 故． 15．如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 空间直线与平面 章末大总结 教学目标 ①熟练掌握画空间图形的基本技能，能够准确绘制直观图 ②学会运用平移法、三垂线法等方法，准确找出异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角，并能借助解三角形等知识进行角度的计算 ③能够灵活运用空间直线与平面的相关定理和性质，进行逻辑推理与证明 教学重难点 重点：空间角和平行，垂直关系的证明 难点：垂直关系的证明；二面角 知识点01公理1、2及其三推论、公理3 公理1：如果一条直线上有 在一个平面上 ， 那么这条直线上 都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 公理2：①过 的三个点， 一个平面； ②图形语言： ③应用：确定平面的依据；判断两个平面是否重合；证明点线共面. 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． （1）推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 （2）推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面 公理3：①如果两个 的平面有一个公共点，那么它们有且只有 ②符号语言和图形语言 ，且 【即学即练】给出下列命题：①书桌面是平面； ②平面与平面相交，它们只有有限个公共点；③如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. 正确的是 （填写序号）. 知识点02 异面直线 1、异面直线判定定理：过 一点与 一点的直线 ， 和此平面上 的任何一条直线都是 2、异面直线所成角： ①已知两条异面直线，，经过空间 分别作直线，，我们把直线 所成的角叫做 ②空间两条直线所成角的取值范围是 【即学即练】如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．若，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 知识点03直线与平面平行 （1）判定定理：如果 的一条直线和 的一条直线 ，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面 ，经过这条直线的平面和这个平面 ，那么这条直线和 平行． 【即学即练】如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，．求证：平面． 知识点04直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线与一个平面内的 直线都垂直，我们就说直线垂直于平面，记作，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点 一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时 于一个平面，那么这两条直线 ． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 【即学即练】如图所示，正方体中，连接，，，．求证：平面． 知识点05 直线与平面所成角 如图，一条直线和一个平面 ，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 ，斜线和平面的交点叫做 ，过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的 ，平面的一条 和它在平面上的 所成的 ，叫做 【即学即练】如图，正方体中，点为中点，则直线与平面所成角的余弦值为 . 知识点06 三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条 垂直的充要条件是它和这条 在平面上的 【即学即练】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是PC上的一动点，当点满足 时，平面平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）    知识点07 平面与平面平行 1、平面与平面平行的判定定理 （1）如果一个平面内的有两条 平行于 ,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 2、平面与平面平行的性质定理 （1）如果两个平面平行同时和第三个平面 ，那么它们的 （2）符号语言 （3）图形语言 【即学即练】如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 知识点08 二面角平面角 1、定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作 与直线的射线,,则射线和构成的 叫做 .平面角是直角的二面角叫做直二面角. 2、二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. （4）面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； 【即学即练】如图，棱长为1的正方体中中，二面角的正切值为 ． 知识点09 平面与平面垂直 1、平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：如果一个平面 另一个平面的的 ，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， 2、平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂 的直线与另一个平面 ． (2)符号（图形）语言：，， . 【即学即练】如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 知识点10 异面直线的距离 （1）定理： 对于任意给定的两条异面直线，存在 的一条直线与这两条直线 ； （2）两条异面直线之间的距离定义：将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的 ，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的 ；两条异面直线的 就叫做 ； （3）异面直线的距离公式 如图，已知两条异面直线 、 所成的角为 ，它们的公垂线段 的长度为 ，在直线 、 上分别取：点 、 ，设 ，则 . （4）求异面直线距离的常用方法 ①直接法：找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度 ②转化为线面距离：过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面与a之间的距离即为异面直线的距离 ③转化为平行平面距离：过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离即为异面直线的距离 【即学即练】已知正方体的棱长为a，异面直线DB与之间的距离为 ．    题型01平面及其基本性质 【典例1】如图，在直三棱柱ABC-中，E，F分别是，的中点，平面AEF与线段交于点G，则= . 【变式1】如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为 . 【变式2】（1）三个平面可以把空间分成 个部分． （2）将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值 ． 【变式3】在正方体中，平面与平面的交线是 所在的直线． 【变式4】棱长为2的正方体中，点分别是线段的中点，则平面截正方体所得截面的面积为 .    题型02 直线与直线、平面的位置关系（小题） 【典例1】如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： （1）直线与直线的位置关系是 ； （2）直线与直线的位置关系是 ； （3）直线与直线的位置关系是 ； （4）直线AB与直线的位置关系是 ． 【变式1】如图，四棱锥中，底面是梯形，，，且是的中点，是的中点，则与的位置关系是 ． 【变式2】若直线，为异面直线，、为直线上相异两点，、为直线上相异两点，则直线、直线的位置关系是 . 【变式3】已知直线和平面，若，，则与的位置关系是 . 【变式4】已知直线和平面，若，且直线在平面内，则直线与平面的位置关系是 题型03平行关系（证明） 【典例1】如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 【变式1】如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为正方形，E，F分别为，的中点，求证：直线平面. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式3】如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，为中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式4】如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，且截面为平行四边形．    (1)求证：平面． (2)，，求的值． 题型04 垂直关系（证明） 【典例1】如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且. (1)求证：平面； (2)求的长度. 【变式1】如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形.求证：平面. 【变式2】如图，已知立方体底面棱的中点，在直线上是否存在一点，使得？说明理由. 【变式3】在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【变式4】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点在棱上，且.求证：平面平面. 题型05 异面直线所成角 【典例1】已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为 . 【变式1】已知，是正四面体棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为 . 【变式2】已知正四棱柱的底面边长为2，沿该棱柱的表面从点经过棱或棱上的一点到达点的最短距离为，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为 . 【变式3】如图，在直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为 ．    【变式4】在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 . 题型06 直线与平面所成角 【典例1】如图，在三棱锥中，，，，则与平面所成角的正弦值为 ． 【变式1】如图，在正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【变式2】如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则直线与面所成角的正弦值的范围为 . 【变式3】如图，在正四面体中，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为 ． 【变式4】已知在三棱锥中，平面，，若，与平面所成角为，则三棱锥的体积的最大值为 ． 题型07 二面角 【典例1】已知正四面体的棱长为2，动平面交线段AB，AC（含端点）于点E，F，且平面平面．若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为 ． 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且．若为的中点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ． 【变式2】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为，则 . 【变式3】如图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为 . 【变式4】如图，已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为 ． 题型08 异面直线距离 【典例1】已知正方体的棱长为a，异面直线与之间的距离为 ． 【变式1】在长方体中，，，，则异面直线和的距离为 【变式2】和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线，而两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段．三棱锥的棱长都为1，则异面直线和的公垂线段的长度是 ． 【变式3】在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为 ． 【变式4】已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是 ． 题型09 空间直线与平面综合 【典例1】如图，已知平行六面体的底面是菱形且. (1)求证：； (2)假设，求二面角的平面角的余弦值； (3)当的值为多少时，平面？ 【变式1】在平面四边形中，（如图），沿对角线将折起，使点在平面上的射影恰落在上（如图）． (1)求证：； (2)求二面角的平面角余弦值大小； (3)求和平面所成角的余弦值． 【变式2】如图，圆锥顶点为，底面圆圆心为，其母线与底面所成的角为．和是底面圆圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为． (1)证明：平面与平面的交线平行于底面； (2)若圆锥母线长度为a，求面积的最大值. (3)求. 【变式3】如图1，正的边长为是边上的高，分别是和边上的点，且满足，现将沿翻折成直二面角，如图2． (1)试判断翻折后直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求二面角的大小； (3)若异面直线与所成角的余弦值为，求的值． 【变式4】如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 1．如图，在三棱锥中，，平面平面，则与平面所成角的正弦值为 ． 2．如图，直三棱柱中，所有棱长均为1，点E为棱 上任意一点，则直线与直线BE所成角的范围是 . 3．在长方体中，点E为棱上任意一点，点F为底面（除点外）上一点，请给出一个点F的位置，使得，点F可以是 . 4．如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是 . 5．如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，将，，分别沿折起；使三点重合于点G，则在四面体中，与平面垂直的一个平面为 . 6．如图，在四面体中，分别为棱与上的点，且，.为棱的中点，则点到平面的距离的比为 .    7．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则点到线段的距离为 .    8．直二面角的棱上有一点，在平面内各有一条射线，，，若与成，与成，则 ． 9．如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在棱，上，满足，点Q在正方体的内部或表面，且平面，则点Q组成的图形的面积是 ． 10．在正方体中，过点作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，共有 个截面；试写出满足条件的一个截面： ． 11．在三棱锥中，且，底面是等边三角形，平面平面，若，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 12．正方体的棱长为1，点分别在线段上，且满足平面，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求证：. 14．如图，在三棱柱中，侧面，，，，． (1)在棱（不包含端点）上确定一点的位置，使得，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 15．如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$