专题01 集合与常用逻辑用语中的参数及新定义问题（专项训练）（上海专用）2027年春季高考数学

专题01 集合与常用逻辑用语中的参数及新定义问题 内容导航 01 方法总结·技巧提炼 1 02 题型探究·深度突破 2 题型01 集合中元素与集合的关系 2 题型02 集合的包含关系 3 题型03 集合的运算 4 题型04 充分条件与必要条件的判断与求参 6 题型05 集合与逻辑中的新定义问题 8 03 分层训练·达标过关 9 巩固过关 10 能力提升 12 1、元素与集合关系的判定：先看集合中元素的属性是数、点还是图形，再用列举法或代入验证；含参时务必用互异性排除增根，求出参数后代回检验。 2、集合运算的转化：把交、并、补统一到同一种表示（区间或数轴），端点能否取到单独验证；空集是任何集合的子集，涉及子集问题不可漏。 3、充分必要条件的判断：用"小范围推大范围"定方向，把命题翻译成集合的包含关系；含参时按区间端点列不等式组，端点取等要单独讨论。 4、新定义题的读法：逐字把定义翻译成符号语言，先举特例验证自己的理解是否正确，再从定义直接推导，不要凭题型经验套用结论。 题型01 集合中元素与集合的关系 与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧 （1）先确定集合中元素的属性，区分数集、点集与图形集，避免把点集当数集处理； （2）元素与集合之间只有"属于"与"不属于"两种关系，符号不能写错； （3）含参求出结果后必须回代，用元素的互异性剔除使元素重复的参数值。 1．（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 2．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型02 集合的包含关系 集合包含关系求参数的解题技巧 （1）先讨论子集为空集的情形，空集是任何集合的子集，最容易漏； （2）把集合画在数轴上，按区间端点列不等式，端点能否取等单独验证； （3）注意 B⊆A 与 B⫋A 的区别，后者要额外排除 B=A 的情形。 4．（2026·上海·三模）若，，且，则实数取值的集合是____________. 5．已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．设集合，，若，则实数a的取值范围是______. 题型03 集合的运算 集合运算的解题技巧 （1）先把各集合化成相同的表示形式，再用数轴或韦恩图求交、并、补； （2）注意区间的开闭，端点是否属于集合直接决定答案； （3）正面计算繁琐时，用"补集思想"先求反面再取补，往往更简洁。 7．已知，设集合，集合，若，则______. 8．已知集合，，同时满足，，则___________． 9．设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型04 充分条件与必要条件的判断与求参 充分条件与必要条件的判断技巧 （1）定义法：由 p 能推出 q、由 q 推不出 p，则 p 是 q 的充分不必要条件； （2）集合法：设 p、q 对应的集合为 P、Q，P⊆Q 即 p 是 q 的充分条件，Q⊆P 即必要； （3）含参问题转化为区间包含关系，列不等式组后端点取等要单独检验。 10．（2025·上海闵行·一模）已知非零实数、，则“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 11．（2025·上海徐汇·一模）已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 12．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________． 13．某药品检测机构定义集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 集合与逻辑中的新定义问题 集合与逻辑中新定义问题的解题技巧 （1）逐字翻译定义中的每一句话，尤其注意"有且只有""至少"这类限定词； （2）先取几个具体元素代入定义验证理解，再处理一般情形； （3）结论必须由定义直接推出，不要套用已学结论，防止定义与旧知混淆。 14．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则____________. 15．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 16．当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 巩固过关 1．（2026·上海·春考T1））已知集合，，若，则____________. 2．（2026·上海·秋考T2）已知集合，，则__________． 3．（2025·上海·春考T1）已知集合，，则等于________． 4．（2025·上海·秋考T1）已知全集，集合，则_________． 5．（2026·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则实数________． 6．（2026·上海·三模）已知集合，，若，则实数__________． 7．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为______. 8．已知集合，，若，则______． 能力提升 1．设，则“”是“且”的（   ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件. 2．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知、，则“”是“”的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 3．（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 5．（2026·上海·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________． 6．记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. (1)当时，写出集合；对于，写出； (2)当时，如果，求的最小值； (3)求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语中的参数及新定义问题 内容导航 01 方法总结·技巧提炼 1 02 题型探究·深度突破 2 题型01 集合中元素与集合的关系 2 题型02 集合的包含关系 3 题型03 集合的运算 4 题型04 充分条件与必要条件的判断与求参 6 题型05 集合与逻辑中的新定义问题 8 03 分层训练·达标过关 9 巩固过关 10 能力提升 12 1、元素与集合关系的判定：先看集合中元素的属性是数、点还是图形，再用列举法或代入验证；含参时务必用互异性排除增根，求出参数后代回检验。 2、集合运算的转化：把交、并、补统一到同一种表示（区间或数轴），端点能否取到单独验证；空集是任何集合的子集，涉及子集问题不可漏。 3、充分必要条件的判断：用"小范围推大范围"定方向，把命题翻译成集合的包含关系；含参时按区间端点列不等式组，端点取等要单独讨论。 4、新定义题的读法：逐字把定义翻译成符号语言，先举特例验证自己的理解是否正确，再从定义直接推导，不要凭题型经验套用结论。 题型01 集合中元素与集合的关系 与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧 （1）先确定集合中元素的属性，区分数集、点集与图形集，避免把点集当数集处理； （2）元素与集合之间只有"属于"与"不属于"两种关系，符号不能写错； （3）含参求出结果后必须回代，用元素的互异性剔除使元素重复的参数值。 1．（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 2．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 3．已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据交集结果求集合或参数 【详解】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 题型02 集合的包含关系 集合包含关系求参数的解题技巧 （1）先讨论子集为空集的情形，空集是任何集合的子集，最容易漏； （2）把集合画在数轴上，按区间端点列不等式，端点能否取等单独验证； （3）注意 B⊆A 与 B⫋A 的区别，后者要额外排除 B=A 的情形。 4．（2026·上海·三模）若，，且，则实数取值的集合是____________. 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并集的定义可得是集合中的元素，再结合集合元素的互异性排除，即可得到实数的取值集合. 【详解】因为，，且，则， 所以且由互异性知， 则有或或， 所以实数取值的集合是. 5．已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、求对数型复合函数的定义域 【分析】先求和，再由得，即，进而得，恒成立，即，利用单调性即可求解. 【详解】，，由，所以． 故，恒成立，所以恒成立，令，即， 又在单调递减，， 所以， 故选：D． 6．设集合，，若，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围. 【详解】当时，满足，此时，解得； 当时，或， 若，则有且，解得且， 所以； 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 题型03 集合的运算 集合运算的解题技巧 （1）先把各集合化成相同的表示形式，再用数轴或韦恩图求交、并、补； （2）注意区间的开闭，端点是否属于集合直接决定答案； （3）正面计算繁琐时，用"补集思想"先求反面再取补，往往更简洁。 7．已知，设集合，集合，若，则______. 【答案】2 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，讨论或4即可求解． 【详解】集合，集合，，则是的子集， 当时，等式不成立，舍去， 当时，解得，此时，，满足题意， 故． 故答案为：2． 8．已知集合，，同时满足，，则___________． 【答案】或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】易知，则，即集合中的元素互为倒数，由题意可求出集合，进而确定集合，根据并集的运算即可求出答案． 【详解】设，若，又，故，此时，与已知矛盾， 故，所以，得，所以， 即集合中的元素互为倒数， 因为， 所以存在，使得且，解得， 又因为， 所以或， 若，则，则； 若，则，则. 综上所述，或． 9．设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数、函数奇偶性的定义与判断、求二次函数的值域或最值、由指数函数的单调性解不等式 【分析】转化为恒成立问题，由对称性求出函数的值域，得到不等式，求出答案 【详解】，即的解集为P，设， 设，由于，故为偶函数， 由对称性可知， 又，故， 因为，，作出函数的图象如下图： 由图可知，要使，只需满足，解得. 题型04 充分条件与必要条件的判断与求参 充分条件与必要条件的判断技巧 （1）定义法：由 p 能推出 q、由 q 推不出 p，则 p 是 q 的充分不必要条件； （2）集合法：设 p、q 对应的集合为 P、Q，P⊆Q 即 p 是 q 的充分条件，Q⊆P 即必要； （3）含参问题转化为区间包含关系，列不等式组后端点取等要单独检验。 10．（2025·上海闵行·一模）已知非零实数、，则“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】取判断充分性，取判断必要性. 【详解】取，满足，但不成立，充分性不成立； 取，满足，但不成立，必要性不成立. 由题意可知：“”是“”成立的既不充分也不必要条件. 故选：D. 11．（2025·上海徐汇·一模）已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合特殊值法判断可得出结论. 【详解】若是有理数，不妨取，则，但是无理数， 即“是有理数”不能推出“是有理数”， 若为有理数，则存在、且，使得，则为有理数， 故“是有理数”“是有理数”， 所以“是有理数”是“是有理数”的必要非充分条件， 故选：B. 12．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】先解绝对值不等式得到集合，把充分不必要条件转化为集合是的真子集，列出区间端点满足的不等式组求解参数范围． 【详解】由，得， 设集合，， 由题意可知，集合是集合的真子集， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 13．某药品检测机构定义集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】首先求出集合，将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，由此求得实数m的取值范围. 【详解】由，得，所以， 故. 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，. 即是集合的真子集，又， 所以， 故选：C. 题型05 集合与逻辑中的新定义问题 集合与逻辑中新定义问题的解题技巧 （1）逐字翻译定义中的每一句话，尤其注意"有且只有""至少"这类限定词； （2）先取几个具体元素代入定义验证理解，再处理一般情形； （3）结论必须由定义直接推出，不要套用已学结论，防止定义与旧知混淆。 14．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则____________. 【答案】19 【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】利用分类思想，列举思想即可得到答案. 【详解】当时， 若为二元集：如，共有15种， 若为三元集：如共有4种， 所以总共有：种； 故答案为：19. 15．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 16．当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 巩固过关 1．（2026·上海·春考T1））已知集合，，若，则____________. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 2．（2026·上海·秋考T2）已知集合，，则__________． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 3．（2025·上海·春考T1）已知集合，，则等于________． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【详解】试题分析： 考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合． 2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 4．（2025·上海·秋考T1）已知全集，集合，则_________． 【答案】/ 【知识点】补集的概念及运算、区间的定义与表示 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 5．（2026·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则实数________． 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【详解】因为，所以或， 解得，或， 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足题意，故 6．（2026·上海·三模）已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据交集结果求集合或参数 【详解】因为，所以. 得，解得，. 当时，，满足； 当时，，满足； 综上所述，. 7．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为______. 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 8．已知集合，，若，则______． 【答案】3 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得. 【详解】集合，，由，得，又， 因此，所以. 故答案为：3 能力提升 1．设，则“”是“且”的（   ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件. 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用不等式的性质证明必要性，通过特例说明充分性不成立. 【详解】先看充分性：若，，则满足，但不满足且， 所以“”不是“且”的充分条件； 再看必要性：因为且，根据不等式的性质可得. 所以“”是“且”的必要条件. 综上，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 2．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知、，则“”是“”的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】当时，，， 所以“”不是“”的充分条件； 因为（当且仅当时等号成立）， 所以， 所以“”是“”的必要条件； 综上“”是“”的必要非充分. 3．（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【知识点】充要条件的证明 【分析】分类讨论求解，即可判断． 【详解】当时，，不成立； 当时，，不成立； 当时，，成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】先计算出等号成立的充要条件，根据充要条件写出充分不必要条件. 【详解】当等号成立时，可知，两边同时平方得， 化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 5．（2026·上海·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据交集的定义和集合的性质计算即可. 【详解】因为已知集合，，， 所以，解得. 6．记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. (1)当时，写出集合；对于，写出； (2)当时，如果，求的最小值； (3)求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 【答案】(1)； (2)5 (3)证明：设A中的所有元素为，，…，，其中. 记（），则这些互不相等. 证明如下：如果存在，， 则，的每一位都相等， 所以，的每一位都相等， 从而，与集合A中元素的互异性矛盾. 定义集合，则. 又， 所以. 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】（1）根据定义直接写出集合，再根据的定义写出； （2）设，则，则由题意可得，从而可求得结果； （3）设A中的所有元素为，，…，，其中，记（），先利用反证法证明这些互不相等，再根据定义证明即可. 【详解】（1）； 若，则. （2）的最小值为5. 证明如下： 设. 因为，除外，其它7个元素需由两个不同的，计算得到， 所以，解得. 当时，有，符合题意. （3）略 【点睛】关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合间的关系，解题的关键是对集合新定义的正确理解，考查理解能力，属于难题. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $